1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学(文科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷1至2页,第卷3至4页,满分150分,考试时间120分钟.考生注意:1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第卷一、选择题:本大题共
2、10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013江西,文1)复数z=i(-2-i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在(). A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:D解析:z=i(-2-i)=1-2i,在复平面上的对应点为(1,-2),在第四象限,故选D.2.(2013江西,文2)若集合A=xR|ax2+ax+1=0中只有一个元素,则a=().A.4B.2C.0D.0或4答案:A解析:当a=0时,显然不成立;当a0时.由=a2-4a=0,得a=4.故选A.3.(2013江西,文3)若sin 2=33,则cos =().A.-2
3、3B.-13C.13D.23答案:C解析:cos =1-2sin22=1-2332=13.故选C.4.(2013江西,文4)集合A=2,3,B=1,2,3,从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是().A.23B.12C.13D.16答案:C解析:从A,B中各任取一个数有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情况,其中两个数之和为4的有(2,2),(3,1),故所求概率为26=13.故选C.5.(2013江西,文5)总体由编号为01,02,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数
4、字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08B.07C.02D.01答案:D解析:所取的5个个体依次为08,02,14,07,01.故选D.6.(2013江西,文6)下列选项中,使不等式x1x0,x21x3,或x1x3,无解,解得x-1.故选A.7.(2013江西,文7)阅读如下程序框图,如果输出i=4,那么空白的判断框中应填入的条件是().A.S8B.S9C.S10D.S11答案:B解析:i=2,S=5;i=3,S=8;i=4,S=9,结束.
5、所以填入的条件是“S0就去打球,若X=0就去唱歌,若Xb0)的离心率e=32,a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明:2m-k为定值.解:(1)因为e=32=ca,所以a=23c,b=13c.代入a+b=3,得c=3,a=2,b=1.故椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)方法一:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则直线BP的方程为y=k(x-2)k0,k12,代入x24+y2=1,解得P8k2-24k2+1,-4k4k2+1.直线AD的方程为:y
6、=12x+1.与联立解得M4k+22k-1,4k2k-1.由D(0,1),P8k2-24k2+1,-4k4k2+1,N(x,0)三点共线知-4k4k2+1-18k2-24k2+1-0=0-1x-0,解得N4k-22k+1,0.所以MN的斜率为m=4k2k-1-04k+22k-1-4k-22k+1=4k(2k+1)2(2k+1)2-2(2k-1)2=2k+14,则2m-k=2k+12-k=12(定值).方法二:设P(x0,y0)(x00,2),则k=y0x0-2,直线AD的方程为:y=12(x+2),直线BP的方程为:y=y0x0-2(x-2),直线DP的方程为:y-1=y0-1x0x,令y=0
7、,由于y01可得N-x0y0-1,0,联立y=12(x+2),y=y0x0-2(x-2),解得M4y0+2x0-42y0-x0+2,4y02y0-x0+2,因此MN的斜率为m=4y02y0-x0+24y0+2x0-42y0-x0+2+x0y0-1=4y0(y0-1)4y02-8y0+4x0y0-x02+4=4y0(y0-1)4y02-8y0+4x0y0-(4-4y02)+4=y0-12y0+x0-2,所以2m-k=2(y0-1)2y0+x0-2-y0x0-2=2(y0-1)(x0-2)-y0(2y0+x0-2)(2y0+x0-2)(x0-2)=2(y0-1)(x0-2)-2y02-y0(x0-
8、2)(2y0+x0-2)(x0-2)=2(y0-1)(x0-2)-12(4-x02)-y0(x0-2)(2y0+x0-2)(x0-2)=12(定值).21.(2013江西,文21)(本小题满分14分)设函数f(x)=1ax,0xa,11-a(1-x),ax1.a为常数且a(0,1).(1)当a=12时,求ff13;(2)若x0满足f(f(x0)=x0,但f(x0)x0,则称x0为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;(3)对于(2)中的x1,x2,设A(x1,f(f(x1),B(x2,f(f(x2),C(a2,0),记ABC的面积为S(a),求
9、S(a)在区间13,12上的最大值和最小值.解:(1)当a=12时,f13=23,ff13=f23=21-23=23.(2)f(f(x)=1a2x,0xa2,1a(1-a)(a-x),a2xa,1(1-a)2(x-a),axa2-a+1,1a(1-a)(1-x),a2-a+1x1.当0xa2时,由1a2x=x解得x=0,因为f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;当a2xa时,由1a(1-a)(a-x)=x解得x=a-a2+a+1(a2,a),因fa-a2+a+1=1aa-a2+a+1=1-a2+a+1a-a2+a+1,故x=a-a2+a+1为f(x)的二阶周期点:当axa2-a+1时
10、,由1(1-a)2(x-a)=x解得x=12-a(a,a2-a+1),因f12-a=11-a1-12-a=12-a,故x=12-a不是f(x)的二阶周期点;当a2-a+1x1时,由1a(1-a)(1-x)=x解得x=1-a2+a+1(a2-a+1,1),因f1-a2+a+1=1(1-a)1-1-a2+a+1=a-a2+a+11-a2+a+1,故x=1-a2+a+1为f(x)的二阶周期点.因此,函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,x1=a-a2+a+1,x2=1-a2+a+1.(3)由(2)得Aa-a2+a+1,a-a2+a+1,B1-a2+a+1,1-a2+a+1,则S(a)=12a2(1-a)-a2+a+1,S(a)=12a(a3-2a2-2a+2)(-a2+a+1)2,因为a13,12,有a2+a0.(或令g(a)=a3-2a2-2a+2,g(a)=3a2-4a-2=3a-2-103a-2+103,因a(0,1),g(a)0,故对于任意a13,12,g(a)=a3-2a2-2a+20,S(a)=12a(a3-2a2-2a+2)(-a2+a+1)20),则S(a)在区间13,12上单调递增,故S(a)在区间13,12上的最小值为S13=133,最大值为S12=120.
