1、奥林匹克中小学系列教材迎春杯数学竞赛指导讲座第一册1第一讲 速算与巧算（一）我们已经学过四则运算的定律和性质等基础知识。这一讲主要介绍基本定律和性质在加减法中的灵活运用，以便提高计算的技能技巧。一、运用加法运算定律巧算加法1直接利用补数巧算加法如果两个数的和正好可以凑成整十、整百、整千，那么我们就可以说这两个数互为补数，其中的一个加数叫做另一个加数的补数。如：285280，4951100，936641000。其中，28 和 52 互为补数；49 和 51 互为补数；936 和 64 互为补数。在加法计算中，如果能观察出两个加数互为补数，那么根据加法交换律、结合律，可以把这两个数先相加，凑成整十
2、、整百、整千，再与其它加数相加，这样计算起来比较简便。1 巧算下面各题：1）423958；（2）274135326265。解：（1）原式（4258）391003913922）原式（274326）（135265）60040010002间接利用补数巧算加法如果两个加数没有互补关系，可以间接利用补数进行加法巧算。2 计算 986238。解法 1：原式1000142381000238141238141224解法 2：原式986300621286621224以上两种方法是把其中一个加数看作整十、整百、整千，再去掉多加的部分（即补数），所以可称为“凑整去补法”。解法 3：原式（62924）2383924（
3、23862）9243001224解法 4：原式986（14224）（98614）2241224以上方法是把其中一个加数拆分为两个数，使其中一个数正好是另一个加数的补数。所以可称为“拆分凑补法”。3相接近的若干数求和下面的加法算式是若干个大小相接近的数连加，这样的加法算式也可以用巧妙的办法进行计算。3 计算 71736974687069。解：经过观察，算式中 7 个加数都接近 70，我们把 70 称为“基准数”。我们把7 个数都看作 70，则变为 7 个 70。如果多加了，就减去，少加了再加上，这样计算比较简便。原式707（1314201）44904494二、利用减法性质巧算1从一个数里连续减去
4、几个减数，可以从这个数里减去这几个减数的总和。用字母表示为：abcea（bce）当连续减去的减数可以凑成整十、整百、整千时（即互为补数），可以先求出这几个减数的和。4 计算 450210190。解：原式450（210190）450400502从一个数里减去几个数的和，可以从这个数里连续减去这几个数。用字母表示为：a（bce）abce当减去几个数的和时，如果有的加数和被减数的最后几位数相同，可以用被减数先减去这个减数，这种做法较简便。例 5 计算 5405（405240）。5解：原式5405405240500024047603一个数减去两个数的差，等于从这个数里减去第二个数，再加上第三个数。用字
5、母表示为：a（bc）abc6 计算：（1）1750（750290）；2）2480（616520）。解：（1）原式175075029010002901290（2）原式248061652024805206163000616238464第一个数减去第二个数，再加上第三个数，等于从第一个数里减去第二个数与第三个数的差。用字母表示为：abca（bc）7 计算（1）425029494；2）3840127327。解：（1）原式4250（29494）425020040502）原式38403271273840（327127）38402004040上面我们介绍的减法性质，实际上所运用的是“去括号或添括号法则”。去
6、括号和添括号的方法是：在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“”号，则无论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变：如果括号前面是“”号，则无论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，即“”号要变为“”号，“”号要变为“”号。只要弄清了去括号和添括号的规律，减法的性质是很容易记住的。例如：abcea（bce）7abca（bc）以上两等式右边添了括号，括号前是“”号，所以添上括号后，括号里面的运算符号要改变。又如：a（bce）abcea（bc）abc以上两等式右边去掉了括号，原括号前面是“”号，所以去括号后，原来括号里面的运算符号要改变。5当一个数连续减去若干个数，而这些减数成等差数
7、列时，可以运用添括号法则，再根据等差数列求和进行计算。8 计算 380012380解：原式3800（12380）（添括号）38008140380032405606带符号“搬家”、“抵消”方法的巧算。8根据加法交换律和结合律，可以把加数任意交换位置，或几个加数分组结合，使运算简便，而运算的结果不变。这种方法在加减混合运算中也完全适用。但在交换位置时必须注意带符号“搬家”。如：3254612554 这一道加减混合式题中，数字前面的符号则为它本身的符号。我们所说的带符号“搬家”，带的就是这个符号。例如：54，125，46，而 325 前面没有符号，应看作325。带符号“搬家”则不会改变运算结果。32
8、54612554300325125544630032554461253005446325125300如果带符号“搬家”和交换律、结合律及去括号、添括号法则配合使用，则会使运算简便。9 计算：（1）10942815614112844；2）7876838277807985。解：（1）先把符号相同的数按符号“搬家”的方法凑在一起，再根据加法结合律及添括号法则使运算简便。原式109428141156128449（109141）（428128）（15644）250300200550200350（2）在加减混合运算中，若有两数数字相同而符号相反，则可直接把这两个数“抵消”，而计算结果不变。如：92935。
9、在计算（2）题时，由于几个加数比较接近，先找到它们的“基准数”80。原式8082432315808640说明：本题中2 和2 抵消，3 和3 抵消，4、1 和5 抵消，可书写为：原式8082432315640同时本题也可以采取例 9（1）的方法计算。习题一1用简便方法计算：1）5724432）8953163）1763482524242用简便方法计算：101）17802904102）4695（695480）3）2730（824270）3计算1）6207（207510）2）8645297973）204576125196176754）981019710099103102100第二讲 细观察、巧解题讨
10、论一个问题，首先需要观察，通过观察获得初步的感性认识，这样的初级认识可能还没有抓住本质，很可能看到的是表面现象。通过进一步分析，才有可能找到事物之间的内在联系，而找到这种联系后，才能找到解决问题的办法。现在，我们来讨论一些有趣的图中填数游戏。例 1 如图 21，要求把它剪成形状完全相同的四块，并使每块上各数之和都相等。问应该怎样剪法？解：首先注意到题目要求把原图剪成形状相同的四块，每块上各数之和相等。11图中共有 12 个方格，每块应有 1243 个方格。由图中各数可以算出每块各数之和：9412561191491083）425三个方格可组成长方形，但经过实验分割不成四个相同的长方形。分割成“L
11、”形（如图 22）是否可能呢？经过实验，只有一种分法。如图 23。说明：本题是要构造合乎要求的图形。为了克服实验的盲目性，首先要分析希望剪成的图形的形状、大小。在这基础上，再经过几次实验，就能很快找到解决问题的办法。2 把 15 这 5 个自然数，分别填入图 24 中五个圆圈内，使相交成十字的两条直线上三个数之和都等于 9。问如何填法？12解：一条直线上三个数之和是 9，另一条直线上三个数之和也是 9，那么两个和数相加为 18。相加时，端点四个数只加一次，中央的数都是加了两次。于是有 123451518153可见是数 3 相加了两次，所以中央应填 3。这样不难得出符合题意的一种填法。如图 25
12、。（其中 2 与 4，1 与 5 是可以换位置的）3 把 16 这六个自然数，分别填入图 26 的各圆圈内，使三角形每边三个数之和都等于 10，能否写出一种填法？解：每边三个数之和为 10，三边总和为 30，而 12345621，三角形三个顶点的三个圆圈内的数，每个数在相加时使用两次。30219顶点处三个数之和是 9。而三数之和为 9 的只有三种情况：1269，1359，2349。13通过实验，只有 1，3，5 填入顶点圆圈内，才有符合题意的解答。如图 27，1，3，5 填入三角形三个顶点圆圈内，要使每边三个数之和为 10，自然各边中间的三个数也就确定了。4 将 17 这七个自然数，分别填入图
13、 28 中各圆圈内，使三个方向上三个数的和都等于 12。你能否写出一种填法？解：每个方向上三个数之和为 12，三个和数相加是 36，又 123456728，而中央位置填的数，在相加时，重复三次。由此得362888（31）4通过计算知道，中央位置应填 4，每个方向上另两数之和应等于 （81248）。经实验有三种情况：178，268，358。14这样很容易写出一种填法。如图 29。图中 1 与 7，2 与 6，3 与 5 可以互换位置，且三个方向上任意两个方向上的两个数也可交换（如 1、7 与 3、5 互换位置）。请思考，如果例 4 中要求三个方向上每三个数之和都等于 10，则应怎样填法？5 将
14、18 这八个自然数，分别填入图 210 中的八个空方格中，使四个边上的各算式都成立。解：设左边三个数用 a，b，c 表示，右边三个数用 d，e，f 表示，上、下边的中间方格内填的数用 g，h 表示。那么有：abcdefagdchf把除法、减法算式转化成乘法、加法算式，得15bcadgadefchf通过分析可知，b，c，h 都不等于 1，它们都不小于 2，所以 a，f 都不会小6，但不能等 7（因为 717）。因此 a，f 中一定一个等于 6，另一个等于 8。248 236c2，a8，f6，b4，h3，据此可取 g7，d1，e5。这是适合题意的一种填法。如图 211。思考本题是否还有别的填法？如
15、果有请再写出一种填法。16习题二1将 18 这八个自然数，分别填入图 212 的各方格中。使上面四个格，下面四个格，左面四个格，右面四个格，中间四个格，边角四个格，对角线四个格中各数之和都相等。你能否设计出三种填写方法？2将 17 这七个自然数，分别填入图 213 中各圆圈内。使三条直线上每三个数之和都等于 12。请写出一种填法，如果不限制三数之和等于 12，只要三条直线上三个数之和相等，怎样填法？3将 16 这六个自然数，分别填入图 214 中各圆圈内，使三角形每边三个数之和都等于 12。请写出一种填法。4将 17 这七个自然数，分别填入图 215 中各圆圈内。使三个方向上三个数之和都等于
16、14，请写出一种填法。175将 18 这八个自然数，分别填入图 216 中各圆圈内。使“双线”大圆圈中五个小圆圈内五个数之和都等于 21。第三讲 趣味算式（一）趣味算式是指与数字及其运算有关的趣味数学问题。这类问题的题目类型多样，解题方法灵活，有利于提高逻辑思维能力和推理能力，也有利于提高计算能力。解题时主要运用有关整数运算方面的知识，所以也有利于巩固整数运算的有关性质和法则。解答趣味算式题，首先要熟悉以下的一些基本知识1和、差、积、商的位数1）两个 n 位数的和，最多是 n1 位数，最少是 n 位数（n 是自然数）。9999991998，100100200。一个 m 位数与一个 n 位数的和
17、（mn，m、n 是自然数），最多是 m1 位数，最少是 m 位数，如 999991098，10001001100。（2）两个 n 位数的差（n 是自然数），最多是 n 位数，如 991089。18一个 m 位数与一个 n 位数的差（mn，m、n 是自然数），最多是 m 位数，最少是一位数，如 99910989，10009991。（3）两个 n 位数的积，最多是 2n 位数（n 是自然数），最少数 2nl 位数，99999801，1010100。一个 m 位数与一个 n 位数的积，最多是 mn 位数，最少是 mn1 位数（m、是自然数），如 9999998901，100101000。4）两个 n
18、 位数的商，当商是自然数时，它是一位数（n 是自然数）。一个 m 位数除以一个 n 位数，当商是自然数时，它最多是 mn1 位数，最少是 mn 位数（mn，m、n 是自然数），如 999911909，10019111。2乘数与积的个位数字如果已知两个数相乘积的个位数字，那么两个乘数的个位数字的可能情况见下表：19如果 n 个数的个位数字都相同，那么它们的积的个位数字的可能情况见下表：3奇偶性我们知道 2，4，6，8，10，12，这些数是偶数，1，3，5，7，9，11，这些数是奇数，奇、偶数在运算中有以下一些基本性质：（1）n 个偶数的和、差、积还是偶数，如 81624，382018，16464
19、。2）两个奇数的和与差都是偶数，如 7916，1376。3）两个奇数的积还是奇数，如 7535。4）一个奇数与一个偶数的和与差都是奇数，如 347，1275。5）一个奇数与一个偶数的积是偶数，如 14342。下面分类介绍趣味算式问题，这一讲先讲“添运算符号”问题。20按题目给定的条件和要求，添运算符号或括号，是数字趣题中较简单的一类问题。解这类问题，没有一定的法则，需进行试添，试添可以从前往后顺推，也可以从后往前倒推，使问题逐步由繁到简，最终得到解决。1 王老师批改作业时发现，李强同学的一个计算题的结果正确，但丢掉了括号，于是出现了如下错误等式：98126245请你替李强同学添上括号，使等式成
20、立。分析与解：因为没有括号的算式，要求先乘除后加减，所以添括号应在含有加、减运算符号的各数中考虑，比如对 62 添括号，计算得 4，又因为 6 前面是除号，所以 6 前面的算式如果能得 180，就可以求得本题的一个解，而 9（812）正好等于 180，于是得到本题的一个解：9（812）（62）45又因为（812）（62）5，于是又得本题的一个解：9（812）（62）452 在下面等式中的内填上适当的运算符号，也可以添上适当的括号，使等式成立。9876543216021分析与解：因为题目给出的数字较多，所以要分段试填运算符号。如将等式左边分成前四个数字和后五个数字这样两段，如果 54321 中的
21、都填加号，则得 15，那么 9876中的填运算符号后，只要它与 15 进行运算后得 60，就能得到题目的一个解。因为 98764，所以本题的一个解是9876）（5432l）60又如对前五个数进行试填，因为（9876）510，而后四个数 43216，这样又可以得到题目的一个解：9876）5（4321）60本题还有其他解，请同学们自己找找。3 在下列数字间，添上运算符号和括号，使等式成立。4 4 4 41 4 4 4 42 4 4 4 43 4 4 4 44 4 4 4 45 （天津市“我爱数学”竞赛试题）22分析与解：可以从后往前进行倒推，如中的最后一个 4 前面先添一个“”号或“”号，即4 4
22、 441于是问题转化为对 4 4 45 进行试添运算符号，显然 44 4 5，于是得到的一个解：44441若在最后一个 4 前添“”号，即4 4 441问题又转化为对 4444 进行试添运算符号，显然 4444，于是又得到的一个解：444）41如果把四个 4 分成前后各两个数来考虑，则又可得下面的解：44）（44）144）（44）144）（44）1、也有多种添法，请同学们自己动手试填。234 把、四个运算符号，分别填入下面等式的内，使等式成立。5137）（179）12分析与解：按运算顺序，等式中两个括号内的数要先进行计算，最后进行两个括号之间的运算。所以解本题，应先确定两个括号之间的符号。在试
23、填过程中发现，如果括号之间填“”号，其它三个内填“”、“”、“”，则不论怎么填都不能使等式成立；如果在两个括号之间用“”或“”，也不能使等式成立。当两个括号之间用“”时，因为要求前面括号内计算结果是后面括号内计算结果的 12 倍，所以后面括号内的应填“”号，即 1798；因为 513 796，于是本题的解是（5137）（179）125 在下面的十五个 3 之间添上、号，使下面的算式成立。3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 31993分析与解：因为本题数字多，也不限制必须每两个数字间都要添运算符号，所以可将给的数字，先凑出一个接近 1993 的数，如 333333333211
24、0 就是一个接近 1993 的数，而且已经用了九个 3，剩下六个 3，因为 21101993117，所以只要用剩的六个 3 凑出一个 117 的数就可以了。因为 33399，（33）318，9918117，所以得到本题的一个解24333333333333（33）31993本题也可以用另外的方法凑出接近 1993 的数，如 333333331998，因为 199819935，所以只要用剩下的七个 3 凑出一个 5 即可，实际上 33333335，所以又得到本题的一个解33333333333333319936 在算式 123456789303 的合适位置添上括号（ ），使等式成立。分析与解：这种题
25、目只能用试验方法，找到题目的解。因为添括号是为了改变运算顺序，所以要把先乘后加，用括号改为先加后乘，另外要考虑括号内应包含哪些数，也就是括号应添在哪个位置。下面进行试算。括号放在（12345678）9303 处，显然不行，因为左边运算结果比 303 大，另外括号内不论得什么数，也不可能是 303 除以 9 的商。括号放在（1234567）89303 处，显然等于没有添括号。括号放在（123456）789303 处试算的结果，等式正好成立，所以本题的解是（123456）789303习题三1在下列的等式中，添上合适的括号，使等式都成立。251）428423112）428423142在下列等式的处，
26、填上加号或乘号，并添上适当的括号，使等式成立。123451003在下列等式中的四个 4 之间添上运算符号，并在适当位置上添上括号，使等式成立。4 4 414 4 444 4 454在五个 3 之间，分别用不同方法添上运算符号和括号，使等式成立。3 3 3 313 3 3 393 3 3 393 3 3 335在十六个 2 的适当地方，添上运算符号或括号，使计算结果等于已知数。2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21993266在 123456789 的某些数字中间分别添上加号或减号，使所得式子的值等于100。7添上运算符号和括号，使 1 2 3 4 518在下面算式的合
27、适的地方，添上（ ）和 ，使所得结果等于已知数。12345678913959将算式的四个，分别填上、四个运算符号，并在中填上一个数字，使算式成立。9137100 142510将合适的、（ ）、 符号填进算式，使算式结果都等1。1 2 311 2 3 411 2 3 4 511 2 3 4 5 611 2 3 4 5 6 711 2 3 4 5 6 7 81271 2 3 4 5 6 7 8 91第四讲 趣味算式（二）这一讲介绍如何解“填数字”问题。这类问题和添运算符号不同，它已经给出运算关系，而要求填写出数字。解决填数字问题，也没有一定法则，掌握这类问题的解法，首先要熟悉第三讲提到的整数运算的
28、有关基本知识，还要掌握一些解题技巧，例如要用到列举法、筛选法、反证法等。解这类问题的关键，是找到解题的突破口。1 把 19 这九个数字，分别填入下面算式的内，使每个等式都成立。 分析与解：因为 19 这九个数，每取三个数字试乘的情况，要比试加、试减的情况简单，所以应从式入手试填，试填发现有两种情况：236 与 248 符合题目要求。因为 19 九个数中，有四个偶数和五个奇数，而两个奇数或两个偶数的和与差都是偶数，一奇一偶的积、差又都是奇数，这就决定了、两式中，只能含有偶数个奇数，而式中又不可能含 3 个奇数，所以式只能是 236。28第二步，由剩余的六个数字组成式，它们的可能情况是，145，1
29、89，178，459，经试填发现，在 145 和 189 的条件下，无法组成式，所以应舍去。178 时，式的组成是 954 或 945，当 459 时，式的组成是 817 或 871，所以满足题目要求的解有本题的分析、解题过程说明，以式入手就是找到了突破口，然后列举可能出现的情况，运用和整数运算有关的知识，将不符合条件要求的情况筛选掉，可以得到题目的解答。2 有一个算式，式中画的“”表示缺掉的数字，求除数的所有不同的质因数的和。（本题是北京市第一届小学迎春杯数学竞赛试题）29分析与解法 1：为了便于分析，将算式中的部分待定数字用字母代替。所以商数为 989。第一个数字只能是 9，式的第一个数字
30、只能是 8，所以 b1，C2；分析与解法 2：本题也可以直接求得除数。位数字为 8。因为式的三位数减去式的三位数得三位数，可以判定 8 与除数的十位数字相乘没有进位，所以 b1，或 b0，又因为很容易判定 d9，所以 b0 是不可能的。30通过试乘，除数取 113 时，则 1138904，积的首位数字大于 8，不符合要求，而除数取 111 时，则 1119999，不是四位数，也不符合要求，所以除数只能是 112。如果本题要求把所有缺掉的数字都补上，那也不难，因为求得除数和商数后，除法竖式就成为已知。3 下列乘法竖式中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字，请你用合适的数字代替汉字
31、，使乘法竖式成立。分析与解：显然，本题应从先确定“大”与“山”所表示的数字入手。因为被乘数的最高位数字“大”与乘数“山”的积仍然是“山”，所以“大”表示 1。因为被乘数的个位数字“山”与乘数“山”的积的个位数字为 1，所以只能是“山”表示 9。因为被乘数的百位数字“好”，与乘数 9 相乘时没有进位，“好”又不能再表示 1，所以“好”表示 0。31因为被乘数的十位数字“河”与乘数 9 相乘，积的个位数字是 0，而被乘数的个位数字 9 与乘数 9 相乘时，向十位进 8，所以“河”表示 8。所以本题的解是4 下列加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用合适的数字代替字母
32、，使加法竖式成立。分析与解：从加数与和的个位数字入手。因为 YNNY，所以 N5 或 N0，但 N5 时，加数的十位数字 TEE的和就不可能得 T，所以只能是 N0，同时判定 E5。因为加数的百位数字相加，必须向千位进 1 或 2，且千位还必须向万位进 1，所以表示 09，同时判定 I1。因为加数百位数字的和要向千位进 2，所以它在 22 至 28 之间，可判定 T7T8。若 T7，则 R8，X3，这时，只剩数字 2、4、6 还没有取用，它们要代替 S、F、Y，但是 S 只能比 F 大 1，所以出现矛盾，即 T 不能是 7。32当 T8 时，则 R6 或 R7，而 R6 时，X3，乃出现矛盾，
33、所以只能取 R 7，这时，X4，所剩数字为 2、3、6，取 S3，F2，Y6，就全部完成数字代替字母的解题过程，题目给出的加法竖式是（本题是美国数学月刊上的一个数字趣题。其中三个加数与和，正好是英文的四个数词 40、10、10、60）下列加法竖式，是一个和例 4 类似的数字趣题，其中三个加数与和，也正好是英文的四个数词，它们是 5、2、1、8，请同学们自己动手解这道题。5 下列算式中的 O 代表奇数，X 代表偶数。请你用适当的数字代替 O 和 X，使算式成立。分析与解：从被乘数、乘数和部分积入手，因为被乘数 OX X 与乘数个位数字 X 相乘，部分积是一个四位数，并且它的个位数字是偶数。因为
34、18881504，其33千位数字是 1；所以被乘数 O中的百位数字 O 要大于 1；因为用 O 乘以乘数的十位数字 X 得数不大于 8，所以被乘数 O中的 O 只能是 3，而乘数中的十位数字只能是 2。在此条件下可以进行试乘，按要求被乘数 3乘以乘数的十位数字 2，应该得O。从试乘中得知，被乘数 3只能取 306，308，326，346，348，而这些数再乘以偶数 4 或 6，都不能得到O，而乘以 8 时，只有其中的 346、348 可以得到O，但是由于 346289688，不符合最后得积OO的要求，所以本题只有唯一解6 下列的算式中，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字，如果它
35、们都成立。迎迎春春杯迎迎杯 数数学学数赛赛数 春春春春迎迎赛赛 那么，迎春杯数学赛？（1988 年北京市迎春杯数学竞赛试题）分析与解：因为中的乘数相同，所以试乘过程中的情况最少，经试乘得 8888 7744，所以，春8，迎7，赛4，再代入得 77886776，所以，杯6。34再分析，被乘数是“数数”，而乘积的个位数字也是“数”，这就是说，除去 8、7、4 三个数，剩余的 1、2、3、5、9 中，只有 5 能满足这个要求，所以，数5；而且“学”必须是奇数，从 1、3、9 三个奇数中试乘结果知，学9，即；55995445。所以迎春杯数学赛786594397 有人把中国古代趣词中的名言佳句与“虫食算”结合起来，制作了一些风格优异的小品，下面就是其中的一例。年年岁岁花相似 岁岁年年人不同 上面的两个算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，试解出
