1、彰显函数特性 渗透数学思想 2022年高考“数列”专题解题分析 重庆市教育科学研究院 张xx 数列是标准（数列是标准（2017年版年版2020年修订）选择性必修课程中年修订）选择性必修课程中函数主函数主线线的内容之一的内容之一，共计共计14课时，主要内容为等差和等课时，主要内容为等差和等比；比；明确明确要求学生感受要求学生感受数数列列模型模型的现实意义与的现实意义与应用；应用；感受数列与函数的共性感受数列与函数的共性与差异，体会数学的与差异，体会数学的整体性整体性，即数列与函数、方程、不等式之间的，即数列与函数、方程、不等式之间的联系性。联系性。通过对通过对2022年全国高考卷和地方卷中数列试
2、题的特点分析和解年全国高考卷和地方卷中数列试题的特点分析和解题分析，特别是对新旧高考的数列题分析，特别是对新旧高考的数列试题试题对比对比分析分析，把握新高考对数，把握新高考对数列内容考查的目标与重点，掌握解决数列相关问题的基础知识与基列内容考查的目标与重点，掌握解决数列相关问题的基础知识与基本方法，积累分析本方法，积累分析与与解决数列问题的经验，体悟重要数学思想在解解决数列问题的经验，体悟重要数学思想在解题过程中的引领作用，强调数列作为函数主线内容的体现，提出淡题过程中的引领作用，强调数列作为函数主线内容的体现，提出淡化解题技巧、加强概念理解、重视函数与数列综合、学会数学思想化解题技巧、加强概
3、念理解、重视函数与数列综合、学会数学思想引领解题方向的复习备考建议引领解题方向的复习备考建议。目录 01 试题特点分析 02 优秀试题分析 03 复习备考建议 04 模拟试题赏析 试题特点分析 PART.01 全国甲卷和乙卷中数列试题着重考查与等差数列、等比数列有关的基础知识、基本方法和常规题型，学生容易上手，不需过多分析，见到试题即可知道解题路径，这类试题为结构良好试题。全国新高考卷和全国新高考卷，以及新高考省、市地方卷与旧高考试卷的显著区别在于结构不良试题、开放性问题、情境性问题等非常规试题的比例增大，学生初见试题无法入手，需要深入分析、综合运用所学知识设计解题路径，着重考查学生的关键能力
4、和数学核心素养。2022年新高考数学试卷中多道数列试题为非常规试题，无固定套路，学生必须深刻理解基础知识，掌握基本方法，综合运用知识方法解决问题，这既体现了高考考查要求的基础性，也体现了高考考查的综合性，同时注重对学生数列模型应用能力和创新能力的考查。1.等差（比）数列的通项、前 项和及基本量的运算 首项、公差（比）是等差（比）数列中最为关键的基本量，求等差（比）数列，即是求其首项和公差（比）。得到了等差（比）数列的首项和公差（比），就得到了等差（比）数列及其通项、前 项和等。具体到等差（比）数列的相关问题中，往往需要建立方程或方程组求解，方程或方程组中主要涉及 这5个基本量，可“知三求二”。
5、2022年高考数列试题注重考查学生对数列概念的理解和基础知识的掌握，淡化技巧、回归本质，部分问题通过基本量建立方程或方程组运算即可解决，这也是高考考查要求基础性的体现。1a，()d q，n，na，nS 例例 1 1（全国乙卷理 8）已知等比数列na的前 3 项和为 168，2542aa，则6a的值为（）（A）14 （B）12 （C）6 （D）3 解：解：设等比数列na的公比为,0q q，若1q，则250aa.与题意矛盾，所以1q.由31123425111168,(142),aqaaaqaaa qa q，解得196,1.2aq 所以5613aa q.故选择选项 D.【评析】此题着重考查等比数列的
6、基础知识，利用首项、公比表示条件，建立关于首项、公比的方程组求出首项、公比，进而求得6a的值，属于常规题，学生较易解决.这类关于等比(差)数列基本量计算求解的问题在教材中较为常见，但因复习过程中较多使用等比(差)数列性质求解，可能导致学生想方设法利用性质求解而误入歧途.同时，有关等比(差)数列关于基本量的方程组求解，往往因未知数的次数较高而采用方程间相除的方式消元.此类试题在历年高考中也是常考题型，如 2018 年全国卷理科第 4 题，2019 年全国卷理科第 1 题，2019年全国卷理科第5题等.2.等差（比）数列的证明 等差（比）数列的证明是高考中的常见题型，要求学生深刻理解相关概念，回归
7、数学本质。证明一个数列是等差（比）数列的方法主要有定义法和中项法。（1）定义法：证明数列 是等差或等比数列，即证 或 为常数；（2）中项法：证明数列 是等差或等比数列，可以证明对任意的正整数 都有 或 。例例 2 2（全国甲卷理 17）记nS为数列na前n项和.已知221nnSnan.（1）证明：na是等差数列；（2）若479,aaa成等比数列，求nS的最小值.解：解：（1）因为221nnSnan，即222nnSnnan.当2n 时，21121211nnSnnan.由，得22112212211nnnnSnSnnannan，即12212211nnnannana，即1212121nnnanan.所
8、以11nnaa，2n 且*nN，所以na是以 1 为公差的等差数列.（2）由（1），可得413aa，716aa，918aa.因为4a，7a，9a成等比数列，所以2749aa a，即2111638aaa，解得112a .所以13nan.所以21125625122228nn nSnn.所以，当12n或13n 时min78nS 【评析】此题着重考查学生对等差数列概念和函数特性的理解，以及数学抽象、逻辑推理等核心素养.第（1）小题为等差数列的证明，证明等差数列一般用定义法或中项法，通过12nnnaSSn转化条件即可用定义法证得.教材重视学生对概念的理解，等差（比）数列的判定与证明在例、习题中多有体现.
9、例如，人教 A 版普通高中教科书数学选择性必修第二册（以下统称“人教 A 版教材”）第四章习题 4.2 第 7 题第（1）小题；习题 4.3第 7 题第（1）小题，第 11 题第（2）小题，第 12 题第（1）小题.往年高考试卷中类似试题有 2019 年全国卷理科第 19 题（1）小题，2021 年全国乙卷理科第 19 题第（1）小题等.第（2）小题通过三数成等比数列的关系建立方程，用基本量表示方程求解可得首项，进而求出前n和nS，nS实质是关于n的二次函数，通过配方结合n的取值可求得nS的最小值.要特别注意数列作为特殊函数的特殊性，n为整数，n不一定是最低点的横坐标.求数列的最大（小）项或前
10、n项和的最值问题在教材中不乏例、习题.例如，北师大版普通高中教科书数学选择性必修第二册（以下统称“北师大版教材”）选择性必修第二册第一章习题 12B 组第 5 题.类似高考试题有 2018 年全国卷理科第 17 题第（2）小题.3.3.等 差（比）数 列 性 质 的 应 用 对等差（比）数列性质的灵活应用是高考数列复习训练的重点，在历年高考数列试题中也不乏灵活运用性质的试题，即利用基本量运算繁杂而运用性质可以巧解的试题，这就导致高考数列复习过程中学生所记性质越来越多。综观20222022年高考数列试题，没有一道试题可以运用性质大幅度减少运算，大都是直接用基本量运算即可解决且不复杂的试题。由此可
11、以看出高考“淡化技巧、回归本质”的教学导向，但这不意味高考不考查等差（比）数列的性质，这些主要性质仍然需要深刻理解和灵活运用，只是无须强记更多的性质结论。等差数列的主要性质：（1）等差数列na中，当*(,)mnpq m n p qN时，则mnpqaaaa.特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.（2）等 差 数 列na中 与 首 末 两 端 等 距 离 的 两 项 之 和 均 相 等，即1211nnkn kaaaaaa.（3）从等差数列na中抽取等距离的项组成的新数列是一个等差数列，即2,kkmkmaaa成等差数列.（4）等 差 数 列na中 连 续m项 的 和 组 成 的 新 数 列 是
12、等 差 数 列，即232,mmmmmSSSSS成等差数列.等比数列的主要性质：（1）等比数列na中，若*(,)mnpq m n p qN，则mnpqa aa aqpmnaaaa.特别地，若2mnp，则2()mnpa aa.（2）等 比 数 列na中 与 首 末 两 端 等 距 离 的 两 项 的 乘 积 相 等，即121321nnnkn ka aa aa aa a.（3）等 比 数 列na中 连 续k项 的 和 组 成 的 新 数 列 是 等 比 数 列，即232,kkkkkS SS SS成等比数列（公比为1且k为偶数的情况除外）.例例 3 3（全国乙卷文 13）记nS为等差数列na的前n项和
13、若32236SS，则公差d的值为 解解法法 1 1：由32236SS，得113 22 12 33 2622adad.解得2d.解解法法 2 2：由32236SS，得123122+36aaaaa，由1322aaa，得2122 336aaa.化简，得212aa，即2d.【评析】此题仍是对等差数列基础知识的考查，体现了高考考查要求的基础性.可以用基本量建立方程求解，也可以用等差中项的性质化简直接获得公差d.两种解法的运算量没有多大差别，使用性质并没有大幅减少运算，这恰好说明了高考对性质应用技巧的淡化.但是历年高考曾多次考查等差(比)数列性质的应用，且灵活小巧，部分试题运用性质求解相较直接建立基本量的
14、方程计算可减少运算量，如 2019年全国卷理科第14 题.4.4.利用 与 的关系求通项 数列的通项na与前n项和nS紧密相关，数列的前n项和本身也是数列，具有数列的一切性质，通项na与前n项和nS是数列研究的主要对象.在等差数列中，直接体现通项与前n项和之间关系的有：2121nnSna，21nnnSn aa，解题过程中常用此实现等差数列通项与前n项和之间的转化.而对于任何数列均有1(2)nnnaSSn，对非等差（比）数列而言，除此公式外，等差（比）数列的所有性质均不可用，可见此公式的重要性.但是运用1nnnaSS时一定要注意适用范围2n，同时还需要用11aS求1a，以此检验通项公式是否适用1
15、n的情形.例例 4 4（全国新高考卷17）记nS为数列na的前n项和，已知11,nnSaa是公差为13的等差数列.（1）求na的通项公式；（2）证明：121112naaa.解：解：（1）因为11a，所以111Sa.所以111Sa.因为nnSa是公差为13的等差数列，所以121133nnSnna.所以23nnnaS.所以当2n 时，1113nnnaS.所以112133nnnnnanaSS，即12133nnnnanaa.整理，得111nnnana.所以111nnanan.所以31211221(1)2nnnnnaaaan naaaaaa.显然，对于1n 也成立，所以na的通项公式为12nn na.（
16、2）由（1），知1211211nan nnn.所以12111naaa111111212 1222311nnn.结论得证.【评析】此题考查等差数列概念、裂项相消法，以及利用nS和na的关系求通项的基本方法.条件呈现方式有所创新，需要正确理解等差数列的概念，用首项、公差表示等差数列，获得数列nnSa的通项公式，进而得到关于数列na的关系式23nnnaS.在此基础上，第（1）小题需要将1(2)nnnaSSn转化为111nnanan，利用累乘法求通项na；第（2）小题需要用裂项相消法求和，然后通过放缩完成证明.此题所用知识和方法都是学生所熟悉的，但是使用过程中易犯以下错误：一是转化条件时不知道如何获得
17、数列nnSa的首项或直接用数列na的首项1a作为其首项（此处未设陷阱，两数列首项均为 1）；二是用累乘法求通项na时没有认真观察约分规律，直接保留首末两项而致错；三是用裂项相消法求和时没有认真观察相互抵消规律，直接保留首尾两项而致错.此题具有一定的综合性，设有陷阱，学生易错，属于中等难度试题.利用nS与na的关系求通项的习题在教材中也有涉及，多是直接由前n项和求通项.例如，人教 A 版教材第四章第 24 页练习 2，湘教版普通高中教科书数学选择性必修第一册（以下统称“湘教版教材”）第一章习题 1.2 第 10 题第(1)小题.而在历年高考试题中，也设有非等差(比)数列首先利用1nnnaSS进行
18、转化，统一为na或nS的递推关系后求解的试题，如 2016 年全国卷理科第 17 题，2018 年全国卷理科第 14 题，2021 年全国乙卷理科第 19题等.5.5.利 用 错 位 相 减 等 方 法 求 和 常见数列求和方法有公式法、分组求和法、并项求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等，求和时并不一定单一使用某种方法。倒序相加法、错位相减法、裂项相消法技巧性较强，适用类型均有限制，倒序相加法适用于与两端等距的两项和为定值的数列；错位相减法适用于等差数列与等比数列对应项乘积构成的新数列；裂项相消法适用于通项可裂为新数列两项之差的数列。裂项相消法需要构造新数列 nc，恰使nm kmac
19、c，通过相互抵消使数列na的前n和为新数列 nc有限几项之和.构造新数列 nc是学生的主要困难，历年高考试卷中有很多用裂项相消法求和的试题，是学生复习过程中的重点方法，但从 2022 年高考试题来看，对裂项相消法的考查有弱化趋势，淡化新数列的构造技巧，趋于常规.因此，复习中掌握主要的裂项技巧即可.使用裂项相消法求和时，需要弄清相互抵消的规律，不能盲目认为只剩下第一项和最后一项，例 4 第(2)小题即是考查裂项相消法的常规题型.普遍来说，错位相减法的理解和运算都具有一定难度，但是方法、步骤明确，多数学生都可以掌握.一般地，如果数列na是等差数列，nb是等比数列，那么求数列nna b的前n和时可以
20、用错位相减法.方法是和式两边同乘以等比数列 nb的公比，与原和式相减转化为等比数列求和，进而化简可得.例例 5 5（天津卷 18）设na是等差数列，nb是等比数列，且1122331ababab.（1）求na与nb的通项公式；（2）设na的前n项和为nS，求证：1111nnnnnnnSabSbS b；（3）求2111nkkkkkaab.解：解：（1）设na的 公 差 为d，nb的 公 比 为q，则11(1),nnnand bq.由22331abab，得2(1)1,(12)1.dqdq因 为0q，故 解 得2,2.dq 所以121,2nnnanb.（2）(方法 1)由（1）及相关公式，易知 221
21、1111(),(1),21,2,22nnnnnnnnaanSnSnanbb，所以212111()(1)21 2(42)2nnnnnSabnnnn.因为 222121211112221 2422nnnnnnnnSbS bnnnnnn，所以nnnnnnnbSbSbaS1111.即证.(方法 2)由（1），知120nnbb.要证1111()nnnnnnnSabSbS b成立，即证1112nnnnnnnSabSbS b成立，即证1112nnnnSaSS成立，即证11nnnaSS成立.而11nnnaSS显然成立，所以1111()nnnnnnnSabSbS b.(方法 3)由11nnnaSS，得 左边11
22、1111(2)2nnnnnnnnnnnnnnSabSSSbSSbb SS b 11nnnnSbS b右边.即证.（3）(方法 1)令 11121121 2nnnnnnncaabnn ，则12,2,nnnnncn为奇数,为偶数.2112342121132124224224211232212222.nkkkknnknnnnaabccccccccccccn LL所以，令2421232212nnQnL，则12114413nnkkkknkaabQ；4622+241232232212nnnQnnL.所以 4124622222221432222222212421214nnnnnQnnL，所以2265 220
23、9nnnQ.所以22231121165 22031 28444413939nnnnnkkkknknnaa bQ，即2321131 2819nnkkkkknaa b.(方法 2)令 11121121 2nnnnnnncaabnn ，当kn2时，kkkkkc2122221414；当12kn时，kkkkkkc2221221223414.所以kkkkkkkkkcc42222212222212.而212112342121(1)244424nknkkknnkaa bccccccn.令nnnT42444221 ，则2314244422424nnnTnn.由，得 21231111141438244424822
24、41426432248824.3333nnnnnnnnTnnnn 所以23211(31)28(1)9nnkkkkknaa b.【评析】此题着重考查分组求和法、错位相减法等数列求和方法，以及分类讨论思想和逻辑推理、数学运算等核心素养.第（1）小题通过基本量建立方程组运算求解即可.第（2）小题为证明题，其中涉及11,nnnnna SSb b等 5 个量，如何利用它们之间的关系完成证明，需要学生认真分析、选择方法.方法 1 用基本量表示这 5 个量，统一转化为关于基本量的表达式，化简比较即证；方法 2 利用分析法，从所证结论出发，易推出显然已知的条件11nnnaSS，从而得证；方法 3 在观察、分析
25、的基础上利用基本量之间的关系，即111,2nnnnnaSS bb进行转化，从左至右或从右至左，从消元的角度利用上述两种关系选择消去 5 个量中任何一个量均可证明.三种方法都需要学生从数学思想与方法的角度进行策略性选择，盲目运算容易入歧途.同时，不同方法的选择运算量不同，体现了学生不同层次的数学素养.第（3）小题着重考查学生用错位相减法进行数列求和.但求和符号的理解和(1)k给学生造成了干扰.尤其是对于(1)k，部分学生不知道要怎么处理，即使掌握了错位相减法也可能无法入手.(1)k对k分为奇数和偶数两种情形解决，当然也可把1(1)2kk 作为整体1(2)k处理，从而用错位相减法求和，不过此时需要
26、两次使用错位相减法求和.运算量较大，学生极可能因为运算繁复而放弃或出现运算错误.方法 1 和方法 2 是对k分奇数和偶数两种情形后，再分别采用分组求和法与并项求和法，大幅减少运算量，特别是并项求和法将问题转化为用错位相减法求新数列的和这一常规问题.不同方法的选择可区分学生不同的数学素养水平，这是一道考查基础性和综合性的优秀试题.错位相减法源自等比数列前n项和的推导，教材例、习题亦有多题应用此法.例如，人教 A 版教材选择性必修第四章复习参考题第10 题，北师大版教材选择性必修第二册第一章复习题一 C 组第 1 题.裂项相消法和错位相减法求和一直是高考考查的重点，在历年高考中均有体现.例如，20
27、20 年全国卷理科第 17题，2020 年全国卷理科第 17 题，2020 年天津卷第 19 题.6.6.数 列 函 数 特 性 的 应 用 标准（20172017年版20202020年修订）突出了数列的函数特性，将数列作为函数主线的内容之一，北师大版教材将等差（比）数列的函数特性单列成节，可见其重要性。从20212021年和20222022年全国新高考、卷可以看出，不再注重数列知识的覆盖比例，20212021年全国新高考卷和20222022年全国新高考卷在选择题和填空题中未考查数列内容，20222022年全国新高考卷更注重考查数列模型的应用和数列作为函数的特性。由此说明，新高考数学不再把数列
28、内容作为独立知识板块考查，而是将其融入函数主线，数列内容考什么、怎么考、考多少，取决于函数主线考查和数学素养考查的需要。例例 6 6（北京卷 6）设na是公差不为 0 的无穷等差数列，则“na为递增数列”是“存在正整数0N，当0nN时，0na”的（）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 解：解：设数列na的公差为d，则110naandd.若na为递增数列，则0d.令0na，有1dand.令10daNd，则存在正整数0N，当0nN时，0na.所以“na为递增数列”是“存在正整数0N，当0nN时，0na”的充分条件.若存在正整数0N，当0nN
29、时，0na，则当0nN时，11adn恒成立.当10a 时，101an，即0d；当10a 时，101an且101an.要使11adn恒成立，则须0d.综上，若存在正整数0N，当0nN时，0na，则有0d，即na为递增数列.所以“na为递增数列”是“存在正整数0N，当0nN时，0na”的必要条件.综上，“na为递增数列”是“存在正整数0N，当0nN时，0na”的充分必要条件.故选择选项 C.【评析】此题着重考查数列的单调性和简易逻辑知识，要求学生理解数列单调性和函数单调性的共性与差异.同时，创新问题呈现方式考查了学生的数学语言理解表达能力和数学抽象核心素养.多数学生对严格的推导存在困难，但作为选择
30、题，此题在正确理解数列单调性的基础上不难解决.若na为递增数列，即使首项为负，在一直递增的情况下，数列的项一定会变为正数，且趋于无穷大，因此“存在正整数0N，当0nN时，0na”，满足充分性.在判断必要性时，不易正面推断，但可以采用反证法.如果数列na是递减数列，数列后面的无穷多项终会减为负数，出现矛盾.新教材相较旧教材更为强调数列的函数特性，例、习题中判断函数单调性、求最大（小）项问题比例有所增加.例如，北师大版选择性必修第二册第一章习题 1-3A 组第 4 题寻找等比数列为递减数列的充分条件；湘教版选择性必修第一册第一章 1.2.2 练习第 2 题关于数列单调性判断的真命题选择和 1.3.
31、2 练习第 2 题关于等比数列为递增数列的充要关系判断.类似的高考试题有 2021 年全国甲卷理科第 7 题.7.7.运用数学思想突破思维阻碍点 20222022年高考数列试题给人的直观印象是非常规试题较多，非常规试题无法直接套用复习过程中反复使用、训练的套路，需要学生深刻理解问题、深入分析条件、综合运用知识方法解决问题，这是考查学生关键能力和数学素养的重要载体，也是高考考查要求综合性和创新性的体现。面对非常规试题，学生直接套用所学套路，当解题受阻便束手无策，此时可用数学思想调整解题策略，突破思维阻碍点。例如，当正面解决问题有困难时，可以考虑解决反面问题或用反证法；当问题的一般情形不易解决时，
32、可以考虑特殊情形或取特值、特例发现规律；当问题分析较为困难时，可以考虑画图直观化发现某些本质关系（数形结合思想）；当问题解决具有不确定性时，可考虑分多种情形逐一解决（分类讨论思想）；等等。综观20222022年高考数列压轴试题或其他内容压轴试题，大都有反证法或反证思维的影子，由于推出矛盾的不确定性，需要学生具有发散思维，在深入分析、多次尝试后确定推出的矛盾，这又需要学生具备聚合思维和批判性思维，而这恰恰是创新能力的主要体现。下面着重举例说明反证思想在学生调整解题策略解决问题中的重要性。例例 7 7（北 京卷 15）已 知 数列na的 各 项 均为正 数，其 前n项 和nS满 足9(1,2,)n
33、naSn.给出下列四个结论：na的第 2 项小于 3；na为等比数列；na为递减数列；na中存在小于1100的项.其中所有正确结论的序号是 .【评析】此题是对数列知识的综合考查，着重考查学生的基本数学思想、逻辑推理能力和创新能力.对于条件9nna S，可以利用12nnnaSSn转化为递推关系199nnnaaa，不难判断结论的正误，但是对结论的判断难度较大.依据正难则反原则，考虑反证法，假设结论不成立，后推出矛盾.由于囿于日常训练的定式思维，学生的反证思维和反证意识不足，解题受阻后不能及时调整策略，这是其未能正确判断的主要原因.解解：由题意可知，nN，0na.当1n 时，219a，得13a；当2
34、n 时，由9nnSa，得119nnSa.两式作差，得199nnnaaa.所以199nnnaaa，则2293aa.整理，得222390aa.因为20a，所以解得235332a.所以正确.假设数列na为等比数列，设其公比为q，则2213aa a，即2213981()SS S.所以2213SS S.可得22221111aqaqq，解得0q.不合乎题意，故数列na不等比数列.所以错误.当2n 时，1119990nnnnnnnaaaaaa a，可得1nnaa.所以数列na为递减数列.所以正确.假设对任意的nN，有1100na，则10000011000001000100S.所以10000010000099
35、11000100aS.与假设矛盾，假设不成立.所以正确.故答案为.优秀试题分析 PART.02 例例 8 8（全国新高考卷3）图 1 是中国古代建筑中的举家结构，,AA BB CC DD是桁，相邻的桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图 2 是某古代建筑屋顶的示意图，其中1111,DD CC BB AA是举，1111,OD DC CB BA是相等的步，相邻桁的举步之比分别为111112311110.5,DDCCBBAAkkkODDCCBBA.已知123,k kk是公差为 0.1 的等差数列，且直线OA的斜率为 0.725，则3k的值为（）.图 1 图 2（A）0.75 （B）0.8 （C）0.
36、85 （D）0.9【评析】此题是以中国古建筑为背景，渗透数学文化、数学审美，引导学生感受数列模型的应用价值.考查了等差数列和直线斜率的基本知识，对学生数学符号语言和图形语言的理解能力要求较高.学生需要结合图形理解条件和问题、综合运用相关知识解题.题中主要条件有三个：111112311110.5,DDCCBBAAkkkODDCCBBA；123,kkk是公差为 0.1 的等差数列；直线OA的斜率为 0.725.如何结合所学知识把这三条件结合起来是学生解题的难点，对此，可以从直线OA的斜率表达着手.根据斜率公式可知，直线OA的斜率即为点A纵坐标与横坐标之商，而由图形可知，点A的横坐标等于线段1111
37、,ODDCCBBA之和，点A的纵坐标恰 等 于 线 段1111,DD CCBBAA之 和，所 以11111111OADDCCBBAAkODDCCBBA.后 由 条 件111112311110.5,DDCCBBAAkkkODDCCBBA代入，可得方程30.530.30.7254k（若令11111ODDCCBBA可减少运算量），后解之可得.尽管此题具有一定的综合性，亦无套路可用，需学生认真分析、选择方法，但解题路径比较清楚.不过也有很多学生因为不能正确理解题意而无法入手，还有部分学生受条件111112311110.5,DDCCBBAAkkkODDCCBBA的干扰，认为条件告知了直线,OD DC C
38、B BA的斜率，然后想尽办法寻找这四条直线的斜率与直线OA斜率之间的关系建立方程求解，结果陷入困境.此题情景新颖，具有基础性和综合性，虽然难度较大，但区分度较高，利于考查学生的数学抽象素养和直观想象素养.解：解：设11111ODDCCBBA，则111213,CCk BBk AAk.依题意，有31320.2,0.1kk kk，且111111110.725DDCCBBAAODDCCBBA.所以30.5 30.30.7254k.故30.9k.故选择选项 D.例例 9 9（全国新高考卷17）已知na是等差数列，nb是公比为 2 的等比数列，且223344ababba.（1）证明：11ab；（2）求集合
39、1|,1500kmk baam中元素的个数.解：解：（1）（方法 1）设数列na的公差为d.由条件，得1111111122428,3,adbadbadbbad即11122410,.dbadb 将代入，得11124 210abb.化简，得11ab.即证.（方法 2）设数列na的公差为d.由条件，得1111111122428,3,adbadbadbbad即11122410,.dbadb 由，得12db.代入，得124102dad.化简，得12da.所以112dab.即证.（方法 3）由2244abba，得2424aabb.则有32224abb，即3252ab.将3252ab代入2233abab，得
40、2222522abbb.化简，得2232ab.因为2a为13,aa的等差中项，即2132aaa，所以21235222bab.化简，得1212ab.因为212bb，所以11ab.即证.（2）由（1），知112dba.由1kmbaa可得111121kbamda，即122km，亦即221,500km.解得210k.所以满足等式的解2,3,4,10k，故集合1|,1500kmk baam中的元素个数为102 19.【评析】此题条件是等差等比数列满足的连等式，可以建立三个方程.第（1）小题要求证明11ab，通过连等式建立方程组求解即可.连等式中有 6 个未知量，即使用基本量表示也还有11,a b d三个
41、未知量，无法求出未知量的具体值.事实上，方法 1 和方法 2 都是用数列的基本量表示连等式建方程组，方法 1 是消去无关量获得1a和1b，从而得证；方法 2 是把1a，1b作为未知量，视d为常数，分别求出1a和1b，即可作出判断.两种方法看起来差不多，但其存在本质上的差别，方法 1 是消元思想，方法 2 是主元思想和中间量表示法.方法 3 的本质同方法 2，是用第 3 个量去分别表示1a和1b，从而作出判断，但没有用基本量，直接用2b表示1a和1b.依据这三种方法的本质，从不同角度选取不同的量可以获得多种形式的解题过程.例如，连等式得到的三个方程选择两个方程建方程组有 3 种形式，中间量可以是
42、2323,d aabb等，用它们分别表示1a和1b仍然可证，选取不同的量就得到不同的解题过程.因此，第（1）小题的求解看似简单，但是有多种思路，也反映学生不同的素养水平.第（2）小题的问题呈现方式有所创新，表面看似关于集合的问题，但实际上是对数列和不等式等知识的综合考查，体现了高考考查要求的综合性，也考查了学生对集合语言的理解和数学抽象素养.不能正确理解题意和无法求解不等式212500k是学生的主要问题.不等式212500k是含指数式的超越不等式，500 无法表示成 2 为底的幂值，不能直接利用指数函数的单调性求解，需要对 500 附近的 2 为底的幂值进行估算，即8925002.进而将不等式
43、212500k等价转化为28122k，后用指数函数单调性转化为指数的不等关系，从而解得210k.复习备考建议 PART.3 行业PPT模板http:/ “把握数学本质，启发思考，改进教学”是标准（20172017年版20202020年修订）的基本理念之一，从20222022年高考数列试题也可以看出，关于数列性质使用和递推求通项的技巧考查有所弱化，回归到对数列的基本概念和函数属性的考查，多数试题通过基本量运算即可解决。因此，在高考数列复习中，不必大量机械训练等差（比）数列性质的灵活运用，以及用数列递推公式求通项的不常用的特殊技巧（如特征根法、不动点法等），而是要注重回归基础，深刻理解数列的相关概
44、念，掌握基础知识和基本方法（等差或等比数列的主要性质，常用的求和方法，以及基本的递推求通项的技巧）。2.2.掌握基本方法，培养解题思维习惯 对于 2022 年高考数列试题，学生未能正确解题的主要原因不在于学生没有掌握基本方法，而是没有深刻理解方法并正确使用，只是机械套用方法步骤解题，未关注方法适用的类型和条件.例如，利用1nnnaSS转化问题时，没有注意公式适用条件2n，也没利用1n 特殊情形求1a并检验通项公式；在公比q未知的情况下使用等比数列前n项和1(1)1nnaqSq时，没有注意1q 的条件；在使用累加法、累乘法、裂项相消法时，没有认真观察和分析相约、相消规律，受思维定式影响直接保留第
45、一项和最后一项而导致错误；忽略等比数列公比不为 0 的条件，等等.因此，在高三数列复习过程中，教师要重视培养学生正确使用基本方法的思维习惯.例如，利用1nnnaSS公式求通项时首先考虑1n 的特殊情形；使用1(1)1nnaqSq首先判断公比q是否可以取 1；使用累加法、累乘法、裂项相消法时，至少写出前三项和后两项寻找规律；等等.粗心致错不是教师多强调几次或学生背一背易错点能解决的，只有形成良好的、有序的正确解题思维习惯，才可能一定程度上克服粗心.3.3.重视函数内容的学习，强化函数与数列的综合应用 标准将数列归为函数主线内容，要求学生感受数列的函数特性和数学的整体性，以及数列模型在实际生产、生
46、活中的应用。基于标准，各版本新教材在不同程度上强化了数列的函数特性，在例、习题中可见一斑。从近几年新高考中的数列试题来看，加大了对数列的单调性、最大（小）项或最值和数列的周期性等与函数性质相关问题的考查力度，这些问题的解决与数列的学习有关，但更与函数、不等式的学习密切相关。数列内容的考查服从函数主线与数学素养考查的需要。因此，高考复习过程中要重视函数内容的学习，重视函数内容与数列内容的融合应用，重视数列模型的实际应用。4.4.克服题型模式的思维定式，用数学思想引领解题方向 新高考命题从“知识立意”“能力立意”转向“价值引领，素养导向，能力为重，知识为基”的综合评价体系，数学学科高考命题重视考查
47、学生的理性思维能力和数学核心素养。刷题教学重视题型归纳和解题套路训练，而忽视了数学思想的渗透和理性思维能力的培养，很难应对新高考。20222022年全国新高考数学卷被评为“历史最难”，凸显了刷题教学与素养导向命题的冲突与差距。不仅是高考数列内容复习，在所有内容的复习过程中，教师都应该注重数学思想在解题中的引领作用，特别是面对非常规试题或复杂情境试题时，要引导学生利用数学思想调整解题方向和解题策略，在不断试错中寻找解题路径，进而提升理性思维能力。数学解题过程大致可以划分为四个阶段：理解题意、探求思路、书写解答、回顾反思。每一个阶段都至关重要。理解题意就是弄清问题，准确把握或翻译已知和所求；探求思
48、路就是在弄清题意的基础上，探索已知与所求之间的联系，特别是分析问题本质，关注数学思想与方法的运用；规范书写解答不仅是正确解题的重要保证，也是理清思维逻辑顺序的重要过程。回顾反思是优化解法，提炼处理“类问题”的经验，提升迁移能力的至关重要的环节。很多学生会忽视这一环节，所以教师要积极引导学生回顾反思解题的过程，让学生在原问题的基础上站得更高、看得更远。讲题例习题讲解 理解题意 思路探求 书写表达 回顾反思 审什么，怎么审 思什么，怎么思 探什么，怎么探 写什么，怎么写 会用数学的眼光看题，会用数学的思维想题，会用数学的语言写题，会用数学的思想品题。模拟试题赏析 PART.4 行业PPT模板http:/ （B）73 （C）12463 （D）4621 答案：C.2.（多选题）已知数列na满足11a，*11ln(1)()nnnaaanN，则（）.（A）201a （B）1na （C）1nnaa （D）01na 答案：ACD.3.已知数列na和nb满足：12a，11b，13144nnnaab，13144nnnbba，其中*nN.（1）证明：数列nnab是等比数列；（2）若3nnncab，求数列nnc的前n项和.答案：（1）略；（2）2123342nnnn.正如章建跃理事长说：讲定理，更要讲道理；讲解法，更要讲想法。谢谢观看 汇报人：张晓斌
