1、紧扣教材关注本质彰显素养20222022年高考年高考“函数与导数函数与导数”专题解题分析专题解题分析报告人：张xx目录01020304函数与导数解法赏析函数与导数复习建议高考函数与导数试题特点分析函数与导数优秀试题赏析PART.01高考函数与导数试题特点分析高考函数与导数试题特点分析I love you more than Ive ever loved any woman.And Ivewaited longer for you than Ive waited for any woman.高考函数与导数试题特点分析 2022年高考函数与导数考题仍以选择题、填空题、解答题的形式出现，其中全国新课
2、程卷继续尝试考查多项选择题，试题主要围绕函数的概念和图象、函数的表示方法、函数的基本性质、函数与方程、函数与零点、及函数的应用等，重点围绕两域四性 涉及的主要考点有九个方面：函数的图象与函数的奇偶性用导数研究函数的单调性、极值或最值；函数周期性与参数范围问题；导数的几何意义，求曲线切线的方程；函数的零点讨论；用函数的单调性比较实数大小；利用函数证明不等式或求不等式的解；含参函数的参数对函数性质的影响及参数的变化范围；函数模型的应用 涉及的思想方法与关键能力有八个方面：数形结合思想；分类讨论思想；函数与方程思想;等价转化思想；数学抽象能力;数学运算能力；直观想象能力；逻辑推理能力 考查方式往往一
3、大二小，分值约为25分左右（全国新课程I 卷略多），全国新课程I，II卷、甲卷（理）、乙卷（理）、北京卷、天津卷、浙江卷均以函数与导数压轴高考函数与导数试题特点分析1函数的概念和性质 函数的概念和性质部分主要考查三个方面：函数概念的理解；对函数二域四性（单调性、奇偶性、周期性、对称性）的综合处理；运用基本初等函数的性质解决简单的不等式问题 x 1f x x3例 1（2022 全国新课程 I 卷 10）已知函数，则（）有三个零点 f xf xA有两个极值点B的对称中心 D直线 0,1y f x y f x是曲线 的切线y 2xC点是曲线高考函数与导数试题特点分析【目标解析】：该题考查利用导数研究
4、函数的单调性、极值；利用导数求函数的切线；函数的对称性，考查学生对基本概念的理解和应用，同时考查学生的逻辑推理和数学运算素养,33333 f x,上单调递增，在,上单调递减，即 x【解法分析】：求导可得在，3333332 39 f x f x f x，的极小值f 10是的两个极值点，故 A 正确；因为三次函数的极大值332 3 1 0 f x 0,1，所以点 是曲线f fxf x2，所以函数只有一个零点，故 B 错误；因为39y f x 2x 1，又 ，当切点为1,1f 1 f 1 1时，切 f x 3x 1 2的对称中心，故 C 正确；令，可得线为 y 2x 1，当切点为时，切线为y 2x
5、3，故 D 错误故答案选 AC1,1【试题分析】：该题为常见三次函数性质的探讨，各版本教材都对三次函数作了多个维度的探究，本题来 0,1g x x x向上平移一个单位的角度求3源于教材属于简单题对于函数有对称中心解也可以从奇函数高考函数与导数试题特点分析11 2 【类题赏析】：（2022 北京卷 4）己知函数 f x，则对任意实数 x，有（）x A.f x f x 0 B.f x f x 01 f x f x D.f xf x 1C.31f(x)1 x【类题赏析二】（2022 北京卷 11）函数的定义域是_x 2,x 1,x2 1 2 f x 【类题赏析三】（2022 浙江卷 14）已知函数
6、f f则 _；若当1x 1,x 1,xxa,b时，1 f(x)3，则 ba的最大值是_高考函数与导数试题特点分析 f xf xg xf x例 2（2022 全国新课程 I 卷 12）已知函数及其导函数的定义域均为 R，记，若 3 2 g 2 xf 2x，均为偶函数，则（）1 2 f 0 g 1 g 2D0g0f 1f 4AB C【目标解析】：该题以抽象函数为载体，考查函数的对称性和周期性，考查学生的逻辑推理、直观想象和数学运算素养 3 2 3 2 3 2 3 2f 2x f 2xf x f x f 1 f 4，故 C 正确；则【解法分析】：由已知有 即 ，则 3 2 3 2 3 2 3 2 3
7、 0 f x f xg x g xg g 3 x g x，即，所以 ，则 2 1 3 2 0，g 4 x g xg 3 xg x 2g x 1 g xggg 1 g 1g 2，即，则 ，故 B 2 f x f x f x（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定C正确，D 错误；若函数满足题设条件，则函数的函数值，故 A 错误故答案选 BC高考函数与导数试题特点分析 f xf xg xf x例 2（2022 全国新课程 I 卷 12）已知函数及其导函数的定义域均为 R，记，若 3 2 g 2 xf 2x，均为偶函数，则（）1 2 f 0 g 1 g 2D0g0f 1f 4AB C 【试题分析】
8、：该题考查了多个函数性质：如可导函数原函数关于直线 x a对称，则导函数关于点 a,0 对 称；一个函数既是中心对称，又是轴对称，那么该函数是周期函数等其实三角函数 f x sin x，g x cos x 具有类似的性质，本题的本质是基本初等函数的抽象化，因此学生可以在理解题意的基础上，构造一个具体函数，使其满足题设条件，通过这个具体函数得出相应判断，如取 f x sin x 1，此时 ，g 2 ，故 D 错误，排除 AD，答案只能是 BCf 0 1，故 A 错误；g x cos x，g 1高考函数与导数试题特点分析 f x g 2 x 5定义域均为 R，且，f xg x【类题赏析】：（202
9、2 全国乙卷理 12）已知函数 ，22g xf x 47y g x g 24 f k（若的图象关于直线 x 2 对称，则）k 1222324DA 21BC f x【类题赏析二】：（2022 全国新课程 II 卷 8）若函数的定义域为R，且22 f 1 1 f k（f x yf x yf x f y，则）k1A 3B2C0D1高考函数与导数试题特点分析2函数图象 函数图象主要考查学生作图、识图、用图的能力，突出数与形之间关系的考查，需要学生在研究函数性质的基础上研究函数图象，选择题中的图象问题常常可用特殊点、函数性质法和极限思想等方法来解决 2 2cos x在区间 ,的图象大致为（例 3（202
10、2 全国甲卷理 5）函数 y 3x3x）ABCD高考函数与导数试题特点分析 2 2cos x在区间 ,的图象大致为（例 3（2022 全国甲卷理 5）函数 y 3x3x）ABCD【目标解析】：该题为给式识图题，以指数函数三角函数为载体，通过研究函数性质确定函数图象的变化趋势，考查学生逻辑推理、直观想象、数学运算等素养 2 2 f x为奇函数，排除 BD；3x 3 x cos xx,fxf xf x【解法分析】：令，则，所以 2 x 0,cos x 0 f x，所以 时，3x3x 0，0，排除 C故选 A又当【试题分析】：解决给式识图题一般有两种思考方式：一是通过描特殊点，采用排除法确定正确选项
11、，如 f 1 0 f 1 0排除 B、C、D 选项；二是研究函数性质，由性质找到符合条件的函数图象，如本题，本题通过研究函数的奇偶性判断函数图象的对称情况高考函数与导数试题特点分析【类题赏析】:（2022 全国乙卷文 8）如图是下列四个函数 3,3中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（）x32 3x1x3 x1y y A yC yBDxx22xcos x12 sin x1x2x2高考函数与导数试题特点分析3函数、方程、不等式 函数、方程、不等式主要考查函数、方程、不等式相互转化，要求考生能用函数的观点看待方程与不等式，就是用动态的观点看方程与不等式，将方程与不等式看成函数变化过程中的一个特
12、殊状态对函数、方程与不等式的考查，多以基本初等函数为载体，考查实数比较大小，函数零点等问题31321414a，b cosc 4 sin例 4（2022 全国甲乙卷理 12）已知 b a c，则（）a b c D a c bA c b aBC【目标解析】：该题以三角函数为载体，考查三个实数比较大小，通过构造恰当函数解决问题，考查特殊到一般、转化与化归等数学思想，渗透了数学运算、逻辑推理等素养高考函数与导数试题特点分析31321414a，b cosc 4 sin例 4（2022 全国甲乙卷理 12）已知，则（）b a ca b c D a c bA c b aBCc11 1c 4 tanx 0,t
13、an，即 1，所以【解法分析】：因为，因为当 时，sin x x tan x，所以b4 2 4 4b1 2 ，f x sin x x 0，所以 c b；设 f x cos xx 1，x 0,f x0,在上单调递增，则2 1 4 f f(0)0c b a故选 A，即b a，所以 2 【试题分析】：当 x 0,时，sin x x tan x 是一个常见的不等式，可通过单位圆或构造函数求导得 x 0,证，人教 A 版选择性必修二 97 页练习 1 为证明不等式 sin x x，人教 A 版必修一 256 页有余L，因此试题源自教材而高于教材，解题过程中构造的x2x4x6 弦函数的泰勒展开公式：cos
14、 x 12!4!6!12函数 2 x 1正是源自余弦函数的泰勒展开式f x cos x高考函数与导数试题特点分析10，a 10m11 b 8 9，则（）m【类题赏析】：（2022 全国甲卷文 12）已知9m，a b 0 Cb a 0Db 0 aA a 0 bB高考函数与导数试题特点分析4函数模型及其应用 数学建模主要考查学生的数学建模能力，以及分析问题和解决问题的能力数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决实际问题高考中常从以下几个方面进行考查：用函数图象刻画实际问题的变化过程；用已知函数模型解决实际问题；构造函数模型解决实际问题例 5（2022 北京卷 7）在
15、北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T 和lg P 的关系，其中 T 表示温度，单位是 K；P 表示压强，单位是 bar 下列结论中正确的是（）A当T 220，P 1026时，二氧化碳处于液态P 128B当T 270，时，二氧化碳处于气态P 9987C当T 300，时，二氧化碳处于超临界状态P 729时，二氧化碳处于超临界状态D当T 360，高考函数与导数试题特点分析例 5（2022 北京卷 7）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作
16、出了贡献如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T 和lg P 的关系，其中 表示温度，T单位是 K；P 表示压强，单位是bar 下列结论中正确的是（）A当T 220，P 1026时，二氧化碳处于液态P 128B当T 270，时，二氧化碳处于气态P 9987C当T 300，时，二氧化碳处于超临界状态P 729时，二氧化碳处于超临界状态D当T 360，【目标解析】：该题通过实际背景的铺设，考查对数运算，考查学生数学建模素养【解法分析】：当T 220，P 1026时，lg P 3，此时二氧化碳处于固态，故 A 错误，同理可判 B、C 错P 7292 lg P 3，故此时二氧化碳处于超临界状态，故
17、 D 正确故选 D误；当T 360，时，因【试题分析】：该题联系实际，试题本身难度不大，但由于背景设问新颖，具有一定的迷惑性，需要学生理解题意，读懂表格，有一定的数学建模能力及一定的估算能力高考函数与导数试题特点分析5导数的运算和几何意义 导数的运算和几何意义主要考查以下几个方面：导数的基本运算、已知切点的切线方程问题、未知切点的切线方程问题、两条曲线的公切线问题y ln|x|例 6（2022 全国新课程 II 卷 14）写出曲线过坐标原点的切线方程：_，_【目标解析】：该题以偶函数为背景主要考查导数几何意义的应用，考查分类讨论思想，数学运算素养【试题分析】：曲线切线问题需要厘清在某点的切线与
18、过某点的切线的区别，本题只要常规分类讨论，设线代点即可，属于简单题高考函数与导数试题特点分析 y f x x,f x在点1 1【类例赏析】：（2022 全国甲卷文 20）已知函数 f xx3x g x，x2a，曲线处y g x 的切线也是曲线x 1的切线（1）若，求 a；（2）求 a 的取值范围1y (x a)ex【类题赏析二】（2022 新高考卷 15）若曲线有两条过坐标原点的切线，则 a 的取值范围是_ef(x)ln x(x 0)【类题赏析三】（2022 浙江卷 22）设函数2x f x（1）求的单调区间；y f x x,f x,x,f x,x,f x 处的切线都经过点(a,b)3a,bR
19、（2）已知，曲线上不同的三点证11223明：1 a2 ea e 0 b f(a)1（）若，则；高考函数与导数试题特点分析6导数与函数零点问题 函数零点问题主要考点为：直接求函数的零点，求函数零点的个数；已知函数零点个数求参数的范围；已知函数零点的范围求参数的范围通常的解决策略为：通过研究函数单调性和极值，并结合零点存在定理判断零点个数，可采取分类讨论，半参分离和全参分离等常见方法1 f x axa 1 ln x例 7（2022 全国乙卷文 20）已知函数x f x 恰有一个零点，求 的取值范围f xa（1）当 a 0时，求的最大值；（2）若【目标解析】：该题考查利用导数研究函数的单调性，利用导
20、数求函数的极值、最值，已知零点个数求参数的取值范围等问题，考查分类讨论的思想，考查学生逻辑推理和数学运算素养高考函数与导数试题特点分析7导数与函数的单调性和极值（最值）导数应用的常见考点为：求函数的单调区间和函数的极值（最值）、极值点，函数的极值与函数的图象，已知函数极值（最值）求参数范围，函数极值（最值）与不等式证明等问题x xx xf x 2ax e x2 a 0 a 1分别是函数（且）的极小值点和极例 8（2022 卷全国乙卷理 16）已知x x和12大值点若，则 a 的取值范围是_12【目标解析】：该题主要考查已知函数的极值求参数的取值范围，考查数形结合、分类讨论等思想，考查学生逻辑推
21、理和数学运算素养高考函数与导数试题特点分析【解法分析】：f x 2 ln a ax 2e xx,x U x,，由已知可得 时，1 2 f x 0时，2 f x 0 x x,x，当，若 a 1，当 x 0 时，2 ln a a x0，1 f x 0 与 矛2e x 0，则此时 f x 0，取 x min x,0，则当 x x 时0f x 001盾，故 a 1不符合题意；xx2（方法一）若0 a 1，则方程 2ln a ax 2e x 0 的两个根为，即方程1y e x的图象有两个不同的交点，如图所示：函数ln a ax e x 的两个根为，即函数xxy ln a ax与函数12y g x ln
22、a a x x0 0,0，因为过，故有x,ln a ax0y lna ax02x在点处切线方程为0011e1ln a ax x ln2 a axx 0 a 1或者，解得，则切线的斜率为ln2，所以e ln2 a e，解得00a aln e lna2a0ln a1 1 e 1 a e，又0 a 1，所以a 1综上所述，的范围为 a,1 e高考函数与导数试题特点分析ex ln a e x gx a f x 2 ln a ax 2e x 2 ln a axxxx（方法二）若 0 a 1，有两个零点，令，则在12lnae2e 1 ln lnaax0 f x g x a g x 0上单调递增，令，则0
23、xlna,在2，即 x0，ln alnalna 21 ln lna1 上单调递减，所以0,xx,f x 2lna ax0 2ex 0上单调递增，在即 x，因为0000lnalna1eln a 0，所以1 ln lna 21，即 lnlna 0 0 ln2a 1，解得a 1 或者1 a e，又因为0 a 1，所以 21 1,1 a 1a综上所述，的范围为 e e 高考函数与导数试题特点分析 f x 2 ln a ax 2e x 0 ，得（方法三）若0 a 1，f x 2 ln a ax 2e xxx有两个零点，由12axln axexln aeeetete e a 1，令t xln a，则y e
24、，结合0 a 1有两个不同的根，由函数，知xln a ln2aln2a ttln a21 1,1a得，综上所述，的范围为 e e 【试题分析】：该题以函数极值为考点，考查了参数对极值的影响，题型较为常见，但由于函数由指数与y exy a aln 的图象有两个公共x多项式构成，因此计算较为复杂方法一将导函数转化为一次函数与点问题，体现等价转化和数形结合思想；方法二结合极值概念直接研究导函数的零点情况，需要扎实的y a 与二次函数 y ex的增长速度的快慢比较，结合题意原函数先减后增再减也能判断a 1时不满足题意x2数学运算素养；方法三运用函数同构思想通过指数函数高考函数与导数试题特点分析8函数与
25、导数综合应用 函数与导数综合应用主要融汇其他数学知识如数列、三角等，不等式证明问题是最常见的考查形式，往往需要用分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方法加以解决，综合性较强，以难题居多，解答这类题目，准确求导是基础，恰当分类讨论是关键，合理构造是突破例 9（2022 全国新课程 II 卷 22）已知函数 f x xeax ex f x的单调性；（1）当 a 1时，讨论（2）当 x 0时，求 的取值范围；f xa1111L ln n 1 （3）设 nN，证明：12122 2n2 n高考函数与导数试题特点分析例 9（2022 全国新课程 II 卷 22）已知函数 f x xeax ex f x
26、的单调性；（1）当 a 1时，讨论（2）当 x 0时，求 的取值范围；f xa1111L ln n 1 （3）设 nN，证明：12122 2n2 n【目标解析】：该题考查利用导数研究函数的单调性与最值，利用导数证明数列型不等式等问题，考查了分类讨论、转化与化归等数学思想方法，同时考查逻辑推理，数学运算等素养高考函数与导数试题特点分析例 9（2022 全国新课程 II 卷 22）已知函数 f x xeax ex f x的单调性；（1）当 a 1时，讨论（2）当 x 0时，求 的取值范围；f xa1111L ln n 1 （3）设 nN，证明：12122 2n2 n 的正负为讨论界点是破题关g 0
27、 2a 1【试题分析】：该题三问难度层层递进，综合性强，第二问，以112 ln x x ，当然也可由第二问取 a，则x 0键，第三问抓住问题本质利用不等式当 x 1时，x211212x 2lnt，故 2t lnt t2lnt t 总有x成立，令t e e 1 0 x，则 t 1，t2ex，21即对任意的xextt 1恒成立第三问也可用数学归纳法证明PART.02函数与导数优秀试题赏析函数与导数优秀试题赏析I love you more than Ive ever loved any woman.And Ivewaited longer for you than Ive waited for a
28、ny woman.函数与导数优秀试题赏析2022年的9份试卷中的函数与导数试题琳琅满目，不乏优秀试题，它们聚焦核心内容，突出理性思维，充分考查了学生分析问题解决问题的关键能力.试题设计立意高远，选材鲜活，难度适中，对当前的高中数学教学具有积极的指导意义现选其中四例作一介绍函数与导数优秀试题赏析11 x f x ln a是奇函数，则a_，b _b例 10（2022 全国乙卷文 16）若【题意理解】：两空均为在理解奇函数概念和性质的基础上求参数的取值【思路探求】：从奇函数概念出发，关注其必要条件定义域关于原点对称进而求解11 x11 x f x f x ln aab 0，所【书写表达】：设函数的定
29、义域为 I，由知1 I，故 1 I，因为11 x1111以当 x 1时，必有a 0，所以a ，于是 f x lnb，故f 0 ln b 0，得22 x 121 x1 x1 b ln 2此时 f x lnfxf x，符合题意故答案为：；ln2，在定义域内满足2函数与导数优秀试题赏析11 x f x ln a是奇函数，则a_，b _b例 10（2022 全国乙卷文 16）若【回顾反思】：该题考查奇函数的定义，试题形式新颖，不落俗套如果学生不分析奇函数概念、性质的 f xf x内涵，直接建立方程，通过对数运算，盲目化简求值必将导致繁琐冗长的计算通过分析题目，发现 x 1不在定义域中，因此 x 1也不
30、在定义域中是解决此题的关键，用概念、性质分析试题的结构特征，把握试题的整体结构才能找到合适的破题方法，因此教师要重视教材，要将精力花在帮助学生掌握“四基”上函数与导数优秀试题赏析 x 例 11（2022 北京卷 20）已知函数 f x e ln 1 x y f x 处 切线方程；0,f 0（1）求曲线在点 g x 上的单调性；g xf x0,在（2）设，讨论函数 s t 0,（3）证明：对任意的，f s t f s f t，有【题意理解】：第一问常规的切线方程求解，第二问针对导函数的单调性求解，第三问是简洁新颖的双变元函数不等式证明【思路探求】：第一、第二问常规性思路，第三问利用主元素法，构造
31、函数加以处理函数与导数优秀试题赏析【书写表达】：（1）（略）曲线 在点 处的切线方程为 0,f 0y f xy x21x2 121 ，则 x h x ln 1 xh x 0（2）求导得g x e ln 1 x，令1 xgx 0 0,上恒成立，则21 x 21 x1 x31 x成立，所以 在h x0,上单调递增，则hx h0 1 0，所以在g x 0,上单调递增（3）（方法一）原不等式等价于 f xf s tf sm x g x t g x，由（2）知f tf 0m xf x t上单调递增，所以，所以命题得证 x，（，t 0，令），即证，则 m x m 0 g x g x t g x0,在，求导
32、得 m x m x m 00m x0,，所以在上单调递增，得 m sf s tf sf tm s0（方法二）令，即证 上单调递增，则，因为 m sf s tf sg s t g s0m s0,，所以在 0，命题得证m s m 0f tf 0f tf 0函数与导数优秀试题赏析 x 例 11（2022 北京卷 20）已知函数 f x e ln 1 x y f x 处 切线方程；0,f 0（1）求曲线在点 g x 上的单调性；g xf x0,在（2）设，讨论函数 s t 0,（3）证明：对任意的，f s t f s f t，有【回顾反思】：该题考查函数图象的切线，导数的几何意义，导数与函数单调性，以
33、及利用主元法结合导数工具解决二元不等式的证明问题，三问难度层层递进，第一问、第二问友好地为第三问进行了铺垫，合理确定主元，构造函数是解题关键，考查了转化与化归等数学思想方法，同时考查逻辑推理，数学运算等素养 本题由于s与t的地位是同等的，结构是对称的，任选其一作为主元皆可，有些题目两个变元有所不同，需要用辩证的思维确定主元，在导数的大题复习中，双变量问题所遇较少，考生考场上往往难以完成，但是从转化与化归的思想出发，从不等式到函数的转化，从二元到一元的化归也是“四基”和“四能”的基本体现函数与导数优秀试题赏析 x 例 12（2022 全国新课程 I 卷 22）已知函数 f x e ax 和 g
34、x ax ln x有相同的最小值a（1）求；y f x y g x 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点y b（2）证明：存在直线，其与两条曲线和的横坐标成等差数列【题意理解】：第一问是在相同最小值条件下，求实数a；第二问是三个交点横坐标成等差数列的证明题y f x 【思路探求】：第一问根据最小值相同条件列式求解，第二问首先分析出直线 y b 与两条曲线y g x 和共有三个不同的交点关系式，其次利用同构思想与函数单调性找出横坐标间的关系得证函数与导数优秀试题赏析 x 例 12（2022 全国新课程 I 卷 22）已知函数 f x e ax 和 g x ax ln x有相同的最小值a（1
35、）求；y f x y g x共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点y b（2）证明：存在直线，其与两条曲线和的横坐标成等差数列【书写表达】：1 a 11 1 ln f xf ln a a aln a g xg1 ln a alna（1）（略解），故，整理得到minminaaa21a 11 aa 11 a g a 0 g a，故 在 上单调递减，而 lna lnaga lnaa 00,g(1)=0，设，则，故 a 1 a21 a1 a的解为 a 1综上，a 1函数与导数优秀试题赏析 x 例 12（2022 全国新课程 I 卷 22）已知函数 f x e ax 和g x ax ln x有相同的
36、最小值a（1）求；y f x y g x 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点y b（2）证明：存在直线，其与两条曲线和的横坐标成等差数列（2）由（1）可得 和f x g x的最小值为11当 b 1 x ln x b、ex x b 最多有一个零点，由（）讨论可得1 S x S x，得2当 b 1时，考虑 ex x b 的解的个数、x ln x bexx b S x ex 1的解的个数设，0,S b e 0，而，,0S xS 0 1 b 0b在上单调递减，在上单调递增，所以min S x2 ，S b eb 2b eb 2b 0有两个不同的零点，即ex x b 的解的个数为 设T xx ln
37、 x b，故x 1 T x 1,上单调递增，所以T x T 1 1 b 0，而minT x(0,1)，得在上单调递减，在x T x，有两个不同的零点即T e b eb 0T eb eb 2b 0的解的个数为，x ln x b2函数与导数优秀试题赏析 x 例 12（2022 全国新课程 I 卷 22）已知函数 f x e ax 和g x ax ln x有相同的最小值a（1）求；y f x y g x共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点y b（2）证明：存在直线，其与两条曲线和的横坐标成等差数列11 ，所以h x 在 上单调递增，h x f x g x e设 x ln x 2x x 1 2
38、1 00,h x e2 x，故xx1 1 221 x 0h 1 e 2 0 h，ee3 3 e 3 0,1而，所以3e3e3 e3 e h x0 y by f x与曲线、f xg xby=g(x)使得0，即，故直线有三个不同的交点，从左到右的三00 f x在xxex1 x x ln x eln x0 ln xx 0 ln x 0个交点的横坐标依次为，x，则，由于，结合 上102100010,0 x ln xx ln x ex0 x ex0 ln ex0 x 1，ex0 1，结合g x1,上单调递减，可得；，由于2在10220 x ，根据exex0ln 可得 x x xx x ex1 ln x
39、2x，得证1 2 2 0单调递增，可得12122函数与导数优秀试题赏析 x 例 12（2022 全国新课程 I 卷 22）已知函数 f x e ax 和g x ax ln x有相同的最小值a（1）求；y f x y g x 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点y b（2）证明：存在直线，其与两条曲线和的横坐标成等差数列【回顾反思】：该题先考查函数与导数的基本概念和运算，利用导数求函数的最值，对分类讨论等思想在解题中的灵活运用作了深入考查，同时考查逻辑推理，数学运算等素养，进而在求得 a 1，b 1的基础上进行深度探究，要求学生有严密的逻辑推理能力，敏锐的直观想象能力，该题在数学知识层面、
40、数学能力层面和创新思维层面都进行了很好的考查，具有较好的选拔功能函数与导数优秀试题赏析 x例 13（2022 全国乙卷 21）已知函数 f x ln 1 x axey f x 在点 处的切线方程；0,f 0（1）当 a 1时，求曲线 f x 1,0 0,，（2）若在区间各恰有一个零点，求 a 的取值范围【题意理解】试题以指对数函数为素材，以考察函数零点分布设计而成的一道题目第一问常规性切线方程 f x 1,0 0,，各恰有一个零点理解问题，第二问看似简单，实则需要分类分情况讨论求解对分析是破题关键在区间 e a 1 xx 2 的导数的分子处理成【思路探求】第二问解题主要有两条思路，一是将 f
41、x f x 1 x ex a 1 x 211 x x 2 直接再求导再分类讨论求之，二是将 的导数化成 ，再令1g x e a 1 xf xf xex a 1 x 2 g x 1然后分类讨论求之exPA RT.3函数与导数解法赏析函数与导数解法赏析I love you more than Ive ever loved any woman.And Ivewaited longer for you than Ive waited for any woman.行业PPT模板http:/ 14（2022 全国新高考卷 7）设a 0.1e0.1，b，c ln 0.9，则9A a b c B c b a
42、C c a bDa c b解：第一部分比较 a 与 b 的大小（方法 1）利用不等式ln x x 1 ，（当且仅当 x 1时取等号）9919110 1令 x 有ln ，所以 ln ，即ln 10 10 10 10 10 9 1010911 e10，即0.1e0.1 ，所以a b 91 x（方法 2）利用不等式ln x，（当且仅当 x 1时取等号）x比较 a与 b 的大小等价于比较ln a 与 lnb 的大小，10111 ln1019ln a lnb ln 0.1e0.1 ln 0，即lna lnb，所以 a b 109 109 109函数与导数解法赏析n11 n（方法 3）利用不等式e 1，其
43、中 nN*10111011091119取 n 9 得e 1，所以 a blne10e109 10910 x1 x 11x 1x（方法 4）构造函数直接作差比大小，因为 ex xex，令 h x x，其中0 x 0.1，则e1 x 21 e 11xx 2 x 1 e 1，则 p x 0成立，所以 p x 在 0,0.1 上单调递h xex，令 p xxx21 ex x 12 x 12 减，所以 p xp 0 0，即h x 0 成立，所以h x 在 0,0.1 上单调递减，h x h 0 0，即 a b 函数与导数解法赏析xexx（方法 5）作商比较，令 mx 1 xe1 x exxm x，其中0
44、 x 1，则 xex 0，所以mx在0,1 上1 x 单调递减，m x m 0 1，所以a b x ex，（当且仅当 x 1时取等号），当0 x 1时，（方法 6）作商后利用不等式e e 1 x e 1 xxexx 11x 1 x e1 x e1，所以a b x e 1 xe1 x1 xx ln x ln 1 x，两式相减得（方法 7）取对数作差，ln xex x ln x，ln1 xx ln xex ln x ln 1 x x x 0（也可以求导可证），即a b 1 x11 xx（方法 8）当0 x 1时，ex1 x x2L xnL，所以 xex，即a b 1 x函数与导数解法赏析第二部分比
45、较 a与 c 的大小1 2 1 x（方法 1）利用不等式，当0 x 1时，ex x 1与ln x x 0.561 1 0.9 55 14 5 9 25 9 2251a c 0.1e0.1 ln 0.9 0.1 1 0.1 0.92 0.11 0.45 0，所以c a 91（方法 2）利用不等式，当 0 x 1时，ex x 1与 ln x xx1 111033 10 101089 1000a c 0.1e0.1 ln 0.9 0.1 1 0.1 0.9 0，所以c a 0.9 100 30300300 x x1 2 x x，1 2（方法 3）利用对数均值不等式 x x21x x21ln x ln
46、 x2121 0.90.10.90.11 11103令 x 1，x 0.9，则 0.9 即 ln 0.9，a c 0.1e0.1 ln 0.9 0.1 1 0.1 12ln1 ln 0.90.9 10 101 3310 101089 1000 0，所以c a1030300函数与导数解法赏析1x 11 （方法 4）二次求导，f xx1 ex，f x x 2 ex，当 0 x 0.1时，x 2 e x 2 2，x x 12 0.81 x 121，所以110081 2，即 f x 0 成立，则 f x 在 0,0.1 上单调递增，f x f 0 0，所以 f x x 12 在 0,0.1 上单调递增
47、，f xf 0 0，即 c a x21 e1x1x 1 x 1 e 1，其中0 x 0.1，（方法 5）局部求导，f xx 1 ex，令 g x2xx 1 0 成立，所以 g x 在 0,0.1 上单调递减，g x g 0 0，又因为当0 x 0.1时，x 1 0，所以g xx22x 1 ex f x 0，故 f x 在 0,0.1 上单调递增，f xf 0 0，即c a 函数与导数解法赏析1 x2 ex1 1 x 1 x21 x 1 x x2（方法 6）导函数局部放缩，当0 x 1时，f x 0，故 f x 在 1 x1 x1 x f 0 0，即c a 0,0.1 上单调递增，f x1 2
48、1 x（方法 7）利用不等式当0 x 1时，ex x 1，ln x x 原函数直接放缩，1 2 1 1 x x 11x 2x 12 f x xeln 1 x x x 1 1 x 0，所以c a xx2 2 x 12 2 2 x 11（方法 8）利用不等式当0 x 1时，ex x 1，ln x x放缩成多项式，xx x 1 1 x 111 1 x f x xex ln 1 x x x 1x x 1，因为1 x1 x 1 x 2 1，所以c a x 1 1 xx22x 1 x32x2x 1 x 1 x x2函数与导数解法赏析（方法 9）由高等数学中的泰勒展开式，可以估算 a，c 的大小，进而根据估
49、算值三数比较大小 因此0.012 10.01 0.001a 0.1e0.1 0.1 1 0.1 0.1105，b 0.1111 c，ln 0.9ln 1 0.1 0.1 0.1053，所以923 c a b 【回顾反思】：该题以指数、对数和幂为载体，看似考查比较大小问题，实则以小见大，贯穿高中函数知识“主轴”，为我们展示了如何利用函数工具研究“数值估算”问题的一般原理与方法本题解题入口宽阔，思维方法多样，涉及到的知识点有基本初等函数指、对、幂比大小问题，基本初等函数的导数、复合函数的导数，函数的单调性与导数的关系，不等式的证明与放缩等等，突出数学本质，重视理性思维，有机渗透了数学运算、逻辑推理
50、、数据分析等数学核心素养函数与导数解法赏析ex ln x x a 例 15（2022 全国甲卷理 21）已知函数 f xx（1）若 f x 0，求 a的取值范围；（2）证明：若 f x 有两个零点，则 x x 11 2ex ln x x a，所以 x 0,，解：（1）（方法一）直接求导：f xx x 1 exxexx ex1 f x ，当0 x 1时，f x 0，则 f x 在 0,1 上单调递减；当 x 1时，1x2xx2 上单调递增，f x f 1 e 1 a 0，所以 a e 1，即 a,e 1 f x 0，则 f x 在 1,min函数与导数解法赏析 （取等号的条件均为 x 1），则
