1、相似三角形相似三角形K型图的应用型图的应用 K型图型图 A型图型图 X型图型图 双垂图双垂图二、探究基本图形二、探究基本图形（1）如图）如图,已知已知E为为BC上任意一点，上任意一点，且且B=C=AEF=90，找出图中的相似三角形，并说明理由找出图中的相似三角形，并说明理由.CABEF理由：理由：(两角）两角）B=C;A+AEB=90AEB+FEC=90 A=FECABEECF（2）E为为BC上任意一点，若上任意一点，若 B=C=AEF=60,则则ABE与与 ECF的关系还的关系还成立吗？说明理由成立吗？说明理由.（3）点）点E为为BC上任意一点上任意一点若若 B=C=AEF=,则则ABE 与
2、与 ECF的关系的关系还成立吗？还成立吗？C 60 60 60ABEFABCEFA BFCE606060CABEFABE ECFCABEFC 60 60 60ABEFABCEF都有：都有：B=C=AEF A=FEC 当点当点B、点、点C、点、点E在在同一直线同一直线上，且满足上，且满足 时，时，。总结：总结：归纳巧记：一线三等角三等角，相似相似两三角（形）ABEECF B=C=AEF K K 型型 图图CABEFC 60 60 60ABEFABCEFE例例1：如图ABC是等边三角形,P为BC上一点,D为AC上一点,若 APD=60.（1）求证:ABPPCD；（2）若BP=3，CD=2，求ABC
3、的边长.提示：（提示：（1）“K型图型图”（2）边长为）边长为9.变式：变式：如图，ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BAC=EDF=90.DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与线段CA的延长线相交于点Q（1）求证：BPECEQ；（2）当BP=2,CQ=9时，求P、Q两点间的距离 提示：（提示：（1）“K型图型图”（2）PQ=5 (2012 宜宾宜宾)如图，在如图，在ABC中，已知中，已知AB=AC=5，BC=6，且且ABC DEF，将，将DEF与与ABC重合在一起，重合在一起，ABC不动，不动，DEF运动，并满足：点运动，并满足：点E在边
4、在边BC上沿上沿B到到C的方向运动，且的方向运动，且DE始终经过点始终经过点A,EF与与AC交于交于M点。点。（1）求证：）求证：ABEECM;（2）设）设BE=x，AM=y，求，求y关于关于x的函数关系式，并求出当的函数关系式，并求出当BE为何值时，为何值时，AM有最小值，最小值是多少有最小值，最小值是多少?（3）当线段）当线段AM最短时，求重叠部分的面积。最短时，求重叠部分的面积。这节课你有什么这节课你有什么收获收获和和体会体会要与大家分享？要与大家分享？(1)复习了哪些知识点?(2)体会到些什么方法?五、课堂小结你还有什么你还有什么疑惑疑惑？如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=CD
5、=6cm，BC=13cm，点P沿BC从B向C以1cm/s的速度运动（不包含B、C两点），且APQ=B，射线PQ交CD（或CD的延长线）于点Q设P点的运动时间为t（1）如图，当PQ交CD于Q时，求证:ABPPCQ；（2）如图，当PQ交CD的延长线于Q时，设DQ=y，请求出y与t之间的函数关系式；（3）请问当时间t等于多少时，以A、B、P为顶点的三角形与以Q、P、A为顶点的三角形相似？谢谢！当当C、D、1在在同一直线同一直线上，且满足上，且满足 条件时，条件时，。总结：总结：归纳巧记：一线三等角三等角，相似相似两三角（形）ACPPDB C=D=1 K K 型型 图图变式变式1：如图，如图，已知已知
6、D为为BC上一点，上一点，B=C=EDF=60,BE=6,CD=3,CF=4,则则BD=_,AF=_.EBC DFA例例2 2：如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始沿线段AO以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒（1）当t为何值时，APQ与AOB相似？524（2）当t为何值时，APQ的面积为 个平方单位？（3）求APQ的面积的最大值.提示：（提示：（1）（2）t=2或或t=3（3）SAPQ的最大值为513501130tt或 1.如图，已知线段ABCD，AD与BC相
7、交于点K，E是线段AD上一动点（1）若BK=KC，求 的值；（2）连接BE，若BE平分ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明 再探究：当AE=AD（n2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明如图，在如图，在ABC中，中，BA=BC=20,AC=32，动点，动点P从从A开始在线段开始在线段AB以每秒以每秒5个单位长度的速度向个单位长度的速度向B点运动点运动(点点P不与不与A、B重合重合)，同时动点，同时动点Q从点从点C开始在线段开始在线段CA以每秒以每秒8个单位长度的速度向个
8、单位长度的速度向A点运动点运动(点点Q不与不与C、A重合重合)，设运动的时间为，设运动的时间为x.（1）当）当x为何值时，为何值时，PQBC？（2）APQ能否与能否与CQB相似？相似？若能，求出若能，求出AP的长；若不能，请的长；若不能，请说明理由说明理由,BPCAPQSS（3）是否存在）是否存在x，使，使 若存在，求出若存在，求出x的值；的值；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由.如图，在如图，在ABC中，中，BA=BC=20,AC=32，动点，动点P从从A开始在线段开始在线段AB以每秒以每秒5个单位长度的速度向个单位长度的速度向B点运动点运动(点点P不与不与A、B重合重合)，同时动点，
9、同时动点Q从点从点C开始在线段开始在线段CA以每秒以每秒8个单位长度的速度向个单位长度的速度向A点运动点运动(点点Q不与不与C、A重合重合)，设运动的时间为，设运动的时间为x.（1）当）当x为何值时，为何值时，PQBC？（2）APQ能否与能否与CQB相似？相似？若能，求出若能，求出AP的长；若不能，请的长；若不能，请说明理由说明理由,BPCAPQSS（3）是否存在）是否存在x，使，使 若存在，求出若存在，求出x的值；的值；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由.例例1：如图，在平行四边如图，在平行四边ABCD中，过点中，过点A作作AEBC，垂足为垂足为E，连结，连结DE，F为线段为线段DE上
10、一点，且上一点，且AFEB.(1)求证：求证：ADFDEC.(2)若若AB4，AD ，AE3，求，求AF的长的长33老师点评：老师点评：解：(1)平行四边形ABCDADBC,ABCDADF=CED,B+C=180又AFE+AFD=180,AFE=BAFD=CADFDEC324633,63)33(t2222AFAFCDAFDEADDECADFAEADDEADER即中，在(2)平行四边形ABCDADBC,CD=AB=4又AEBC,AEAD例1：正方形正方形ABCD边长为边长为4，M、N分别是分别是BC、CD上的上的两个动点，两个动点，当当M点在点在BC上上例2：如图，在中，AB=8cm，BC=16
11、cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟P、B、Q构成的三角形与A、B、C构成的三角形相似？试说明理由。1.如图，已知线段ABCD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点（1）若BK=KC，求 的值；（2）连接BE，若BE平分ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明 再探究：当AE=AD（n2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明 2.如图是一个5X5的方格网
12、，横竖线相交的点叫“格点”，所有顶点都在格点上的三角形叫“格点三角形”，变式：变式：（20082008年浙江丽水）如图，在已建立直角坐年浙江丽水）如图，在已建立直角坐标系的标系的4 44 4正方形方格纸中，划格点三角形（三正方形方格纸中，划格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P P，A A，B B为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABCABC相似（全等除外），则相似（全等除外），则格点格点P P的坐标是的坐标是 .DBACEHFG变式变式1：在RtABC中，BAC=90，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作ADE=45，
13、如图4，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E 求证：ABDDCEABCDE若若ADEADEABCABC，你可以得出什么结论？，你可以得出什么结论？角：角：ADE=B；AED=C 边：边：DE BC.BCDEACAEABAD.2BCDESSABCADE面积：面积：“A A”型型做一做：.BCDECCABCADE周长：周长：做一做：ABOCD添加一个条件，使添加一个条件，使AOBAOBDOCDOC角：角：B=C或或 A=D“X X”型型边：边：AB CD 或或 AO：OD=BO：CO1.“证明证明”：“两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相似”在在证明三角形相似中用得较多，在证明
14、过程中应注意证明三角形相似中用得较多，在证明过程中应注意结合图形和已知条件去结合图形和已知条件去找相等的角找相等的角，注意挖掘图形注意挖掘图形中的隐含条件，如公共角、对顶角等。中的隐含条件，如公共角、对顶角等。2.“计算计算”：解题时要结合图形和已知条件，解题时要结合图形和已知条件，找出相找出相似的三角形似的三角形并并把已知量和未知量集中在所找的三角把已知量和未知量集中在所找的三角形中形中，利用相似三角形的性质和判定解决有关计算，利用相似三角形的性质和判定解决有关计算线段长度和证明线段成比例的问题。线段长度和证明线段成比例的问题。3.方法：方法：注意数形结合、函数、方程和转化等数学思注意数形结合、函数、方程和转化等数学思想的运用。想的运用。CABEF（1）ABE ECF理由：理由：(两角）两角）B=C;A+AEB=90AEB+FEC=90 A=FECABE ECFC 60 60 60ABEFABCEF（2）ABE ECF理由：理由：(两角）两角）B=C;A+AEB=120AEB+FEC=120 A=FECABE ECF（3）ABE ECF理由：理由：(两角）两角）B=C;A+AEB=180-AEB+FEC=180-A=FECABE ECF都有：都有：B=C=AEF A=FEC
