1、1.1.氢原子的薛定谔方程氢原子的薛定谔方程reU024氢原子中电子的势能函数氢原子中电子的势能函数0)4(20222reEm定态定态薛定谔方程薛定谔方程222zyxr为使求解的问题变得简便为使求解的问题变得简便,通常采用球坐标通常采用球坐标 。),(rxyz）r电子电子原核子原核子18-9 量子力学中的氢原子问题量子力学中的氢原子问题拉普拉斯算符变为：拉普拉斯算符变为：22222222sin1)(sinsin1)(1rrrrrr设波函数为设波函数为)()()(),(rRr 代入薛定谔方程，采用分离变量法得到三个常代入薛定谔方程，采用分离变量法得到三个常微分方程。微分方程。在解波函数时，考虑到
2、波函数应满足的标准在解波函数时，考虑到波函数应满足的标准条件，很自然地得到氢原子的量子化特征。条件，很自然地得到氢原子的量子化特征。氢原子氢原子（1 1）能量量子化）能量量子化同玻尔得到的氢原子的能量公式一致，但却没有人同玻尔得到的氢原子的能量公式一致，但却没有人为的假设。为的假设。在求解在求解 得到氢原子能量必须满足量子化条件为得到氢原子能量必须满足量子化条件为)(rR22220422202416.1318132nnhmenmeEn,3,2,1n 称为主量子数称为主量子数n氢原子氢原子n=1 基态能量基态能量eV6.131EeV6.131EEn=2,3,对应的对应的能量称为激发态能量能量称为
3、激发态能量eV40.32EeV51.13E当当n很大时，能级间隔消失而变为连续很大时，能级间隔消失而变为连续。对应于电子被电离，对应于电子被电离，氢原子的电子电离能为：氢原子的电子电离能为：n当 ，0En11E232E3E454EE氢原子氢原子 说明角动量只能取由说明角动量只能取由 l 决定的一系列分立值，决定的一系列分立值，即角动量也是量子化的。即角动量也是量子化的。（2 2）轨道角动量量子化和角量子数）轨道角动量量子化和角量子数 处于能级处于能级 的原子的原子,其角动量共有其角动量共有 n 种可种可能值，即能值，即 ,用用s,p,d,表示角表示角动量状态。动量状态。nEl=0,1,2,.,
4、n-1()在求解角量在求解角量 为变量的函数所满足的方程时，为变量的函数所满足的方程时，进一步得到角动量量子化的结果。进一步得到角动量量子化的结果。,称称 为为角量子数角量子数，或或副量子数副量子数。l)1(llL)1(,3,2,1nl氢原子氢原子0氢原子内电子的状态氢原子内电子的状态n=1n=2n=3n=4n=5n=6l=0 l=1l=5l=4l=3l=2(s)(p)(h)(g)(f)(d)1s5f5d5p5s6s6p6d6f6g6h4s3s3p4f3d4p4d5g2p2s氢原子氢原子（3 3）轨道角动量空间量子化和磁量子数）轨道角动量空间量子化和磁量子数,lzmL lml,.,2,1,0
5、称为称为磁量子数磁量子数。对于一定的角量子数。对于一定的角量子数 可以取可以取 2l+1个值。个值。lmlml,)1(2l 氢原子中电子绕核运动的角动量不仅大小取分氢原子中电子绕核运动的角动量不仅大小取分离值，其方向也有一定限制。若取外磁场离值，其方向也有一定限制。若取外磁场B的方向的方向为为 轴，角动量在轴，角动量在 轴上的投影轴上的投影 只能取只能取zLzz氢原子氢原子)(zBo226L2l角动量的空间量角动量的空间量子化子化氢原子氢原子例例19-10 设氢原子处于设氢原子处于2p态，求氢原子的能量、角动量大小态，求氢原子的能量、角动量大小 及角动量的空间取向。及角动量的空间取向。解解：2
6、p态表示态表示 n=2,l=1。得得eV40.3eV26.1322E角动量的大小为角动量的大小为2)1(llL 当当l=1时，时，ml的可能值是的可能值是-1,0,+1，角动量方向，角动量方向与外磁场的夹角可能值为：与外磁场的夹角可能值为：4324)1(arccosllmleV6.132nEn根据根据氢原子氢原子16LZ222612）（时，当llLl2,2,1,1,0lm角只能是角动量与外磁场方向夹即0 0lmzl1 lm1 lm2 2lm2 2lm26.35 62cos229.65 61cos1126.35180 9.65180 90 9.65 26.35，实验验证的跃迁到年发现没有外磁场时
7、由塞曼效应：0 1 1896 ll分裂为三条谱线。一条谱线，加磁场后，：角动量磁矩，2LPLmePmem电子绕核运动量（电子）有一个附加能论可得出，该原子系统若加上外磁场，经典理）（式，由于由量子力学也可得出上1llL)1(2llmePemcos2cosLBmeBPBPEemm轨道跃迁到由的夹角，无外场，电子与是式中01llBLa如图有外磁场时0l0E条谱线。为三条能级，观察到分裂，、只能取学观点）有外磁场，（按量子力 3 11359045 .lc0l0EEE1许多连续谱线到从）有外磁场，（经典观点21 .b121l0l0E1EemmeP220mP无外磁场，一条谱线.a1l00EB0 0lmz
8、l1 lm1 lmlezeemmeBLmeBLBmeE22cos2量子力学：cos2LBmeEe经典：之间变化，至在可以为任意值线，将会观察到许多连续谱，轨道扩展为一能带，因按经典观点，仍为一能级，因当有外磁场时，11cos,00 1000LElLEl只能取某些特定值角动量与外磁场夹角但塞曼效应证明了轨道空间量子化。lezeeemmeBLmeBLBmeELBmeE22cos2cos2量子力学：经典：分立分立分立（量子力学：)12(m 3 3 3 1,E )mL zllnll3.3.氢原子中电子的概率分布氢原子中电子的概率分布 要知道电子在氢原子中的分布，必须要知道要知道电子在氢原子中的分布，必
9、须要知道定态波函数：定态波函数：),()(lmnlnlmYrR 称为径向函数；称为径向函数；)(rRnl),(lmY称为角分布函数。称为角分布函数。以下给出前几个函数：以下给出前几个函数：02)1()(2300,1arearR0202300,2)2()21()(areararR0202301,23)21()(areararR角分布函数：角分布函数：410,0Y)1cos3(16520,2Ycos430,1YieYsin831,1 为玻尔半径为玻尔半径0a电子的概率分布电子的概率分布drrRRdrrP24)(电子的径向分布概率为电子的径向分布概率为)(rP表示电子出现在表示电子出现在 至至 的球
10、壳中的概率。的球壳中的概率。rdrr电子的概率分布电子的概率分布氢原子中电子径向概率分布氢原子中电子径向概率分布电子的概率分布电子的概率分布电子的角分布概率由电子的角分布概率由 决定。决定。),(lmY 与与 无关，表示角向概率密度对于无关，表示角向概率密度对于 轴轴具有旋转对称性具有旋转对称性2),(lmYz 由坐标原点引向曲线的长度表示由坐标原点引向曲线的长度表示 方向的概率大小方向的概率大小氢原子中电子的角分布氢原子中电子的角分布20,0Y21,1Y20,2Y电子的概率分布电子的概率分布电子的角分布概率由电子的角分布概率由 决定。决定。),(lmY 与与 无关，表示角向概率密度对于无关，表示角向概率密度对于 轴轴具有旋转对称性具有旋转对称性2),(lmYz 由坐标原点引向曲线的长度表示由坐标原点引向曲线的长度表示 方向的概率大小方向的概率大小氢原子中电子的角分布氢原子中电子的角分布20,0Y21,1Y20,2Y电子的概率分布电子的概率分布
