1、3.1 概概 述述3.3平面机构运动分析的解析法平面机构运动分析的解析法3.2 平面机构运动分析的图解法平面机构运动分析的图解法介绍求解构件运动规律的图解法与解析法。介绍求解构件运动规律的图解法与解析法。重点重点掌握利用掌握利用瞬心法图解构件的速度；运用相对运动原理图解构件的速度和瞬心法图解构件的速度；运用相对运动原理图解构件的速度和加速度。对直角坐标投影法及基本杆组分析法等解析法有所了加速度。对直角坐标投影法及基本杆组分析法等解析法有所了解。解。提要提要图图3-01 机构运动分析的内容与方法机构运动分析的内容与方法3.1 概概 述述 机构的运动分析，就是根据具有确定运动机构的运动简机构的运动
2、分析，就是根据具有确定运动机构的运动简图及给定的原动件运动规律，图及给定的原动件运动规律，求该机构中指定构件上点的位求该机构中指定构件上点的位移、轨迹、速度和加速度，或其余构件的角位移、角速度和移、轨迹、速度和加速度，或其余构件的角位移、角速度和角加速度。角加速度。(1)曲柄摇杆机构曲柄摇杆机构 (2)曲柄滑块机构曲柄滑块机构图图 3.1F01基本机构基本机构(1)，(2)ABCD 下面简要展示两个基本机构的运动情况。下面简要展示两个基本机构的运动情况。ABC(1)曲柄摇杆机构与曲柄摇杆机构与三维动画三维动画(1)曲柄摇杆机构与曲柄摇杆机构与二维动画二维动画(2)曲柄滑块机构与曲柄滑块机构与二
3、维动画二维动画图图 3.1F02两个基本机构两个基本机构1，21234ABCeS由于平面机构的广泛应用，所以本章仅研究平面机构由于平面机构的广泛应用，所以本章仅研究平面机构的运动分析。的运动分析。的特点是把机构中已知的尺寸参数和运动参数的特点是把机构中已知的尺寸参数和运动参数与未知的运动变量之间的关系用数学式表达出来，然后求与未知的运动变量之间的关系用数学式表达出来，然后求解。解。解析法解析法 中介绍常用的中介绍常用的速度瞬心法速度瞬心法和和相对运动法。相对运动法。图解法图解法2B2P12A23.2 平面机构运动分析的图解法平面机构运动分析的图解法 图图3.2F01所示的两构件所示的两构件1、
4、2均作均作平面运动，在任一瞬时的相对运动平面运动，在任一瞬时的相对运动都可以看作是绕平面上某一点的相都可以看作是绕平面上某一点的相对转动，而该点则称为它们的速度对转动，而该点则称为它们的速度瞬心，简称为瞬心，以瞬心，简称为瞬心，以P12表示表示。1.速度瞬心及其求法速度瞬心及其求法图图3.2F01两个构两个构件件瞬心的位置瞬心的位置3.2.1 速度瞬心法速度瞬心法瞬心是两构件上相对速度为零瞬心是两构件上相对速度为零的点，或者说是两构件上速度相等的点，或者说是两构件上速度相等的点。若在该瞬心的绝对速度为零的点。若在该瞬心的绝对速度为零，则称为，则称为绝对瞬心绝对瞬心。若不为零，则称为若不为零，则
5、称为相对瞬心。相对瞬心。A2(A1)B2(B1)P12VA2A1211VB2B1 由于每两个构件具有一个瞬心，由于每两个构件具有一个瞬心，所以对于由所以对于由N个构件组个构件组成的机构，根据排列组合的知识可知，其成的机构，根据排列组合的知识可知，其瞬心总数瞬心总数 S 为为 S N(N1)/2 (3-1)S 6(61)/215 (3-1)对于例图，瞬心数目对于例图，瞬心数目S为为转摆变换的转摆变换的平面六杆机构的平面六杆机构的二维动画二维动画654321图图3.2F02一种平面六杆机构一种平面六杆机构(b)以移动副相连的两构件，如以移动副相连的两构件，如图图3-1b 所示，由于在平面所示，由于
6、在平面任一点处两构件相对运动的速度方向均平行于移动副导路任一点处两构件相对运动的速度方向均平行于移动副导路，所以，所以，P12 一定位于无穷远。一定位于无穷远。(a)以转动副相连的两构件，如以转动副相连的两构件，如图图3-1a所示，其瞬心在所示，其瞬心在转动副的中心上。转动副的中心上。图图3-1 运动副瞬心的位置运动副瞬心的位置(1)通过运动副直接相连的两构件的瞬心位置通过运动副直接相连的两构件的瞬心位置12P12(a)转动副转动副12P12(b)移动副移动副V12(c)以平面高副相连的两构件，如以平面高副相连的两构件，如图图3-1c 所示，若高副所示，若高副两元素之间为纯滚动两元素之间为纯滚
7、动(12 为相对滚动的角速度为相对滚动的角速度)，则两元素则两元素的接触点的接触点M即为瞬心即为瞬心P12。(c)纯滚动高副纯滚动高副MP122112图图3-1 运动副瞬心的位置运动副瞬心的位置 (d)若高副两元素间既有相对滚动，又有相对滑动若高副两元素间既有相对滚动，又有相对滑动(V12为相对滑动速度为相对滑动速度)，则瞬心，则瞬心P12必定位于高副过接触点的必定位于高副过接触点的公法线公法线n-n上，如上，如图图3-1d 所示，具体位置需要根据其他条所示，具体位置需要根据其他条件来确定。件来确定。(d)非纯滚动高副非纯滚动高副P12Mnn12VM1M212tt图图3-1 运动副瞬心的位置运
8、动副瞬心的位置(2)不直接通过运动副相连的两构件的瞬心位置不直接通过运动副相连的两构件的瞬心位置所谓所谓三心定理三心定理是指三个彼此作平面相对运动的构件的三是指三个彼此作平面相对运动的构件的三个瞬心必定位于同一直线上。现证明如下：个瞬心必定位于同一直线上。现证明如下：不直接通过运动副相连接的两构件的瞬心位置由三心定不直接通过运动副相连接的两构件的瞬心位置由三心定理予以确定。理予以确定。VK1P13113VK2KP2322图图3-2 瞬心的位置与三心定理瞬心的位置与三心定理2.速度瞬心的应用速度瞬心的应用解解：P13 是相对速度瞬心，即是构件是相对速度瞬心，即是构件1、3上具有同一速度的重合点，
9、所以有上具有同一速度的重合点，所以有(1)铰链四杆机构铰链四杆机构如图如图 3-3 所示，比例尺为所示，比例尺为l(单位为单位为m/mm)的铰链四杆机构，若已知的铰链四杆机构，若已知原动件原动件1以角速度以角速度1 顺时针方向回转，求从动件顺时针方向回转，求从动件3的角速度的角速度3 及及2。根据瞬心根据瞬心 P13的速度方向可知，构的速度方向可知，构件件3 的旋转方向为的旋转方向为顺时针顺时针。图图3-3 铰链四杆机构铰链四杆机构P13P24则有则有1 P13P14 l=3 P13P34 lP34P23P12P143431213=1 P13P14/P13P34 (3-2)(2)曲柄滑块机构曲
10、柄滑块机构如图如图3-4所示，比例尺为所示，比例尺为l的的曲柄滑块机构，若已知原动件曲柄滑块机构，若已知原动件1的的角速度为角速度为1，求图示位置时从动件求图示位置时从动件3的移动速度的移动速度V3。图图 34 曲柄滑块机构曲柄滑块机构解解:如图求得构件如图求得构件1、3的相对瞬的相对瞬心心 P13 后，由于后，由于P13为该两构件速度相为该两构件速度相等的点，从而有构件等的点，从而有构件3 的运动方向即的运动方向即瞬心瞬心 P13 的速度方向，的速度方向，水平向左水平向左。V3=VP13=1 P14P13 lP12P14P2313421V3P13P24P348(3)正弦机构正弦机构P1411
11、234P12P24 P23 P34P13P34V31如图如图35所示，比例尺为所示，比例尺为L的正弦机构，若已知原动件的正弦机构，若已知原动件1的角的角速度为速度为1，求图示位置时从动件求图示位置时从动件3的移动速度的移动速度V3。图图 35曲柄滑块机构曲柄滑块机构解解:如图求得构件如图求得构件1、3的相对瞬的相对瞬心心 P13 后，由于后，由于P13为该两构件速度相为该两构件速度相等的点，从而有构件等的点，从而有构件3 的运动方向即的运动方向即瞬心瞬心 P13 的速度方向，的速度方向，垂直向上垂直向上。V3=VP13=1 P14P13 L(4)凸轮机构凸轮机构解解：如图过高副元素的接触点如图
12、过高副元素的接触点K作作其公法线其公法线n-n，则此公法线则此公法线n-n与与瞬心连线瞬心连线 P13P23 的交点即为构件的交点即为构件1与与2的相对瞬心的相对瞬心 P12。由于构件由于构件1、2在在 P12 速度相等，从速度相等，从而有而有若已知原动件若已知原动件1的角速度为的角速度为1，求求图示位置时从动件图示位置时从动件2的移动速度的移动速度V2。构件构件2的运动方向即瞬心的运动方向即瞬心 P12 的的速度方向，垂直向上。速度方向，垂直向上。V2=VP12=1 P13 P12 l图图3-6 凸轮机构凸轮机构P13321K1nnP12P238P2383.2.2 矢量方程图解法矢量方程图解
13、法已知曲柄已知曲柄 1 的角速度的角速度1和和角加速度角加速度1，求图示位置时求图示位置时连连杆杆 2 的角速度的角速度2、角加速度角加速度2及其上点及其上点 C 和和 E的速度和加速的速度和加速度，度，以及构件以及构件3 的角速度的角速度3 和和角加速度角加速度3。1.同一构件上两点间的速度和加速度求解法同一构件上两点间的速度和加速度求解法图图3-7 铰链四杆机构铰链四杆机构图图37(a)所示为铰链四杆机构，比例尺为所示为铰链四杆机构，比例尺为L。1BADCE11243(a)VBVCB2VC3VC =v pc (方向方向：pc)VCB =v bc (方向：方向：bc)VC =VB +VCB
14、(3-7)方向方向 CD AB CB大小大小？lAB1？(1)确定构件的速度和角速度确定构件的速度和角速度bc(b)图图3-7 铰链四杆机构铰链四杆机构1BADCE11243(a)VBVCB2VC3p方向方向?CD CE AB BE大小大小?v pc?1 lAB?当点当点 C 的速度的速度 VC 求得后，根据速度的合成原理可求求得后，根据速度的合成原理可求得点得点E的速度的速度VE。VE =VC +VEC =VB +VEB pbce(b)图图37 铰链四杆机构铰链四杆机构1BADCE11243(a)VBVCB2VC3同理可得构件同理可得构件3的角速度的角速度3为为连杆连杆2 的角速度的角速度2
15、 大小为大小为2 =VCB/lCB=v bc/lCB3=VC/lCD=v pc/lCDpbce(b)图图3-7 铰链四杆机构铰链四杆机构1BADCE11243(a)VBVCB2VC3(2)确定构件的加速度和角加速度确定构件的加速度和角加速度 anC +atC =anB +atB +anCB +atCB 方向方向：CD CD BA AB CB BC(3-8)大小大小：23 lCD?21 lAB lAB1 22 lBC?根据相对运动的合成原理得加速度方程为根据相对运动的合成原理得加速度方程为cbcc(c1)图图37 铰链四杆机构铰链四杆机构1BADCE11243(a)VBVCB2VC3pb方向方向
16、：?pb EB EB pc EC EC大小大小：?a pb 22 lBE?a pc 22 lCE?aE =aB +anEB+atEB=aC +anEC+atEC连杆上连杆上E点的加速度点的加速度aE为为eee(c)pbccc图图37 铰链四杆机构铰链四杆机构231BADCE11243(a)VBVCB2VC3同理，连杆同理，连杆 2上上E点相对于点相对于B、C两点的加速度大小为两点的加速度大小为连杆连杆2上上B、C 两点之间的加速度大小为两点之间的加速度大小为aCB:aEB:aEC=lCB:lEB:lEC=cb:eb:ec由此导出由此导出图图37 铰链四杆机构铰链四杆机构2/12242)(EBE
17、Bla2/12242)(ECECla2/122422/122)()()(CBtCBnCBCBlaaa231BADCE11243(a)VBVCB2VC3 这表明同一构件上各点所构成的多边形，相似于加速度这表明同一构件上各点所构成的多边形，相似于加速度图中同名矢量端点所构成的多边形，且两多边形顶点字母顺图中同名矢量端点所构成的多边形，且两多边形顶点字母顺序的绕行方向一致。因此，称图形序的绕行方向一致。因此，称图形bce为构件图形为构件图形 BCE 的的加速度影像加速度影像。(c)1BADCE11243(a)VBVCB2VC323eeepbcc图图37 铰链四杆机构铰链四杆机构c杆杆2、3角加速度角
18、加速度2、3 分别为分别为1BADCE11243(a)VBVCB2VC323eee(c)pbcc图图37 铰链四杆机构铰链四杆机构CBaCBtCBlccla/2 CBaCDtClccla/3 c铰链四杆机构的速度与加速度分析的作图铰链四杆机构的速度与加速度分析的作图全全过程如下。过程如下。pbcePecbbcece(c)(b)1BADCE11243(a)图图37 曲柄摇杆机构与曲柄摇杆机构与二维动画二维动画2.两构件上重合点间的速度和加速度求法两构件上重合点间的速度和加速度求法(a)图图38曲柄导杆机构曲柄导杆机构图图38(a)为曲柄导杆为曲柄导杆机构，比例尺为机构，比例尺为L。已知曲柄已知曲
19、柄1 的角速度的角速度1，求图示位置时连杆求图示位置时连杆 2 的角速度的角速度2、角加速度角加速度2，以及构件以及构件3 的角速度的角速度3 和角加速度和角加速度3。VB2B3VB1(VB2)DBCA13421 VB3 =VB2+VB3 B2 方向方向：BD AB CD 大小大小：?1 lAB?(3-9)VB3B2VB3ABCD13421b3b2（b）（a）1.速度分析速度分析VB2p图图38曲柄导杆机构曲柄导杆机构 VE2 =VB2+VE2 B2 方向方向：?AB BE2 大小大小：?1 lAB 2 lBE2 VE2B2VB3ABCD13421（b）E E2 2点速度分析图点速度分析图（a
20、）E2点的速度分析点的速度分析:VB2b3b2pE23(2)e22=3=VB3/lBDVE2=pe2 V 2.加速度分析加速度分析 aB3=aB2+akB3 B2+arB3 B2aB2=aB1=anB1+atB1(3-6)而而 B2、B1 为转动副连接点，为转动副连接点，则有则有arB3B2ABCD13423（a）aB1akB3B2atB1anB1图图38曲柄导杆机构曲柄导杆机构1 因因B3绕绕D点转动点转动,则有则有:aB3=anB3+atB3一般因一般因1为常数，为常数，atB1为零为零上述式子联立后得上述式子联立后得:aB3 =aB2 +akB3B2 +arB3 B2 =anB3 +at
21、B3方向方向：?AB VB3B2沿沿3转转90 CD BD BD大小大小：?12lAB 23VB3B2?32 lBD?VB3B2VB3akB3B2ABCD112334b/3k/b/2（a）（c）图图38曲柄导杆机构曲柄导杆机构p/b/3aB3E E2 2点的加速度分析点的加速度分析:aE2 =aB2 +anE2B2+atE2 B2 =anE2 +atE2方向方向：?AB E2B BE2大小大小：?12 lAB 22 lBE2 2 lBE2 (2=3=atB3/lBD)VC3C2VB3akB3B2ABCD112334b/3k/b/2（a）（b）E E2 2点加速度分析图点加速度分析图p/b/3a
22、B3E2 3e/2e/2aE23.3平面机构运动分析的解析法平面机构运动分析的解析法本节以本节以铰链四杆机构铰链四杆机构为例，介绍直角坐标投影法。为例，介绍直角坐标投影法。3.3.1 机构运动分析的机构运动分析的直角坐标投影法直角坐标投影法平面连杆机构运动分析的解析法较多，如平面连杆机构运动分析的解析法较多，如直角坐标投直角坐标投影法、影法、基本杆组法、基本杆组法、矩阵法、矩阵法、复数向量法、复数向量法、杆长约束法等。杆长约束法等。本章介绍本章介绍直角坐标投影法和直角坐标投影法和基本杆组法基本杆组法。在图在图3-9所示的铰链四杆机构中，已知杆长分别为所示的铰链四杆机构中，已知杆长分别为a、b、
23、c、d，原动件原动件2 的正向转角及正向角速度分别为的正向转角及正向角速度分别为2、2。图图3-9 铰链四杆机构铰链四杆机构ADCBadcb24433242yx求解：连杆求解：连杆 3 与摇杆与摇杆 4 的角位移的角位移3、4，角速度角速度3、4以及角加速度以及角加速度3、4。1.铰链四杆机构的直角坐标投影法分析铰链四杆机构的直角坐标投影法分析 将铰链四杆机构将铰链四杆机构ABCD看作一向量封闭多边形，如图看作一向量封闭多边形，如图3-9所示，则该机构的向量封闭方程式为所示，则该机构的向量封闭方程式为 a +b =d +c(1)求角位移求角位移图图3-9 铰链四杆机构铰链四杆机构ADCBadc
24、b21433242yx将上式在直角坐标上投影得：将上式在直角坐标上投影得：)113(coscoscos432cdba)123(sinsinsin432cbaADCBadcb21433242yx图图3-9 铰链四杆机构铰链四杆机构消去以上两式中的消去以上两式中的3得得)133(0cossin44CBA)2/()(cossin222222cbcBACadBaAADCBadcb21433242yx图图3-9 铰链四杆机构铰链四杆机构3=arctan(A+c sin4)/(B+c cos4)(3-15)构件构件3 的角位移的角位移3 为为 将半角公式代入上式得到关于将半角公式代入上式得到关于arcta
25、n(0.5 4)的一元二的一元二次方程式，次方程式，并解得并解得4 为为4=2arctan A (A2+B2-C2)1/2 /(B-C)(3-14)ADCBadcb21433242yx图图3-9 铰链四杆机构铰链四杆机构(2)求角速度求角速度将位置方程对时间求将位置方程对时间求1阶导数得速度方程为阶导数得速度方程为443322443322coscoscossinsinsincbacba上式联立求解，得上式联立求解，得杆杆4 的角速度的角速度4为为)sin(/)sin(343224ca同理可得同理可得连杆连杆3的角速度的角速度3 为为)sin(/)sin(434223ba求出的角速度为正时表示逆
26、时针方向，为负时表示顺求出的角速度为正时表示逆时针方向，为负时表示顺时针方向。时针方向。（3-16）（3-19）（3-18）（3-17）将位置方程对时间求将位置方程对时间求2阶导数得加速度方程为：阶导数得加速度方程为：上两式联立求解，得摇杆上两式联立求解，得摇杆4 4的角加速度的角加速度4为为4244432333222cossincossincosccbba4244422333222sincossincossinccbba)sin(/)(cos)(cos3434243222234ccab(3)求角加速度求角加速度同理可得同理可得3为为角加速度的正、负值表明角速度的变化趋势，角加速度与角加速度的
27、正、负值表明角速度的变化趋势，角加速度与角速度同号时表示加速；反之则表示减速。角速度同号时表示加速；反之则表示减速。)sin(/)cos()cos(3424342342223bcbaADCBadcb21433242yx图图3-9 铰链四杆机构铰链四杆机构举例举例1:曲柄摇杆导杆六杆机构曲柄摇杆导杆六杆机构 RO1A2A1AB2B1BO3xyC2C1CB0O6123456BBRARminL图图3.12曲柄摇杆导杆六杆机构与曲柄摇杆导杆六杆机构与 二维动画二维动画举例举例2.RRPRRPP六杆机构的复数向量法分析六杆机构的复数向量法分析O3O1A312d1A1A2B1S1r3r1B2645BS5x
28、yC1CC2H5图图314RRPRRPP六杆机构六杆机构 二维动画二维动画在图在图3.3F01所示的机构中，设杆所示的机构中，设杆1为主动件，杆为主动件，杆5为从动件，为从动件，杆杆3的摆角为的摆角为，杆，杆3的折角为的折角为，+0.5/2。杆。杆5的位移为的位移为S5，行程为行程为H5为为H5r3(1cos)。令令S1表示杆表示杆3上上O3A的长度，由杆的长度，由杆1、2、3和和6组成的导杆机组成的导杆机构的位置方程及其解构的位置方程及其解、S1分别为分别为coscos111Sdrsinsin11Sr)cos/(sinarctan1112drr211211)cos()sin(drrS对位置方
29、程求关于对位置方程求关于的的1阶导数，得类速度方程以及类速阶导数，得类速度方程以及类速度度VL23、L3分别为分别为sin)/(cos)/(sin111SddddSrcos)/(sin)/(cos111SddddSri1i1i1eeeSdr对速度方程求关于对速度方程求关于 的的1阶导数，得类加速度阶导数，得类加速度aL23、L3分分别为别为cossinsin2coscos1212212121SddSddddddSdSdrsincoscos2sinsin1212212121SddSddddddSdSdr)cos()(11221223LrSdddSda111223L/2)sin(SddddSrdd
30、)sin(/1123LrddSV113L/)cos(/Srdd对加速度方程求关于对加速度方程求关于的的1阶导数，得类加速度的一次变阶导数，得类加速度的一次变化率化率qL23、jL3分别为分别为)1)(sin()(211212231323LddrddSddSdddddSdq12212121333L/32)1)(cos(SddddSdddSdddrddj对对加速度方程加速度方程求关于求关于的的2阶导数，得类加速度的二次变化阶导数，得类加速度的二次变化率率qL23、jL3分别为分别为ddSddddSddddSdddSdq122133122241423L42)(2221212122)sin()1)(c
31、os()(ddrddrdSddd在杆在杆3、4、5和和6组成的机构中，从动件组成的机构中，从动件5的位移的位移S5以及滑以及滑块块4相对于杆相对于杆5的位移的位移S45分别为分别为2211443L)cos()1)(sin(ddrddrddj133122212313/452SddddSdddSddddSdS5r3r3 sin()S45r3 cos()VL5dS5/d r3cos()VL45dS45/d r3sin()从动件从动件5的类速度的类速度VL5dS5/d、滑块滑块4相对于杆相对于杆5的类速度的类速度VL45dS45/d分别为分别为从动件从动件5的类加速度的类加速度aL5d2S5/d2、滑
32、块滑块4相对于杆相对于杆5的类的类加速度加速度aL45d2S45/d2分别为分别为d2S5/d2r3 sin()d2S45/d2r3 cos()从动件从动件5的类加速度的一次变化率的类加速度的一次变化率qL5d3S5/d3、滑块滑块4相对于相对于杆杆5的类加速度的一次变化率的类加速度的一次变化率qL45d3S45/d3分别为分别为d3S5/d3r3 cos()d3S45/d3r3 sin()从动件从动件5的类加速度的二次变化率的类加速度的二次变化率qL5d4S5/d4、滑块滑块4相对相对于杆于杆5的类加速度的二次变化率的类加速度的二次变化率jL45d4S45/d4分别为分别为qL5d4S5/d
33、4r3 sin()jL45d4S45/d4r3 cos()dtdddddSdtdSV555222522522525)()(dtdddddSdddSddtSda从动件从动件5的速度的速度V5、加速度加速度a5、加速度的一次变化率加速度的一次变化率q5和加和加速度的二次变化率速度的二次变化率q5分别为分别为从动件从动件5的速度的速度V5、加速度加速度a5、加速度的一次变化率加速度的一次变化率q5和和加速度的二次变化率加速度的二次变化率q5分别为分别为33352225233533535)(3)(dtdddddSdddddSddddSddtSdq4445222252332522223534454454
34、5)()(34)(6)(dtdddddSdddSddddddSddddddSddddSddtSdq555522332524425223335322235322345455555555)(105)(10)(15)(10)(dtdddddSdddddSddddddSddddddSddddddSddddddSddddSddtSdq 3.3.2 平面机构运动分析的基本杆组分析法平面机构运动分析的基本杆组分析法由平面机构的组成原理可知，任何机构可以看作是由若由平面机构的组成原理可知，任何机构可以看作是由若干个干个基本杆组基本杆组依次连接于依次连接于原动件原动件和和机架机架上而构成的。上而构成的。由于基由
35、于基本杆组的自由度为零，所以若给定其外接副的位置、速度、本杆组的自由度为零，所以若给定其外接副的位置、速度、加速度，则该基本杆组内接副的位置、速度、加速度就随之加速度，则该基本杆组内接副的位置、速度、加速度就随之确定。确定。CABC12AB12ABC12(a)(b)(c)(b)(c)ABC12ABC12RRR RRP RPR PRP RPP由于绝大多数机构都是由由于绝大多数机构都是由级杆组构成的，故这里仅介级杆组构成的，故这里仅介绍绍级杆组的运动分析。级杆组的运动分析。另外，下面这些运动分析公式可编另外，下面这些运动分析公式可编写成子程序，以便于在进行计算机辅助机构分析时调用。写成子程序，以便
36、于在进行计算机辅助机构分析时调用。因此，平面多杆机构的运动分析可归结为其基本杆因此，平面多杆机构的运动分析可归结为其基本杆组的运动分析。组的运动分析。1.II级杆组的解析法级杆组的解析法 1)单杆单杆(SSL)单杆的运动分析，通常是已知构件单杆的运动分析，通常是已知构件三角形三角形P1P2P3的边长的边长l、r夹角夹角以及以及构件上某基点构件上某基点P1P1的运动参数的运动参数 x1，y1，x1，y1，x1，y1和构件绕和构件绕基点转动的运动参数基点转动的运动参数，要求确定构件上点要求确定构件上点P2和和P3的运动参数。的运动参数。x2=x1+l cos，y2=y1+l sinx2=x1 l
37、sin，y2=y1+l cos x2=x1 l sin y2=y1+l cos l cos2,l sin2x3=x1+r cos(+)，y3=y1+r sin(+)x3=x1-(y3-y1)，y3=y1+(x3-x1)x3=x1-(y3-y1)y3=y1+(x3-x1)-(x3-x1)2,-(y3-y1)2由以上各式可设计出单杆运动分析子程序（见程序单）。由以上各式可设计出单杆运动分析子程序（见程序单）。2)RRR杆组杆组 如如图所示图所示RRRRRR级杆组中，杆长级杆组中，杆长l1 1，l2 2及两外接转动副中心及两外接转动副中心P1 1，P2 2的坐标、速度、加速度分量为的坐标、速度、加速
38、度分量为x1 1，x1 1,x1 1,y1 1,y1 1,y1 1，x2 2，x2 2，x2 2，y2 2，y2 2，y2 2，要求确定两，要求确定两杆的角度、角速度和角加速度杆的角度、角速度和角加速度1 1,1 1,1 1,2 2,2 2,2 2。(1)位置分析位置分析 将已知将已知P P1 1P P2 2两点的坐标差表示为：两点的坐标差表示为：u=xu=x2 2-x-x1 1，v=yv=y2 2-y-y1 1 (1)(1)杆杆l1 1及及l2 2投影方程式为：投影方程式为：l1 1 coscos1 1-l2 2 coscos2 2=u=u l1 1 sinsin1 1-l2 2 sinsi
39、n2 2=v (2)=v (2)消去消去1 1得：得：v sinsin2 2+u coscos2 2+c=0 (3)+c=0 (3)其中：其中：c=(c=(u2 2+v2 2 +l2 22 2-l1 12 2)/2)/2l2 2解式解式(3)(3)可得：可得：tan(tan(2 2/2)=(v/2)=(v v v2 2+u+u2 2-c-c2 2 )/(u-c)(4)/(u-c)(4)式中式中+号和号和-号分别对应图中号分别对应图中 m=+1m=+1和和 m=-1 m=-1 两位置。两位置。由式由式(2)(2)可得：可得：tantan1 1=(v+=(v+l2 2sinsin2 2)/(u+)
40、/(u+l2 2coscos2 2)(5)(5)(2)2)速度分析速度分析 对式对式(2)(2)求导一次得：求导一次得：A A1 11 1+A+A3 32 2=u=u，A A2 21 1+A+A4 42 2=v =v (6)(6)其中：其中：A A1 1=-=-l1 1 sinsin1 1，A A2 2=l1 1 coscos1 1，A A3 3=l3 3 sinsin2 2，A A4 4=-=-l2 2 coscos2 2 解式解式(6)(6)可得：可得：1 1=1 1=(A=(A4 4u-Au-A3 3v)/Dv)/D，2 2=2 2=(A=(A1 1v-Av-A2 2u)/D u)/D
41、(7)(7)其中：其中：D=AD=A1 1 A A4 4-A-A2 2 A A3 3=l1 1 l2 2 sin(sin(1 1-2 2)(3)3)加速度分析加速度分析 对式对式(6)(6)求导一次得：求导一次得：A A1 11 1+A+A3 32 2=E=E，A A2 21 1+A+A4 42 2 =F (8)=F (8)其中：其中：E=u+AE=u+A2 21 12 2+A+A4 42 22 2，F=v-F=v-A A1 11 12 2-A-A3 32 22 2 解式解式(8)(8)可得：可得：1 1=1 1=(A=(A4 4E-AE-A3 3F)/DF)/D，2 2=2 2=(A=(A1
42、 1F-AF-A2 2E)/D E)/D (9)(9)由上述式子可设计出由上述式子可设计出RRRRRR杆组运动分析子程序杆组运动分析子程序 （见程序单）。（见程序单）。3)RRP杆组杆组 如图所示如图所示RRP级杆组中，已知杆长级杆组中，已知杆长l1及两外接点及两外接点P1，P2的运动和移动副轴线的运动和移动副轴线P2P3的方向角变量（的方向角变量（2,2,2）,P2点为以移动副与构件点为以移动副与构件2相连的构件上运动已知的牵连点，相连的构件上运动已知的牵连点，要求确定运动变量要求确定运动变量l2，1，l2，1，l2，1。(1)(1)位置分析位置分析 由于由于2 2已知，已知，l2 2待求，
43、将式待求，将式(2)(2)消去消去1 1可得：可得：l2 22 2+2(ucos+2(ucos2 2+vsin+vsin2 2)l2 2+(u (u2 2+v+v2 2-l1 12 2)=0)=0 由此解得：由此解得：l2 2=-(ucos=-(ucos2 2+vsin+vsin2 2)l12-(usin(usin2 2-vcos-vcos2 2)2 2 式中式中+号用于转动副中心号用于转动副中心P P3 3处在处在P P2 2H H线段之外（图中线段之外（图中m=+1m=+1的的位置），位置），-号用于号用于P P3 3处在处在P P2 2H H线段之内（图中线段之内（图中m=-1m=-1的
44、位置）。的位置）。1 1由式由式(5)(5)而定。而定。(2)(2)速度分析速度分析对式对式(2)(2)求导一次得：求导一次得：A A1 11 1+A+A5 5 l2 2=G=G，A A2 21 1+A+A6 6 l2 2=H =H (11)(11)其中：其中：A A1 1，A A2 2同前，同前，A A5 5=-cos=-cos2 2，A A6 6=-sin=-sin2 2，G=uG=u+l2 A A62，H=vH=v-l2 2A A5 52 2解式解式(11)(11)可得：可得：1 1=1 1=(A=(A6 6G-AG-A5 5H)/DH)/D8 8 l2 2=(A=(A1 1H-AH-A
45、2 2G)/DG)/D8 8 (12)(12)其中：其中：D D8 8=A=A1 1A A6 6-A-A2 2A A5 5=l1 1 cos(cos(1 1-2 2)(3)加速度分析加速度分析 对式对式(11)求导一次得：求导一次得：A11+A5 l2=E1，A21+A6 l2=F1 (13)其中：其中：E1=u+A212+2A6 l22+l2A522+l2A62 F1=v-A112-2A5 l22+l2 A622-l2 A52 解式解式(13)可得：可得：1=1=(A6 E1-A5 F1)/D8 l2=(A1 F1-A2 E1)/D8 (14)由上述式子可设计出由上述式子可设计出RRR杆组运
46、动分析子程序杆组运动分析子程序 （见程序单）。（见程序单）。4)RPR杆组杆组 如图所示如图所示RPRRPR级杆组中，已知杆长级杆组中，已知杆长l1 1及两外接点及两外接点P1 1，P2 2的运动，的运动，l1 1为为P1 1点至导路的垂直距离，点至导路的垂直距离，P2 2为过为过P2 2 与导路与导路垂直延伸点，延伸距离为垂直延伸点，延伸距离为w（当（当P2 2与与P1 1在导路同侧时，在导路同侧时，w取取正，在异侧时，正，在异侧时，w w取负），要求确定运动变量取负），要求确定运动变量l2 2，1 1，2 2，l2 2 ，1 1 ，2 2 ，l2 2 ，1 1 ，2 2 。(1)(1)位置
47、分析位置分析 1 1与与2 2的关系为：的关系为：2 2=1 1/2 (15)/2 (15)式中式中+号和号和-号分别对应图中号分别对应图中m=+1m=+1和和 m=-1m=-1两位置。两位置。l1 1与与l2 2有如下关系：有如下关系：21222)(wlvul(16)(16)由式由式(4)(4)和式和式(16)(16)可得：可得：tan(tan(2 2/2)=v/2)=v(l1 1-w)/(u-w)/(u-l2 2)(17)(17)(2)(2)速度分析速度分析 由于由于1 1=2 2，引进符号，引进符号i（i=1,2=1,2），对式），对式(2)(2)求导一次得：求导一次得：A A7 7i
48、+A+A5 5 l2 2=u=u，A A8 8i +A+A6 6 l2=v (18)(18)其中：其中：A A7 7=-(=-(l1 1-w)sin-w)sin1 1+l2 2sinsin2 2 A A8 8=(=(l1 1-w)cos-w)cos1 1-l2 2coscos2 2 解式解式(18)(18)可得：可得：i =i=(A=(A6 6u-Au-A5 5v)/(-v)/(-l2 2)l2 2=(A=(A7 7v-Av-A8 8u)/(-u)/(-l2 2)(19)(19)(3)(3)加速度分析加速度分析 对式对式(18)(18)求导一次得：求导一次得：A A7 7i+A+A5 5l2
49、2=E=E2 2，A A8 8i+A+A6 6l2 2=F=F2 2 (20)(20)其中：其中：E E2 2=u+A=u+A8 8i2 2+2A+2A6 6l2 2i，F F2 2=v-A=v-A7 7i2 2-2A-2A5 5l2 2i 解式解式(20)(20)可得：可得：i=I=(A=(A6 6E E2 2-A-A5 5F F2 2)/(-)/(-l2 2)l2 2=(A=(A7 7F F2 2-A-A8 8E E2 2)/(-)/(-l2 2)(21)(21)由上述式子可设计出由上述式子可设计出 RPRRPR杆组运动分析子程序（见程序杆组运动分析子程序（见程序单）。单）。在前面所有子程
50、序中，以在前面所有子程序中，以+m+m代替前面各式中出现的代替前面各式中出现的计计算符。算符。m m称之为型参数，在设计主程序时，应根据各类称之为型参数，在设计主程序时，应根据各类级级杆组不同的布置型式，确定杆组不同的布置型式，确定m m的取值（的取值（m m可取可取+1+1，-1-1和和0 0）。）。5)PRP杆组杆组 如图所示如图所示PRPPRP级杆组中，已知导路级杆组中，已知导路1 1，2 2两外接点两外接点P1 1，P2 2的运动，的运动，h1 1，h2 2分别为未知运动点分别为未知运动点P3 3至导路至导路1 1，2 2的垂直距离，的垂直距离，导路导路1 1，2 2的方位角、角速度、
