1、3.2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标1.能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或递减)和增函数、减函数的概念.2.理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念.3.能运用定义法证明函数的单调性导语同学们，大家有没有体验过过山车？我可是过山车的资深体验师哦，风驰电掣、疯狂刺激的上升与下落伴随着呐喊声和尖叫声，简直是一场视觉与听觉的盛宴当然，过山车的设计可是离不开数学家的身影，我们今天的这节课就和刺激的过山车游戏有关哦一、直观感知函数的单调性问题1观察下面三个函数图形，他们的图象有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？提示函数yx的图象从左向右看是上升
2、的；函数yx2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数yx2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的问题2如何理解函数图象是上升的？提示按从左向右的方向看函数的图象，意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值逐渐增大也就是说从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大知识梳理函数的单调性一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数如果x1
3、，x2D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数注意点：(1)区间D可以是整个定义域I，也可以是定义域的真子集(2)同区间性，即x1，x2D.(3)任意性，即不可以用区间D上的特殊值代替(4)有序性，即要规定x1，x2的大小(5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一(6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质例1已知函数f(x)x24|x|3，xR.根据图象写出它的单调区间解f(x)x24|x|3如图由图象可知，函数的单调递增区间为2,0)，2
4、，)，单调递减区间为(，2)，0,2)反思感悟(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开跟踪训练1画出函数y|x|(x2)的图象，并指出函数的单调区间解y|x|(x2)函数的图象如图实线部分所示由函数的图象知，函数的单调递增区间为(，0和1，)，单调递减区间为(0,1)二、利用定义证明函数的单调性例2证明函数f(x)在区间(2，)上单调递减证明x1，x
5、2(2，)，且x1x2，f(x1)f(x2).因为2x10，x4，x4，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)在(2，)上单调递减反思感悟利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2；(2)作差变形：作差f(x1)f(x2)或f(x2)f(x1)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式；(3)定号：确定f(x1)f(x2)或f(x2)f(x1)的符号，当符号不确定时，进行分类讨论(4)结论：根据定义确定单调性跟踪训练2求证：函数f(x)1在区间(，0)上单调递增证明x1，x2(，0)，且
6、x1x20，因为f(x1)f(x2)1，由题设可得，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故函数f(x)1在区间(，0)上单调递增三、函数单调性的简单应用例3(1)若函数f(x)x22(a1)x3在区间(，3上单调递增，则实数a的取值范围是_答案(，4解析f(x)x22(a1)x3(xa1)2(a1)23.因此函数的单调递增区间为(，a1，由f(x)在(，3上单调递增知3a1，解得a4，即实数a的取值范围为(，4(2)已知函数f(x)若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为_答案4,8)解析因为f(x)是R上的增函数，所以解得4af(5x6)，则实数x的取值范围
7、为_若该函数f(x)是定义在(0，)上的减函数，则x的取值范围为_答案(，1)解析若f(x)在(，)上是增函数，且f(2x3)f(5x6)，则2x35x6，即x，x的取值范围为.1知识清单：(1)增函数、减函数的定义(2)函数的单调区间2方法归纳：数形结合法3常见误区：(1)函数的单调区间不能用并集(2)利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域1. 函数yf(x)，x4,4的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是()A4,4B4，31,4C3,1D3,4答案C解析由图象知f(x)的单调递增区间为3,12若函数f(x)在R上是减函数，则有()Af(3)f(5) Df(3)f(5)答案C
8、解析因为函数f(x)在R上是减函数，3f(5)3若y(2k1)xb是R上的减函数，则有()Ak BkCk Dk答案C解析由2k10，得k.4已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x22)f(x)，则x的取值范围是_答案(2,1)解析由x22x，即x2x20，解得2x0B(x1x2)f(x1)f(x2)0C若x1x2，则f(a)f(x1)f(x2)0答案C解析因为f(x)在a，b上单调递增，对于任意的x1，x2a，b(x1x2)，x1x2与f(x1)f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1x2，则f(a)f(x1)f(3) Bf(2)f(5)Cf(3)f(5) Df(3)f(
9、6)答案D解析f(x)关于x4对称且在(4，)上单调递减，f(x)在(，4)上单调递增，且f(5)f(3)，f(6)f(2)，f(3)f(2)f(6)，故选D.5已知函数f(x)4x2kx8在(，5上具有单调性，则实数k的取值范围是()A(24,40) B24,40C(，24 D40，)答案D解析函数f(x)4x2kx8的图象的对称轴方程为x，且函数f(x)4x2kx8在(，5上具有单调性，根据二次函数的性质可知5，解得k40，则k的取值范围为40，)6(多选)下列函数中，在区间(，0)上单调递增的是()Af(x) Bf(x)xCf(x)x2 Df(x)1x答案ABC解析由函数的图象知f(x)
10、，f(x)x，f(x)x2 在(，0)上单调递增7函数y|x22x3|的单调递增区间是_答案1,1和3，)解析y|x22x3|(x1)24|，作出该函数的图象，如图由图象可知，其单调递增区间为1,1和3，)8已知函数yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，则实数a的取值范围为_答案解析由题意知解得0af(a)，则实数a的取值范围是()A(，2) B(2，)C(，2) D(2，)答案A解析画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增，故f(4a)f(a)4aa，解得a1的实数x的取值范围是()A(3，) B(，3)C2,3) D0,3)答案C13已知函数f(x
11、)在(，)上是增函数，则实数a的取值范围是()A(，2 B2,0)C3,0) D3，2答案D解析由于函数f(x)在(，)上是增函数，因此函数h(x)x2ax5在区间(，1上单调递增，g(x)在区间(1，)上单调递增，且g(1)h(1)，即解得3a2.14若函数f(x)ax2(a3)x1在(1，)上单调递减，则实数a的取值范围是_答案3,0解析a0时，f(x)3x1在R上单调递减，a0满足条件；a0时，f(x)ax2(a3)x1，对称轴为x，解得3a0，且满足条件f(4)1，对于任意x1，x2(0，)，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1x2时，有0.(1)求f(1)的值；(2)若f(x6)f(x)2，求x的取值范围解(1)对任意x1，x2(0，)，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(11)f(1)f(1)，即f(1)2f(1)，f(1)0.(2)设0x10，得f(x2)f(x1)0，即f(x1)f(16)，f(x6)x)f(16)，解得x2，x的取值范围是(2，)
