1、习题课函数的零点与方程的解学习目标1.进一步应用函数零点存在定理，已知零点(方程的解)的情况求参数范围.2.掌握一元二次方程的根的分布情况一、根据零点情况求参数范围例1若函数f(x)x3ax2bxc有三个零点0,1，x0，且x0(1,2)，则a的取值范围是()A(2,0) B(1,2)C(2,3) D(3，2)答案D解析因为函数f(x)x3ax2bxc有三个零点0,1，x0，所以解得所以f(x)x3ax2(1a)xx(x1)(xa1)，所以x01a，又x0(1,2)，所以11a2，解得3a2.反思感悟已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根
2、，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，利用数形结合的方法求解跟踪训练1若方程xlg(x2)1的实根在区间(k，k1)(kZ)上，则k等于()A2 B1C2或1 D0答案C解析由题意知，x0，则原方程即为lg(x2)，在同一平面直角坐标系中作出函数ylg(x2)与y的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(2，1)上，一个在区间(1,2)上，所以k2或k1.二、一元二次方程的根的分布问题例2已知关于x的方程x22(m1)x2m60.
3、(1)若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求实数m的取值范围；(2)若方程有两个实根，且满足014，求实数m的取值范围；(3)若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围解设f(x)x22(m1)x2m6，(1)f(x)的大致图象如图所示，f(2)0，即44(m1)2m60，得m1，实数m的取值范围为(，1)(2)f(x)的大致图象如图所示，解得m，实数m的取值范围为.(3)方程至少有一个正根，则有三种可能的情况，有两个正根，此时如图1，可得即3m1.有一个正根，一个负根，此时如图2，可得f(0)0，得m3.有一个正根，另一根为0，此时如图3，可得m3.综上所述，当方程至少有一个正根时，实
4、数m的取值范围为(，1反思感悟一元二次方程根的分布问题转化为二次函数的图象与x轴交点的情况，先将函数草图上下平移，确定根的个数，用判别式限制，再左右平移，确定对称轴有无超过区间，或是根据根的正负问题，用根与系数的关系进行限制跟踪训练2已知函数f(x)2x4xm，x1,1(1)当m2时，求函数f(x)的零点；(2)若函数f(x)在1,1上有零点，求实数m的取值范围解(1)当m2时，f(x)2x4x2，得2x4x20.2x2或2x1(舍去)，解得x1.函数的零点为x1.(2)f(x)2x4xm02x4xm，令g(x)2x4x，函数f(x)有零点等价于方程2x4xm有解，等价于m在g(x)的值域内，
5、设t2x，x1,1，t，则tt22，当t时，g(x)max，当t2时，g(x)min2.g(x)的值域为.m的取值范围为.1知识清单：(1)根据零点情况求参数的取值范围(2)一元二次方程根的分布2方法归纳：判别式法、数形结合法3常见误区：不能把函数、方程问题相互灵活转化1若函数f(x)x22xa在(0,2)上有两个零点，则a的取值范围为()A(0,2) B(0,1) C(1,2) D(，1)答案B解析函数f(x)x22xa在(0,2)上有两个零点，函数f(x)的图象的对称轴为x1，可得即解得0a1.则a的取值范围为(0,1)2已知函数f(x)mx1的零点在区间(1,2)内，则m的取值范围是()
6、A.B.C.D(，1)答案B解析因为函数f(x)mx1的零点在区间(1,2)内，且此函数是连续函数，所以f(1)f(2)0，即(m1)(2m1)0，解得1m.3函数f(x)3xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(2,7) B(1,6)C(1,7) D(2,6)答案C解析由题意可得f(1)f(2)(34a)(92a)0，即(a1)(a7)0，解得1a7，故实数a的取值范围是(1,7)4若函数f(x)3x25xa的一个零点在区间(2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是_答案(12,0)解析f(x)3x25xa的一个零点在区间(2,0)内，另一个零点在
7、区间(1,3)内，即解得12a0，故a的取值范围为(12,0)1当|x|1时，函数f(x)ax2a1的值有正也有负，则实数a的取值范围是()A. B(，1C. D.答案C解析|x|11x1.当a0时，f(x)1，函数值恒为正，不符合题意；当a0时，要想函数f(x)ax2a1的值有正也有负，只需f(1)f(1)0，即(a2a1)(a2a1)(3a1)(a1)01a.综上所述1a6 B4k7C6k6或k2答案C解析关于x的方程x2kxk30的两个不相等的实数根都大于2，设两根为x1，x2，解得6k0，a1)存在零点，则实数a的取值范围是()A.(1,3) B(1,3C(2,3) D(2,3答案C解
8、析由函数的解析式可知a2，因为指数函数yax单调递增，在区间(2，a上无零点，所以函数yloga(x2)在区间(a，)上存在零点，由于yloga(x2)单调递增，故当xa时，有loga(a2)0loga1，从而a21a3，所以实数a的取值范围是(2,3)4方程xlog3x3的解为x0，若x0(n，n1)，nN，则n等于()A0 B1 C2 D3答案C解析设f(x)xlog3x3，则f(1)1log31320，f(2)2log323log3210，又易知f(x)为增函数，所以方程xlog3x3的解在(2,3)内，因此n2.5若方程x2ax40的两实根中一个小于1，另一个大于2，则a的取值范围是(
9、)A(0,3) B0,3C(3,0) D(，1)(3，)答案A解析因为方程x2ax40有两根，一个大于2，另一个小于1，所以函数 f(x)x2ax4有两个零点，一个大于2，另一个小于1，由二次函数的图象可知，即 解得0a2，即0a，选项B，C，D符合题意7已知函数f(x)若函数g(x)f(x)k有三个零点，则k的取值范围是_答案(1,1)解析令g(x)f(x)k0，可得f(x)k，作出yf(x)的图象，如图，由图可知，当yk与yf(x)的图象有三个不同的交点时，1k1，所以k的取值范围是(1,1)8已知函数f(x)若正实数a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围为_答
10、案(e，e2)解析画出f(x)的图象如图所示，正实数a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，不妨设abc，则由图象可得0a1bece2，且ln aln b，则可得ab1，abcc(e，e2)9函数f(x)x22|x|a1有四个不同的零点，求实数a的取值范围解由f(x)0得a12|x|x2，因为函数f(x)x22|x|a1有四个不同的零点，所以函数ya1与y2|x|x2的图象有四个交点，画出函数y2|x|x2的图象，如图所示，观察图象可知，0a11，即1a0，即412(1m)0，解得m.由0，解得m；由.故当m时，函数无零点(2)由题意知0是方程3x22xm10的根，故有1m0，解得m1
11、.11若mR，“函数ylogmx在(0，)上单调递减”是“函数y2xm1有零点”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析函数ylogmx在(0，)上单调递减，0m1，即m(0,1)；又函数y2xm1有零点，函数y12x的图象与直线ym有交点2x0，y12x1，函数y12x的值域为(，1)，m(，1)(0,1)(，1)，“函数ylogmx在(0，)上单调递减”是“函数y2xm1有零点”的充分不必要条件12已知a，b，c，d都是常数，ab，cd，若f(x)2 022(xa)(xb)的零点为c，d，则下列不等式正确的是()Aacbd BabcdCcdab
12、Dcabd答案D解析由题意设g(x)(xa)(xb)，则f(x)2 022g(x)，且g(x)0的两个根是a，b.由题意知f(x)0的两根是c，d，也就是g(x)2 022的两根，画出g(x)(开口向上)以及y2 022的大致图象(图略)，则y2022与g(x)的图象交点的横坐标就是c，d，g(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是a，b，则c，d在a，b外，又ab，cd，由图得cabd.13对实数a，b，定义运算“*”：a*b设函数f(x)(x21)*(x2)，若函数yf(x)c有两个零点，则实数c的取值范围是()A(2,4)(5，) B(1,2(4,5C(，1)(4,5 D1,2答案B解析由题
13、意知，当(x21)(x2)1，即1x2时，f(x)x21；当(x21)(x2)1，即x2或x1时，f(x)x2.f(x)函数yf(x)c有两个零点，函数yf(x)的图象与函数yc的图象有两个交点画出函数yf(x)的图象，如图所示由图可知，当c(1,2(4,5时，函数yf(x)c有两个零点14已知函数f(x)若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)f(x2)，则实数a的取值范围是_答案(0,1)解析因为存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)f(x2)，故函数不是单调函数，又yx1与y2x的图象交于点(0,1)和(1,2)，画出图象如图所示，由图可知，当0a1时，满足题意即实数a的
14、取值范围是(0,1)15已知函数f(x)若函数g(x)f2(x)3f(x)m(mR)有三个零点，则m的取值范围为()Am Bm28C28m28答案B解析画出函数f(x)的大致图象如图所示设tf(x)，则由图象知，当t4时，tf(x)有两个根，当t4时，tf(x)只有一个根函数g(x)f2(x)3f(x)m(mR)有三个零点，等价为函数g(x)h(t)t23tm有两个零点，其中t14，t24，则满足解得即m28.16若在定义域内存在实数x0使f(x01)f(x0)f(1)成立，则称函数有“漂移点”x0.(1)请判断函数f(x)是否有漂移点？并说明理由；(2)求证：函数f(x)x23x在(0,1)
15、上存在漂移点；(3)若函数f(x)lg在(0，)上有漂移点，求实数a的取值集合(1)解假设函数f(x)有“飘移点” x0，则2，即xx010，由此方程无实根，与题设矛盾，所以函数f(x)没有飘移点(2)证明令h(x)f(x1)f(x)f(1)(x1)23x1(x23x)423x2x3，所以h(0)1，h(1)5.所以h(0)h(1)0，又h(x)在(0,1)上连续，所以h(x)0在(0,1)上至少有一个实根x0，即函数f(x)x23x在(0,1)上存在漂移点(3)解若f(x)lg在(0，)上有飘移点x0，所以lglglg a成立，即a，a0，整理得a2，由x00，得01，则0a1.则实数a的取值集合是a|0a1
