1、4.3.1对数的概念学习目标1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值导语大家阅读课本128页的“阅读与思考”(大约3分钟)，可以发现，对数的出现是基于当时天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展的需要而出现的经过不断发展，人们发现，对数与指数存在互逆的关系，然而更有意思的是“对数源出于指数”，而对数的发明却先于指数，对数是用来解决指数所不能解决的问题，让我们一起来发现对数与指数的关系吧！一、对数的概念问题1我们知道若2x4，则x2；若3x81，则x4；若x128，则x7等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x3，1.11x2，10x5等
2、这样的指数方程，你能求出方程的解吗？提示用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解知识梳理对数的定义：一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数注意点：(1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换(2)logaN的读法：以a为底N的对数例1若对数式log(t2)3有意义，则实数t的取值范围是()A2，) B(2,3)(3，)C(，2) D(2，)答案B解析要使对
3、数式log(t2)3有意义，需解得t2，且t3.所以实数t的取值范围是(2,3)(3，)反思感悟关于对数式的范围利用式子logab求字母的范围跟踪训练1在Mlog(x3)(x1)中，要使式子有意义，x的取值范围为()A(，3 B(3,4)(4，)C(4，) D(3,4)答案B解析由对数的概念可得解得3x4.二、对数与指数的互相转化问题2现在你能解指数方程2x3，1.11x2，10x5了吗？提示xlog23；xlog1.112；xlog105.知识梳理两类特殊对数(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N.(2)以无理数e2.718 28为底的对数称为自然对数，并把loge
4、N记为ln N.例2将下列指数式与对数式互化：(1)log2164；(2)；(3)ln 102.303；(4)4364；(5)32；(6)1030.001.解(1)2416.(2)327.(3)e2.30310.(4)log4643.(5)log32.(6)lg 0.0013.反思感悟指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式跟踪训练2下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A1001与lg 10B与Clog39与Dlog551与515答案C解析因为化为
5、对数式应为log93，故C不正确三、对数的计算问题3你能把201,212，log2xlog2x化成对数式或指数式吗？提示log210；log221；x.知识梳理对数的性质(1)loga10(a0，且a1)(2)logaa1(a0，且a1)(3)0和负数没有对数(4)对数恒等式：N；logaaxx(a0，且a1，N0)例3求下列各式的值log981_.log0.41_.ln e2_.答案202解析设log981x，所以9x8192，故x2，即log9812.设log0.41x，所以0.4x10.40，故x0，即log0.410.设ln e2x，所以exe2，故x2，即ln e22.反思感悟对数式
6、中求值的基本思想和方法(1)基本思想在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解(2)基本方法将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题利用幂的运算性质和指数的性质计算跟踪训练3求下列各式的值：(1)log28；(2)log9；(3)ln e；(4)lg 1.解(1)设log28x，则2x823.x3.log283.(2)设log9x，则9x91，x1.log91.(3)ln e1.(4)lg 10.四、利用对数性质求值例4求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)0；(2)log3(lg x)1；(3)；(4)log27x；(5)logx164.解(1)lo
7、g2(log5x)0，log5x201，x515.(2)log3(lg x)1，lg x313，x1031 000.(3).(4)由log27x，得32.(5)由logx164，得x416，即x44，又x0，且x1，x.延伸探究把本例(1)中的“log2(log5x)0”改为“log2(log5x)1”，求x的值解因为log2(log5x)1，所以log5x2，则x5225.反思感悟利用对数的性质求值的方法(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga10和logaa1(a0且a1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，
8、逐步脱去“log ”后再求解跟踪训练4求下列各式中x的值(1)；(2)logx494；(3)lg 0.000 01x；(4)ln x；(5)log8log7(log2x)0；(6)log2log3(log2x)1.解(1)x327.(2)由x449，x0且x1，得x.(3)由10x0.000 01105，得x5.(4)由ex，得x.(5)由log8log7(log2x)0，得log7(log2x)1，即log2x7，x27.(6)由log2log3(log2x)1，得log3(log2x)2，log2x9，x29.1知识清单：(1)对数的概念(2)自然对数、常用对数(3)指数式与对数式的互化(
9、4)对数的性质2方法归纳：转化法3常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围1对数log(a3)(5a)中实数a的取值范围是()A(，5)B(3,5)C(3，2)(2,5)D(3，)答案C解析要使对数log(a3)(5a)有意义，则解得a(3，2)(2,5)223化为对数式为()A BClog23 Dlog2(3)答案C解析根据对数的定义知选C.3已知c，则有()Aa2bc Ba2cbCbc2a Dc2ab答案B解析由题意得(a2)cb，即a2cb.4计算：3log222log313log773ln 1_.答案0解析原式312031300.1logab1成立的条件是()Aab Bab且b0Ca0
10、，a1 Da0，ab1答案D解析由logab1得，a0且ab1.2使对数loga(2a1)有意义的a的取值范围为()Aa且a1 B0a0且a1 Da答案B解析由题意知解得0a0，且x1，x4.4已知，则x等于()A8 B8 C4 D4答案B解析由题意得()x81，即34，则x8.5对于a0且a1，下列说法正确的是()若MN，则logaMlogaN；若logaMlogaN，则MN；若logaM2logaN2，则MN；若MN，则logaM2logaN2.A BC D答案C解析中，若M，N小于或等于0时，logaMlogaN不成立；正确；中，M与N也可能互为相反数；中，当MN0时不正确6(多选)下列
11、等式正确的有()Alg(lg 10)0Blg(ln e)0C若lg x10，则x10D若ln xe，则xe2答案AB解析A项，lg(lg 10)lg 10，故A正确；B项，lg(ln e)lg 10，故B正确；C项，若lg x10，则x1010，故C错误；D项，若ln xe，则xee，故D错误7若alog23，则2a2a_.答案解析alog23，2a3，2a2a2a3.8若，则x_.答案解析由题意得，x3.9将下列指数式、对数式互化(1)35243；(2)25；(3)；(4)log21287.解(1)log32435.(2)log25.(3)481.(4)27128.10若，m2，求的值解，m
12、x，x22m.m2，m2y，y2m4.2m(2m4)416.11若logxz，则x，y，z之间满足()Ay7xz Byx7zCy7xz Dyz7x答案B解析由题意得xz，y(xz)7x7z.12化简等于()A14 B0 C1 D6答案B解析原式432(2)30.13设f(log2x)2x(x0)，则f(2)的值是()A128 B16 C8 D256答案B解析由log2x2可知x4，所以f(2)2416.14若alg 2，blg 3，则的值为_答案解析alg 2，10a2.blg 3，10b3.15若a0，则等于()A2 B3 C4 D5答案B解析因为，a0，所以a3，设，所以xa，所以x3.16若 ，试确定x，y，z的大小关系解由0，得1，log3y，.由，得，log2x，.由，得，log5z，31021556，yxz.
