1、第一节第一节 随机事件及其运算随机事件及其运算第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 医药数理统计，是研究和揭示随机现象规律性的一门数学学科。一、基本概念一、基本概念 在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。（一）随机现象（一）随机现象例如：抛一枚硬币；新药对某疾病的治疗效果 随机现象的特点：随机现象的特点：1、结果不止一个；2、哪一个结果出现，人们事先并不知道。如果，发生了只出现一种结果的现象，那我们称它为确定性现象确定性现象。例例1-1 你能举出哪些随机现象的例子？你能举出哪些随机现象的例子？1、抛一枚硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上。2、掷一颗骰子，出现的点数。
2、3、一天内进入超市的顾客数。4、某种型号电视机的寿命。5、测量某物理量（长度、直径等）的误差。在相同条件下，可以重复的随机现象称为随机试验。简称试验，用字母E表示。（二）随机试验（二）随机试验例如，：从一批含有合格品和次品的药品中任意抽取一个药品，抽得的药品质量。（三）样本空间（三）样本空间 对于随机试验E，尽管在每次试验之前不能预知试验的结果，但试验的所有可能的基本结果是已知的，我们将随机试验E的所有可能的基本结果组成一个集合，那么这个集合称为E的样本空间，记为 。其中 表示基本结果。例1-2 写出下列随机试验的样本空间。1、抛一枚硬币。2、掷一颗骰子。3、电视机的寿命。4、测量误差。样本空
3、间的元素，就是随机试验E的每个基本结果，称为样本点样本点。（四）随机事件（四）随机事件 在进行随机试验时，人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合，称这个集合为随机事件。简称事件，常用大写字母A，B，C，表示。掷一颗骰子中，“出现奇数点”是一个事件，记作必然事件必然事件 样本空间 包含所有样本点，它是 自身的子集，在每次试验中它总是发生。不可能事件不可能事件 空集 不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生。事件发生事件发生 在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。基本事件基本事件 由一个样本点组成的单点集合。例如，抛一枚硬币这个随机试
4、验，样本空间 该试验有两个基本事 件 。Venn图表示事件图表示事件 在概率论中，常用一个长方形表示样本空间，用其中一个圆或其他几何图形表示事件A，这类图形称为Venn图。图1-1样本空间样本点两个或两个以上样本点需表示成：例1-3 掷一颗骰子的样本空间为事件A=“出现1点”，它由 的单样本点“1”组成。事件B=“出现偶数点”，它由 的三个样本点“2”，“4”，“6”组成。事件C=“出现点数小于7”，它由 的全部样本点“1”“2”“3”“4”“5”“6”组成，即必然事件。事件D=“出现的点数大于6”，中任一样本点都不在D中，所以D是空集，即不可能事件。（五）随机变量（五）随机变量 用来表示随机
5、试验结果的变量称为随机变量，常用字母X，Y，Z表示。例1-4 1、掷一颗骰子，出现的点数是一个随机变量，记作X，则事件“出现3点”可用“X=3”表示，事件“出现的点数不小于3”可用“”表示；又如出现“X3”表示事件“”出现点数小于32、掷两颗骰子的样本空间为共有36个样本点。若记X表示第一颗骰子出现的点数，Y表示第二颗骰子出现的点数，那么事件“点数之和等于5”可表示成“X+Y=5”=事件“”表示事件“最大点数为6”3、检查10件产品，其中不合格品数为X是一个随机变量，它可以取值：0,1,2,3,4，10。事件“不合格品数不多于1件”可以表示成“”；“”表示事件“”不合格品数超过2件4、电视机的
6、寿命T是一个随机变量，则事件“寿命超过40 000h”可表示成“”。事件“寿命不超过10000h”可表示成“”在不少场合，用随机变量表示事件较为简洁明了，这样一来，事件有三种表示方法：1、用集合表示。2、用语言表示，但语言要明白无误。3、用随机变量表示。二、事件间的关系及其运算二、事件间的关系及其运算（一）事件间的关系（一）事件间的关系 下面的讨论总是假设在同一个样本空间 （即同一个随机试验）中进行，事件间的关系与集合的关系一样有以下几种：1、包含关系、包含关系图1-2 如果属于A的样本点必属于B，则称A被包含在B中，记为 （或称B包含A，记为 ）。用概率论的语言说：事件A发生必然导致事件B发
7、生。2、相等关系、相等关系 如果事件A与事件B满足：属于A的样本点必属于B，而且属于B的样本点也属于A，即 且 ,则称事件A与B相等，记作A=B。例如，掷两颗骰子，记事件A=“两颗骰子的点数之和为奇数”，事件B=“两颗骰子的点数为一奇一偶”，显然A发生必然导致B发生，并且B发生也必然导致A发生，所以A=B3、互不相容关系、互不相容关系图1-3 如果A与B没有相同的样本点，则称A与B互不相容（互斥）。在电视寿命试验中，“寿命小于1万小时”与“寿命大于5万小时”是两个互不相容的事件，因为它们不可能同时发生。用概率论的语言说：A与B互不相容就是A与B不可能同时发生。（二）事件运算（二）事件运算 事件
8、的运算与集合的运算相当，有并、交、差、余等四种。1 1、事件、事件A A与与B B的并（和），记为的并（和），记为 （或（或A+BA+B）图1-4含义：事件A与事件B中所有的样本点组成的新事件。用概率论的语言说：事件A与事件B中至少有一个发生。例如，在掷一颗骰子的试验中，记事件A=“出现奇数点”=1,3,5，事件B=“出现的点数不超过3”=1,2，3，则事件A与B的并为2 2、事件、事件A A与与B B的交（积），记为的交（积），记为 （或（或ABAB）图1-5含义：由事件A与事件B中公共的样本点组成的新事件。用概率论的语言说：事件A与事件B同时发生。例如，在掷一颗骰子的试验中，记事件A=“出
9、现奇数点”=1,3,5，事件B=“出现的点数不超过3”=1,2，3，则事件A与B的交为 若事件A与B为互不相容，其交为不可能事件，即 ；反之亦然。这表明：就意味着A与B是互不相容事件。3 3、事件、事件A A对对B B的差，记为的差，记为A-BA-B。含义：由事件A中而不在事件B中的样本点组成的新事件。用概率论的语言说：事件A发生而事件B不发生。图1-6 例如，在掷一颗骰子的试验中，记事件A=“出现奇数点”=1,3,5，事件B=“出现的点数不超过3”=1,2，3，则事件A对B的差为 再如，设X为随机变量，则有：4 4、对立事件、对立事件事件A的对立事件，记为 ，即“由在 中而不在A中的样本点组
10、成的新事件”。用概率论的语言说：事件A不发生。即图1-7注意：对立事件是相互的，即A的对立事件是，而 的对立事件是A；必然事件与不可能事件互为对立事件。例如，在掷一颗骰子的试验中，记事件A=“出现奇数点”=1,3,5，A的对立事件是事件B=“出现的点数不超过3”=1,2，3，B的对立事件是A与B互为对立事件的充要条件是：（三）事件的运算性质（三）事件的运算性质例1-5 依次检查三人的肝脏功能，记A=第一人正常，B=第二人正常，C=第三人正常，试写出这一试验的下列事件：（1）只有第一人正常；（2）只有一人正常；（3）三人都不正常；（4）至少有一人正常；（5）只有第三人不正常。第二节第二节 事件的
11、概率及其运算事件的概率及其运算第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率一、排列与组合一、排列与组合（一）两个计数原理（一）两个计数原理1 1、加法原理（分类计数原理）、加法原理（分类计数原理）（一）两个计数原理（一）两个计数原理2 2、乘法原理（分步计数原理）、乘法原理（分步计数原理）（二）排列与组合公式（二）排列与组合公式 排列与组合都是计算“从n个不同的元素中任取m个元素”的取法总数式，其主要区别在于：如果不讲究取出元素的次序，则用组合公式，否则用排列。1、排列 从n个不同的元素中任取m 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的一个排列。此种排列的总数（排列数
12、）记为：当 时，称为全排列，记为 ，显然2、组合 从n个不同的元素中任取m 个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的一个组合。此种组合的总数（组合数）记为：规定 ，二、概率的定义二、概率的定义 对于一个随机事件来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生。但在大量重复试验中，我们还是可以发现它的内在规律，也就是说它发生的可能性的大小是可以“度量”。抛硬币试验抛硬币试验 表示试验次数n表示正面 发生的频数HnH 表示 发生的频率nfHH但随着 逐渐增大，总是在0.5附近摆动，逐渐稳定于0.5。nnfH（一）概率的统计定义（一）概率的统计定义性质1对于任意事件，有 01P A性质2必然事
13、件概率：1P 不可能事件概率：0P由概率的统计定义，可以得到如下性质：如果随机试验具有下述两个特点：（二）概率的古典定义（二）概率的古典定义1、试验的样本空间只包含有限个样本点；2、试验中每个基本事件发生的可能性相同。这种试验称为等可能概型。它在概率论发展初期是主要的研究对象，所以也称为古典概型。定义定义1-21-2设是 古典概型的随机试验，是它的样本空间E事件 由 个不同的基本事件组成，则 的概率为Am mnAmAPAn中包含的基本事件数基本事件总数称上述定义为概率的古典定义概率的古典定义。例例2-1 2-1 掷两枚硬币，求出现一个正面一个反面的概率。例例2-2 2-2 将一将一枚硬币抛掷三
14、次，试求：（1）事件恰有一次出现正面的概率；（2）事件至少一次出现正面的概率？（1）事件 包含的基本事件数 ，得A3m 38mP An（2）事件 中包含的基本事件数 ，得7m B 78mP Bn解：解：将一枚硬币抛掷三次，每种结果就是一个基本事件，则其基本事件总数为 ，则8n 例例2-3 2-3 从10件药品（其中次品3件）中，任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率。分析分析：从10件药品中任取4件的样本空间含有个基本事件，事件A=从10件药品中任取4件恰有1件为次品中含有个基本事件，所以事件A发生的概率为：三、概率的运算三、概率的运算（一）概率的加法公式（一）概率的加法公式1 1、互斥事件
15、和的概率公式、互斥事件和的概率公式2 2、对立事件的概率公式、对立事件的概率公式 1P AP A 设 、为两个互斥事件，其和的概率公式为 P ABP AP BA B3 3、概率的加法公式、概率的加法公式设 、两个任意事件，则通常称为和事件概率加法公式和事件概率加法公式。P ABP AP BP ABAB例例2-4 2-4 某班组织数学和英语两个学习兴趣小组，全班共45人。其中15人参加数学学习小组，18人参加英语学习小组，而参加两个学习小组的有6人，在该班中任意抽查1名学生，求他参加学习兴趣小组的概率是多少？分析：设A=参加数学学习小组，B=参加英语学习小组，由题可知，参加兴趣小组是参加数学学习
16、小组和英语学习小组两事件之和，即A+B，事件A与B是相容的。例例2-5 2-5 36只灯泡中4只是60瓦，其余都是40瓦的，现从中任取3只，求至少取到一只60瓦灯泡的概率。解：记事件A=取出的3只中至少有一只60瓦，那么其对立事件 =取到了3只都是40瓦（二）条件概率公式（二）条件概率公式 在实际问题中不仅存在“求某事件发生的概率”这类问题，还需要解决“在某事件发生的条件下，求另一事件发生的概率”问题。类似地，如果 ，那么我们称 0P A P ABP B AP A为事件 发生的条件下事件 发生的条件概率。AB定义定义1-31-3 设 和 为试验 中两事件，且 ，则称ABE 0P B 为事件 发
17、生的条件下事件 发生的条件概率。AB P ABP A BP B例2-6 考察有两个小孩的家庭，其样本空间为=bb，bg，gb，gg，试求：（1）事件A=家中至少有一个女孩的概率；（2）事件B=家中至少有一个男孩发生，再求事件A发生的概率。例2-7 一批产品中有N件正品，M件次品，无放回地抽取两次，每次取1件，求：（1）在第1次取到正品的条件下，第2次取到正品的概率；解：设A=在第1次取到正品，B=第2次取到正品（1）共有产品（N+M）件，第1次取到正品后，还有（M+N-1）件产品，其中（N-1）件正品，故例2-7 一批产品中有N件正品，M件次品，无放回地抽取两次，每次取1件，求：（2）在第1次
18、取到次品的条件下，第2次取到正品的概率。解：设A=在第1次取到正品，B=第2次取到正品（2）共有产品（N+M）件，第1次取到次品后，还有（M+N-1）件产品，其中N件正品，故（三）概率的乘法公式（三）概率的乘法公式当 时，有 0P A P ABP A P B A含义：两事件的积事件概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件出现下的条件概率的乘积。当 时，有 P ABP B P A B 0P B 例2-8 一批零件共100个，其中有10个不合格品。从中一个一个取出，求第三次才取的不合格品的概率是多少？解：以 记事件“第i次取出的不是合格品”，i=1，2，3。则所求概率为，由乘法公式得：例2-9
19、 某种疾病能导致心肌受损，若第一次患该病，则心肌受损害的概率为0.3，第一次患病心肌未受损害而第二次再患该病时，心肌受损害的概率为0.6，试求某人患病两次心肌未受损害的概率。（四）事件的独立性（四）事件的独立性 两个事件之间的独立性是指：一个事件的发生不影响另一个事件的发生。这在实际问题中是很多的，譬如在掷两颗骰子的试验中，记事件A=第一颗骰子的点数为1，事件B=第二颗骰子的点数为4，显然A与B的发生是互不影响的。1、定义 如果事件 发生与否不影响事件 的发生，即 ，则称事件 独立于事件 。AB P B AP B 0P A BA说明：说明：（1）两个事件独立总是相互的。（2）如果 与 相互独立，则 与 、与 以及 与 都是相互独立的。ABABABAB2、事件独立的充要条件 两个事件独立的充要条件是它们的积事件的概率等于其各自概率的积。即 P ABP A P B推广推广 若 个事件 相互独立，则有n12,.,nA AA
