1、第第 4 讲讲 万有引力与航天万有引力与航天 知识排查 开普勒三定律 1.开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个 焦点上。 2开普勒第二定律：对于任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内 扫过相等的面积。 3开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次 方的比值都相等。 万有引力定律及其应用 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力 的大小与物体的质量 m1和 m2的乘积成正比，与它们之间距离 r 的平方成反比。 2表达式：FGm1m2 r2 G 为引力常量：G6.6710 11 N m2/kg2。 3适
2、用条件 (1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大 小时，物体可视为质点。 (2)公式适用于质量分布均匀的球体之间的相互作用，r 是两球心间的距离。 环绕速度 1.第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为 7.9_km/s。 2特点 (1)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度。 (2)第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度。 3第一宇宙速度的计算方法 (1)由 GMm R2 mv 2 R得 v GM R 7.9 km/s (2)由 mgmv 2 R得 v gR7.9 km/s 第二、三宇宙速度 时空观 1.第二宇宙速度：v211.2 km/s，是卫星挣脱地球引力束缚的最小
3、发射速度。 2第三宇宙速度：v316.7 km/s，是卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 3经典时空观 (1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的。 (2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参 考系中是相同的。 4相对论时空观 在狭义相对论中， 同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考 系中是不同的。 小题速练 1思考判断 (1)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。( ) (2)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。( ) (3)第一宇宙速度与地球的质量有关。( ) (4)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。( )
4、答案 (1) (2) (3) (4) 2(2016 全国卷，14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律 C开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 解析 开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律， 并没有找出其 中的原因，而牛顿发现了万有引力定律。 答案 B 3(多选)“马航失联”事件发生后，中国在派出水面和空中力量的同时，在第 一时间紧急调动了 21 颗卫星参与搜寻。“调动”卫星的措施之一就是减
5、小卫星 环绕地球运动的轨道半径，降低卫星运行的高度，以有利于发现地面(或海洋)目 标。下面说法正确的是( ) A轨道半径减小后，卫星的环绕速度减小 B轨道半径减小后，卫星的环绕速度增大 C轨道半径减小后，卫星的环绕周期减小 D轨道半径减小后，卫星的环绕周期增大 答案 BC 42017 年 6 月 19 日，长征三号乙遥二十八火箭发射中星 9 A 卫星过程中运载 火箭出现异常，未能将卫星送入预定轨道。中国航天科技集团公司在西安卫星测 控中心的密切配合下，通过准确实施 10 次轨道调整，终于于 2017 年 7 月 5 日成 功定点于东经 101.4 赤道上空的预定轨道。 如图 1 是卫星变轨过程
6、中的三个椭圆 轨道，对于此次变轨前后卫星的运动，下述正确的是( ) 图 1 A轨道 2 运行速率大于 7.9 km/s B卫星两次经过近地点的向心加速度大小相等 C卫星在轨道 2 周期小于在轨道 1 的周期 D轨道 2 可能是地球同步卫星轨道 解析 远地点速率小于 7.9 km/s，选项 A 错误；轨道 1、2 在近地点相切，向心 加速度相同，选项 B 正确；半长轴 r2r1，则由r 3 T2k 知，T2T1，选项 C 错误； 同步卫星轨道非椭圆，选项 D 错误。 答案 B 开普勒三定律的理解和应用 1行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 2开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地
7、球的运动。 3开普勒第三定律a 3 T2k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体 k 值不同。但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。 【例 1】 (多选)(2017 全国卷，19)如图 2，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为 T0，若只 考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从 P 经过 M、Q 到 N 的运动过 程中( ) 图 2 A从 P 到 M 所用的时间等于T0 4 B从 Q 到 N 阶段，机械能逐渐变大 C. 从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小 D从 M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功 解析
8、 由行星运动的对称性可知， 从 P 经 M 到 Q 点的时间为1 2T0， 根据开普勒第 二定律可知，从 P 到 M 运动的速率大于从 M 到 Q 运动的速率，可知从 P 到 M 所用的时间小于1 4T0，选项 A 错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用， 故机械能守恒，选项 B 错误；根据开普勒第二定律可知，从 P 到 Q 阶段，速率 逐渐变小，选项 C 正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从 M 到 N 阶段，万 有引力对它先做负功后做正功，选项 D 正确。 答案 CD 1火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知 ( ) A太阳位于木星运行轨道的中心 B火星和木
9、星绕太阳运行速度的大小始终相等 C火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 解析 由于火星和木星在椭圆轨道上运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，选 项 A 错误；由于火星和木星在不同的轨道上运行，且是椭圆轨道，速度大小变 化，火星和木星的运行速度大小不一定相等，选项 B 错误；由开普勒第三定律 可知，R 3 火 T2火 R3木 T2木k， T2火 T2木 R3火 R3木，选项 C 正确；对每一个行星而言，它与太阳的连线 在相等的时间内扫过相等的面积，所以选项 D 错误。 答案 C 2(多选)如图 3 所示，近地
10、人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆。设卫 星、月球绕地球运行周期分别为 T卫、T月，地球自转周期为 T地，则( ) 图 3 AT卫T月 BT卫T月 CT卫T地 DT卫T地 解析 设近地卫星、地球同步轨道卫星和月球绕地球运行的轨道分别为 r卫、r同 和 r月，因 r月r同r卫，由开普勒第三定律r 3 T2k，可知，T 月T同T卫，又同 步卫星的周期 T同T地，故有 T月T地T卫，选项 A、C 正确。 答案 AC 万有引力定律的理解及应用 1万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力 F 表现为两个效果：一是重力 mg，二是提供物体随地球 自转的向心力 F向，如图 4 所示。 图 4 (1)在
11、赤道上：GMm R2 mg1m2R。 (2)在两极上：GMm R2 mg2。 2星体表面上的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度 g(不考虑地球自转)： mgGMm R2 ，得 gGM R2 (2)在地球上空距离地心 rRh 处的重力加速度为 g， mg GMm （Rh）2，得 g GM （Rh）2 所以 g g （Rh）2 R2 【例 2】 (2019 江西抚州模拟)由中国科学院、中国工程院两院院士评出的 2012 年中国十大科技进展新闻，于 2013 年 1 月 19 日揭晓， “神九”载人飞船与“天 宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破 7 000 米分别排在第一、第二。若地球
12、半径为 R，把地球看作质量分布均匀的球体。“蛟龙”下潜深度为 d，“天宫一 号”轨道距离地面高度为 h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度 之比为( ) 图 5 A.Rd Rh B.（Rd） 2 （Rh）2 C.（Rd）（Rh） 2 R3 D.（Rd）（Rh） R2 解析 令地球的密度为 ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有 gGM R2。由于地球的质量为 M 4 3R 3，所以重力加速度的表达式可写成 g GM R2 4 3G R 3 R2 4 3GR。根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为 零，故在深度为 d 的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(Rd
13、)的球体 在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度 g4 3G(Rd)。所以有 g g Rd R 。根据万有引力提供向心力 G Mm （Rh）2ma，“天宫一号”的加速度 为 a GM （Rh）2，所以 a g R2 （Rh）2， g a （Rd）（Rh）2 R3 ，故 C 正确，A、 B、D 错误。 答案 C 1若地球表面处的重力加速度为 g，而物体在距地面 3R(R 为地球半径)处，由 于地球作用而产生的加速度为 g，则g g为( ) A1 B.1 9 C.1 4 D. 1 16 解析 当物体处于地面时，有 mgGMm R2 ，当物体距离地面 3R 时，有 mg G Mm （4R）
14、2，由此得 gg116，选项 D 正确。 答案 D 22017 年诺贝尔物理学奖授予了三位美国科学家，以表彰他们为“激光干涉引 力波天文台”(LIGO)项目和发现引力波所做的贡献，引力波的形成与中子星有 关。 通常情况下中子星的自转速度是非常快的，因此任何的微小凸起都将造成时 空的扭曲并产生连续的引力波信号， 这种引力辐射过程会带走一部分能量并使中 子星的自转速度逐渐下降。现有一中子星(可视为均匀球体)，它的自转周期为 T0 时恰能维持该星体的稳定(不因自转而瓦解)， 则当中子星的自转周期增为 T2T0 时，某物体在该中子星“两极”所受重力与在“赤道”所受重力的比值为( ) A.1 2 B2
15、C.3 4 D.4 3 解析 考虑中子星“赤道”上的一物体， 只有当它受到的万有引力大于或等于它 随星体转动所需的向心力时，中子星才不会瓦解。设中子星的质量为 M，半径为 R，已知自转周期为 T0，位于“赤道”处的物体的质量为 m，则有GMm R2 mR4 2 T20 ， 当中子星的自转周期增为 T2T0时，质量为 m 的某物体在该中子星“两极”所 受重力 G1GMm R2 mR4 2 T20 ，在该中子星“赤道”处所受重力 G2GMm R2 mR 42 （2T0）2 3 4mR 42 T20 ，解得G1 G2 4 3，即 D 正确。 答案 D 天体质量和密度的估算 思想方法 1“g、R”法：
16、已知天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R。 (1)由 GMm R2 mg，得天体质量 MgR 2 G 。 (2)天体密度 M V M 4 3R 3 3g 4GR。 2“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T。 (1)由 GMm r2 m4 2 T2 r，得 M4 2r3 GT2 。 (2)若已知天体的半径 R，则天体的密度 M V M 4 3R 3 3r3 GT2R3。 (3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 3 GT2。故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密 度。 【例 3】 (2017 北京理
17、综，17)利用引力常量 G 和下列有关数据，不能 计算出地 球质量的是( ) A地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转) B人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 解析 因为不考虑地球的自转，所以卫星的万有引力等于重力，即GM 地m R2 mg， 得 M地gR 2 G ， 所以据 A 中给出的条件可求出地球的质量； 根据GM 地m卫 R2 m卫v 2 R和 T2R v ，得 M地 v3T 2G，所以据 B 中给出的条件可求出地球的质量；根据 GM地m月 r2 m月4 2 T2 r， 得M
18、地4 2r3 GT2 ， 所以据C中给出的条件可求出地球的质量； 根据GM 太m地 r2 m地4 2 T2 r，得 M太4 2r3 GT2 ，所以据 D 中给出的条件可求出太阳的质量，但不能 求出地球质量，本题答案为 D。 答案 D 计算中心天体的质量、密度时的两点区别 (1)天体半径和卫星的轨道半径 通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径。卫星的轨道半径指的 是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径。卫星的轨道半径大于等于天体的半径。 (2)自转周期和公转周期 自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间， 公转周期是指卫星绕中心 天体做圆周运动一周所用的时间。自转周期与公转周期一般
19、不相等。 1过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b” 的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运 动，周期约为 4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的 1 20，该中心恒星与太阳 的质量比约为( ) A. 1 10 B1 C5 D10 解析 行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律 得 GMm r2 m4 2 T2 r，则M1 M2 r1 r2 3 T2 T1 2 1 20 3 365 4 2 1，选项 B 正确。 答案 B 2(2018 11 月浙江选考)20 世纪人类最伟大的创举之一是开拓了
20、太空的全新领 域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动 推进器，测出飞船在短时间 t 内速度的改变为 v，和飞船受到的推力 F(其它星 球对它的引力可忽略)。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船 能以速度 v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为 T 的匀速圆周运动，已知星 球的半径为 R，引力常量用 G 表示。则字宙飞船和星球的质量分别是( ) 图 6 A.Fv t ，v 2R G B.Fv t ， v3T 2G C.Ft v ，v 2R G D.Ft v ， v3T 2G 解析 根据牛顿第二定律可知 Fmamv t，所以飞船质量为 m Ft v 。飞
21、船做 圆周运动的周期 T2r v ， 得半径为 rTv 2， 根据万有引力提供向心力可得 G Mm r2 mv 2 r ，得星球质量 Mv 2r G v3T 2G，故选项 D 正确。 答案 D 3 我国计划于 2019 年发射“嫦娥五号”探测器，假设探测器在近月轨道上绕月 球做匀速圆周运动，经过时间 t(小于绕行周期)，运动的弧长为 s，探测器与月球 中心连线扫过的角度为 (弧度)，引力常量为 G，则( ) A探测器的轨道半径为 t B探测器的环绕周期为t C月球的质量为 s3 Gt2 D月球的密度为3 2 4Gt 解析 利用 sr，可得轨道半径 rs ，选项 A 错误；由题意可知，角速度 t
22、，故探测器的环绕周期 T 2 2 t 2t ，选项 B 错误；根据万有引力提供向心 力可知，GmM r2 mv 2 r ，再结合 vs t可以求出 M v2r G （s t） 2 s G s3 Gt2，选项 C 正 确；由于不知月球的半径，所以无法求出月球的密度，选项 D 错误。 答案 C 卫星运行参量的比较与计算 1物理量随轨道半径变化的规律 规 律 GMm r2 （rR地h） mv 2 r v GM r v 1 r m2r GM r3 1 r3 m4 2 T2 r T 42r3 GM T r3 ma aGM r2 a 1 r2 越 高 越 慢 mgGMm R2地 （地球表面） GMgR2地
23、 2卫星的运行轨道(如图 7 所示) 图 7 (1)赤道轨道 (2)极地轨道 (3)其他轨道 注意：轨道平面一定通过地球的球心。 3同步卫星的六个“一定” 【例 4】 (2018 江苏单科，1)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提 高。 今年 5 月 9 日发射的“高分五号”轨道高度约为 705 km， 之前已运行的“高 分四号”轨道高度约为 36 000 km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号” 相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( ) A周期 B角速度 C线速度 D向心加速度 解析 由万有引力定律和牛顿第二定律有 GMm r2 mr2m4 2 T2 rmv 2 r ma， 可
24、得 T2 r3 GM， GM r3 ，v GM r ，aGM r2 ，又由题意可知，“高分四号” 的轨道半径 r1大于“高分五号”的轨道半径 r2，故可知“高分五号”的周期较 小，选项 A 正确。 答案 A 利用万有引力定律解决卫星运动的技巧 (1)一个模型 天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。 (2)两组公式 GMm r2 mv 2 r m2rm4 2 T2 rma GMm R2 mg(g 为天体表面处的重力加速度) (3)a、v、T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定， 所有参量的比较，最终归结到半径的比较。 1(2017 全国卷，14)2017 年
25、4 月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫 二号空间实验室完成了首次交会对接， 对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨 道(可视为圆轨道)运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( ) A周期变大 B速率变大 C动能变大 D向心加速度变大 解析 根据组合体受到的万有引力提供向心力可得， GMm r2 m4 2 T2 r mv 2 r ma， 解得 T 42r3 GM ，v GM r ，aGM r2 ，由于轨道半径不变，所以周期、速率、 加速度大小均不变，选项 A、B、D 错误；组合体比天宫二号质量大，动能 Ek 1 2mv 2 变大，选项 C 正确。 答案 C 2如图 8 为人造地球卫星的
26、轨道示意图，LEO 是近地轨道，MEO 是中地球轨 道， GEO 是地球同步轨道， GTO 是地球同步转移轨道。 已知地球的半径 R6 400 km，该图中 MEO 卫星的周期约为(图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高 度) ( ) 图 8 A3 h B8 h C15 h D20 h 解析 根据题图中 MEO 卫星距离地面高度为 4 200 km，可知轨道半径约为 R1 10 600 km，同步轨道上 GEO 卫星距离地面高度为 36 000 km，可知轨道半径 约为 R242 400 km，为 MEO 卫星轨道半径的 4 倍，即 R24R1。地球同步卫星 的周期为 T224 h，运用开普勒
27、第三定律，R 3 1 R32 T21 T22，解得 T13 h，选项 A 正确。 答案 A 3(2018 江苏无锡联考)2017 年 9 月 25 日至 9 月 28 日期间，微信启动新界面， 其画面视角从人类起源的非洲(左)变成华夏大地中国(右)。新照片由我国新一代 静止轨道卫星“风云四号”拍摄，见证着科学家 15 年的辛苦和努力，下列说法 正确的是 ( ) 图 9 A“风云四号”可能经过无锡正上空 B“风云四号”的向心加速度大于月球的向心加速度 C与“风云四号”同轨道的卫星运动的动能都相等 D“风云四号”的运行速度大于 7.9 km/s 解析 由题可知，“风云四号”卫星是地球同步卫星，而同
28、步卫星只能在赤道正 上空，且高度保持不变，故 A 错误；根据 GMm r2 man，得 anGM r2 ，其中 G 为 引力常量，M 为地球质量，r 为轨道半径，因“风云四号”卫星的轨道半径小于 月球的轨道半径，故“风云四号”的向心加速度大于月球的向心加速度，故 B 正确；与“风云四号”同轨道的卫星都是同步卫星，故线速度大小一定相同，但 不知道各个卫星的质量是否相等， 根据 Ek1 2mv 2 知动能不一定相等， 故 C 错误； 7.9 km/s 是卫星围绕地球表面运行的最大线速度，它的轨道半径等于地球半径， 而“风云四号”的轨道半径大于地球半径，根据 v GM r 可知，其线速度小于 7.9
29、 km/s，故 D 错误。 答案 B 课时作业课时作业 (时间：40 分钟) 基础巩固练 1下列说法正确的是( ) A伽利略发现了万有引力定律，并测得了引力常量 B根据表达式 FGm1m2 r2 可知，当 r 趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C 在由开普勒第三定律得出的表达式R 3 T2k 中，k 是一个与中心天体有关的常量 D两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 解析 牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许测得了引力常量，故选项 A 错误； 表达式 FGm1m2 r2 中，当 r 趋近于零时，万有引力定律不适用，故选项 B 错误； 表达式R 3 T2k 中，k 是一个与中心天体
30、有关的常量，故选项 C 正确；物体间的万 有引力总是大小相等、方向相反，是一对相互作用力，故选项 D 错误。 答案 C 2(2018 北京理综，17)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的 力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径 60 倍的情况下，需要验证 ( ) A地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 1/602 B月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 1/602 C自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 1/6 D苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 1/60 解析 若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的 规律万有引力定律，则应满足 G
31、Mm r2 ma，即加速度 a 与距离 r 的平方成反 比，由题中数据知，选项 B 正确，其余选项错误。 答案 B 32017 年 11 月 5 日 19 时 45 分，在西昌卫星发射中心，我国运用长征三号乙 运载火箭以“一箭双星”方式成功发射了两颗卫星。 这两颗卫星是北斗三号卫星 导航系统的组网卫星。它们的轨道为中圆地球轨道，高度约 21 000 km。则下列 说法正确的是( ) 图 1 A两颗卫星的向心力相同 B两颗卫星的线速度相同 C两颗卫星运行的角速度均大于地球自转的角速度 D两颗卫星的向心加速度大于地面物体的重力加速度 解析 两颗卫星的线速度方向、向心力方向均不同，A、B 项错误；两
32、卫星的轨 道半径均小于地球同步卫星的轨道半径，由开普勒第三定律可知，它们的周期均 小于地球自转周期，则它们的角速度均大于地球自转的角速度，C 项正确；对地 面上的物体，GMm R2 mg, 对卫星，G Mm1 （Rh）2m1a，可见两颗卫星的向心加速 度小于地面物体的重力加速度，D 项错误。 答案 C 4a、b、c、d 是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星。其中 a、c 的轨道相交于 P，b、d 在同一个圆轨道上，b、c 轨道在同一平面上。某时刻四 颗卫星的运行方向及位置如图 2 所示。下列说法正确的是( ) 图 2 Aa、c 的加速度大小相等，且大于 b 的加速度 Bb、c 的角速
33、度大小相等，且小于 a 的角速度 Ca、c 的线速度大小相等，且小于 d 的线速度 Da、c 存在在 P 点相撞的危险 解析 由 GMm r2 mv 2 r mr2mr4 2 T2 ma，可知 B、C 项错误，A 项正确；va vc，TaTc，所以 a、c 不会相撞，D 项错误。 答案 A 5我国成功发射“嫦娥三号”探测器，实现了我国航天器首次在地外天体软着 陆和巡视探测活动，月球半径为 R0，月球表面处重力加速度为 g0。地球和月球 的半径之比为 R R04，表面重力加速度之比为 g g06，地球和月球的密度之比 0为 ( ) A.2 3 B.3 2 C4 D6 解析 设星球的密度为 ，由
34、GMm R2 mg 得 GMgR2，M V M 4 3R 3，联立解得 3g 4GR，设地球、月球的密度分别为 、0，则 0 gR0 g0R，将 R R04， g g06 代入 上式，解得 0 3 2，选项 B 正确。 答案 B 6 (多选)(2018 天津理综， 6)2018 年 2 月 2 日， 我国成功将电磁监测试验卫星“张 衡一号”发射升空， 标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探 测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半 径和地球表面处的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且 不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星
35、的( ) 图 3 A密度 B向心力的大小 C离地高度 D线速度的大小 解析 卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有 G Mm （Rh）2m 2 T 2 (R h)，无法计算得到卫星的质量，更无法确定其密度及向心力大小，A、B 项错 误；又 GMm0 R2 m0g，联立两式可得 h 3 gR2T2 42 R，C 项正确；由 v2 T (R h)，可计算出卫星的线速度的大小，D 项正确。 答案 CD 7(2019 河南豫北十校联考)2017 年 11 月 5 日 19 时 45 分，中国在西昌卫星发 射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”方式成功发射第二十四、二十五 颗北斗导航卫星。若已知
36、地球表面重力加速度为 g，引力常量为 G，地球的第一 宇宙速度为 v1，则 ( ) A根据题给条件可以估算出地球的质量 B根据题给条件不能估算地球的平均密度 C第一宇宙速度 v1是人造地球卫星的最大发射速度，也是最小环绕速度 D在地球表面以速度 2v1发射的卫星将会脱离太阳的束缚，飞到太阳系之外 解析 设地球半径为 R， 则地球的第一宇宙速度为 v1 gR， 对近地卫星有 GMm R2 mg，联立可得 M v41 gG，A 正确；地球体积 V 4 3R 34 3( v21 g )3，结合 M v41 gG， 可以估算出地球的平均密度，B 错误；第一宇宙速度 v1是人造地球卫星的最小 发射速度，
37、也是最大的环绕速度，C 错误；第一宇宙速度 v17.9 km/s，第二宇 宙速度 v211.2 km/s，第三宇宙速度 v316.7 km/s，在地球表面以速度 2v1发射 的卫星，速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，此卫星将绕太阳运动，D 错误。 答案 A 8我国自主研制的高分辨率对地观测系统包含至少 7 颗卫星，分别编号为“高 分一号”到“高分七号”，它们都将在 2020 年前发射并投入使用。于 2013 年 4 月发射成功的“高分一号”是一颗低轨遥感卫星，其轨道高度为 645 km。关于 “高分一号”卫星，下列说法正确的是 ( ) 图 4 A发射速度大于 7.9 km/s B可以定点
38、在相对地面静止的同步轨道上 C卫星绕地球运行的线速度比月球的小 D卫星绕地球运行的周期比月球的大 解析 发射卫星的最小速度为 7.9 km/s，卫星离地面越远，发射速度越大，所以 “高分一号”卫星的发射速度大于 7.9 km/s，A 正确；设地球的质量为 M，“高 分一号”卫星的轨道半径为 r，则卫星的周期 T2 r3 GM。由于 rr 同步，所以 T24 h，故“高分一号”卫星不能固定在相对地面静止的同步轨道上，B 错误； 卫星的环绕速度 v GM r ，因为月球的轨道半径大于“高分一号”卫星的轨道 半径，所以月球绕地球运行的线速度小于“高分一号”卫星的线速度，C 错误； 由 T2 r3 G
39、M知，轨道半径越大，周期越长，所以月球绕地球运行的周期大于 “高分一号”卫星的周期，D 错误。 答案 A 9(多选)美国科学家曾宣布：人类在太阳系外围发现了一颗过去未知的巨行星， 绰号为“九号行星”。它的质量约为地球质量的 10 倍，绕太阳公转周期为 1 万 至 2 万年。若认为包括“九号行星”在内的所有行星公转轨道近似为圆，不考虑 各行星之间的相互作用，下列说法正确的是 ( ) A“九号行星”的公转轨道半径比地球的公转轨道半径大 B“九号行星”的公转线速度比地球的公转线速度大 C“九号行星”的公转角速度比地球的公转角速度小 D“九号行星”的公转向心加速度约为地球公转向心加速度的 1 10 解
40、析 根据r 3 T2k，可以知道周期越大，则半径越大，由于 T 九T地，所以 r九r 地，选项 A 正确；根据GMm r2 mv 2 r ，则 v GM r ，可以知道，半径越大，则线 速度越小，则 v九v地，选项 B 错误；根据GMm r2 m2r，则 GM r3 ，则半 径越大，角速度越小，则 九地，选项 C 正确；根据r 3 T2k 和 a GM r2 可知， 若“九号行星”的公转周期为 1 万年， 则“九号行星”的向心加速度约为地球向 心加速度的 1 10 16 3 倍，D 项错误。 答案 AC 综合提能练 10(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间 t 小球落
41、回原地。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间 5t 小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为 R星R地14，地球表面 重力加速度为 g， 设该星球表面附近的重力加速度为 g， 空气阻力不计。 则( ) Agg15 Bgg52 CM星M地120 DM星M地180 解析 由速度对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间 t2v0 g ，因此得g g t 5t 1 5， 选项 A 正确， B 错误； 由 G Mm R2 mg 得 MgR 2 G ， 因而M 星 M地 gR2星 gR2地 1 5 1 4 2 1 80， 选项 C 错误，D 正确。 答案 AD 11位于贵州的“中国
42、天眼”是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜 (FAST)。通过 FAST 测得水星与太阳的视角为 (水星、太阳分别与观察者的连线 所夹的角)，如图 5 所示。若最大视角的正弦值为 k，地球和水星绕太阳的运动视 为匀速圆周运动，则水星的公转周期为( ) 图 5 A. 3 k2年 B. 1 k3年 C. k3年 D.（ k 1k2） 3年 解析 由题意可知，当观察者和水星的连线与水星的轨道相切时，水星与太阳的 视角最大，由三角函数可得 sin r 水 r地k，又由万有引力提供向心力有 G Mm水 r2水 m水4 2 T2水 r水，GMm 地 r2地 m地4 2 T2地 r地，联立以上各式可解得
43、T水 k3年(或由r 3 水 T2水 r3地 T2地可 得 T水 k3年)，C 正确。 答案 C 122017 年 6 月 15 日，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功将 硬 X 射线调制望远镜卫星“慧眼”发射升空，卫星顺利进入预定轨道。此次发 射任务圆满成功，填补了我国空间 X 射线探测卫星的空白，实现了我国在空间 高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的跨越。已知“慧眼”卫星 A 做 圆周运动的轨道半径约为地球半径的 1.1 倍， 地球同步卫星 B 做圆周运动的轨道 半径约为地球半径的 6.6 倍，C 为赤道上某建筑物，则( ) AA 和 B 的线速度之比约为 16 BB 和
44、 C 的向心加速度之比约为 16.6 CA 和 C 的角速度之比约为 636 DA 和 C 的向心加速度之比约为 237.61 解析 设地球半径为 R，根据 v GM r 可知，A 和 B 的线速度之比约为 vAvB 6.6R 1.1R 61，选项 A 错误；B 和 C 的角速度相同，根据 a2r 可 知 B 和 C 的向心加速度之比约为 aBaC6.6RR6.61，选项 B 错误；根据 GM r3 可知，AB 6.63 1.136 61，选项 C 错误；根据 aGM r2 可 知，aAaB6.621.12361，则 aAaC237.61，选项 D 正确。 答案 D 13宇宙中有两颗相距无限远
45、的恒星 s1、s2，半径均为 R0。图 6 分别是两颗恒星 周围行星的公转周期 T2与公转半径 r3的关系图象，则( ) 图 6 A恒星 s1的质量大于恒星 s2的质量 B恒星 s1的密度小于恒星 s2的密度 C恒星 s1的第一宇宙速度大于恒星 s2的第一宇宙速度 D距两恒星表面高度相同的行星，s1的行星向心加速度较大 解析 根据公式 GMm r2 m4 2 T2 r 得 M4 2r3 GT2 ，r 3 T2越大，M 越大，由题图可以看出 s2的质量大于 s1的质量，故 A 错误；两颗恒星的半径相等，则它们的体积相等， 根据 MV，所以质量大的恒星 s2的密度大于恒星 s1的密度，故 B 正确；根据 万有引力提供向心力，则 GMm R20 mv 2 R0，所以 v GM R0 ，由于恒星 s1的质量小于 恒星 s2的质量，所以恒星 s1的第一宇宙速度小于恒星 s2的第一宇宙速度，故 C 错误；距两恒星表面高度相同的行星，它们的轨道半径相等，它们的向心加速度 aGM r2 ，所以 s1的行星向心加速度较小，故 D 错误。 答案 B
