1、分式方程及其应用分式方程及其应用知识点一知识点一 分式方程的定义分式方程的定义 分母中含有分母中含有_的方程叫做的方程叫做分式方程分式方程未知数未知数知识点二知识点二 分式方程的解法分式方程的解法 1 1解分式方程的基本思路是解分式方程的基本思路是_，把分式方程转化为整式方程：，把分式方程转化为整式方程：即分式方程即分式方程 整式方程整式方程2 2解分式方程的一般步骤：解分式方程的一般步骤：(1)_(1)_；(2)_(2)_；(3)_ (3)_3 3增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母 为为_的根，称为方程的增
2、根因此，解分式方程时必须验根，的根，称为方程的增根因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为_的根是增根，应的根是增根，应 舍去舍去去分母去分母去分母去分母解整式方程解整式方程验根验根零零零零【名师点拨名师点拨】在分式方程的解法中，验根是一个必备的步骤，在分式方程的解法中，验根是一个必备的步骤，不能被省略；不能被省略；经检验，经检验，x=1x=1是原方程的增根，所以原方程无解是原方程的增根，所以原方程无解 经检验，经检验，x=1x=1是原方程的解是原方程的解分式方程无解的情况有两种：一是方程有增根分式方程无解的情况有两种：一
3、是方程有增根二是化简后的整式方程无解二是化简后的整式方程无解知识点三知识点三 分式方程的应用分式方程的应用 分式方程的应用同其他方程的应用一样，不同的分式方程的应用同其他方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题时，必须时，必须_，既要检验是否为原方程的根，又要检，既要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意验是否符合题意验根验根考点一考点一 分式方程的解法分式方程的解法 典例典例1 1解方程：解方程：解：解：方程两边都乘方程两边都乘(x(x2)2)，得，得 2x 2x5 53(x3(x2)2)3x3x3 3，解得：解得
4、：x x4.4.检验：当检验：当x x4 4时，时，x x2020，分式方程的解为分式方程的解为x x4.4.类型训练类型训练1 11 1解分式方程解分式方程 时，去分母化为一元时，去分母化为一元一次方程，正确的是一次方程，正确的是()A Ax x2 23 3 B Bx x2 23 3C Cx x2 23(2x3(2x1)1)D Dx x2 23(2x3(2x1)1)2 2关于关于x x的分式方程的分式方程 的解为的解为()A A x x3 3 B Bx x2 2 C Cx x2 D2 Dx x3 33 3解方程：解方程：解：解：方程两边都乘方程两边都乘(x(x2 21)1)得，得，x(xx(
5、x1)1)(x(x2 21)1)3 3，即即x x2 2x xx x2 21 13.3.解得：解得：x x2.2.检验：当检验：当x x2 2时，时，(x(x1)(x1)(x1)1)(2(21)(21)(21)1)3030，x x2 2是原方程的解，是原方程的解，考点二考点二 分式方程中待定字母的确定分式方程中待定字母的确定 典例典例2 2关于关于x x的方程的方程 的解为正数，则的解为正数，则k k的取的取值范围是值范围是 ()A Akk4 4 B Bk4kk4 4且且k4 k4 D Dk4k4且且kk4 4类型训练类型训练2 21 1已知关于已知关于x x的分式方程的分式方程 的解为正数，
6、则的解为正数，则k k的取值范围是的取值范围是()A A2k0 2kk2 2且且kk1 1C Ckk2 2 D Dk2k0 x0，2 2k0.k0.kk2.2.kk2 2且且kk1.1.故选故选B.B.2 2若关于若关于x x的分式方程的分式方程 2a2a无解，则无解，则a a的值为的值为_112或解析：解析：去分母得：去分母得：x x3a3a2a(x2a(x3)3)，整理得整理得(1(12a)x2a)x3a.3a.当当1 12a2a0 0时，方程无解，故时，方程无解，故a a ；当当1 12a02a0时，时，x x 3 3时，分式方程无解，则时，分式方程无解，则a a1.1.故关于故关于x
7、x的分式方程的分式方程 2a2a无解，则无解，则a a的值为的值为1 1或或 .12122a2a考点三考点三 由实际问题抽象出分式方程由实际问题抽象出分式方程 典例典例3 320192019年年3 3月月1212日是第日是第4141个植树节，某单位积极开展植个植树节，某单位积极开展植树活动，决定树活动，决定 购买甲、乙两种树苗，用购买甲、乙两种树苗，用800800元购买甲种树苗元购买甲种树苗的棵数与用的棵数与用680680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少甲种树苗每棵少6 6元元(1)(1)求甲种树苗每棵多少元？求甲种树苗每棵多少元？
8、(2)(2)若准备用若准备用3 8003 800元购买甲、乙两种树苗共元购买甲、乙两种树苗共100100棵，则至少要棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？购买乙种树苗多少棵？解：解：(1)(1)设甲种树苗每棵设甲种树苗每棵x x元，根据题意得：元，根据题意得：解得：解得：x x40.40.经检验：经检验：x x4040是原方程的解，是原方程的解，答：甲种树苗每棵答：甲种树苗每棵4040元元(2)(2)设购买乙中树苗设购买乙中树苗y y棵，根据题意得：棵，根据题意得：40(10040(100y)y)(40(406)y3 8006)y3 800解得：解得：y y yy是正整数，是正整数，y y最小取最小
9、取34.34.答：至少要购买乙种树苗答：至少要购买乙种树苗3434棵棵类型训练类型训练3 31 1某商厦进货员预测一种应季衬衫能够畅销市场，就用某商厦进货员预测一种应季衬衫能够畅销市场，就用10 00010 000元购进这元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用22 00022 000元购进了第二批这种衬衫，元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的所购数量是第一批购进量的2 2倍但单价贵了倍但单价贵了4 4元，求这两批衬衫的购进单元，求这两批衬衫的购进单价，若设第一批衬衫购进单价为价，若设第一批衬衫购进单价为x x元，则所列方程正确的是元，则所列
10、方程正确的是()2 2十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成现还有十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成现还有6 0006 000米的钢米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设2020米，米，就能提前就能提前1515天完成任务设原计划每天铺设钢轨天完成任务设原计划每天铺设钢轨x x米，则根据题意所列的米，则根据题意所列的方程是方程是()3 3某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达量达3636万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂万千克，为了满足市场需求
11、，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.51.5倍，倍，总产量比原计划增加了总产量比原计划增加了9 9万千克，种植亩数减少了万千克，种植亩数减少了2020亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为设原计划平均亩产量为x x万千克，则改良后平均每亩万千克，则改良后平均每亩产量为产量为1.5x1.5x万千克，根据题意列方程为万千克，根据题意列方程为_3 63 6 9=2 01.5xx考点四考点四 分式方程的应用分式方程的应用 典例典例4 4列方程列方程(组组)解应用题：德上高
12、速公路巨野至解应用题：德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计单县段正在加速建设，预计20192019年年8 8月竣工届时，月竣工届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高上的平均速度提高80%80%，那么行驶，那么行驶8181千米的高速公路千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短3636分分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度钟，求该汽车在高速公路上的平均速度解：解：设汽车行驶在普通公路上的平均速度是设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x x千米千米/分钟，则汽车行驶在高速
13、公路上的平均速度是分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8x1.8x千米千米/分钟，分钟，由题意，得由题意，得 解得：解得：x x1.1.经检验，经检验，x x1 1是所列方程的根，且符合题意是所列方程的根，且符合题意所以所以1.8x1.8x1.8(1.8(千米千米/分钟分钟)答：汽车行驶在高速答：汽车行驶在高速公路上的平均速度是公路上的平均速度是1.81.8千米千米/分钟分钟类型训练类型训练4 41 1列方程解应用题：列方程解应用题：某列车平均提速某列车平均提速80 km/h80 km/h，用相同的时间，该列车提，用相同的时间，该列车提速前行驶速前行驶300 km300 km，提速后比
14、提速前多行驶，提速后比提速前多行驶200 km200 km，求该列车提速前的平均速度求该列车提速前的平均速度解：解：设该列车提速前的平均速度为设该列车提速前的平均速度为x km/hx km/h，则提速，则提速后的平均速度为后的平均速度为(x(x80)km/h80)km/h，依题意，得：依题意，得：解得：解得：x x120.120.经检验，经检验，x x120120是原方程的解，且符合题意是原方程的解，且符合题意答：该列车提速前的平均速度为答：该列车提速前的平均速度为120 km/h.120 km/h.2 2列方程解应用题：列方程解应用题：小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球他们小明和小刚约定
15、周末到某体育公园打羽毛球他们两家到体育公园的距离分别是两家到体育公园的距离分别是1 2001 200米，米，3 0003 000米，米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3 3倍，若二人倍，若二人同时到达，则小明需提前同时到达，则小明需提前4 4分钟出发，求小明和小刚分钟出发，求小明和小刚两人的速度两人的速度解：解：设小明的速度是设小明的速度是x x米米/分钟，则小刚骑自行车的分钟，则小刚骑自行车的速度是速度是3x3x米米/分钟，根据题意可得：分钟，根据题意可得：解得：解得：x x5050，经检验得：经检验得：x x5050是原方程的根，故是原方程的根，故3x
16、3x150150，答：小明的速度是答：小明的速度是5050米米/分钟，则小刚骑自行车的速分钟，则小刚骑自行车的速度是度是150150米米/分钟分钟3 3某社区积极响应正在开展的某社区积极响应正在开展的“创文活动创文活动”，组织，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙改造已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的工程队每小时能完成的绿化面积的2 2倍，并且甲工程倍，并且甲工程队完成队完成300300平方米的绿化面积比乙工程队完成平方米的绿化面积比乙工程队完成300300平平方米的绿化面积少用方米的绿化面积少用3 3小时，乙工程队每小时能完成小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？多少平方米的绿化面积？解：解：设乙工程队每小时能完成设乙工程队每小时能完成x x平方米的绿化面积，平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成则甲工程队每小时能完成2x2x平方米的绿化面积，平方米的绿化面积，根据题意得：根据题意得：解得：解得：x x50.50.经检验，经检验，x x5050是分式方程的解是分式方程的解答：乙工程队每小时能完成答：乙工程队每小时能完成5050平方米的绿化面积平方米的绿化面积
