1、第三章第三章 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性 本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容是关于系统的可控性、可观测性分析。是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、系统的可控、可观测性是由卡尔曼于可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被年代首先提出的，事后被证明这是系统的两个基
2、本结构属性。证明这是系统的两个基本结构属性。本章首先给出可控性、可观测性的严格的数本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测学定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还性的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还是在实际应用中都是很有用的。是在实际应用中都是很有用的。3.1 可控性和可观测性的定义可控性和可观测性的定义 3.2 线性定常连续系统的可控性判据线性定常连续系统的可控性判据（）3.3 线性定常连续系统的可观测性判据（线性定常连续系统的可观测性判据（）3.4 对偶原理对偶原理第三章第三章 线性系统的可控
3、性与可观测性线性系统的可控性与可观测性 p如果系如果系统内部的所有状态的运动都可由输入来影响统内部的所有状态的运动都可由输入来影响和控制而由任意的初始状态达到原点，则称和控制而由任意的初始状态达到原点，则称系统是可系统是可控的控的，或者更确切的说是，或者更确切的说是状态可控的状态可控的，否则就称系统，否则就称系统为为不完全可控的，或简称为系统不可控不完全可控的，或简称为系统不可控。p如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则称系统是由输出完全反映，则称系统是状态可观测的状态可观测的，否则就，否则就称系统为称系统为不完全可观测的，或
4、简称为系统不可观测不完全可观测的，或简称为系统不可观测。例例3-1：给定系统的状态空间描述为给定系统的状态空间描述为1122401052xxuxx 1206xyx结构图表明：通过控制量结构图表明：通过控制量u可以控制状态可以控制状态x1和和x2，所，所以系统完全能控；但输出以系统完全能控；但输出y只能反映状态变量只能反映状态变量x2，不，不能反映状态变量能反映状态变量x1，所以系统不完全能观测。，所以系统不完全能观测。图图3-1 系统结构图系统结构图考虑考虑n维线性时变系统的状态方程维线性时变系统的状态方程00()()()txA t xB t ux txtT如果对取定初始时刻如果对取定初始时刻
5、 的一个的一个非零初始状态非零初始状态x(t0)=x0，存在一个时刻，存在一个时刻 和一个和一个无约无约束的容许控制束的容许控制u(t)，使状态由，使状态由x(t0)=x0转转移到移到t1时的时的x(t1)=0，则称此，则称此x0是在时刻是在时刻t0可控的可控的.tTt 0011,ttTtt,10ttt 如果状态空间中的如果状态空间中的所有非零状态所有非零状态都是在都是在t0（）时刻可控的，则称系统在时刻）时刻可控的，则称系统在时刻t0是是完全可控的，简称系统在时刻完全可控的，简称系统在时刻t0可控。若系可控。若系统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控
6、的。可控的。考虑考虑n维线性时变系统的状态方程维线性时变系统的状态方程00()()()txA t xB t ux txtTtTt 0 对于线性时变系统对于线性时变系统取定初始时刻取定初始时刻 ，如果状态空间中，如果状态空间中存在一存在一个或一些非零状态在时刻个或一些非零状态在时刻t0是不可控的是不可控的，则称，则称系统在时刻系统在时刻t0是不完全可控的，也称为系统是是不完全可控的，也称为系统是不可控的。不可控的。00()()()txA t xB t ux txtTtTt 0 对于线性时变系统对于线性时变系统若存在能将状态若存在能将状态x(t0)=0转移到转移到x(tf)=xf的控制作用，的控制
7、作用，则称状态则称状态xf是是t0时刻可达的。若时刻可达的。若xf对所有时刻都是对所有时刻都是可达的，则称状态可达的，则称状态xf为完全可达到或一致可达。为完全可达到或一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻t0可可达的，则称该系统是达的，则称该系统是t0时刻完全可达的，或简称系时刻完全可达的，或简称系统是统是t0时刻可达的。时刻可达的。00()()()txA t xB t ux txtT1系统完全可观测系统完全可观测 对于线性时变系统对于线性时变系统如果取定初始时刻如果取定初始时刻 ，存在一个有限时刻，存在一个有限时刻 ,对于所有对于所有 ，
8、系统的输出，系统的输出y(t)能唯一确定状态向量能唯一确定状态向量的初值的初值x(t0)，则称系统在，则称系统在t0,t1内是完全可观测的，简称内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切可观测。如果对于一切t1t0系统都是可观测的，则称系系统都是可观测的，则称系统在统在t0,)内是完全可观测的。内是完全可观测的。0ttT110,ttT tt01,tt t000(),(),()txA t xx txt tTyC t x2系统不可观测系统不可观测 对于线性时变系统对于线性时变系统如果取定初始时刻如果取定初始时刻 ，存在一个有限时刻，存在一个有限时刻 ,对于所有对于所有 ，系统的输出，系统的输出y(
9、t)不能唯一确定所有状不能唯一确定所有状态的初值态的初值xi(t0)，i=0,1,n，即，即至少有一个状态的初值不至少有一个状态的初值不能被能被y(t)确定确定，则称系统在，则称系统在t0,t1内是不完全可观测的，内是不完全可观测的，简称不可观测。简称不可观测。0ttT110,ttT tt01,tt t000,(),()()txA t xx txt tTyC t x线性定常系统线性定常系统 0()()()(0)0 x tAx tBu txxt完全可控的充分必要条件是：存在一个有限时完全可控的充分必要条件是：存在一个有限时刻刻t10，使如下定义的格拉姆矩阵：，使如下定义的格拉姆矩阵：为非奇异。为
10、非奇异。注意：注意：在应用该判据时需计算在应用该判据时需计算eAt，这在，这在A的维数较的维数较高时并非易事，所以高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中此判据主要用于理论分析中。101,0ttATAtdteBBetWT证：充分性证：充分性：已知：已知W(0,t1)为非奇异，欲证系统为完为非奇异，欲证系统为完全可控，全可控，采用构造法来证明采用构造法来证明。对任一非零初始状态。对任一非零初始状态x0可构造控制可构造控制u(t)为：为：1101()(0,),0,TTA tu tB eWt xtt 则则u(t)作用下系统状态作用下系统状态x(t)在在t1时刻的结果时刻的结果:1111111111
11、()1001010010110000()()(0,)(0,)(0,)0TtAtA tttAtAtAtTA tAtAtAtAtnx texeBu t dtexeeBB edtWt xexe Wt Wt xexexxR这表明：对任一取定的初始状态这表明：对任一取定的初始状态x00，都存在有限，都存在有限时刻时刻t10和控制和控制u(t)，使状态由，使状态由x0转移到转移到t1时刻的状态时刻的状态x(t1)=0，根据定义可知系统为完全可控。，根据定义可知系统为完全可控。必要性必要性：已知系统完全可控，欲证：已知系统完全可控，欲证W(0,t1)非奇异。非奇异。反反设设W(0,t1)为奇异为奇异，即存在
12、某个非零向量，即存在某个非零向量 ，使，使0nxR010(0,)0Tx Wt x 1110100000002000(0,)TTTTtTTAtTA tTtTA tTA ttTA tx Wt xx eBB ex dtB exB exdtB exdt 其中其中|为范数，故其必为非负。欲使上式成立，必有为范数，故其必为非负。欲使上式成立，必有010,0,TTA tB extt 因系统完全可控，根据定义对此非零向量因系统完全可控，根据定义对此非零向量 应有应有 0 x111100()()0tAtAtAtx texeeBu t dt100()tAtxeBu t dt 1120000000()()TTttT
13、AtTTA txx xeBu t dtxut B ex dt 020000 xx即此结果与假设此结果与假设 相矛盾，即相矛盾，即W(0,t1)为奇异的反设不成为奇异的反设不成立。因此，若系统完全可控，立。因此，若系统完全可控，W(0,t1)必为非奇异。必为非奇异。00 x 1）凯莱）凯莱-哈密尔顿定理：哈密尔顿定理：设设n阶矩阵阶矩阵A的特征多项式为的特征多项式为1110()|I|nnnssAsss则矩阵则矩阵A满足其特征方程，即满足其特征方程，即1110()I0nnnAAAA2）推论推论1：矩阵矩阵A的的k(kn)次幂可表示为次幂可表示为A的的(n-1)阶多阶多项式项式10nkmmmAr A
14、kn，注：注：此推论可用以简化矩阵幂的计算。此推论可用以简化矩阵幂的计算。3）推论）推论2：矩阵指数函数可表示为矩阵指数函数可表示为A的的(n-1)阶多项式阶多项式10e()nAtmmmt A例例3-4：已知：已知 ，计算，计算A100=?1201A解：解：A的特征多项式为：的特征多项式为：2()det(I)21ssAss由凯莱由凯莱-哈密顿定理，得到哈密顿定理，得到2()20AAAII22AA32222(2)32AAAAAAIAAI432323(2)243AAAAAAIAAI故故根据数学归纳法有根据数学归纳法有I)1(kkAAk所以：所以：100100200990100990100099AA
15、I102001 线性定常系统线性定常系统 0()()()(0)0 x tAx tBu txxt完全可控的充分必要条件是完全可控的充分必要条件是 1nrank B ABABn 其中其中:n为矩阵为矩阵A的维数，的维数，称称为系统的可控性判别阵。为系统的可控性判别阵。1nSB ABAB注：注：秩判据是一种比较方便的判别方法。秩判据是一种比较方便的判别方法。证明：充分性：证明：充分性：已知已知rankS=n，欲证系统完全可控，欲证系统完全可控，采用反证法。反设系统为不完全可控，则有：采用反证法。反设系统为不完全可控，则有：1110(0,),0TtAtTA tWteBB edtt 为奇异，这意味着存在
16、某个非零为奇异，这意味着存在某个非零n维常向量维常向量使使111000(0,)TtTTAtTA ttTTAtTAtWteBB edteBeBdt1,0,TAteBtt 0 将上式求导直到将上式求导直到(n-1)次，再在所得结果中令次，再在所得结果中令t=0，则，则可得到可得到:21,TTTTnBABA BAB000021,TTTTnBABA BAB000021TnTB AB A BABS 0 由于由于0，所以上式意味着，所以上式意味着S为行线性相关的，即为行线性相关的，即rankSn。这显然与已知。这显然与已知rankS=n相矛盾。因而反相矛盾。因而反设不成立，系统应为完全可控，充分性得证。设
17、不成立，系统应为完全可控，充分性得证。必要性：必要性：已知系统完全可控，欲证已知系统完全可控，欲证rankS=n，采用，采用反证法。反设反证法。反设rankSn，这意味着，这意味着S为行线性相关，为行线性相关，因此必存在一个非零因此必存在一个非零n维常向量维常向量 使使成立。成立。1TTnSB ABAB0 1TTnSB ABAB0;0,1,1TiA Bin0（由凯莱（由凯莱哈密尔顿定理）哈密尔顿定理）0,0,1,2,TiA Bi 10t1(1)0;0,;0,1,2,!i iiAtBttii 110(0,)TtTAtTA tTeBB edtWt 因为已知因为已知0，若上式成立，则格拉姆矩阵，若上
18、式成立，则格拉姆矩阵W(0,t1)为为奇异，即系统为不完全可控，和已知条件相矛盾，所奇异，即系统为不完全可控，和已知条件相矛盾，所以反设不成立。于是有以反设不成立。于是有rankS=n，必要性得证。，必要性得证。2 23 322331112311230,TAtTTTTeBIAtA tA tBBABtA BtA Bttt！0例例3-6：已知：已知判断其能控性。判断其能控性。401052xxu 2n 解：解：系统阶次系统阶次，确定出可控判别阵，确定出可控判别阵14210SBAB2rankSn，所以系统为完全可控。，所以系统为完全可控。例例3-7：判断下列系统的可控性：判断下列系统的可控性11122
19、233132210201101311xxuxxuxx解：解：213254112244112244S矩阵矩阵S的第二行与第三行线性相关，的第二行与第三行线性相关，故故rankS=23，系统不可控。，系统不可控。补充：可控性判别矩阵补充：可控性判别矩阵 ：npS线性定常连续系统的状态方程线性定常连续系统的状态方程0()()()(0)0 x tAx tBu txxt其中：其中：x为为n维状态向量；维状态向量；u为为p维输入向量；维输入向量；A和和B分别为分别为(nn)和和(np)常阵。该线性定常连常阵。该线性定常连续系统完全可控的充要条件是：续系统完全可控的充要条件是：n pn prankSrank
20、 BABABn其中：其中：prankBpp，注：注：该方法是秩判据的改进，特别适用于多输入该方法是秩判据的改进，特别适用于多输入 系统，可减少不必要的计算。系统，可减少不必要的计算。例例3-8：用可控性判别矩阵：用可控性判别矩阵 判别例判别例3-7所示系统所示系统的可控性。的可控性。npS11122233132210201101311xxuxxuxx解：解：n=3,系统输入向量是系统输入向量是2维的列向量，即维的列向量，即p=2。2111211prankBrankp3 2213211221122S显见矩阵显见矩阵S3-2的第二行与第三行线性相关，的第二行与第三行线性相关，故故 ，系统不可控。，
21、系统不可控。23nprankS线性定常系统线性定常系统 0()()()(0)0 x tAx tBu txxt完全可控的充分必要条件是：对矩阵完全可控的充分必要条件是：对矩阵A的所有特的所有特征值征值 ，(1,2,)iin1,2,irankIABnin均成立，或等价地表示为均成立，或等价地表示为,rank sIABnsC 注：注：当系统矩阵当系统矩阵A的维数较高时，应用秩判据可能不的维数较高时，应用秩判据可能不太方便，此时可考虑用太方便，此时可考虑用PBH判据试一下。判据试一下。证明：证明：，为多项式矩阵，为多项式矩阵，且对复数域上除且对复数域上除i以外的所有以外的所有s都有都有det(sI-A
22、)0，即，即ranksI-A=n，进而有，进而有ranksI-A B=n，所以只要证明，所以只要证明 即可。即可。,rank sIABnsC 1,2,irankIABnin必要性：必要性：系统完全可控，欲证上式成立，采用反证法。系统完全可控，欲证上式成立，采用反证法。反设对某个反设对某个i 有有rankiI A B n，则意味着，则意味着 iIA B为为行线性相关。由此，必存在一个非零常向量行线性相关。由此，必存在一个非零常向量，使，使iTIAB 0 成立。考虑到问题的一般性，由上式可得到：成立。考虑到问题的一般性，由上式可得到：,0TTTiAB 进而可得进而可得:1,TTTTniBABBAB
23、000 于是有于是有1TnTBABABS 0 因已知因已知0，所以欲使上式成立，必有，所以欲使上式成立，必有rankSn这意味着系统不完全可控，显然与已知条件相矛盾。这意味着系统不完全可控，显然与已知条件相矛盾。因此，反设不成立，即因此，反设不成立，即rankiI A B=n成立。成立。充分性：充分性：已知式已知式rankiI A B=n成立，欲证系统完全成立，欲证系统完全可控。采用反证法：利用和上述相反的思路，即可证可控。采用反证法：利用和上述相反的思路，即可证得充分性。得充分性。例例3-9：已知线性定常系统状态方程为：已知线性定常系统状态方程为01000100101000010100502
24、0 xxu判断系统的可控性。判断系统的可控性。解：解：根据状态方程可写出根据状态方程可写出10001010100010100520sssIABss特征方程：特征方程：010001001010rankrank000101005020010001001010rank4000101000030sIAB2det()(5)(5)0sIAsss解得解得A的特征值为：的特征值为：12340,5,5 1）当）当 时，有时，有 120s2）当）当 时，有时，有 35s51010510rank=rank400010020sIAB3）当）当 时，有时，有 35s 51010510rank=rank400010020
25、sIAB所以系统是完全可控的。所以系统是完全可控的。线性定常系统线性定常系统 0()()()(0)0 x tAx tBu txxt完全可控的充分必要条件是：完全可控的充分必要条件是：A不能有与不能有与B的所有的所有列相正交的非零左特征向量。即对列相正交的非零左特征向量。即对A的任一特征的任一特征值值i，使同时满足，使同时满足,TTTiAB 0 的特征向量的特征向量 。0 注：注：一般的说，一般的说，PHB特征向量判据主要用于理论特征向量判据主要用于理论分析中，特别是线性系统的复频域分析中分析中，特别是线性系统的复频域分析中。证明：必要性：证明：必要性：已知系统完全可控，反设存在一个向已知系统完
26、全可控，反设存在一个向量量0，使式，使式 成立，则有成立，则有,TTTiAB 01,TTTTniBABBAB0001TnTBABABS 0由于由于0，所以上式意味着，所以上式意味着S为行线性相关的，为行线性相关的，即即rankSn，即系统为不完全可控。与已知条件相，即系统为不完全可控。与已知条件相矛盾，因而反设不成立，必要性得证。矛盾，因而反设不成立，必要性得证。充分性：充分性：对充分性的证明也用反证法，可按与以上对充分性的证明也用反证法，可按与以上相反的思路来进行，具体推证过程略去。相反的思路来进行，具体推证过程略去。当矩阵当矩阵A的特征值的特征值 为两两相异时，为两两相异时，线性定常连续系
27、统线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是：其对角线规范型完全可控的充分必要条件是：其对角线规范型 12,n 0()()()(0)0 x tAx tBu txxt12nxxBu中，中，不包含元素全为零的不包含元素全为零的。B例例3-12：已知线性定常系统的对角线规范型为：已知线性定常系统的对角线规范型为11122233800010103000202xxuxxuxx判断系统的可控性。判断系统的可控性。解：解：由于此规范型中由于此规范型中 不包含元素全为零的行，不包含元素全为零的行，故系统完全可控。故系统完全可控。B 当系统矩阵当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连有重特征值时，线性定常连续系统续系
28、统完全可控的充分必要条件是：由其导出的约当完全可控的充分必要条件是：由其导出的约当规范型规范型 中，中，中与同一特征值的各中与同一特征值的各约当块对应的各子块的最后一行组成的矩阵是约当块对应的各子块的最后一行组成的矩阵是线性无关的。线性无关的。0()()()(0)0 x tAx tBu txxtABxxuB例例3-13：已知约当规范型系统如下：已知约当规范型系统如下：2100000000020000010000200000400002000007000031000000000301100000003041xx+u试判断其可控性。试判断其可控性。解：解：，均行线性无关，均行线性无关，所以：系统完
29、全可控。所以：系统完全可控。1100040007B2110041B例例3-14：证明如下系统总是完全可控的。：证明如下系统总是完全可控的。0110100101nxxuaaa 证明：证明：11001101nnaSarankSn，故完全可控。，故完全可控。该题说明：可控标准型系统完全可控。该题说明：可控标准型系统完全可控。若在有限时间间隔若在有限时间间隔t0,t1内，存在无约内，存在无约束分段连续控制函数束分段连续控制函数u(t)，能使任，能使任意初始输出意初始输出y(t0)转移到任意最终输出转移到任意最终输出y(t1)，则称此系统是输出完全可控，简称输出可则称此系统是输出完全可控，简称输出可控。
30、控。01,tt t设线性定常连续系统的状态空间描述为：设线性定常连续系统的状态空间描述为：01(0),0,xAxBuxx ttyCxDu则输出可控的充要条件是：输出可控性矩阵则输出可控的充要条件是：输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数的秩等于输出变量的维数q，即，即10nSCBCABCABD0rankSq注意：注意：状态可控性与输出可控性是两个不同的状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者没有什么必然联系。概念，二者没有什么必然联系。判断系统的状态可控性和输出可控性。判断系统的状态可控性和输出可控性。例例3-15：已知系统的状态空间描述为：已知系统的状态空间描述为011121xxu10yx
31、解：解：1）系统的状态可控性矩阵为）系统的状态可控性矩阵为1111SBABrank12S ，状态不完全可控，状态不完全可控 2）系统的输出可控性矩阵为）系统的输出可控性矩阵为 0110SCBCABD0rank1Sq,系统输出可控。系统输出可控。三三 线性时变系统的能控性判据线性时变系统的能控性判据1 1 格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性时变系统在时刻线性时变系统在时刻 为完全能控的充要为完全能控的充要条件是，存在一个有限时刻条件是，存在一个有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵使如下定义的格拉姆矩阵非奇异。非奇异。10t0T010)t,t()t()t()t,t(,t tTcdtBBtW0t)tt
32、,Jt(t01112 2 秩判据秩判据 线性时变系统在时刻线性时变系统在时刻 为完全能控的充分为完全能控的充分条件是，存在一个有限时刻条件是，存在一个有限时刻 ，使下式成立使下式成立n)t(M)t(M)t(Mrank11-n11100t)tt,Jt(t0111)t(Mdtd)t(M)t(A)t(M)t(Mdtd)t(M)t(A)t(M)t(B)t(M2-n2-n1-n0010 线性定常系统线性定常系统完全可观测的充分必要条件是，存在有限时刻完全可观测的充分必要条件是，存在有限时刻t10，使如下定义的格拉姆矩阵，使如下定义的格拉姆矩阵为非奇异。为非奇异。0(0)0 xAxxxtyCx1T10(0
33、,)eeTtA tAtMtC Cdt注意：在应用该判据时需计算注意：在应用该判据时需计算eAt，这在，这在A的维数较的维数较高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。线性定常系统线性定常系统完全可观测的充分必要条件是完全可观测的充分必要条件是:或或0(0)0 xAxxxtyCx1nCCAranknCA1()TTTTnTrank CA CACn其中：其中：n是系统的维数，是系统的维数，称为系统的可观测性判别阵，简称可观测性阵。称为系统的可观测性判别阵，简称可观测性阵。1()TTTTnTTVCA CAC例例3-16：判断下列系统的可观性：判断下列系统的
34、可观性：xAxyCx20,1001AC(1)解：解：(1)101220CrankVrankranknCA 系统不完全可观测系统不完全可观测11101111AC，(2)(2)111020112TTTrankVrank CA Crankn系统完全可观测系统完全可观测例例3-17：证明如下系统总是完全可观测的。：证明如下系统总是完全可观测的。0110011naaxxa001yx证明：证明：11101100nnaaVnV rank系统是完全可观测的。系统是完全可观测的。该题说明：该题说明：可观测标准型系统是完全可观测的。可观测标准型系统是完全可观测的。补充：可观测性判别矩阵补充：可观测性判别矩阵 n
35、qV线性定常连续系统的状态方程线性定常连续系统的状态方程其中：其中：x为为n维状态向量；维状态向量；y为为q维输出向量；维输出向量；A和和C分别为分别为(nn)和和(qn)常阵。该线性定常连续系统常阵。该线性定常连续系统完全可观测的充要条件是：完全可观测的充要条件是：其中：其中：0(0)0 xAxxxtyCxn qn qCCArankVranknCAqrankCqq，适用于多输出系统适用于多输出系统例例3-18：判断例：判断例3-16所示系统所示系统2）的可观性。）的可观性。11101111AC，解：解：系统输出向量是系统输出向量是2维的列向量，即维的列向量，即q=2。10211qrankCr
36、ankq2 21011V2n qrankVn故故 ，系统完全可观测。，系统完全可观测。线性定常系统线性定常系统完全可观测的充分必要条件是：对矩阵完全可观测的充分必要条件是：对矩阵A的所的所有特征值有特征值 ，均有，均有0(0)0 xAxxxtyCx),2,1(niirank;1,2,IiCninA(I)CranknsCsA，成立。或等价地表示为成立。或等价地表示为 线性定常系统线性定常系统完全可观测的充分必要条件是：完全可观测的充分必要条件是：A没有与没有与C的所的所有行相正交的非零右特征向量。即对有行相正交的非零右特征向量。即对A的任一的任一特征值特征值 ，使同时满足，使同时满足0(0)0
37、xAxxxtyCx),2,1(nii,iAC0 0 的特征向量的特征向量 。注：注：PHB特征向量判据主要用于理论分析中特征向量判据主要用于理论分析中。12,nxxyCx 当矩阵当矩阵A的特征值的特征值 为两两相异时，为两两相异时，线性定常连续系统线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是：其对角线规范型完全可观测的充分必要条件是：其对角线规范型 12,n 中，中，不包含元素全为零的不包含元素全为零的。0(0)0 xAxxxtyCxC例例3-19：已知线性定常系统的对角线规范型为：已知线性定常系统的对角线规范型为800100010,123002xxyx判断系统的可观测性。判断系统的可观测性。解
38、：由于此规范型中解：由于此规范型中 不包含元素全为零的不包含元素全为零的列，故系统完全可观测。列，故系统完全可观测。C 当系统矩阵当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连有重特征值时，线性定常连续系统续系统完全可观测的充分必要条件是：由其导出的约完全可观测的充分必要条件是：由其导出的约当规范型当规范型中，中，中与同一特征值的各约当块对应的各子中与同一特征值的各约当块对应的各子块的第一列组成的矩阵是块的第一列组成的矩阵是线性无关的。线性无关的。0(0)0 xAxxxtyCxACxxy=xC例例3-20：约当标准型系统如下：约当标准型系统如下：21000000200000002000000020000
39、00031000000300000003xx试判断其可观测性。试判断其可观测性。400020000301010005300yx解：解：1400030,005C2201130C所以：系统完全可观测。所以：系统完全可观测。是列线性无关的；是列线性无关的；是列线性无关的；是列线性无关的；完全可控且完全可观测的子系统组合后不一完全可控且完全可观测的子系统组合后不一定保持原有的可控性或可观测性。定保持原有的可控性或可观测性。例例3-21：设完全可控且完全可观测的子系统为：设完全可控且完全可观测的子系统为11111101021341Sxxuyx ：，222222Sxxuyx：，求出并联组合系统的状态空间描
40、述，并判断并联求出并联组合系统的状态空间描述，并判断并联组合系统的可控性和可观测性。组合系统的可控性和可观测性。解：解：子系统并联组合后的系统子系统并联组合后的系统1111222200ABABxxuxx010034010011xxu 112122CCDDxyux21 1yx 可控性判别矩阵：可控性判别矩阵：0141413111S可观性判别矩阵可观性判别矩阵156123112Vdet4 156 123 100V rankVn该并联组合系统不完全可控且不完全可观测。该并联组合系统不完全可控且不完全可观测。det4 13 16 10S rankSn三三 线性时变系统的能观测性判据线性时变系统的能观测
41、性判据1 1 格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性时变系统在时刻线性时变系统在时刻 为完全能观的充要为完全能观的充要条件是，存在一个有限时刻条件是，存在一个有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵使如下定义的格拉姆矩阵非奇异。非奇异。10t0T0T10o)t,t()t(C)t(C)t,t(,t tdttW0t)tt,Jt(t01112 2 秩判据秩判据 线性时变系统在时刻线性时变系统在时刻 为完全能观的充分为完全能观的充分条件是，存在一个有限时刻条件是，存在一个有限时刻 ，使下式成立使下式成立n)t(N)t(N)t(NrankT11-n11100t)tt,Jt(t0111)t(Ndtd)t(A)t(N
42、)t(N)t(Ndtd)t(A)t(N)t(N)t(C)t(N2-n2-n1-n00103.4 3.4 对偶原理对偶原理一一 对偶系统对偶系统 考虑线性时变系统考虑线性时变系统x)t(CyB(t)u,A(t)xx:线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：TTTTTTTTd)t(B(t)C(t)A:式中：式中：-n-n维行向量，协态；维行向量，协态；-输出，输出，p p维行向量；维行向量；-输入，输入，q q维行向量。维行向量。（1 1）（2 2）二二 对偶原理对偶原理 对偶系统的状态转移矩阵之间满足如下关系：对偶系统的状态转移矩阵之间满足如下关系：线性时
43、变系统的完全能控等同于其对偶系线性时变系统的完全能控等同于其对偶系统的完全能观测，线性时变系统的完全能观测统的完全能观测，线性时变系统的完全能观测等同于其对偶系统的完全能控。等同于其对偶系统的完全能控。),(),(),(000ttttttTTa补充题：补充题：确定使下列系统状态完全能控的待定参确定使下列系统状态完全能控的待定参数的数的a，b，c取值范围取值范围010001000 xabxuc 2010416012618axxb uc （1）（2）ac0,b任意任意 0ac a,b,c为任何值为任何值都不能控都不能控 习题习题9-20 已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为32()7148s aG ssss设系统状态完全可控且完全可观设系统状态完全可控且完全可观,试求试求a的范围。的范围。解：解：可控标准型实现，检查可观性：可控标准型实现，检查可观性：0100001081471xxu；10 yax 解解得得 a1=1；a2=2；a3=4；答案：只需答案：只需a1 1、a2 2 和和 a3 4。；0814723aaa71481001aaaV；814723aaa
