1、第三章第三章 弹性力学有限元法弹性力学有限元法第三章第三章 弹性力学有限元法弹性力学有限元法3.1 3.1 有限元法求解问题的基本步骤有限元法求解问题的基本步骤3.2 3.2 连续体离散化连续体离散化3.3 3.3 单元分析单元分析3.4 3.4 整体分析整体分析 3.5 3.5 边界约束条件处理边界约束条件处理 3.6 3.6 求解、计算结果的整理和有限元后处理求解、计算结果的整理和有限元后处理3.1 3.1 有限元法求解问题的基本步有限元法求解问题的基本步骤骤 工程结构的几何简化 载荷简化 边界条件的简化 建立力学模型建立力学模型 连续体离散化连续体离散化 用合适的单元将连续体划分为有限个
2、具有规则形状的的单元集合，单元的选取应视所分析问题的性质、规模和精度要求而定。3.1 3.1 有限元法求解问题的基本步骤有限元法求解问题的基本步骤 单元分析单元分析 位移模式位移模式(位移函数、插值函数）选取位移函数、插值函数）选取 单元分析单元分析 单元的位移模式一般采用多项式，因为多项式计算简便，并且随着项数的增加，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。建立单元刚度矩阵 建立单元节点力列阵弹性力学几何方程和物理方程弹性力学几何方程和物理方程 静力等效原则静力等效原则3.1 3.1 有限元法求解问题的基本步骤有限元法求解问题的基本步骤 整体分析和有限元方程求解整体分析和有限元方程求解 建立整体刚度
3、矩阵 建立整体节点力列阵 代入边界条件 选择适当的代数方程求解高斯消元法三角分解法波前法雅克比迭代法3.1 3.1 有限元法求解问题的基本步骤有限元法求解问题的基本步骤 结果后处理和分析结果后处理和分析 应力误差的减小 结果输出方式 结果分析3.2 3.2 连续体离散化连续体离散化 杆状单元杆状单元平面杆单元平面杆单元只能承受轴向的拉压载荷，平面杆单元每个节点有两个自由度。空间杆单元空间杆单元只能承受轴向的拉压载荷，平面杆单元每个节点有三个自由度。轴力单元轴力单元3.2 3.2 连续体离散化连续体离散化 梁单元梁单元平面梁单元平面梁单元平面梁单元每个节点有三个自由度，两个线位移一个角位移，可承
4、受平面内的体力，集中力、分布力和垂直平面的弯矩的作用。空间梁单元空间梁单元空间梁单元每个节点有六个自由度，三个线位移三个角位移，可承受各个方向的体力，集中力、分布力和弯矩的作用。杆状单元杆状单元3.2 3.2 连续体离散化连续体离散化 平面单元平面单元平面单元属于二维单元，只能承受单元平面内的分布力和集中力，不能承受面外载荷。三节点三三节点三角形单元角形单元每个节点有两个自由度，因此只能采用线性模式，应变值为常量，也称为常应变单元或常应力单元。3.2 3.2 连续体离散化连续体离散化四节点四四节点四边形单元边形单元四边形单元有四个节点，每个节点也有两个自由度，采用双线性位移模式，计算精度较高。
5、平面单元平面单元3.2 3.2 连续体离散化连续体离散化 薄板弯曲单元和薄板单元薄板弯曲单元和薄板单元 薄板弯曲单元薄板弯曲单元四边形弯曲单元四边形单元有四个节点，每个节点有三个自由度，主要承受横向载荷和绕水平轴的弯矩。3.2 3.2 连续体离散化连续体离散化 薄板弯曲单元薄板弯曲单元三角形弯曲单元三角形单元有三个节点，每个节点有三个自由度，主要承受横向载荷和绕水平轴的弯矩。薄板弯曲单元和薄板单元薄板弯曲单元和薄板单元 3.2 3.2 连续体离散化连续体离散化 薄板弯曲单元和薄板单元薄板弯曲单元和薄板单元 薄板单元薄板单元四边形薄板单元四边形薄板单元有四个节点，每个节点有五个自由度，可承受各个
6、方向的载荷和绕水平轴的弯矩。3.2 3.2 连续体离散化连续体离散化 薄板弯曲单元和薄板单元薄板弯曲单元和薄板单元 薄板单元薄板单元三角形薄板单元三角形单元有三个节点，每个节点有五个自由度，可承受各个方向的载荷和绕水平轴的弯矩。3.2 3.2 连续体离散化连续体离散化 多面体单元多面体单元 四面体单元四面体单元有四个节点，每个节点有三个自由度。3.2 3.2 连续体离散化连续体离散化六面体单元六面体单元有八个节点，每个节点有三个自由度。多面体单元多面体单元 3.2 3.2 连续体离散化连续体离散化 等参单元等参单元 求解实际问题时人们总希望用最少的单元实现比较高的计算精度，而且所选用的单元对复
7、杂结构也有比较好的适应性。计算期望：计算期望：手段：手段：单元形状的变化和单元内位移函数的变化用相同数目的结点参数和相同的插值函数进行变换。四边形四节点等参元4141),(),(iiiiiiyNyxNx3.2 3.2 连续体离散化连续体离散化四边形四节点等参元插值函数注意注意:总体坐标系适用于整体结构，局部坐标系只适用于具体某个单元。常用的对于平面问题还有八节点等参元，空间问题有八节点空间等参元，二十节点等参元等。等参单元等参单元 3.2 3.2 连续体离散化连续体离散化 轴对称单元轴对称单元 对于回转结构，如果约束条件和载荷都对称于回转轴，其应力、应变和位移也都对称于回转轴线，这类应力应变问
8、题称为轴对称问题，通常用柱坐标来描述应力、应变和位移，单元为实心圆环体，仅截面不同三角形环单元3.2 3.2 连续体离散化连续体离散化四边形环单元回转圆锥薄壳单元 轴对称单元轴对称单元 3.3 3.3 单元分析单元分析 单元的插值函数（各种多项式）单元的插值函数（各种多项式）yaxaavyaxaauee6543212121121098726524321yaxyaxayaxaavyaxyaxayaxaauee3.3 3.3 单元分析单元分析 单元的插值函数（各种多项式）单元的插值函数（各种多项式）xyayaxaavxyayaxaauee119874321四节点矩形单元的插值多项式 mmlljji
9、iemmlljjiievNvNvNvNvuNuNuNuNu)by)(ax(N)by)(ax(N)by)(ax(N)by)(ax(Nmlji1141114111411141axby 3.3 3.3 单元分析单元分析 单元的插值函数（各种多项式）单元的插值函数（各种多项式）令：令：)1)(1(41),(iiiNmlji,矩阵形式：矩阵形式：eemmlljjiimljimljieevuvuvuvuNNNNNNNNvuqN 000000003.3 3.3 单元分析单元分析 单元的插值函数（各种多项式）单元的插值函数（各种多项式）形函数特点：本点为1，他点为0),(),(mljiijijyxNiji当当
10、01 在单元内任一点各形函数之和等于11mljiNNNN 单元任意一条边上的形函数，仅与该边两端节点的坐标有关，而与其他节点无关 3.3 3.3 单元分单元分析析 单元的插值函数（各种多项式）单元的插值函数（各种多项式）单元形函数必须满足的条件：位移模式在单元内连续，在单元的公共边界处协调.位移模式必须包括单元的刚体位移.位移模式还必须包括单元的常应变状态.3.3 3.3 单元分单元分析析 单元分析单元分析 弹性力学平面问题的几何方程：eemljixyyxBqqBBBBm,l,j,ixNyNyNxNNNxyyxiiiiiii000000BB称为应变矩阵，其分块子矩阵为：3.3 3.3 单元分析
11、单元分析 单元分析单元分析 代入无量刚插值函数，应变矩阵为：i0i0m,l,j,i)(b)(a)(a)(babiiiii000011100141B令：令：由平面问题物理方程单元内任意一点的应力可表示为 eeexyyxeSqDBqDS为应力矩阵3.3 3.3 单元分析单元分析 单元分析单元分析 D为弹性矩阵其表达式为：2110010112EDE是杨氏模量，是泊松比 应力矩阵S的分块子矩阵为 xNyNyNxNyNxNEiiiiiii212112S)(m,l,j,i3.3 3.3 单元分析单元分析 单元分析单元分析 )1(21)1(21)1()1()1()1()1(40000002iiiiiiiaa
12、abababES代入无量刚插值函数，应力矩阵为：)(m,l,j,i对于平面应变问题：E21E1 3.3 3.3 单元分单元分析析 单元分析单元分析 由虚功原理得：eATedxdyt DBBFATedxdytDBBKeeeKF 单元刚度矩阵可分块表示为：emmemlemjemielmelleljeliejmejlejjejieimeileijeiieKKKKKKKKKKKKKKKKK对于平面应力问题每一个子快为：222112112111114rprprprppTrerpKKKK)(EtddtabSBK3.3 3.3 单元分析单元分析 单元分析单元分析 )(ba)(abKprprprprrp311
13、2131111其中：prprrpK2112)(ba)(abKprprprprrp3112131122prprrpK2121r和p遍历i、j、l和m得到单元刚度矩阵 对于平面应变问题：E21E13.3 3.3 单元分析单元分析 单元分析单元分析 单元刚度矩阵的性质：单元刚度矩阵的性质：(1)单元刚度矩阵与所选单元的位移模式，几何形状、大小及单元的材料性质有关(2)单元刚度矩阵具有对称性(3)单元刚度矩阵是主元恒为正的奇异矩阵，即单元矩阵没有逆矩阵且0rrK3.3 3.3 单元分析单元分析 载荷移置载荷移置 (1)集中力 TememelelejejeieieQYXYXYXYXF由虚功原理得到 QN
14、FTeQ或yiixiiQNYQNX)(m,l,j,i设在矩形单元体上：体力 T),(YXVF分布面力 集中力 T),(YXAFT),(yxQQQ3.3 3.3 单元分析单元分析 载荷移置载荷移置 (3)分布面力 由虚功原理得到 或)(m,l,j,iTememelelejejeieieAYXYXYXYXFsAeAtdsFNFTsiisiitdsYNYtdsXNXs为单元上作用有外载荷的边(2)体力 TememelelejejeieieVYXYXYXYXF由虚功原理得到 或)(m,l,j,idtdVAeVFNFTAiiAiidYtdNYdXtdNX3.3 3.3 单元分析单元分析 整体分析整体分析
15、 位移 节点位移按总体编码由小到大排列起来得到 TTT2T121nniiivuqn,i21 其中：节点力节点位移按总体编码由小到大排列起来得到 n,i21其中：TTT2T121nnFFFFNeeiNeeiiiiYXYX11F 3.4 3.4 整体分析整体分析 刚度矩阵刚度矩阵 nmljikkkkkkkkkkkkkkkknmljimmmlmjmilmllljlijmjljjjiimilijiinn1122k单个单元的扩充N N个单元进行叠加求和个单元进行叠加求和 dtdNeNee1T1DBBkKnnnmnlnjninmnmmmlmjmimlnlmllljliljnjmjljjjijinimili
16、jiiinmljiKkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk111111111111 3.4 3.4 整体分析整体分析 单元分析单元分析 整体分析整体分析 22rpk是 的子矩阵，按下式计算 Neerprp1kkn,r21()21n,pFK 整体刚度K矩阵具有以下性质：(1)整体刚度矩阵是对称的稀疏矩阵(2)整体刚度矩阵的主对角线元素必然大于零(3)未经约束条件处理的刚度矩阵是奇异矩阵 边界约束条件处理边界约束条件处理 划行划列法 对角线元素置1法 对角线元素乘大数法 求解、计算结果的整理和有限元后处理求解、计算结果的整理和有限元后处理 有限元方程解法 直接法 迭代法 单元分析单元分析 求解、计算结果的整理和有限元后处理求解、计算结果的整理和有限元后处理 有限元方程解法 直接法 迭代法 高斯消元法 三角分解法 分块法 波前法 雅克比迭代法 高斯赛德尔迭代法 超松弛迭代法 单元分析单元分析 求解、计算结果的整理和有限元后处理求解、计算结果的整理和有限元后处理 应力误差消除的方法应力误差消除的方法(1)绕节点平均法(2)二单元平均法 结果输出方式结果输出方式 列表法 动画模拟法 图形法 单元分析单元分析
