1、 连续函数的概念连续函数的概念 函数的间断点函数的间断点第九节第九节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点在函数极限概念的基础上在函数极限概念的基础上,我们引入另一个我们引入另一个 基本基本 概念概念函数的连续函数的连续 性性.函数的连续函数的连续 性是性是 函数的重要连续函数是非函数的重要连续函数是非常重要的一类函数常重要的一类函数,也是函数的一种重要性态之一也是函数的一种重要性态之一.函数的函数的连续性描述的是自变量有微小变化时连续性描述的是自变量有微小变化时,相应的因变量的变相应的因变量的变化也很微小化也很微小.函数的连续性是描述函数的渐变性态函数的连续性是描述函数的渐变性态,对函数
2、连续性一般有对函数连续性一般有三种描述：三种描述：连续函数的图形是一条连续不断曲线；连续函数的图形是一条连续不断曲线；什么是函数的连续性什么是函数的连续性?当自变量有微小变化时，因变量的变化也是微小的；当自变量有微小变化时，因变量的变化也是微小的；自变量的微小变化不会引起因变量的跳变；自变量的微小变化不会引起因变量的跳变；2xy 例如：例如：上上连连续续在在),(xysin 上上连连续续在在),(处处间间断断在在点点0 x1 yx 21()1xf xx 11xyO 1 x 在点间断.在点间断.如何用数学语言刻画函数的连续性？如何用数学语言刻画函数的连续性？一、一、连续函数的概念连续函数的概念1
3、.函数的增量函数的增量0000()(),(),.f xUxxUxxxxx 设设函函数数在在内内有有定定义义称称为为自自变变量量在在点点的的增增量量0()()(),.yf xf xf xx 称称为为函函数数相相应应于于的的增增量量xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y)(xfy 自变量和因变量的自变量和因变量的 增量表示方法增量表示方法:自变量和因变量的增量都可正可负自变量和因变量的增量都可正可负00001.:()()()()x xxxxxyf xf xyf xf x 000000002.:():()()()()x xxxxxxxyf xf xxyf xxf x
4、2.连续函数的概念连续函数的概念(1)函数函数 y=f(x)在在 x0 点连续点连续oxy0 xy=(x)yxx连续连续oxyyy=(x)x0 xx间断间断注注000lim()()0 xf xxf x 因因 0,0 xxxx 令令当当时时,000lim0lim()()xxxyf xf x 0 xx有有,从从而而oxyy=(x)xy0 x0 xx 000lim()()xf xxf x 函数函数 y=f(x)在在 x0 点连续的点连续的等价定义等价定义注注 该定义包含三重含义该定义包含三重含义:(1)函数函数 y=f(x)在在 x0 点有定义点有定义;(2)极限极限 存在存在;0lim()xxf
5、x(3);00lim()()xxf xf x 例例11sin,0,()0.0,0,xxf xxxx 试试证证函函数数在在处处连连续续证证,01sinlim0 xxx,0)0(f又又由定义由定义2知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 利用函数利用函数 y=f(x)在在 x0 点连续的定义经常用来讨论分段点连续的定义经常用来讨论分段函数在分段点的连续性函数在分段点的连续性.例例2.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),(x任取任取xxxysin)sin()2cos(2sin2xxx ,1)2cos(xx.2sin2xy 则则,0,时时
6、当当对任意的对任意的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故.0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy(2)单侧连续单侧连续由左、右极限的概念可得到函数在某点左、右连续的概念由左、右极限的概念可得到函数在某点左、右连续的概念.000lim()()()xxf xf xf x 记为记为000lim()()()xxf xf xf x 记为记为,则称函数则称函数(x)在在x0 处处左连续左连续;00lim()()xxf xf x 定义定义3 若左极限若左极限,则称函数则称函数(x)在在x0 处处右连续右连续;00lim()()xxf xf x 若右极限若右
7、极限000lim()lim()lim()xxxxxxf xAf xf xA 因为因为则有则有00000lim()()lim()lim()()xxxxxxf xf xf xf xf x 结论结论:函数函数(x)在在x0 处连续的充要条件是处连续的充要条件是(x)在在 x0 处既左连处既左连续又右连续续又右连续.即即 定义定义4 若函数若函数(x)在开区间在开区间(a,b)内的每一点都连续内的每一点都连续,则则称称函数函数(x)在开区间在开区间(a,b)内连续内连续;若函数若函数(x)在开区间在开区间(a,b)内连续内连续,且在左端点且在左端点 a 右连续右连续,在右端点在右端点 b 左连续左连续
8、,则称则称函数函数(x)在闭区间在闭区间a,b 内连续内连续.00000lim()()lim()lim()()xxxxxxf xf xf xf xf x (3)函数函数 y=f(x)在在区间上区间上连续连续注注 1.区间上连续函数的图形时没有间断的一笔画的曲线段区间上连续函数的图形时没有间断的一笔画的曲线段.2.讨论分段函数在分段点的连续性讨论分段函数在分段点的连续性.例例32,0,()0.2,0,xxf xxxx 讨讨论论函函数数在在处处的的连连续续性性解解)2(lim)(lim00 xxfxx2(0),f )2(lim)(lim00 xxfxx2(0),f 右连续但不左连续右连续但不左连续
9、,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf解解 (1)1f 因因为为()1.f xx 故故在在处处连连续续211lim()lim1xxf xx 且且11 lim()lim(2)1xxf xx 1lim()(1)1xf xf 则则 讨论函数讨论函数在在 x=1处的连续性处的连续性.2,01 ()2,12 xxf xxx 在点在点x=0,x=1处是否连续处是否连续.解解 在点在点x=0处处,因为因为00lim()lim(1)xxf xx 1(0)1f 所以所以,f(x)在点在点 x=0处不连续处不连续.因为在点因为在点x=1处处,11lim()lim(1)xxf xx 2(1)f 又又
10、11lim()lim2xxf xx 2(1)f 所以所以f(x)在点在点 x=1处连续处连续.讨论函数讨论函数1,0()1,012,1xxf xxxxx .0,0,0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 ,1)(lim)(lim00 xaxfxx ,a,)0(af),0()00()00(fff 要使要使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf,1 a确定常数确定常数 k,b的值的值,使函数使函数 在定义域内连续在定义域内连续.1sin,0(),01sin,0 xxxf xkxxbx
11、x 解解001lim()limsin1xxf xxx 001lim()lim(sin)xxf xxbbx 1b 要使要使(x)在在 x=0 处处连续连续,故故000lim()lim()lim()(0)1xxxf xf xf xfk 确定常数确定常数 a,b,使使 为连续函数为连续函数.2122()lim1nnnxaxbxf xx 2,11 1()1(1),121(1),12axbxxxxfxabxabx ,因因 为为则要使则要使(x)连续连续,则则(x)就必须在就必须在 x=1处连续处连续.解解11(1)211(1)2abababab 解之解之,得得 a=0,b=1故当故当 a=0且且 b=1
12、时时,函数函数(x)连续连续.由定义由定义2可知求连续函数在某点的极限即为求此点的函数值可知求连续函数在某点的极限即为求此点的函数值.1 1abab 即即1111lim()lim()(1),lim()lim()(1)xxxxf xf xff xf xf 由由 得得若以上条件至少有一个不满足若以上条件至少有一个不满足,则则称称(x)在在 x0 处间断处间断.即即函数函数在在 x0 点连续必须同时满足以下三个条件点连续必须同时满足以下三个条件:二、二、函数的间断点函数的间断点(1)函数函数 y=f(x)在在 x0 点有定义点有定义;(2)极限极限 存在存在;0lim()xxf x(3);00lim
13、()()xxf xf x(2)(x)在在 x0 处虽有定义处虽有定义,但但 不存在不存在;0lim()xxf x(1)(x)在在 x0 处没有定义处没有定义;(3)(x)在在 x0 处虽有定义处虽有定义,且且 存在存在,但但0lim()xxf x00lim()()xxf xf x 若以上条件至少有一个满足若以上条件至少有一个满足,则称则称(x)在在 x0 处间断处间断.间断点的分类间断点的分类1.第一类间断点第一类间断点00 (),().f xxxf x如如果果在在点点处处的的左左、右右极极限限都都存存在在 则则称称点点为为函函数数 的的第第一一类类间间断断点点(1).跳跃间断点跳跃间断点00
14、00(),(0)(0),().f xxf xf xxf x如如果果在在点点处处左左 右右极极限限都都存存在在但但则则称称点点为为函函的的跳跳跃跃间间断断点点数数例例4 4.0,0,1,0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,0)00(f,1)00(f),00()00(ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy .0,1,0,0,0,1sgn时时当当时时当当时时当当xxxxy例例 符号函数符号函数 0 x 是是第第一一类类跳跳跃跃间间断断点点例例 ,0()sin2,0ln(1)xxexf xxxx 00 lim()0,lim()2,xxf xf x 因为
15、因为0().xf x 是的跳跃间断点是的跳跃间断点1-1-2-2(2).可去间断点可去间断点00000(),lim()(),()().xxf xxf xAf xf xxxf x如如果果在在点点处处的的极极限限存存在在 但但或或在在点点处处无无定定义义则则称称点点为为函函数数的的可可去去间间断断点点例例5.1,1,11,10,1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解,1)1(f,2)01(f,2)01(f2)(lim1 xfx),1(f 1.x 为为函函数数的的可可去去间间断断点点注注 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义可去间断
16、点只要改变或者补充间断处函数的定义,则则可使其变为连续点可使其变为连续点.如例如例5中中,(1)2,f 补补充充定定义义2,01,()1,1,1.xxf xxxx 则则在在处处连连续续跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.oxy1122.第二类间断点第二类间断点00 (),().f xxxf x如如果果在在点点处处的的左左、右右极极限限至至少少有有一一个个不不存存在在 则则称称点点为为函函数数 的的第第二二类类间间断断点点例例6.0,0,0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy,0)00(f,)00(f0,.x 为
17、为无无穷穷间间断断点点 故故属属于于第第二二类类间间断断点点(1).无穷间断点无穷间断点00 (),().f xxxf x 如如果果在在点点处处的的左左、右右极极限限至至少少有有一一个个为为无无则则称称点点为为函函数数穷穷间间断断点点的的(2).振荡间断点振荡间断点00 (),().f xxxf x如如果果在在点点处处的的左左、右右极极限限跳跳跃跃振振荡荡而而不不趋趋于于常常数数 则则称称点点为为函函数数的的振振荡荡间间断断点点例例71()sin0,0,()11,0().f xxxf xxxf x 函函数数 在在 处处没没有有定定义义 当当时时 的的极极限限值值在在与与之之间间来来回回振振荡荡
18、 所所以以点点为为函函数数的的振振荡荡间间断断点点第一类间断点：第一类间断点：00000(1)()()()(2)lim()()xxf xf xf xf xf x 没没定定义义可去间断点可去间断点,00()()f xf x 跳跃间断点跳跃间断点,第二类间断点：第二类间断点：左右极限都存在的间断点；左右极限都存在的间断点；左右极限至少有一个不存在的间断点：左右极限至少有一个不存在的间断点：无穷间断点无穷间断点,00()()f xf x 或或振荡间断点振荡间断点,00()()f xf x（或或跳跳跃跃震震荡荡而而不不趋趋于于常常数数可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振
19、荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 xxytan)1(2x为其无穷间断点为其无穷间断点.0 x为其振荡间断点为其振荡间断点.xy1sin)2(1x为可去间断点为可去间断点.11)3(2xxy例如例如xytan2xyOxyxy1sinOxy1O1)1(1)(lim1fxfx显然显然1x为其可去间断点为其可去间断点.1,1,)(21xxxxfy(4)xOy211(5)0,10,00,1)(xxxxxxfyxyO11,1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点为其跳跃间断点.1.tan .2yxx 讨讨论论函函数数在在 处处的的连连续续性性解解,.2x 为为无无穷穷间间
20、断断点点 故故属属于于第第二二类类间间断断点点2lim tanxx 2lim tanxx 1,02.0,001,0 xxyxxxx 函函数数 在在 处处的的极极限限为为00lim()lim(1)xxf xx 1(0)0f 00lim()lim(1)xxf xx 1(0)0f 0().xf x 故故点点是是函函数数 跳跳跃跃间间断断点点sin3.()0,0 xf xxxx 函函数数 在在 处处没没有有定定义义 所所以以点点是是函函数数().f x 间间断断点点 由由于于0sinlim1xxx:0 1,xy 如如果果补补充充定定义义 令令 时时 则则得得函函数数(),0()1,0f xxg xx
21、0.x 在在点点连连续续0().xf x 故故点点 为为函函数数 的的可可去去间间断断点点21 01()0 1 1xfxxxx ，x=1,x=0,x=1 为间断点为间断点.4.讨论函数讨论函数2()limnnnnnxxf xxx 的连续性的连续性.提示提示解解 间断点间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0 x为无穷间断点为无穷间断点;,1 时当x xx1,0)(xf xx1,1 时当x,1)(xf故故1x为跳跃间断点为跳跃间断点.,1,0处在x.)(连续xf间断点的类型间断点的类型.xxxf1e11)(确定函数确定函数的的连连续续性性。研研究究函函数数例例nnnnnxxxxxf 2lim)
22、(解解 ()0f xx 先先求求的的表表达达式式(显显然然定定义义域域)1,1,0,10,111lim)(2222xxxxxxxfnnn.,)(,),1(),1,0(),0,1(),1,(所所以以连连续续是是初初等等函函数数上上在在xf 非初等函数连续性问题举例非初等函数连续性问题举例2111lim()lim1,lim()1xxxf xxf x 2111lim()1,lim()lim1xxxf xf xx 00lim()lim(1)1xxf x 存存在在0 x 可可去去型型间间断断点点间间断断点点1,0 xx跳跳跃跃第第一一类类间间断断点点111x 121,10()0 ,1,.,1xxfxxxx 则则变变为为令令连连续续的的函函数数111,01(),02,0 xxxxfxxex 例例讨讨 论论 函函 数数的的 连连 续续 性性.,11)(,0在在定定义义域域内内连连续续初初等等函函数数时时当当xxxfx 解解.,)(,01在在定定义义域域内内连连续续也也是是初初等等函函数数时时当当xexfx )0(2111lim)(lim00fxxxfxx xexfxx100lim)(lim 0.0 ()=0 ().xxf xxf x 在在点点处处不不连连续续 且且是是的的第第二二类类间间断断点点,但但在在点点右右连连续续,()0,f xx 综上所述在处都是连续的综上所述在处都是连续的
