1、宜宾市 2019 届高三第二次诊断测试题 数 学（理工类） 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2 回答选择题时， 每小题选出答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 3考试时间：120 分钟，满分 150 分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的
2、。合题目要求的。 1设(1i) 12iz ()，则z的虚部为 A.1B.iC.1D.i 2已知集合2 ,3 ,Ax xBxx Z则AB I A. | 23xx B.1,2C.0,1,2D. 1,0,1,2 3一个袋子中有4个红球,2个白球,若从中任取2个球,则这2个球中有白球的概率是 A. 4 5 B. 3 5 C. 2 5 D. 3 1 4若焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是20xy，则该双曲线的离心率是 A.3B.2C.5D.6 5若函数( )2(0,1) x m f xan aa 且的图象恒过点( 1,4)，则mn A.3B.1C.1D.2 6已知棱长都为 2 的正三棱柱 111 ABC
3、ABC的直观图如图， 若正三棱柱 111 ABCABC绕着它的一条侧棱所在直线旋 转，则它的侧视图可以为 第 6 题图 7在ABCDY中，M是DC的中点，向量2DNNB uuu ruuu r ，设,ABAD uuu ruuu r ab，则MN uuur A. 12 63 abB. 11 63 a +bC. 17 66 a +bD. 11 63 ab 8设 n S为等比数列 n a的前n项和， 若 1 1 0 2 n aa，2 n S ，则 n a的公比的取值范围是 A. 3 (0, 4 B. 2 (0, 3 C. 3 (0, ) 4 D. 2 (0, ) 3 9 已知三棱锥PABC的四个顶点都
4、在半径为2的球面上，2 2ABBCCA，PAABC 平面， 则三棱锥PABC的体积为 A.6B.2 2C. 9 4 D. 8 3 10要得到函数 sin(2) 4 yx的图象，可以将函数 cos(2 ) 6 yx的图象 A. 向右平移 24 个单位B. 向左平移 24 个单位 C. 向右平移 12 个单位D. 向左平移 12 个单位 11过直线01443yx上一点P，作圆 22 129Cxy：的切线，切点分别为BA、， 则当四边形PACB面积最小时直线AB的方程是 A.4320xyB.3420xy C.3420xyD.4320xy 12若关于x的不等式 ln21x x axb成立，则 b a
5、的最小值是 A. 1 2e B. 1 e C. 1 e D. 1 2e 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13数列 n a中，若 1 3 nn aa ， 28 26aa，则 12 a_ 14二项式 9 1 2 x x 的展开式中常数项是_ 15已知奇函数( )f x是定义在R上的单调函数，若函数 2 ( )()(2|)g xf xf ax恰有4 个零点，则a的取值范围是_ 16已知直线0(0)kxykk与抛物线xy4 2 交于BA、两点，过B作x轴的平行线交抛物 线的准线于点M，O为坐标原点，若:1:2 OBMOBA
6、SS ，则k_ 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须答。第 题为必考题，每个试 题考生都必须答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必做题：共 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必做题：共 60 分分. 17 （12 分） 如图,在四边形ABCD中,45 ,105 ,ADBBAD , 2 6 AD2,3BCAC （1）求边AB的长及ABCcos的值； （ 2）若记,ABC求 sin(2) 3 的值 来 源 : Z _ x x _ k . C
7、 o m 18 （12 分） 艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒(HIV 病毒)引起，它把人体 免疫系统中最重要的 CD4T 淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能下表是 近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表： 年份20112012201320142015201620172018 年份代码x12345678 感染人数y （单位：万人） 34.338.343.353.857.765.471.885 （1）请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图； （2）请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y与x的关系； （3）建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)，预
8、测2019年我国艾滋病病毒感染人数. 附注： 参考数据：426.48； 第 17 题图 , 6 .449 8 1 i i y, 5 .2319 8 1 i i iy x 8 2 1 ()46.2, i i yy 参考公式：相关系数, )()( )( 11 22 1 n i n i ii n i ii yyxx yyxx r 回归方程 ybxa中， 1 2 1 ()() , () n ii i n i i xxyy b xx .aybx 19 （12 分） 如图，四边形ABCD是菱形，EA 平面ABCD，/EF AC，/CF平面BDE，G是AB中点 （1）求证：/EG平面BCF； （2）若AEA
9、B，60BAD， 求二面角ABED的余弦值 20 （12 分） 已知点M到定点0 , 4F的距离和它到直线 25 4 lx ：的距离的比是常数 4 5 （1）求点M的轨迹C的方程； （2）若直线lykxm：与圆9 22 yx相切，切点N在第四象限，直 线与曲线C交 于BA、两点，求证FAB：的周长为定值 第 18 题图 第 19 题图 21 （12 分） 已知函数 ln ( ) 1 axx f x x （1）当1a 时，判断( )f x有没有极值点?若有，求出它的极值点；若没有，请说明理由； （2）若( )1f xx，求a的取值范围 （二）选做题：共（二）选做题：共10分。请考生在分。请考生在
10、22,23题中任选择一题作答。如果多做，则题中任选择一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分。按所做的第一题记分。 22 （10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为 2 2(0)ypx p，以点O为极点，x轴正半轴为极轴 建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2 sin()3 3 ，l与x轴交于点M （1）求l的直角坐标方程，点M的极坐标； （2）设l与C相交于,A B两点，若MBABMA、成等比数列，求p的值 23 （10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数( )f xxa （1）若关于x的不等式( )0f xb的解集为( 13) ，求, a b的值；
11、（2）若 ( )(1) ( )22 f xf x g x ，求( )g x的最小值来源:学+科+网 Z+X+X+K 宜宾市宜宾市 2019 届高三第二次诊断测试题届高三第二次诊断测试题 数学数学（理工类）（理工类）参考答案参考答案 二、选择题：二、选择题：CDBCC，BAADA，BD 二、填空题：二、填空题： 21 13.34(0,1)2. 16 ；14.；15.；16.2 三、解答题：三、解答题： 17.解：在ABD中，, sinsin ,30 ADB AB ABD AD ABD ; 2 2 2 1 2 6 AB ; 3AB3 分 在ABC中，;cos2 222 ABCBCABBCABAC
12、22 3322 32cos,ABC. 6 3 cosABC6 分 由 知), 2 (, 6 3 cos , 6 5 2cos, 6 11 2sin, 6 33 cos1sin 2 9 分 . 12 1135 3 sin2cos 3 cos2sin) 3 2sin( 12 分 18.解：所求折线图如图；2 分 9 ,56.2 2 xyQ3 分 , 3 .2968)( )( 8 1 8 1 yxyxyyxx i iii i i 5 分 88 22 11 ()() ii ii xxyy 4246.2299.386 分 1 22 11 ()() 0.99 ()() n ii i nn ii ii xx
13、yy r xxyy 说 明y与x的 线 性 相 关 相 当 高 ， 从 而 可 用 线 性 回 归 模 型 拟 合y与x的 关 系7 分 ,05. 7 42 3 .296 )( )( )( 1 2 1 n i i i n i i xx yyxx b48.245 . 405. 72 .56 xbya 48.2405. 7 xy10 分 当9x时，93.8747.24905. 7y 预测2019年我国艾滋病感染累积人数为93.87万人12 分 19.(1) 证明：设ACBDOI，连接EOOG， QABCD是菱形，O是ACBD、的中点 QG是AB中点，/OG BC， OG Q平面BCF/OG平面BC
14、F2 分 Q/CF平面BDE，平面BDE I平面ACFEEO， /EO FC EO Q平面BCF，/EO平面BCF，4 分 EOOGOQI，平面EOG /平面BCF /EG平面BCF6 分 (2) 由()知/,EO FCAOOCQ， / /,/EF ACEFAOAOFEAE OFY得， QEA 底面ABCD，ACBD，OAOBOC，两两垂直，7 分 如图建立空间直角坐标系Oxyz，设2AEAB， 60 ,3,1BADDGAB OAOBQ，则 3 1 ( 3,0,2), (0,1,0),(0, 1,0),(,0), 22 EBDG(0,2,0),( 3, 1,2)DBBE uuu ruu u r
15、 设平面BDE的法向量( , , ),x y zn得 20 320 y xyz ，可取(2,0,3),n9 分 ,EADG EAABADGEABQI平 面 3 3 (,0) 22 EABDG uuu r 平面的法向量可取11 分 37 cos, 773 | | DG DG DG uuu r uuu r uuu r n n n 二面角ABED的余弦值 7 7 12 分 20（12 分）解：设( , )M x y由题意得, 5 4 4 25 )4( 22 x yx 2 分 1 925 22 yx 为轨迹C的方程；4 分 法一：设 11 ( ,),A x yA到l的距设为d，来源:学。科。网Z。X。
16、X。K 111 |444 254 , |, 5,5, | 5, 55545 AF AFdxxAFx d Q6 分 22 2211 111 4 1()9 2595 xy ANxyxQ，8 分 11 44 55, 55 FAANxx10 分 同理, 5 BNFB10ABFBFA FAB的周长为定值.1012 分 法二：设),(),( 2211 yxByxA由题知, 0, 0mk Q直线mkxyl:与圆9 22 yx相切 , 3 1 2 k m 即) 1(9 22 km5 分 把mkxy代入1 925 22 yx 得02252550)925( 222 mkmxxk 显然, 925 22525 , 9
17、25 50 , 0 2 2 21 2 21 k m xx k km xx7 分 925 22525 4) 925 50 (11 2 2 2 2 2 21 2 k m k km kxxkAB 925 1120 2 2 k kk 9 分 2 1212 22 444401201 5510()1010 555259259 kmk k FAFBxxxx kk 11 分 10ABFBFA FAB的周长为定值.1012 分 21.（12 分）解：( )f x定义域为011+U（ ， ）（， ）1 分 当1a 时， 2 ln1 ( ), 1 xx fx x （） 2 分 令令( )ln1g xxx，则 11
18、( )1 x g x xx ， 当(0,1)x时，( )0g x，( )g x为减函数，( )(1)0g xg, ( )0fx,( )f x无极值点 当(1,)x时，( )0g x，( )g x为增函数，( )(1)0g xg, ( )0fx,( )f x无极值点 综上，当1a 时，( )f x没有极值点4 分 法一：由( )1f xx，得 ln 1, 1 axx x x 1 ( ln)0 1 x axx xx 即 令 1 ( )ln,h xaxx x 则 2 2 1(1) ( )1 axax h x xxx 5 分 当0a 时，(0,1)x时 ln0 10 x x ；(1+ )x，时 ln0
19、 10 x x ， ln 1 1 axx x x 成立.0a合题意.7 分 当02a时， 2 120xaxxax ,( )0h x 当(0,1)x时，( )h x为减函数，( )(1)0,h xh 1 ( ln)0 1 x axx xx 成立 当(1,)x时，( )h x为减函数，( )(1)0,h xh 1 ( ln)0 1 x axx xx 成立 02a合题意.9 分 当2a 时，由( )0h x得， 22 1040xaxa ， 设 2 10xax 两根为 1212121212 ,(),0,1,01x xxxxxax xxx 由( )0h x得， 2 10xax ，解集为 12 ,1)(1
20、,),xxU（ ( )h x在 1 (,1)x上为增函数， 1 ()(1)0,h xh 1 11 11 1 ( ln)0 1 x axx xx ，2a不合题意；11 分 综上，a的取值范围是(,212 分 2 2222 2 2222 2 2 (1)(ln1) 11(1)ln1 1 ,( ),( ) lnlnlnln 2 ( )ln1,( )0,(1)0,( )(1),(1) 1 xx xxxxx x aF xF x xxxxxxxx G xxG xGF xFF x 法二思路：分离令 令易证从而再用洛必达法则求的极限值 22.（ 10 分）解：由2 sin()3 3 得，sin3 cos3,33
21、yx l的直角坐标方程33yx3 分 令0y 得点M的直角坐标为( 1,0),点M的极坐标为(1, )5 分 来 源 : Z 。 x x 。 k . C o m 由知l的倾斜角为 3 ,参数方程为 1 1 2 , 3 2 xt yt （t为参数）代入 2 2ypx， 得 2 3480,tptp 121 2 48 , 33 pp ttt t7 分 222 121 2121 2 | |,(),()5ABMBMAttt tttt tQ9 分 2 4815 ()5, 332 pp p10 分 23.解：由( )0f xb得，,xab 0b 当时，不合题意； 0,babxab当时，3 分 11 , 32 aba abb 由已知得 1,2ab 综上，5 分 |1|1| |1| ( )222 222 2 x axax axax axa g x |() (1)| 2 22 2 x axa 4 分 来 源 : Z x x k . C o m | |1|1 ,( )2 2 ()(1)02 xaxa xag x xa xa 当即时，有最小值5 分
