1、 第第2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 单自由度系统单自由度系统的的典型的单自由度系统典型的单自由度系统:弹簧弹簧-质量系统质量系统 梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，可视为集中质量。如不计梁向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，系统的质量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹簧简化成弹簧-质量系统质量系统 )(ddst22xkmgtxm当物块偏离平衡位置为当物块偏离平衡位置为x x距离时，物块的距离时，物块的运动微分方程为运动微分方程为 0dd222xptxn其中mkpn 取物块的静平衡位置为坐标原点取物块的静平
2、衡位置为坐标原点OO，x x轴轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置时，由平衡条件，得到在静平衡位置时，由平衡条件，得到stkmg 无阻尼自由振动微分方程无阻尼自由振动微分方程 弹簧的静变形弹簧的静变形固有圆频率固有圆频率其通解为：其通解为：tpCtpCxnnsincos2101xC tppvtpxxnnnsincos00npvC02其中其中C1和和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时，时，可解可解00vvxx，)sin(tpAxn)(arctg)(002020vxppvxAnn两种形式描述的物
3、两种形式描述的物块振动，称为无阻块振动，称为无阻尼自由振动，简称尼自由振动，简称自由振动。自由振动。无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动简谐振动 初相位角 振 幅系统振动的周期系统振动的周期kmpTn22 系统振动的频率系统振动的频率mkpTfn2121系统振动的圆频率为系统振动的圆频率为fpn2 圆频率圆频率pn 是物块在自由振动中每是物块在自由振动中每2 秒内振动的次数。秒内振动的次数。f、pn只与振动系统的弹簧常量只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量和物块的质量 m 有关，有关，而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率而与运动的
4、初始条件无关。因此，通常将频率f 称为称为固有频率，圆频率固有频率，圆频率pn称为固有圆频率。称为固有圆频率。用弹簧静变形量用弹簧静变形量 st表示固有圆频率的计算公式表示固有圆频率的计算公式 物块静平衡位置时物块静平衡位置时stkmg mkpn 固有圆频率固有圆频率stgpn stmgk 单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程0ddeq22eqqktqm等效的概念等效的概念这一方程，可以等效为广义坐标的形式这一方程，可以等效为广义坐标的形式0dd22kxtxm加加的的力力或或力力矩矩。需需要要在在这这一一坐坐标标方方向向施施位位移移，广广义义坐坐标标方方
5、向向产产生生单单位位等等效效刚刚度度：使使系系统统在在eqk向向施施加加的的力力或或力力矩矩。度度，需需要要在在这这一一坐坐标标方方加加速速广广义义坐坐标标方方向向产产生生单单位位等等效效质质量量：使使系系统统在在eqm0ddeq22eqqktqm0dd22qptqntpCtpCqnncoscos21 tpAqnsin初始速度。初始广义坐标；振动的位相；振动的振幅；系统的固有频率；0000n2020eqeqarctanvqqqppvqAmkpnn串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并联弹簧的等效刚度例例 在图中，已知物块的质量为在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为，弹簧的弹簧
6、刚度系数分别为k1、k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。解：（解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等二弹簧变形相等。振动过程中，物块始终作平行移动。处振动过程中，物块始终作平行移动。处于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是 st，而弹性力分别是，而弹性力分别是 st11kF st22kF 系统平衡方程是系统平衡方程是0 xFst2121)(kkFFmg如果用一根弹簧刚度系数为如果用一根弹簧刚度系数为k k的弹簧来代替原来的两根弹簧，的弹簧来代替原来的两根
7、弹簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则 stkmg 21kkkst2121)(kkFFmgk称为称为并联弹簧的等效并联弹簧的等效刚度系数。刚度系数。并联后的等效弹簧刚并联后的等效弹簧刚度系数是各并联弹簧度系数是各并联弹簧刚度系数的算术和。刚度系数的算术和。系统的固有频率系统的固有频率mkkmkf212121（2）串联情况。串联弹簧的特征是：）串联情况。串联弹簧的特征是：二二弹簧受力相等弹簧受力相等。当物块在静平衡位置时，它的静位移st等于每根弹簧的静变形之和，即 st=1st+2st 由于每根弹簧所受的拉力都等于由于每根弹
8、簧所受的拉力都等于重力重力mgmg，故它们的静变形分别为，故它们的静变形分别为1st1kmg2st2kmg如果用一根弹簧刚度系数为如果用一根弹簧刚度系数为 k k 的弹的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于的静变形等于kmgst如果用一根弹簧刚度系数为如果用一根弹簧刚度系数为k k 的弹簧来代替原来的的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于两根弹簧，此弹簧的静变形等于kmgst21111kkkkk kkk1212k k称为串联弹簧的等效刚度系数称为串联弹簧的等效刚度系数1st1kmg2st2kmg串联后的弹簧刚度系数的倒数等于串联后的弹簧刚度系数的倒
9、数等于各串联弹簧刚度系数倒数的算术和各串联弹簧刚度系数倒数的算术和)(21212121kkmkkmkf例例 质量为质量为m的物块悬挂如图所示。设杆的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，的质量不计，两弹簧的弹簧刚度系数分别为两弹簧的弹簧刚度系数分别为k1和和k2,又又AC=a，AB=b，求物块的自由振动频率。求物块的自由振动频率。解：将各弹簧的刚度系解：将各弹簧的刚度系数按静力等效的原则，数按静力等效的原则，折算到质量所在处。折算到质量所在处。先将刚度系数先将刚度系数k2换算换算至质量至质量m所在处所在处C的等效的等效刚度系数刚度系数k。C先将刚度系数先将刚度系数k2换算至质量换算至质量m所在
10、处所在处C的等效刚度系数的等效刚度系数k。C设在设在C处作用一力处作用一力F，按静力平衡的，按静力平衡的关系，作用在关系，作用在B处的力为处的力为bFa此力使此力使B B 弹簧弹簧 k2 产生产生 变形，变形，222bkFabac而此变形使而此变形使C点发生的变形为点发生的变形为 得到作用在得到作用在C处而与处而与k2弹簧等效的刚度系数弹簧等效的刚度系数 222abkFkcC222abkFkc物块的自由振动频率为物块的自由振动频率为)(221221kbkamkkbmkpn 与弹簧k1串联221222122212221kbkabkkabkkabkkk得系统的等效刚度系数得系统的等效刚度系数例例
11、一个质量为一个质量为m的物块从的物块从 h 的高的高处自由落下，与一根抗弯刚度为处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统自由振动的频率、的质量，求该系统自由振动的频率、振幅和最大挠度。振幅和最大挠度。st21gf 解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧质量系统。如果质量系统。如果知道系统的静变形知道系统的静变形 则求出系统的固有频率则求出系统的固有频率 st由材料力学可知，简支梁受集中载荷作用，其中点由材料力学可
12、知，简支梁受集中载荷作用，其中点静挠度为静挠度为EImgl483st求出系统的固有频率为求出系统的固有频率为34821mlEIf 以梁承受重物时的静平衡位置为坐标以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点原点O，建立坐标系，并以撞击时刻，建立坐标系，并以撞击时刻为零瞬时，则为零瞬时，则t=0时，有时，有st0 xghv20自由振动的振幅为自由振动的振幅为st2st20202)(hpvxAn)9611(48233stst2ststmaxmglEIhEImglhA梁的最大挠度梁的最大挠度 内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运转内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运转中常常产生扭转振动，简称扭振。中常常产生扭转
13、振动，简称扭振。扭振系统称为扭振系统称为扭摆扭摆。OA OA 为一铅直圆轴，圆盘对其转动惯量为为一铅直圆轴，圆盘对其转动惯量为I IOO。在研究扭摆的运动规律时，假定在研究扭摆的运动规律时，假定OAOA的质量略的质量略去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径线和该线的静止位置之间的夹角线和该线的静止位置之间的夹角 来决定，来决定，称称扭角扭角。圆轴的抗扭刚度系数为圆轴的抗扭刚度系数为k kn n，表示使，表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。圆盘产生单位扭角所需的力矩。根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程nOk
14、tI22dd扭振的运动规律扭振的运动规律tpptpnnnsincos00对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振动规律、特征是完全相同的。动规律、特征是完全相同的。0dd222nptOnnIkp 固有圆频率固有圆频率图图 (a)(a)所示为扭振系统两个轴并联的情况；图所示为扭振系统两个轴并联的情况；图(b)(b)为两为两轴串联的情况；图轴串联的情况；图(c)(c)则为进一步简化的等效系统。则为进一步简化的等效系统。2121nnnnnkkkkk并联轴系的等效刚度
15、系数并联轴系的等效刚度系数21nnnkkk串联轴系的等效刚度系数串联轴系的等效刚度系数计算固有频率的能量法的理论基础是机械能守恒定律。计算固有频率的能量法的理论基础是机械能守恒定律。无阻尼单自由振动系统中，势能与动能之和保持不变。无阻尼单自由振动系统中，势能与动能之和保持不变。VT常量式中式中T是动能，是动能，V是势能。如果取平衡是势能。如果取平衡位置位置O为势能的零点，系统在任一位置为势能的零点，系统在任一位置2221dd21kxVtxmT当系统在平衡位置时，当系统在平衡位置时，x=0,速度为最大，势能为零，速度为最大，势能为零，动能具有最大值动能具有最大值Tmax；当系统在最大偏离位置时，
16、速度为零，动能为零，而当系统在最大偏离位置时，速度为零，动能为零，而势能具有最大值势能具有最大值Vmax。由于系统的机械能守恒由于系统的机械能守恒 maxmaxVT用能量法计算固有频率的公式用能量法计算固有频率的公式 例例 船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物P连同杆连同杆BD对于对于支点支点B的转动惯量为的转动惯量为IE,求重物求重物P在铅直方向的振动频率。已知在铅直方向的振动频率。已知弹簧弹簧AC的弹簧刚度系数是的弹簧刚度系数是k。解解：这是单自由度的振动系统。这是单自由度的振动系统。系统的位置可由杆系统的位置可由杆BD自水平的平自水平的平衡位置量起的衡
17、位置量起的 角来决定。角来决定。221BI系统的动能系统的动能设系统作简谐振动，则其运动方程设系统作简谐振动，则其运动方程)sin(tpn角速度为角速度为)cos(ddtpptnn222maxmax2121nBBpIIT系统的最大动能为系统的最大动能为如取平衡位置为系统的势能零点。设在平衡位置时，弹簧的伸如取平衡位置为系统的势能零点。设在平衡位置时，弹簧的伸长量为长量为st。此时，弹性力。此时，弹性力Fst=k st,方向向上。方向向上。0)(FBm0s PlbFt0s Plbkt该系统的势能该系统的势能)(21)(21st222st2stPlkbkbPlbkV2221kbV 222max2m
18、ax2121kbkbV22222121kbpInB BIkbp2n 利用能量法，将弹簧的分布质量的动能计入系统的总动能，仍利用能量法，将弹簧的分布质量的动能计入系统的总动能，仍按单自由度系统求固有频率的近似方法，称为按单自由度系统求固有频率的近似方法，称为瑞利法瑞利法。应用瑞利法，首先应假定系统的振动位形。应用瑞利法，首先应假定系统的振动位形。2eqsdd21txmT 等效质量等效质量 l对于图示系统，假设弹簧上各点在振动过程中任一瞬时的位对于图示系统，假设弹簧上各点在振动过程中任一瞬时的位移与一根等直弹性杆在一端固定另一端受轴向力作用下各截移与一根等直弹性杆在一端固定另一端受轴向力作用下各截
19、面的静变形一样。面的静变形一样。根据胡克定律，各截面的静变形与离固定端的距离成正比。根据胡克定律，各截面的静变形与离固定端的距离成正比。依据此假设计算弹簧的动能，并表示为集中质量的动能为依据此假设计算弹簧的动能，并表示为集中质量的动能为例例 在图示系统中，弹簧长在图示系统中，弹簧长l，其质量，其质量ms。求弹簧的等效质量。求弹簧的等效质量及系统的固有频率。及系统的固有频率。左端距离为左端距离为 的截面的位移为的截面的位移为 ，则则d 弹簧的动能为弹簧的动能为xl2sddd21dtxllmTsl d 假设弹簧各点在振动中任一瞬时的位移和一根直杆在一端固定假设弹簧各点在振动中任一瞬时的位移和一根直
20、杆在一端固定另一端受轴向载荷作用时各截面的静变形一样，另一端受轴向载荷作用时各截面的静变形一样，解：令解：令x表示弹簧右端的位移，也是质表示弹簧右端的位移，也是质量量m的位移。的位移。弹簧的总动能弹簧的总动能2ss0sdd321dtxmTTl2s2s2dd321dd321dd21txmmtxmtxmT系统的总动能为系统的总动能为seq31mm系统的势能为系统的势能为221kxV 固有频率为固有频率为3snmmkp)cos(ntpAx设设maxmaxVTl d txcFddc它与物体的形状、尺寸及介质的性质有关，单位是牛顿米/秒(Ns/m)。图示为一有阻尼的弹簧图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简
21、化模质量系统的简化模型。以静平衡位置型。以静平衡位置O为坐标原点，选为坐标原点，选x轴铅直轴铅直向下为正，有阻尼的自由振动微分方程向下为正，有阻尼的自由振动微分方程 kxtxctxmdddd220dd2dd222xptxntxn0222 npnrr 222221nnpnnrpnnrmkpn 22ncm衰减系数，单位1/秒(1/s)rtex 22npnnr )ee(e222221tpntpnntnnCCx nrr21)(e21tCCxnt 222221nnpnnrpnnr运动微分方程运动微分方程 0dd2dd222xptxntxn设设cc为临界阻尼系数，由于为临界阻尼系数，由于z z=n/pn=
22、1，即，即kmmpnmcnc222 z z 阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是z z 称为阻尼比的原因。称为阻尼比的原因。z nncpnmpnmcc22cc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由只取决于系统本身的质量与弹性常量。由临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状态。临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状态。这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上发生变这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上发生变化的重要临界值。化的重要临界值。具有临界阻尼的系统与大阻尼系统比较，它为最具有临界阻尼的系统与大阻尼系统比较，它为最小阻尼系统。因此质量小阻尼系统。因此质
23、量m将以最短的时间回到静平将以最短的时间回到静平衡位置，并不作振动运动，临界阻尼的这种性质衡位置，并不作振动运动，临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发射炮弹时要出现反弹，有实际意义，例如大炮发射炮弹时要出现反弹，通常要求发射后以最短时间回到原来的静平衡位通常要求发射后以最短时间回到原来的静平衡位置，而且不产生振动，这样才能既快又准确地发置，而且不产生振动，这样才能既快又准确地发射第二发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足射第二发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足这种要求。这种要求。tntnCCx21-2-1ee1zznnppr npn zz1z1Otxnrr21)(e21tCCxntdnpp
24、rj z（npn）dndnpnnpnrpnnpnrjjjj222221。，221jnppnd )sincos(e21tpCtpCxddnt 其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时，可解00vvxx，dpvnxC002C1=x0 000220020tan)(nxvpxpnxvxAdd)sin(e tpAxdnt初相位角 振 幅阻尼振动振幅；ntAe 这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的衰减运动。衰减运动的频率为衰减运动。衰减运动的频率为 p d，衰减速度取决于衰减速度取决于 zp n，二者分二者分别为
25、本征值的虚部和实部。别为本征值的虚部和实部。衰减振动衰减振动:物块在平衡位置附近作具有振动性质的往复物块在平衡位置附近作具有振动性质的往复运动，但它的振幅不是常数，随时间的推延而衰减。运动，但它的振幅不是常数，随时间的推延而衰减。有阻尼的自由振动视为准周期振动。有阻尼的自由振动视为准周期振动。)sin(e tpAxdnt2222111()ddnnTTppnpzT=2/pn为无阻尼自由振动的周期。为无阻尼自由振动的周期。欠阻尼自由振动的周期欠阻尼自由振动的周期Td：物体由最大偏离位置起经过一次物体由最大偏离位置起经过一次振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间。振动循环又到达另一最大偏离位置所
26、经过的时间。由于阻尼的存在，使衰减振动的周期加大。通常由于阻尼的存在，使衰减振动的周期加大。通常z z 很小，阻很小，阻尼对周期的影响不大。例如，当尼对周期的影响不大。例如，当z z=0.05时，时，Td=1.00125T，周，周期期 Td 仅增加了仅增加了 0.125%。当材料的阻尼比。当材料的阻尼比 z z1时，可近似时，可近似认为有阻尼自由振动的周期与无阻尼自由振动的周期相等。认为有阻尼自由振动的周期与无阻尼自由振动的周期相等。设衰减振动经过一周期设衰减振动经过一周期Td，在同方向的相邻两个振，在同方向的相邻两个振幅分别为幅分别为Ai和和Ai+1，即，即)(sine)sin(e)(1 d
27、idTtniidntiTtpAAtpAAdii两振幅之比为两振幅之比为dnTiiAAe1称为振幅减缩率或减幅系数。如仍以z=0.05为例，算得 ,物体每振动一次，振幅就减少27%。由此可见，在欠阻尼情况下，周期的变化虽然微小，但振幅的衰减却非常显著，它是按几何级数衰减的。37.1ednT振幅减缩率的自然对数称为振幅减缩率的自然对数称为对数减缩率对数减缩率或对数减幅或对数减幅系数，以系数，以 表示表示lnz2例例 在欠阻尼（在欠阻尼（z z 1）的系统中，）的系统中，在振幅衰减曲线的包络线上，已测在振幅衰减曲线的包络线上，已测得相隔得相隔N个周期的两点个周期的两点P、R的幅值的幅值之比之比xP/
28、xR=r r，如图所示，试确定此，如图所示，试确定此振动系统的阻尼比振动系统的阻尼比z z。dnTpTtptpTpeeedndnnzzzzlnln)(11212zzdnT212zndpT解解：振动衰减曲线的包络线：振动衰减曲线的包络线方程为方程为ntAxe设设P、R两点在包络线上的幅值两点在包络线上的幅值为为xP、xR，则有，则有rdnNTRPxxe当z 21时 此式对估算小阻尼系统的此式对估算小阻尼系统的z z值是很方便的。例如，经过值是很方便的。例如，经过10个周个周期测得期测得P、R两点的幅值比两点的幅值比r r=2，将，将N=10、r r=2代入上式，得代入上式，得到该系统的阻尼比到该
29、系统的阻尼比011.0202lnzNN2lnln2rzrzrzzln122N 质量为质量为m=2450kg的汽车，压在的汽车，压在4个车轮弹簧上，可使每个个车轮弹簧上，可使每个弹簧压缩弹簧压缩 st=150mm，当每个弹簧都并联上一个粘性阻尼器，当每个弹簧都并联上一个粘性阻尼器后，振幅衰减为后，振幅衰减为A1/A3=10；求；求1）振幅减缩率）振幅减缩率 和对数减缩率和对数减缩率 ；2）衰减系数）衰减系数n=c/2m和衰减振动的周期和衰减振动的周期Td；3）临界阻尼）临界阻尼系数系数cc。044kxxcxm 解：画车身铅垂振动的受力图，解：画车身铅垂振动的受力图，坐标坐标x的原点为车身的静平衡
30、位置的原点为车身的静平衡位置，车身的运动微分方程为，车身的运动微分方程为044kxxcxm dnTAA231e162.3e,151.110ln21ln212121AAAA由已知条件和定义，得：由已知条件和定义，得：取对数得，dnTAA2ln312s790.012,211,222stzzndnTgs/mkN63.392,s/1456.1ncdmcTnOmgXOYOFKFC一长度为一长度为l、质量为、质量为m的均质刚性杆铰接于的均质刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如图所示。点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和阻写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和阻尼
31、固有频率的表达式。尼固有频率的表达式。0220aklcI 2013Iml当npn时，ccC323232mklampnmcnC解：图为系统的静平衡位置，画受力图。由动量矩定理，列解：图为系统的静平衡位置，画受力图。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：系统的运动微分方程为：2230ckamml22233,2nkacpnmlm简谐激振力简谐激振力tFFsin0SF0为激振力的幅值，为激振力的幅值，为激振力的圆频为激振力的圆频率。以平衡位置率。以平衡位置O为坐标原点，为坐标原点，x轴铅轴铅直向下为正，物块运动微分方程为直向下为正，物块运动微分方程为 tFkxtxctxmsindddd022thxpt
32、xntxnsindd2dd222，mFhmcnmkpn022具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。常系数线性非齐次常微分方程。简谐激励的响应全解简谐激励的响应全解)()(21txtxxthxptxntxnsindd2dd22200(0)(0)vvxx和00(0)(0)vvxx和thxptxntxnsindd2dd22200(0)(0)vvxx和0dd2dd222xptxntxn)()(21txtxx微微分分方方程程的的解解：有有阻阻尼尼自自由由振振动动运运动动)(1tx z tpAxtpd1sinen)(2txt
33、BsintBtxsin)(P这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关，仅仅取决于系统和激励的特性。无关，仅仅取决于系统和激励的特性。,稳态受迫振动的振幅滞后相位差2222)2()(nphBn 222tanpnn 00(0)(0)vvxx和thxptxntxnsindd2dd222振幅放大因子0BB222211z22220222224)1()()(4)(1/z BppnpphBnnnneqnkFphB020 nnnpmcpnpeqeq2,z212arctan
34、z曲曲线线族族相相频频特特性性曲曲线线曲曲线线族族幅幅频频特特性性曲曲线线 在低频区和高频区，当在低频区和高频区，当 z z 11时，时，1，Bb，即电机的角速度远远大于振动系统的，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于 。Mme)dddd()(dd22tytxcyxktxm 在图示的系统中，物块受粘性欠在图示的系统中，物块受粘性欠阻尼作用，其阻尼系数为阻尼作用，其阻尼系数为c，物块，物块的质量为的质量为m，弹簧的弹性常量为，弹簧的弹性常量为k。设物块和支撑只沿铅直方向运动，设物块和支撑只沿铅直方向运动，且支撑的运动为且支撑
35、的运动为 ,试求试求物块的运动规律。物块的运动规律。tbtysin)(建立物块的运动微分方程建立物块的运动微分方程 mxcxkxcykymxcxkxcbtkbtcossinZ代替代替 x)dddd()(dd22tytxcyxktxmyxz令令tbmtymkztzctzmsindddddd22222其中其中 y=btsin)sin(tZz2222)()(cmkbmZ2tanmkctbtysin)(bm22me2tanmkc)sin(tZz2222)()(cmkbmZx=z+ytiYeytiitieZeZez)()(tiitieXeXex)()(cimkYmZei22andtitiiYecimkc
36、ikeYZex)()(222222)()()(cmkckYX223)()(tancmkkmc2222)2()1()2(1zz2223412arctanzztHFsinSxBtsin()sin(dd),cos(dd222tBtxtBtx已知简谐激振力已知简谐激振力稳态受迫振动的响应为稳态受迫振动的响应为0sindddd22tHkxtxctxm现将各力分别用现将各力分别用 B、的旋转矢量表示。的旋转矢量表示。kBc BHmB、2应用达朗贝尔原理，将应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统弹簧质量系统写成写成式不仅反映了各项力之间的相位关系，而且表示着一个力多边形。式不仅反映了各项力之间的相位关系，而且表示
37、着一个力多边形。惯性力惯性力阻尼力阻尼力弹性力弹性力激振力激振力（a）力多边形力多边形 (b)1 1 (c)=1=1 (d)1 1从能量的观点分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是从能量的观点分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是输入系统的能量和消耗的能量平衡的结果。现将讨论简谐输入系统的能量和消耗的能量平衡的结果。现将讨论简谐激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。受迫振动系统的稳态响应为受迫振动系统的稳态响应为xBtsin()周期 2T1.激振力激振力tHFSsinsindsin)2sin(2d)cos(sind)(dd000BHttHB
38、ttBtHtttxFWTTTSH在系统发生共振的情况下，相位差在系统发生共振的情况下，相位差 ，激振力在，激振力在一周期内做功为一周期内做功为 ，做功最多。，做功最多。2BHWH对于无阻尼系统对于无阻尼系统(除共振情况外除共振情况外)相位差相位差 。因此，。因此，每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。0或2.粘性阻尼力粘性阻尼力 做的功做的功 txcFRddTTRRttBctttxFW0220d)cos(d)(dd上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。而且做的负功和振幅而且做
39、的负功和振幅B的平方成正比。由于受迫振动在共振的平方成正比。由于受迫振动在共振区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量而实现的。而实现的。2022d)(2cos1 21BcttBcT3.弹性力弹性力 做的功做的功FkxE 能量曲线表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。TEEttxtFW0ddd)(WWHR在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量在一个振动周期内激振力做功之和等于
40、阻尼力消耗的能量TttBtBk0d)cos()sin(0d)(2sin202TttkB在工程实际中，振动系统存在的阻尼大多是非粘性阻尼。在工程实际中，振动系统存在的阻尼大多是非粘性阻尼。非粘性阻尼的数学描述比较复杂。为了便于振动分析，经非粘性阻尼的数学描述比较复杂。为了便于振动分析，经常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼。常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼。等效的原则是：粘性阻尼在一周期内消耗的能量等于非粘等效的原则是：粘性阻尼在一周期内消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期内消耗的能量。性阻尼在一周期内消耗的能量。假设在简谐激振力作用下，非粘性阻尼系统的稳态响应仍假设在简谐激振力
41、作用下，非粘性阻尼系统的稳态响应仍然是简谐振动，即然是简谐振动，即xBtsin()非粘性阻尼在一个周期内做的功非粘性阻尼在一个周期内做的功txtFWNNd)(粘性阻尼在一周期内消耗的能量粘性阻尼在一周期内消耗的能量2BcWR相等相等2BcWeN2 BWcNe等效粘性阻尼系数等效粘性阻尼系数2222n)()(mcphBe2ncme2222222n)()()()(eecmkHmcphB利用式利用式得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅库仑阻尼库仑阻尼阻尼力表示为阻尼力表示为NFFc一周期内库仑阻尼消耗的能量为一周期内库仑阻尼消耗的能量为 WF Bcc 42BcWRBFCc
42、e4等效粘性等效粘性阻尼系数阻尼系数 得到稳态振动的振幅表达式得到稳态振动的振幅表达式2n221)4(1pHFkHBc相等相等2BcWec 结构阻尼结构阻尼 一周期内一周期内结构结构阻尼消耗的能量为阻尼消耗的能量为 2BcWR相等2BcWec 2XWd22XXce等效粘性等效粘性阻尼系数阻尼系数 ec具有结构阻尼系统的运动微分方程可写为具有结构阻尼系统的运动微分方程可写为 tFkxtxtxmdddd22 系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。先考虑在给定初始条件下无阻尼系统对简谐激励的响应先考虑在给定初始条件下无阻尼系统对简
43、谐激励的响应,系统的系统的运动微分方程和初始条件写在一起为运动微分方程和初始条件写在一起为 00022)0(0sinddvvxxtFkxtxm通解是相应的齐次方程的通解与特解的和通解是相应的齐次方程的通解与特解的和,即即tkFtpCtpCtxsin11sincos)(20n2n1根据初始条件确定根据初始条件确定C1、C2。于是得到全解为。于是得到全解为tkFtpkFtppvtpxtxtxtxsin11sin1 sincos)()()(20n20nn0n021 特点是特点是:振动频率为系统的固有频率振动频率为系统的固有频率,但振幅与系统但振幅与系统本身的性质及激励因素都有关。本身的性质及激励因素
44、都有关。无激励时的自由振动无激励时的自由振动系统对初始系统对初始条件的响应条件的响应稳态强迫振动稳态强迫振动伴随激励伴随激励而产生自而产生自由振动由振动,称为称为自由自由伴随振动伴随振动 对于存在阻尼的实际系统对于存在阻尼的实际系统,自由振动和自由伴随振自由振动和自由伴随振动的振幅都将随时间逐渐衰减动的振幅都将随时间逐渐衰减,因此它们都是瞬态响因此它们都是瞬态响应。应。,0)0(,0)0(vx2nn01sinsin)(tptpkFtx共振时的情况共振时的情况假设初始条件为假设初始条件为由共振的定义由共振的定义,时上式是时上式是 型型,利用洛必达法则算出共振时的利用洛必达法则算出共振时的响应为响
45、应为 100tptpkFtptptpkFtptptpkFtxn2n0nnn0nnn10cos1)(2 )cos(sin22cossinlim)(tpn1arctan可见可见,当时当时 ,无阻尼系统的振幅随时间无限增大无阻尼系统的振幅随时间无限增大.经过短暂时间经过短暂时间后后,共振响应可以表示为共振响应可以表示为np)2sin(2cos2)(nn0nn0tptkpFtptpkFtx此即共振时的受迫振动此即共振时的受迫振动.反映出共反映出共振时的位移在相位上比激振力滞振时的位移在相位上比激振力滞后后 ,且振幅与时间成正比地增大且振幅与时间成正比地增大 2图 共振时的受迫振动有阻尼系统在过渡阶段对
46、简谐激励的响应有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应.在给定初始条件下在给定初始条件下的运动微分方程为的运动微分方程为00022)0(,)0(sinddddvvxxtFkxtxctxm )sin(sin)cossin(cossine )sincos(e)(n0n00zzzztBtppptpBtppxpvtpxtxdddtpdddtpnn全解为全解为mkp nmpcn2z2n1z ppdnp2220)2()1(/zkFB212arctanz式中式中如果初始位移与初始速度都为零，则成为如果初始位移与初始速度都为零，则成为)sin(sin)cossin(cossine)(nzztBtppptpBtxd
47、ddtpn可见过渡阶段的响应仍含有自可见过渡阶段的响应仍含有自由伴随振动。由伴随振动。过渡阶段的响应过渡阶段的响应 在简谐激励的作用下，有阻尼系统的在简谐激励的作用下，有阻尼系统的 总响应由三部分组成总响应由三部分组成 无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激励无关。励无关。伴随激励而产生的自由振动自由伴随振动，其伴随激励而产生的自由振动自由伴随振动，其振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减稳态受迫振动。稳态受迫振动。第一部分和第
48、二部分振动的频率都是自由振动第一部分和第二部分振动的频率都是自由振动频率频率pd；由于阻尼的作用，这两部分的振幅都时由于阻尼的作用，这两部分的振幅都时间而衰减。间而衰减。若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自由伴随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随由伴随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随时间衰减。时间衰减。因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动，因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动，一般总是一般总是pn和和 两个不同频率简谐振动的叠加。两个不同频率简谐振动的叠加。x tx tnT()()周期函数周期函数 展成傅氏级数展成傅氏级数x t
49、aantbntnnn()(cossin)01112TnTnTttntxTbttntxTattxTa010100dsin)(2dcos)(2d)(2一个周期一个周期 T中的平均值中的平均值 x taAntnnn()sin()0112n=1,2,3,n=1,2,3,T21基频基频,tan22nnnnnnbabaA，先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频率的简先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频率的简谐激励。然后，求出系统对各个频率的简谐激励的响应。再由谐激励。然后，求出系统对各个频率的简谐激励的响应。再由线性系统的叠加原理，将每个响应分别叠加，即得到系统对周线性系统的叠加原理，将
50、每个响应分别叠加，即得到系统对周期激励的响应。期激励的响应。设粘性阻尼系统受到周期激振力设粘性阻尼系统受到周期激振力F tF tT()()F taantbntnnn()(cossin)01112谐波分析方法，得到谐波分析方法，得到系统的运动微分方程为系统的运动微分方程为kxtxctxmdddd22F taantbntnnn()(cossin)01112周期周期T21基频基频由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态响应由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态响应x takAntBntnnnnn()cos()sin()01112n2nn12222222212tan)2()1(1)2()1(
