1、m xm xm xk xk xk xm xm xm xk xkxkxm xm xm xk xkxkxnnnnnnnnnnnnnnnnnn111122111112212112222211222211221122000TnTnxxxxxx 2121xx，一般情况下，一般情况下，n个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具有以下形式具有以下形式若用矩阵表示，则可写成式中分别是系统的坐标矢量坐标矢量和加速度矢量加速度矢量 KxxM 0方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。M mmmmmmmmmnnnn
2、n n111212122212K kkkkkkkkknnnnn n111212122212质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵刚度矩阵中的元素称刚度影响系数刚度矩阵中的元素称刚度影响系数(在单自由度系统中，简称在单自由度系统中，简称弹性常数弹性常数)。它表示系统单位变形所需的作用力。它表示系统单位变形所需的作用力。具体地说，具体地说，如果使第如果使第j个质量沿其坐标方向产生单位位移，沿其它质量的个质量沿其坐标方向产生单位位移，沿其它质量的坐标方向施加作用力而使它们保持不动，则沿第坐标方向施加作用力而使它们保持不动，则沿第i个质量坐标个质量坐标方向施加的力，定义为方向施加的力，定义为刚度影响系数刚度
3、影响系数kij；在第；在第j个质量坐标方个质量坐标方向上施加的力称刚度影响系数向上施加的力称刚度影响系数kjj。由刚度影响系数的物理意。由刚度影响系数的物理意义，可直接写出刚度矩阵，从而建立作用力方程，这种方法义，可直接写出刚度矩阵，从而建立作用力方程，这种方法称为称为影响系数法影响系数法。K kkkkkkkkknnnnn n111212122212刚度矩阵现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。x11xx230kkk112131、0312212111kkkkkk，画出各物块的受力图根据平衡条件，有画出各物块的受力图根据平衡条件，有首先令首先令在此条
4、件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力画出受力图，则有画出受力图，则有xxx123010，kkkkkkk1222223323 ，同理，令同理，令画出受力图，有画出受力图，有xxx12301，kkkkk132333330，最后令最后令因此刚度矩阵为因此刚度矩阵为K kkkkkkkkk12221333300刚度矩阵是对称的。刚度矩阵是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即kkijjiKKT例例 试写出图所示刚体试写出图所示刚体AB的的刚度矩阵并建立系统的运动刚度矩阵并建立系统的运动微分方程。微
5、分方程。解：刚体解：刚体AB在图面内的位置可以由其质心在图面内的位置可以由其质心C的坐标的坐标yC(以水以水平位置平位置O为坐标原点，且水平运动不计为坐标原点，且水平运动不计)和绕和绕C转角转角 确定。确定。图为图为 时的受力图，时的受力图，分别表示保持系统在分别表示保持系统在该位置平衡，应加在该位置平衡，应加在C点的力和力偶矩点的力和力偶矩yC10,kk1121,kkkkk lk l1112211 12 2,由刚体由刚体AB的平衡条件得到的平衡条件得到图为图为 时的受力图，时的受力图，分别表示保持系统在该位分别表示保持系统在该位置平衡，应加在铅直平面内的力偶矩和加在置平衡，应加在铅直平面内的
6、力偶矩和加在C点的力。点的力。yC01,kk2212,kk lk lkk lk l222 221 12121 12 2,由平衡条件得由平衡条件得K kkk lk lk lk lk lk l122 21 12 21 11 122 22()()刚度矩阵刚度矩阵mykkyk lk lIk lk lyk lk lCCCC()()()()122 21 12 21 11 122 2200mIykkk lk lk lk lk lk lyCCC0000122 21 12 21 11 122 22()()得到微分方程得到微分方程例：图是两层楼建筑框架的示意图，假设梁是刚性的，例：图是两层楼建筑框架的示意图，假设
7、梁是刚性的，框架中各根柱为棱柱形，下层弯曲刚度为框架中各根柱为棱柱形，下层弯曲刚度为EJ1，上层，上层为为EJ2，采用微小水平运动，采用微小水平运动x1及及x2为坐标，求系统的刚为坐标，求系统的刚度矩阵。度矩阵。解：广义坐标如图示。利用刚度影响解：广义坐标如图示。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。由材料力学知，系数法求刚度矩阵。由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等效刚度为效刚度为312lEJk 311112hEJk 322212hEJk 2k1k2k1k2k1k2k1k0,121xx21k设画出受力图，画出受力图，列平衡方程，可得到列平衡方程，可得到11k
8、211122kkk2212kk12k22k1,021xx设2222kk2122kk画出受力图，画出受力图，列平衡方程，可得到列平衡方程，可得到22221kkkkk最后求得刚度矩阵为最后求得刚度矩阵为3223223223223112424242424hEJhEJhEJhEJhEJ=在单自由度的弹簧在单自由度的弹簧质量系统中，若弹簧常数是质量系统中，若弹簧常数是k，则，则 就是物就是物块上作用单位力时弹簧的变形，称块上作用单位力时弹簧的变形，称柔度影响系数柔度影响系数，用，用 表示。表示。1k具体地说，仅在第具体地说，仅在第j个质量的坐标方向上受到单位力作用时相个质量的坐标方向上受到单位力作用时相
9、应于在第应于在第i个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为 。ijn自由度系统的柔度矩阵自由度系统的柔度矩阵 为为n阶方阵，其元素阶方阵，其元素 称为柔度影称为柔度影响系数，表示单位力产生的位移。响系数，表示单位力产生的位移。ij现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。当受到当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为作用后，第一个弹簧的变形为 ，第二和第三个，第二和第三个弹簧的变形为零。弹簧的变形为零。11k111211311111kkk,01321FFF，首先施加单位力首先施加单位力112131、这时三物块所产
10、生的静位移分别是这时三物块所产生的静位移分别是所以三物块的位移都是所以三物块的位移都是F1F1第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有1112kk,1212212321211111kkkkk,01312FFF，令令F2第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为F3再令再令1,0321FFF131231233123111111kkkkkk,可得到可得到 1112132122233132331111121211212311111111111111kkkkkkkkkkkkkk系统的柔度矩阵为系统的柔度矩阵为柔度矩阵一般也是对称
11、的。柔度矩阵一般也是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即 1112132122233132331111121211212311111111111111kkkkkkkkkkkkkkijji T系统的柔度矩阵为系统的柔度矩阵为用柔度影响系数来建立其运动微分方程用柔度影响系数来建立其运动微分方程系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形xm xm xm xxm xm xm xxm xm xm x111112212331321121222233233113122323333 ()()()()()()()()(
12、)1331221111)()()(FFFx应用叠加原理可得到应用叠加原理可得到2332222112)()()(FFFx3333223113)()()(FFFx写成矩阵形式写成矩阵形式xxxmmmxxx123111213212223313233123123000000 xMx Mxx0位移方程位移方程KxMx xKMx1()是非奇异的，即 的逆矩阵存在K1K与作用力方程比较与作用力方程比较 K1即当刚度矩阵即当刚度矩阵是非奇异时是非奇异时，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵；，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵；当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。此时
13、系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。如图示系统具有刚体运动，柔度矩阵不存在。如图示系统具有刚体运动，柔度矩阵不存在。K1柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系例例 试求图示悬臂梁的柔度影响系数，试求图示悬臂梁的柔度影响系数，并建立其位移方程。并建立其位移方程。(梁的弯曲刚度为梁的弯曲刚度为EI，其质量不计，其质量不计)解：取y1、y2为广义坐标，根据柔度影响系数的定义，表示在m1处施加单位力(沿y1方向)并在m1处产生的位移。1111332324()lEIlEI 表示在m2处施加单位力(沿y2方向)并在m2处产生的位移。有2
14、22233lEI按材料力学的挠度公式，则有按材料力学的挠度公式，则有 表示在表示在m2处施加单位力在处施加单位力在m1处产生的位移等于在处产生的位移等于在m1处施加单处施加单位力在位力在m1处产生的位移。有处产生的位移。有12211221323242 42548lEIllEIlEIym ym yym ym y111111222221112222()()()()yMy0 1112212233181161161lEI柔度矩阵为柔度矩阵为得系统的位移方程得系统的位移方程m xm xm xk xk xk xm xm xm xk xkxkxm xm xm xk xkxkxnnnnnnnnnnnnnnnn
15、nn111122111112212112222211222211221122000设设n自由度系统运动微分方程的特解为自由度系统运动微分方程的特解为niptAxii,3,2,1)sin(即设系统的各坐标作同步谐振动。上式又可表示为即设系统的各坐标作同步谐振动。上式又可表示为xAsin()pt MxKx 0 xAsin()ptA AAAAAAnnT1212将解式代入系统运动微分方程，并消去将解式代入系统运动微分方程，并消去 ，得到，得到sin()pt KAMA0p2KAMA p2()KM A0p2 MxKx 0BKM p2()KM A0p2特征矩阵要使要使A有不全为零的解，必须使其系数行列式等于
16、零。于有不全为零的解，必须使其系数行列式等于零。于是得到该系统的频率方程是得到该系统的频率方程(或特征方程或特征方程)。KM0p2式是关于式是关于p2的的n次多项式，由它可以求出次多项式，由它可以求出n个固有频率个固有频率(或称或称特征值特征值)。因此，。因此，n个自由度振动系统具有个自由度振动系统具有n个固有频率。个固有频率。KM0p2A KAA MATT p2KAMA p2可得到AT前乘以下面对其取值情况进行讨论。下面对其取值情况进行讨论。由于系统的质量矩阵由于系统的质量矩阵M是正定的，刚度矩阵是正定的，刚度矩阵K是正定的或半正是正定的或半正定的，因此有定的，因此有p20A KAA MAT
17、T0TMAA于是，得到0TKAA频率方程中所有的固有频率值都是实数，并且是正数或为频率方程中所有的固有频率值都是实数，并且是正数或为零。通常刚度矩阵为正定的称之为正定系统；刚度矩阵为半零。通常刚度矩阵为正定的称之为正定系统；刚度矩阵为半正定的称之为半正定系统。对应于正定系统的固有频率值是正定的称之为半正定系统。对应于正定系统的固有频率值是正的；对应于半正定系统的固有频率值是正数或为零。正的；对应于半正定系统的固有频率值是正数或为零。一般的振动系统的一般的振动系统的n个固有频率的值互不相等个固有频率的值互不相等(也有特殊情也有特殊情况况)。将各个固有频率按照由小到大的顺序排列为。将各个固有频率按
18、照由小到大的顺序排列为012pppn其中最低阶固有频率其中最低阶固有频率p1称为第一阶固有频率或称基频，然后称为第一阶固有频率或称基频，然后依次称为二阶、三阶固有频率等。依次称为二阶、三阶固有频率等。对应于对应于pi可以求得可以求得A(i)，它满足，它满足0)()(2iipAMK0)(2AMKpA(i)为对应于为对应于pi的特征矢量。它表示系统在以的特征矢量。它表示系统在以pi的频率作自的频率作自由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第i阶主振型，也阶主振型，也称固有振型或主模态。称固有振型或主模态。AAA11121121222212AAAAAAAAAn
19、nnnnnn()()()()对于任何一个对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到自由度振动系统，总可以找到n个固有个固有频率和与之对应的频率和与之对应的n阶主振型阶主振型 AAA11121121222212AAAAAAAAAnnnnnnn()()()()对于任何一个对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到自由度振动系统，总可以找到n个固有频个固有频率和与之对应的率和与之对应的n阶主振型阶主振型在主振型矢量中，规定某个元素的值为在主振型矢量中，规定某个元素的值为1，并进而确定其，并进而确定其它元素的过程称为归一化。它元素的过程称为归一化。令令 ，于是可得第，于是可得第i阶主振型矢量为阶主振型矢量
20、为Ani()1 AiiiTAA121()()主振型矢量也可以利用特征矩阵的伴随矩阵来求得。主振型矢量也可以利用特征矩阵的伴随矩阵来求得。BKM p2BBBadj11特征矩阵特征矩阵逆矩阵逆矩阵BBIBadjB B乘以iiiBBIBadjpi代入0adjiiBBBi 00)()(2iipAMK比较比较 所以伴随矩阵的每一列就是主振型矢量或者差一常数因子。所以伴随矩阵的每一列就是主振型矢量或者差一常数因子。AiiBadj任任何何非非零零列列成成比比例例当运动微分方程是位移方程时，仍可设其解具有当运动微分方程是位移方程时，仍可设其解具有sin()pt p2 MAA0niptAxii,3,2,1)si
21、n()MI A012p MI102pLMI 12p特征矩阵频率方程频率方程求出求出n个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩阵阵adjL将将pi值代入而求出值代入而求出.代入位移方程代入位移方程 Mxx0解：选择解：选择x1、x2、x3坐标如图所示。则系统的质量矩阵和刚坐标如图所示。则系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为度矩阵分别为M mmm0000002K 2020kkkkkkk将M和K代入频率方程KMp20202020222kp mkkkp mkkkp m例例 图是三自由度振动系统，设图是三自由度振动系统，设k1=k2=k3=k，m1=m2
22、=m，m3=2m，试求系统的固有频率和主振型。，试求系统的固有频率和主振型。299064223pkmpkmpkmpkmpkmpkm122232012671272631007.,.,.mkpmkpmkp7609.1,2810.1,3559.0321 解方程得到解方程得到求出系统的三个固有频率为求出系统的三个固有频率为再求特征矩阵的伴随矩阵再求特征矩阵的伴随矩阵BKMpkp mkkkp mkkkp m222220202 22222222222222)2()2()2()2)(2()2()2()2)(2(adjkmpkmpkkkmpkkmpkmpkmpkkkmpkkkmpkmpkB设取其第三列设取其第
23、三列(计算时可只求出这一列计算时可只求出这一列)，将，将p1值代入，得到第一值代入，得到第一阶主振型为阶主振型为 A1100001873325092.AA().23100000727404709100001100702115 得到第二、三阶主振型为得到第二、三阶主振型为三个主振型由图所示归一化后，即令归一化后，即令 ipAMK)(2=0主振型也可由式主振型也可由式 求得求得0)(2AMKpppp123,代入 Aii111 2 3(,)可得主振型可得主振型例例 在前例中，若在前例中，若k1=0,求系统的固有频率和主振型。求系统的固有频率和主振型。k10K kkkkkkk020相当于图所示系统中去
24、掉这个弹簧，这时刚度矩阵为相当于图所示系统中去掉这个弹簧，这时刚度矩阵为解：解：B kp mkkkp mkkkp m2220202()2740342222m pkm pk m p特征矩阵为特征矩阵为可得到频率方程可得到频率方程ppkmpkm12223200719227808,.,.ppkmpkm12300848116676,.,.解出解出得到三个固有频率得到三个固有频率ppp123,Badjkk kp mkp mkp mk222222()()()分别代入的第三列归一化后，得到三个主振型归一化后，得到三个主振型 AAA121100001000010000100000280806404100001
25、780803904.,.,.AAA121100001000010000100000280806404100001780803904.,.,.这种振型是与零固有频率对应的称之为零振型。刚度矩这种振型是与零固有频率对应的称之为零振型。刚度矩阵阵 是半正定系统。而且，在其运动方向上系统的是半正定系统。而且，在其运动方向上系统的外力的合力为零，是动量守恒系统。外力的合力为零，是动量守恒系统。K 0 例例 有三个具有质量的小球，置于一根张紧的钢丝上如图所有三个具有质量的小球，置于一根张紧的钢丝上如图所示。假设钢丝中的拉力示。假设钢丝中的拉力FT很大，因而各点的横向位移不会使很大，因而各点的横向位移不会使
26、拉力有明显的变化。设拉力有明显的变化。设m1=m2=m3=m，尺寸如图所示，试用，尺寸如图所示，试用位移方程求该系统的固有频率和主振型。位移方程求该系统的固有频率和主振型。解：系统的质量矩阵是解：系统的质量矩阵是 M mmm000000其柔度矩阵可按柔度影响系数求出其柔度矩阵可按柔度影响系数求出1121311311T11TlFlF首先仅在首先仅在m1质量处施加水平单位力质量处施加水平单位力F=1m1位移是m2位移是m3位移是画出画出m1的受力图。根据平衡条件，得的受力图。根据平衡条件，得T1143Flm1T1131T1121431,4232FlFl由图中三角形的几何关系可解出由图中三角形的几何
27、关系可解出1121313212421234TFl写出柔度矩阵写出柔度矩阵系统的特征矩阵为系统的特征矩阵为222T210001000132124212341pppFmlpIMLL 322422321pT4Fml得频率方程，即得得频率方程，即得L 0()()28802求出各根，按递降次序排列求出各根，按递降次序排列 1232 2222 22(),()于是得到系统的固有频率于是得到系统的固有频率mlFpmlFpmlFpT23T22T214)22(21,2,4)22(21为求系统的主振型，先求出为求系统的主振型，先求出adjL的第一列的第一列)4(42)3(24)3)(4(adj222L AAA123
28、121101121,321,代入各阶主振型各阶主振型归一化n自由度的振动系统，具有自由度的振动系统，具有n个固有频率和与之对应的个固有频率和与之对应的n阶阶主振型。且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩主振型。且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。阵的正交性。AAij,ppij,iiip MAAK2 jjjp MAAK2对应于对应于()AiT两边左乘两边左乘转置，然后右乘转置，然后右乘 Aj ()()AK AAMAiTjiiTjp2 ()()AKAAMAiTjjiTjp2 ()()ppijiTj220AMA相减相减 ijppij ()AM AiTj 0 ()AK AiTj
29、0表明，对应于不同固有频率的主振型之间，即关于质量表明，对应于不同固有频率的主振型之间，即关于质量矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交，这就是主振矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交，这就是主振型的正交性。还可以证明，零固有频率对应的主振型也型的正交性。还可以证明，零固有频率对应的主振型也必定与系统的其它主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交。必定与系统的其它主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交。()AM AiTj 0 ()AK AiTj 0ijij ()AMAiTiiM (),AK AiTiiKin 12 3 Ki称为第称为第i阶主刚度或第阶主刚度或第i阶模态刚度；阶模态刚度；Mi称为第称为第i阶主质
30、量或第阶主质量或第i阶阶模态质量。模态质量。pKMiniiTiiTiii212 3()(),()AK AAMA令j=i,由于主振型的正交性，不同阶的主振动之间不存在动能由于主振型的正交性，不同阶的主振动之间不存在动能的转换，或者说不存在惯性耦合。同样可以证明第的转换，或者说不存在惯性耦合。同样可以证明第i阶固有阶固有振动的广义弹性力在第振动的广义弹性力在第j阶固有振动的微小位移上的元功之阶固有振动的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同阶固有振动之间也不存在势能的转和也等于零，因此不同阶固有振动之间也不存在势能的转换，或者说不存在弹性耦合。换，或者说不存在弹性耦合。对于每一个主振动来说，它的动
31、能和势能之和是个常数。对于每一个主振动来说，它的动能和势能之和是个常数。在运动过程中，每个主振动内部的动能和势能可以互相转在运动过程中，每个主振动内部的动能和势能可以互相转化，但各阶主振动之间不会发生能量的传递。化，但各阶主振动之间不会发生能量的传递。从能量的观点看，各阶主振动是互相独立的，这就是主从能量的观点看，各阶主振动是互相独立的，这就是主振动正交性的物理意义。振动正交性的物理意义。以各阶主振型矢量为列，按顺序排列成一个以各阶主振型矢量为列，按顺序排列成一个nn阶方阵，称此阶方阵，称此方阵为主振型矩阵或模态矩阵，即方阵为主振型矩阵或模态矩阵，即 AAAAPnnnnnnnAAAAAAAAA
32、()12111212122212AMAMAKAKPTPPPTPP根据主振型的正交性，可以导出主振型矩阵的两个性质根据主振型的正交性，可以导出主振型矩阵的两个性质MPnMMM12KPnKKK12主质量矩阵主质量矩阵主刚度矩阵主刚度矩阵使使MP由对角阵变换为单位阵由对角阵变换为单位阵 将主振型矩阵的各列除以其对应主质量的平方根，即将主振型矩阵的各列除以其对应主质量的平方根，即 AANiiPiM()1这样得到的振型称为正则振型。这样得到的振型称为正则振型。()AMANiTNjijij10 ()AKANiTNjipijij20正则振型的正交关系是正则振型的正交关系是第第i阶正则振型阶正则振型第第i阶固
33、有频率阶固有频率 以各阶正则振型为列，依次排列成一个以各阶正则振型为列，依次排列成一个nn阶方阵，称此方阵阶方阵，称此方阵为正则振型矩阵，即为正则振型矩阵，即 AAAANNNNnNNNnNNNnNnNnNnnAAAAAAAAA()12111212122212222212111nNTNNTNpppPAKAIMAA由正交性可由正交性可导出正则矩导出正则矩阵两个性质阵两个性质谱矩阵谱矩阵 在一般情况下，具有有限个自由度振动系统的质量矩阵和刚在一般情况下，具有有限个自由度振动系统的质量矩阵和刚度矩阵都不是对角阵。因此，系统的运动微分方程中既有动力度矩阵都不是对角阵。因此，系统的运动微分方程中既有动力偶
34、合又有静力偶合。对于偶合又有静力偶合。对于n自由度无阻尼振动系统，有可能选自由度无阻尼振动系统，有可能选择这样一组特殊坐标，使方程中不出现偶合项亦即质量矩阵和择这样一组特殊坐标，使方程中不出现偶合项亦即质量矩阵和刚度矩阵都是对角阵，这样每个方程可以视为单自由度问题，刚度矩阵都是对角阵，这样每个方程可以视为单自由度问题，称这组坐标为主坐标或模态坐标。称这组坐标为主坐标或模态坐标。由前面的讨论可知，主振型矩阵由前面的讨论可知，主振型矩阵AP与正则振型矩阵与正则振型矩阵AN，均可，均可使系统的质量矩阵和刚度矩阵转换成为对角阵。因此，可利用使系统的质量矩阵和刚度矩阵转换成为对角阵。因此，可利用主振型矩
35、阵或正则振型矩阵进行坐标变换，以寻求主坐标或正主振型矩阵或正则振型矩阵进行坐标变换，以寻求主坐标或正则坐标。则坐标。1.主坐标主坐标首先用主振型矩阵进行坐标变换，即首先用主振型矩阵进行坐标变换，即xA xPP主坐标矢量主坐标矢量 xA xPP xA xAAAPPnPPPnxxx()1212 xxxxxxnPPnPn12122AAA()!xA xA xA xiniiPiPinPn112212 3,这组坐标变换的物理意义，可由展开式看出这组坐标变换的物理意义，可由展开式看出 原物理坐标的各位移值，都可以看成是由原物理坐标的各位移值，都可以看成是由n个主振型按一个主振型按一定的比例组合而成。定的比例
36、组合而成。新坐标新坐标xA xA xA xiniiPiPinPn112212 3,比例因子比例因子 系统各坐标值正好与第一阶主振型相等，即每个主坐标的系统各坐标值正好与第一阶主振型相等，即每个主坐标的值等于各阶主振型分量在系统原物理坐标中占有成分的大小。值等于各阶主振型分量在系统原物理坐标中占有成分的大小。xxinPPi1102 3,(,)xA1如果令如果令则可得则可得将式将式MA xKA x0PPPP xA xPPxA xPP MxKx 0A MA xA KA x0PTPPPTPP APTM xK x0PPPP 由主振型矩阵的两个性质由主振型矩阵的两个性质前乘以前乘以由于主质量矩阵和主刚度矩
37、阵都是对角阵，所以方程式中无由于主质量矩阵和主刚度矩阵都是对角阵，所以方程式中无偶合，且为相互独立的偶合，且为相互独立的n个自由度运动微分方程。即个自由度运动微分方程。即M xK xinipiiPi(,)012 3 第第i阶阶主质量或模态质量主质量或模态质量第第i阶阶主刚度或模态刚度主刚度或模态刚度第第i阶主质量阶主质量 由物理坐标到模态坐标的转换，是方程解耦的数学过程。由物理坐标到模态坐标的转换，是方程解耦的数学过程。从物理意义上讲，是从力的平衡方程变为能量平衡方程的从物理意义上讲，是从力的平衡方程变为能量平衡方程的过程。在物理坐标系统中，质量矩阵和刚度矩阵一般是非过程。在物理坐标系统中，质
38、量矩阵和刚度矩阵一般是非对角阵，使运动方程不能解耦。而在模态坐标系统中，第对角阵，使运动方程不能解耦。而在模态坐标系统中，第i 个模态坐标代表在位移向量中第个模态坐标代表在位移向量中第i阶主振型（模态振型）所阶主振型（模态振型）所作的贡献。任何一阶主振型的存在，并不依赖于其他主振作的贡献。任何一阶主振型的存在，并不依赖于其他主振型是否同时存在。这就是模态坐标得以解耦的原因。因此，型是否同时存在。这就是模态坐标得以解耦的原因。因此，位移响应向量是各阶模态贡献的叠加的结果，而不是模态位移响应向量是各阶模态贡献的叠加的结果，而不是模态耦合的结果。各阶模态之间是不耦合的。耦合的结果。各阶模态之间是不耦
39、合的。2.正则坐标正则坐标用正则振型矩阵用正则振型矩阵AN进行坐标变换，设进行坐标变换，设 xA xNNMA xKA x0NNNN MxKx 0正则坐标矢量正则坐标矢量ANTA MA xA KA x0NTNNNTNN前乘以前乘以 xP x0NN2 xp xN iiN i20(,)in 12 3 由正则振型矩阵的两个性质由正则振型矩阵的两个性质例例 试求前例图示系统中的主试求前例图示系统中的主振型矩阵和正则振型矩阵。振型矩阵和正则振型矩阵。AAAAP().123100001000010000187330727411007250920470902115由质量矩阵由质量矩阵，可求出主质量矩阵，可求出
40、主质量矩阵M m100010002MA MAPPTPmmm1710140001972600023010.解：将在前例中求得的各阶主解：将在前例中求得的各阶主振型依次排列成方阵，得到主振振型依次排列成方阵，得到主振型矩阵型矩阵于是，可得各阶正则振型于是，可得各阶正则振型 AAAAAAAAANNNMmMmMm111122223333102418107120106592.以各阶正则振型为列，写出正则振型矩阵以各阶正则振型为列，写出正则振型矩阵ANm1024180712006592045300517907256060670335301394.K k210121011PA K A201267000127
41、2600031007NTNkm.由刚度矩阵由刚度矩阵可求出谱矩阵可求出谱矩阵 xP x0NN2.xkmxxkmxxkmxNNNNNN112233012670127260310070可写出以正则坐标表示的运动方程可写出以正则坐标表示的运动方程展开式为展开式为在前面的讨论中，曾假设系统的固有频率均不相等，而每个固在前面的讨论中，曾假设系统的固有频率均不相等，而每个固有频率对应一个主振型。但复杂系统中也会出现两个或两个以有频率对应一个主振型。但复杂系统中也会出现两个或两个以上频率相等或相近的情形，这时相对应的主振型就不能唯一地上频率相等或相近的情形，这时相对应的主振型就不能唯一地确定。为了说明这一点
42、，假设频率方程有二重根。确定。为了说明这一点，假设频率方程有二重根。ppp120 1201MAAKp可写出可写出 A1 A2 )(210AAKKAba AAA012ab线性组合线性组合说明对应于说明对应于p0的主振型的主振型不能唯一地确定不能唯一地确定 两个任意常数两个任意常数 2202MAAKp 220120MAAMbpap )(2120AAMbap 020MAp 当系统具有重根时，其等固有频率的主振型要根据各振型当系统具有重根时，其等固有频率的主振型要根据各振型间的正交性来确定。间的正交性来确定。例例 图示系统是由两个质量均为图示系统是由两个质量均为m的质点与一无重刚杆组成，的质点与一无重
43、刚杆组成，且两质点又分别与弹簧常数为且两质点又分别与弹簧常数为k的弹簧相连。试求该系统的固的弹簧相连。试求该系统的固有频率及主振型。有频率及主振型。解：以系统的静平衡位置为坐标原点，建立坐标解：以系统的静平衡位置为坐标原点，建立坐标x1,x2。写出系统的质量矩阵和刚度矩阵为写出系统的质量矩阵和刚度矩阵为 M mm00K kk00得到特征矩阵得到特征矩阵BKMpkp mkp m22200得到频率方程得到频率方程kp mkp m22000解出系统的两个固有频率，是重根。解出系统的两个固有频率，是重根。ppkm12 2200adjmpkmpkB求出特征矩阵的伴随矩阵求出特征矩阵的伴随矩阵并将两个固有
44、频率代入该矩阵的任一列，结果是两个元素全为并将两个固有频率代入该矩阵的任一列，结果是两个元素全为零。因此，在重根的情况下无法用伴随矩阵零。因此，在重根的情况下无法用伴随矩阵adjB 确定主振型。确定主振型。需由正交化求得。由观察系统的振动现象可知，刚杆具有两种运动需由正交化求得。由观察系统的振动现象可知，刚杆具有两种运动即平动和转动。因此可假设即平动和转动。因此可假设 AA121111,然后用两振型关于然后用两振型关于M、K的的正交性来校核正交性来校核 1 1001121100112012mmmmmmiiTi,(),满足 AMA 1 100110012mmT,()显然满足 AMA是该系统的一组
45、正交主振型是该系统的一组正交主振型 AA12和需要指出的是，这种相互独立正交的需要指出的是，这种相互独立正交的主振型组可以有无穷多组。就好象在主振型组可以有无穷多组。就好象在平面几何中，一个圆有无穷多组相互平面几何中，一个圆有无穷多组相互垂直的二个直径一样。图所示，为另垂直的二个直径一样。图所示，为另一组相互正交的主振型，即一组相互正交的主振型，即 AA121001,例例 图所示的系统中，各个质量只图所示的系统中，各个质量只沿铅垂方向运动，设沿铅垂方向运动，设k1=k2=k3=k，m1=M，m2=m3=m4=m，试求系，试求系统的固有频率和主振型。统的固有频率和主振型。MxKx0解：解：其中其
46、中MKMmmmkkkkkkkkkk0000000000003000000,BKM p2300000002222kMpkkkkkmpkkmpkkmp由特征矩阵由特征矩阵建立频率方程为建立频率方程为MpkmpkmpmMkmp2222130()()()pppkmpMm kMm123403,()BKM p2由特征矩阵由特征矩阵22222222)()()()(adjmpkkmpkkmpkkmpkBppMmmMk124203,AA141 1 1 131 1 1 TTmM，求出特征矩阵的伴随矩阵的第一列求出特征矩阵的伴随矩阵的第一列()KM A0p222 kMmAAAA3111100010001000000
47、012223242求与重根对应的主振型求与重根对应的主振型 ()3012223242MmAAAA 0)(0)(2421MAAMAATT 0302423222124232221mAmAmAAMmmAmAmAMA按第一行展开按第一行展开同时应满足同时应满足正交化正交化 A120 AAA2232420 21222423AAA A2021 1T 02)(03)(0)(0)3(343332323433323134343332313134333231mAmAmAmAmAmAAMmmAmAmAMAAAAAmMTTTMAAMAAMAA A331 A3001 1T同理，可得到满足第三阶主振型的关系式同理，可得到
48、满足第三阶主振型的关系式 031A 0343332AAA 02343332mAmAmA A230 A431已知已知n自由度无阻尼系统的自由振动运动微分方程自由度无阻尼系统的自由振动运动微分方程M xK x0 xxxx()()()()()()()()00000000012012xxxxxxnTnT当当t=0时，系统的初始位移与初始速度为时，系统的初始位移与初始速度为求系统对初始条件的响应。求系统对初始条件的响应。求解的方法是：先利用主坐标变换或正则坐标变换，将系统的方求解的方法是：先利用主坐标变换或正则坐标变换，将系统的方程式转换成程式转换成n个独立的单自由度形式的运动微分方程；然后利用个独立的
49、单自由度形式的运动微分方程；然后利用单自由度系统求解自由振动的理论，求得用主坐标或正则坐标表单自由度系统求解自由振动的理论，求得用主坐标或正则坐标表示的响应；最后，再反变换至原物理坐标求出示的响应；最后，再反变换至原物理坐标求出n自由度无阻尼系自由度无阻尼系统对初始条件的响应统对初始条件的响应.。本节只介绍用正则坐标变换求解的方法。本节只介绍用正则坐标变换求解的方法。M xK x0 xA xNN0 NNxpx2 由单自由度系统振动的理论，得到关于对初始条件的响应为由单自由度系统振动的理论，得到关于对初始条件的响应为),3,2,1(sin)0(cos)0(nitppxtpxxiiiNiiNiNx
50、A xNNxA xNN1A MAINTNAA MNNT1xA MxNNTxA M xxA MxNNTNNT()()0000 nNNNnNNNNNxxx2121AAAxAx系统的响应是由各阶振型叠加得到的，本方法又称振型叠加法系统的响应是由各阶振型叠加得到的，本方法又称振型叠加法对于半正定系统，有固有频率对于半正定系统，有固有频率 pi=0 xN i 0 xxxtN iN iN i()()00系统具有刚体运动振型系统具有刚体运动振型 nNnNNNNNxxxAAA2211 例例 在前例中，设初始条件是在前例中，设初始条件是 求系统的响应。求系统的响应。xx(),()0000000aTT解：已求出系
