1、一、数学处理的任务一、数学处理的任务 数值计算：计算出零件轮廓上或刀具中心轨迹上一些点的坐标数据。1.基点计算：基点计算：各个几何元素间的联结点称为各个几何元素间的联结点称为基点基点。2.节点计算：节点计算：逼近线段与被加工曲线的交点，称为逼近线段与被加工曲线的交点，称为节点节点。3.列表曲线和列表曲面的拟合计算列表曲线和列表曲面的拟合计算 二、基点坐标的计算二、基点坐标的计算1直线与圆弧相交或相切直线与圆弧相交或相切 已知直线方程为 y=kx+b，求以点（x0，y0）为圆心，半径为R的圆与该直线的交点坐标（xc，yc）。直线方程与圆方程联立，得联立方程组：bkxyRyyxx22020)()(
2、21kA 2202000)()(2RybxCxybkB AACBBxC242（求xC较大者时取“”）bkxyCC上式也可用于求解直线与圆相切时的切点坐标。当直线与圆相切时，取B24AC=0，此时Xc=B/（2A），其余计算公式不变。经推算后给出标准计算公式如下：2圆弧与圆弧相交或相切圆弧与圆弧相交或相切 如图2-10所示，已知两相交圆的圆心坐标及半径分别为（x1，y1），R1；（x2，y2），R2，求其交点坐标（xc，yc）。图2-10 圆弧与圆弧相交联立两圆方程222222212121)()()()(RyyxxRyyxx经推算可给出标准计算公式如下12xxx12yyy 2)()(212121
3、222222RyxRyxD 21yxA112xyxyDyB212121RxyDyC AACBBxC242（求xc较大值时取“”）yxxDyCC当两圆相切时，B24AC=0，因此上式也可用于求两圆相切的切点。二、非圆曲线节点坐标的计算二、非圆曲线节点坐标的计算当被加工零件轮廓形状与机床的插补功能不一致时，如在只有直线和圆弧插补功能的数控机床上加工双曲线、抛物线、阿基米德螺线或列表曲线时，就要采用逼近法加工，用直线或圆弧去逼近被加工曲线。这时，逼近线段与被加工曲逼近线段与被加工曲线的交点，称为节点线的交点，称为节点。如图2-11所示，图a为用直线段逼近非圆曲线的情况，图b为用圆弧段逼近非圆曲线的情
4、况。a）b）图2-11 曲线逼近 编写程序段时，应按节点划分程序段。逼近线段的近似区间愈大，则节点数目愈少，相应的程序段数目也会减少，但逼近线段的误差应小于或等于编程允许误差允，即 允。考虑到工艺系统及计算误差的影响，一般取零件公差的1/51/10。非圆曲线轮廓零件的数值计算过程，一般可按以下步骤进行：1）选择插补方式，即采用直线还是圆弧逼近非圆曲线。采用直线段逼近，一般数学处理较简单，但计算的坐标数据较多，且各直线段间连接处存在尖角，由于在尖角处，刀具不能连续地对零件进行切削，零件表面会出现硬点或切痕，使加工质量变差。采用圆弧段逼近的方式，可以大大减少程序段的数目，同时若采用彼此相切的圆弧段
5、来逼近非圆曲线，可以提高零件表面的加工质量。但采用圆弧段逼近，其数学处理过程比直线要复杂一些。2）确定编程允许误差，即使允。3）选择数学模型，确定计算方法。目前生产中采用的算法比较多，在决定采用什么算法时，主要考虑的因素有两条，一是尽可能按等误差的条件，确定节点坐标位置，以便最大程度地减少程序段的数目；二是尽可能寻找一种简便的计算方法，以便于计算机程序的制作，及时得到节点坐标数据。4）根据算法，画出计算机处理流程图。5）用高级语言编写程序，上机调试，并获得节点坐标数据。1用直线逼近零件轮廓曲线的节点计算用直线逼近零件轮廓曲线的节点计算常用的计算方法有：等间距法、等弦长法、等误差法和比较迭代法等
6、。等间距法等间距法就是将某一坐标轴划分成相等的间距。如图2-12（a）所示，沿X轴方向取X为等间距长，根据已知曲线的方程 ，可由 求得 ，。如此求得的一系列点就是节点。将相邻节点联成直线，用这些直线段组成的折线代替原来的轮廓曲线。坐标增量X取得愈小则插愈小，这使得节点增多，程序段也增多，编程费用高，但等间距法计算较简单。a）等间距法 b）等弦长法 图2-12 等间距法和等弦长法)(xfy ixiyxxxii1)(1xxfyii 等弦长法等弦长法就是使所有逼近直线段长度相等，如图-12（b）所示。由于零件轮廓曲线 的曲率各处不等，因此首先应求出该曲线的最小曲率半径Rmin，由Rmin及允确定允许
7、的步长L，然后从曲线起点a开始，按等步长L依次截取曲线，得b、c、d、点，则ab=bc=L即为所求各直线段。总的看来，此种方法比等间距法的程序段数少一些。但当曲线曲率半径变化较大时，所求节点数将增多，所以，此法适用于曲率变化不大的情况。a）等间距法 b）等弦长法 图2-12 等间距法和等弦长法)(xfy 等误差法等误差法是使逼近线段的误差相等，且等于允，所以此法较上两种方法合理，特别适合曲率变化较大的复杂曲线轮廓。如图2-13所示。下面介绍用等误差法计算节点坐标的方法。设零件轮廓曲线的数学方程为 。图2-13 等误差法)(xfy 允（1）以起点a（Xa，Ya）为圆心，以 为半径作圆。其圆方程为
8、222）（）（允aaYYXX（2）作允圆与曲线Y=f（X）的公切线MN，则可求公切线MN的斜率K MNMNXXYYK为求YN，YM，XN，XM，需解下面的方程组：)()()()(MMNMNMMNMNMNNNXFXXYYXFYXfNXYYXfY式中的允差圆即允圆，Y=F（X）表示允圆的方程:式中Xa、Ya为已知的a点坐标值。（2-1）(曲线方程)(曲线切线方程)(允差圆方程)(允差圆切线方程)222）（）（允aaYYXXaaYXXKYXfY)()(（3）过a点作斜率为K的直线，则得到直线插补段ab，其方程式为 YYa=K（XXa）（4）求直线插补节点b的坐标。联立方程组：求的交点b（Xb，Yb）
9、的坐标值，便是第一个直线插补节点。（5）按以上步骤顺次求得c，d、各节点坐标。用等误差法，虽然计算较复杂，但可在保证允的条件下，得到最少的程序段数目。此种方法的不足之处是直线插补段的联结处不光滑，使用圆弧插补段逼近，可以避免这一缺点。(曲线方程)(直线插补段方程)2用圆弧逼近零件轮廓曲线的节点计算用圆弧逼近零件轮廓曲线的节点计算 用圆弧逼近非圆曲线，目前常用的算法有曲率圆法、三点圆法和相切圆法等。（1）曲率圆法圆弧逼近的节点计算）曲率圆法圆弧逼近的节点计算1）基本原理 曲率圆法是用彼此相交的圆弧逼近非圆曲线。已知轮廓曲线Y=f（X）如图2-14所示，从曲线的起点开始，作与曲线内切的曲率圆，求出
10、曲率圆的中心。以曲率圆中心为圆心，以曲率圆半径加（减）允为半径，所作的圆 （偏差圆）与曲线Y=f（X）的交点为下一个节点，并重新计算曲率圆中心，使曲 图2-14 曲率圆法圆弧段逼近率圆通过相邻的两节点。重复以上计算即可求出所有节点坐标及圆弧的圆心坐标。2）计算步骤 以曲线起点（xn，yn）开始作曲率圆：nnnnnnnnnyyyyyyx 22)(1)(1半径 nnnyyR 2/32)(1 偏差圆方程与曲线方程联立求解：)()()()(222xfyRyxnnn 得交点（xn+1，yn+1）求过（xn，yn）和（xn+1，yn+1）两点，半径为Rn的圆的圆心：22121222)()()()(nnnn
11、nnRyyxxRyyxx得交点（m，m），该圆即为逼近圆。圆心（2）三点圆法圆弧逼近的节点计算）三点圆法圆弧逼近的节点计算 三点圆法是在等误差直线段逼近求出各节点的基础上，通过连续三点作圆弧，并求出圆心点的坐标或圆的半径。如图2-15所示，首先从曲线起点开始，通过P1、P2、P3三点作圆。圆方程的一般表达形式为2,200EyDx半径 2422FEDR图2-15 三点圆弧段逼近其圆心坐标x2y2DxEyF=0 通过已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），P3（x3，y3）的圆，其中：23212323212121232321222212222323212121323231)()()()()(
12、)(yxyxyxxyyxxyFyxyxyxxyxxEyxyxyxyyxyD 3321PPPPRRRR，按PRRR允按值进行一次等误差直线段逼近，重新求得P1、P2、P3三点，用此三点作一圆弧，该圆弧即为满足=允条件的圆弧。算出值，为了减少圆弧段的数目，应使圆弧段逼近误差=允，为此应作进一步的计算。设已求出连续三个节点P1、P2、P3处曲线的曲率半径分别为RP1、RP2、RP3，通过P1、P2、P3三点的圆的半径为R，取（3）相切圆法圆弧逼近的节点计算）相切圆法圆弧逼近的节点计算 1）基本原理 如图2-16 所示粗线表示工件廓形曲线，在曲线的一个计算单元上任选四个点A、B、C、D，其中A点为给定
13、的起点。AD段（一个计算单元）曲线用两相切圆弧M和N逼近。具体来说，点A和B的法线交于M，点C和D的法线交于N，以点M和N为圆心，以MA和ND为半径作两圆弧，则M和N圆弧相切于MN的延长线上G点。图2-16 用相切圆弧逼近轮廓线NMRRNM 满足允要求 允允CNDNBMAM曲线与M、N圆的最大误差分别发生在B、C两点，应满足的条件是：两圆相切G点（2-2）（2-3）2）计算方法：求圆心坐标的公式。点A和B处曲线的法线方程式为（xxA）kA（yyA）=0（xxB）kB（yyB）=0式中kA和kB为曲线在点A和B处的斜率，k=dy/dx。解上两式得两法线交点M（圆心）的坐标为：BABBAAABMB
14、ABABAABBAMkkykykxxykkyykkxkxkx)()()(同理可通过C、D两点的法线方程求出N（圆心）点坐标为：DCDDCCCDNDCDCDCCDDCNkkykykxxykkyykkxkxkx)()()(（2-4）（2-5）求B、C、D三点坐标。根据（2-2）和（2-3）式，得 222222）（）（）（）（）（）（NDNDNMNMMAMAyyxxyyxxyyxx允允22222222)()()()()()()()(NCNCNDNDMBMBMAMAyyxxyyxxyyxxyyxx 式中的A、B、C、D的y坐标值分别由以下公式求出 yA=f（xA），yB=f(xB)yC=f（xA），yD=f(xD)再代入（2-6）和（2-7）式，用迭代法可求出B、C、D坐标值。（2-6）（2-7）求圆心M、N坐标值和RM、RN值。将B、C、D坐标值代入(2-4)和(2-5)式即求出圆心M和N的坐标值，并由此求出RM和RN值。应该指出的是，在曲线有拐点和凸点时，应将拐点和凸点作为一个计算单元（每一计算单元为四个点）的分割点。
