1、第二类曲线积分第二类曲线积分第二节第二节 第十章第十章 一、第二类曲线积分的概念及性质一、第二类曲线积分的概念及性质二、两类曲线积分的联系二、两类曲线积分的联系 三、第二类曲线积分的计算法三、第二类曲线积分的计算法一、一、第二类曲线积分的概念及性质第二类曲线积分的概念及性质1.问题引入问题引入“分割，近似分割，近似,求和求和,取极限取极限”变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用L:A B,解决办法解决办法:求移动过程中变力求移动过程中变力),(,),(),(yxQyxPyxF 联想：恒力联想：恒力沿直线做功沿直线做功所作的功所作的功W.cosABFW
2、 ABF ABF2 取近似取近似把把L分成分成 n 个小弧段个小弧段,有向小弧段有向小弧段kkMM1),(kkyx 近似代替近似代替,),(kk则有则有kkkkyQxP ),(),(kk所做的功为所做的功为,kW F 沿沿kkMM1 kkkkMMFW1k),(nkkWW1则则用有向线段用有向线段 kkMM1 kkMM1 在上任取一点在上任取一点1 kMkMABxyL),(kkF ky 1 分割分割 kx 4 取极限取极限 nkW1),(),(kkkkkkyQxP nkW10lim kkkkkky)Q(x)P,(1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中其中 为为 n n 个小弧段的最大长度
3、个小弧段的最大长度)3 求和求和变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功设设 L 为为xOy 平面内从平面内从 A 到到B 的一条的一条有向光滑弧有向光滑弧,若对若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在都存在(与分化和取点无关与分化和取点无关),niiiiiiiyQxP10),(),(lim 在在L 上定义了一个有界上定义了一个有界向量函数向量函数极限极限),(,),(),(yxQyxPyxF 2.定义定义10.2 niiiirF10),(lim,jyixriii其中其中 LryxFd),(F(x,y)在有向曲线弧在有向曲线弧 L 上上第二类曲线积分第二类
4、曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(或或对坐标的曲线积分，对坐标的曲线积分，记作记作 nikkkkkkyQxP10),(),(lim,|max1inir 则称此极限值为向量值函数则称此极限值为向量值函数积积分分曲曲线线 LryxFd),(第二类曲线积分的向量形式第二类曲线积分的向量形式 LyyxQxyxPd),(d),(第二类曲线积分的坐标形式第二类曲线积分的坐标形式 LxyxPd),(LyyxQd),(对对 x 的曲线积分的曲线积分;对对 y 的曲线积分的曲线积分.注注 1 关于第二类曲线积分的几个术语关于第二类曲线积分的几个术语2 若若 为空间曲线弧为空间曲线弧 ,),(,),(,
5、),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF d),(d),(d),(dzzyxRyzyxQxzyxPrF3如果如果L 是是闭曲线闭曲线,则对坐标则对坐标的曲线积分记为的曲线积分记为 LLyyxQxyxPrFd),(d),(d4对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分必须注意必须注意积分弧段的积分弧段的方向方向!5 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功 LyyxQxyxPWd),(d),(线性性质：线性性质：)1(可加性：可加性：)2(21d),(d),(d),(LLLryxFryxFryxF LLLryxFryxFryxFyxFd),(d),(d),(),(2121组成组成和和由由21LLL性质性质
6、1R ，L1L2(3)有向性有向性:用用L 表示表示 L 的反向弧的反向弧,则则 LLryxFryxFd),(d),(这是第一类和这是第一类和第二类线积分第二类线积分的一个重要区的一个重要区别别对坐标的曲线对坐标的曲线积分必须注意积分必须注意积分弧段的方积分弧段的方向向.,)()(tytxL ：设有向平面曲线弧设有向平面曲线弧的方向角的方向角同方向的切向量同方向的切向量处与处与上点上点LyxL),(二、两类曲线积分之间的联系二、两类曲线积分之间的联系起点：起点：A a，终点：终点：B b且且为端点的区间上连续，为端点的区间上连续，在以在以batt,)(),(.0)()(22 tt 定理定理，则
7、，则为为 ,LyyxQxyxPd),(d),(LsyxQyxPdcos),(cos),(曲线曲线L的方程的向量形式：的方程的向量形式：)(),()(tttrr :)()(lim)(0ttrttrtrt xyOABL)(trM(x,y)(ttr r)(tr 的终点处切向量，的终点处切向量，在在曲线曲线)(trL其其指向指向与与参数参数 t 增大增大时曲线时曲线 L上的点移动上的点移动的的方向一致方向一致.)(ba )(ba )(tr 证证ttrrd)(d tttd)(),()d,(dyx 22)(d)(ddyxs|d|r.)(d的方向一致的方向一致同方向，从而与同方向，从而与与与故故Ltrr 时
8、，时，当当ba 1沿着沿着L的方向移动时，参数的方向移动时，参数 t 增加增加.于是于是)1(dedsrr 0d t另一方面，另一方面，一方面一方面时，时，当当ba 20d t沿着沿着L的方向移动时，参数的方向移动时，参数 t 减少减少.)2(d)e(dsrr 于是于是.)(d的方向一致的方向一致方向相反，而与方向相反，而与与与故故Ltrr 综合综合(1)、(2)，得得srLded.e同方向的单位切向量同方向的单位切向量是与是与其中其中LLttrrd)(d|)(|)(etrtrr 其中其中)()()(,)()()(2222tttttt )cos,(cose LssrLd)cos,(cosded
9、 时时当当，时时当当babarre,e LryxFd),(LLsyxFde),(),(,),(),(yxQyxPyxF)d,(ddyxr )cos,(cose L LyyxQxyxPd),(d),(.dcos),(cos),(LsyxQyxP可以推广到空间曲线上可以推广到空间曲线上 从而从而,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt ,dcosdsx ,dcosdsy tttsd)()(d22 .”号”号时，取“时，取“当当”号；”号；时，取“时，取“当当 baba注注将积分将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对化为对弧长的积弧长的积分分,0222 xyx).0,2
10、()0,0(BO到到从从解解(方法方法1)oyxB,2:2xxyL 221xxxy 其中其中L 沿上半圆周沿上半圆周例例120:x)(ba 切向量切向量),1()(yxrT 与与L方向一致方向一致.其方向余弦：其方向余弦：211cosy 221xxxy 22xx 21cosyy x 1syxQyxPyyxQxyxPLLdcos),(cos),(d),(d),(syxQxyxPxxLd),()1(),(22 oyxB,sincos1:tytxL0:t)(ba 切向量切向量)cos,sin()(tttr 与与L方向相反方向相反.与与L同方向的切向量：同方向的切向量：)cos,(sin)(tttrT
11、 tsincos 其方向余弦：其方向余弦：y tcoscos x 1.,22xx (方法方法2)sxddcos,22xx syddcos x 1 yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x,22xxy xxxxyd21d2 sdxyd12 xxxd212 oyxBBOLs弧长弧长(方法方法3)三、第二类曲线积分的计算三、第二类曲线积分的计算法法,),(,),(上连续上连续在在LyxQyxP定理定理10.2 设设 L 是一条平面有向光滑曲线弧，是一条平面有向光滑曲线弧，)()(tytx,:bat,0)()(22 tt 其其参数方程为参数方程为时，时，当当单
12、调单调bat:.:),(BAyxML沿沿点点为为和和在以在以batt)(),(连续的导数，且连续的导数，且端点的区间上具有一阶端点的区间上具有一阶 LyyxQxyxPd),(d),(则有则有 battP)(),()(t )(t td)(),(ttQ 首先证明：首先证明：LxyxPd),(ttttPbad)()(),(由两类曲线的关系，得由两类曲线的关系，得 LLsyxPxyxPdcos),(d),(证证再由第一类曲线积分的计算法，得再由第一类曲线积分的计算法，得 LsyxPdcos),(时时；当当ba battP)(),()()()(22ttt tttd)()(22 时；时；当当batt ,d
13、)(.时时当当ba abttP)(),()()()(22ttt tttd)()(22 .,d)(时时当当batt ttttPbad)()(),(同理可证同理可证 LyyxQd),(tttQbad )(),()(t LyyxQxyxPd),(d),(所以所以 battP)(),()(t)(t td)(),(ttQ LxyxPd),(ttttPbad)()(),(,d),(d),(LyyxQxyxP计算计算 ttttQtttPbad)()(),()()(),(即可；即可；代入上式，且同时换限代入上式，且同时换限.注注 1 ),(),(tytxa不一定不一定小于小于 b!即计算定积分：即计算定积分：
14、可可将将BLbALa的终点的终点上限上限的起点的起点下限下限2 如果如果 L 的方程为的方程为,:),(baxxy xxxQxxPbad )(,)(,)(x LyyxQxyxPd),(d),(3 对空间光滑曲线弧对空间光滑曲线弧 :zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(tttttRtttQd)(,)(),()(,)(),()(t )(,)(),(tttPttztytx :)()()(思考思考定积分定积分第二类第二类曲线积分曲线积分是！是！baxxfd)(是否可看作第二类曲线积分的特例是否可看作第二类曲线积分的特例?xO ba ABxxfd)(ABxO abAB bax
15、xfd)(,d Lxyx其中其中L 为沿抛物线为沿抛物线xy 2解解(方法方法1)取取 x 为参数为参数,则则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOB OBAOLxyxxyxxyxddd xxxd)(0154d21023 xxxy xy 从点从点xxxd10 的一段的一段.)1,1()1,1(BA到到)1,1(B)1,1(Aoyx例例2 计算计算注意积分注意积分路径的路径的表示形式表示形式yyyyxyxLd)(d2112 (方法方法2)取取 y 为参数为参数,则则11:,:2 yyxL54d2114 yy)1,1(B)1,1(Aoyx-11注意积分注意积分路径的路径的表示形式表示形
16、式其中其中 L 为为,:,0aaxy yBAoaa x(1)半径为半径为 a 圆心在原点的圆心在原点的 上半圆周上半圆周,方向为逆时针方向方向为逆时针方向;(2)从点从点 A(a,0)沿沿 x 轴到点轴到点 B(a,0).解解 (1)L:,d2xyL 0:,sin,cos ttaytax xyLd2ttadsin22033 32a (2)L:xyLd2ttatad)sin(sin202 132 334a aaxd00 则则则则例例3 计算计算沿不同的路径沿不同的路径积分，其结果积分，其结果不同不同yxo,dd22yxxyxL 其中其中L为为(1)抛物线抛物线 ;10:,:2 xxyL(2)抛物
17、线抛物线 ;10:,:2 yyxL(3)有向折线有向折线.:ABOAL 解解(1)原式原式22xx xx d4103 (2)原式原式yyy222 yy d5104 (3)原式原式 yxxyxOAdd22 102d)002(xxx1)0,1(A)1,1(B2yx 2xy 10(xxxd)22 10(yyd)4 yxxyxABdd22 10d)102(yy1 1 例例4 计算计算沿不同的路径沿不同的路径积分，所得到积分，所得到结果相同结果相同例例5 计算计算,dd3d223zyxyzyxx 其中其中是从点是从点A(3,2,1)到点到点B(0,0,0)的直线段的直线段AB.解解 直线直线AB为为:.
18、01:,2,3 ttztytxzyxyzyxxdd3d223 01223d2)3(2)2(33)3(tttttt 013d87tt487 作用下作用下,质点由质点由沿沿 移动到移动到),2,0,(kRB)0,0,(RA.)2(AB解解(1)zzyxxydddttkR 2022d)(试求力场对质点所作的功试求力场对质点所作的功.;,sin,cos)1(tkztRytRx )(222Rk 其中其中 为为 rFWdx例例6 设在力场设在力场),(zxyF (2)的参数方程的参数方程:kttzyRx20:,0,ABzzyxxyddd ktt20d222k rFWdx内容小结内容小结 LryxFd),(
19、LyyxQxyxPd),(d),(nikkkkkkyQxP10),(),(lim1.定义定义2.性质性质 LLLryxFryxFryxFyxFd),(d),(d),(),(2121 21d),(d),(d),(LLLryxFryxFryxF LLryxFryxFd),(d),(3.计算计算 )()(tytx,:t LyyxQxyxPd),(d),(ttP)(),()(t)(t td)(),(ttQ 4.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分必须注意必须注意积分弧段的积分弧段的方向方向!5.两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系 LyyxQxyxPd),(d),(LsyxQyxPdcos),(c
20、os),()0,0,1(A)0,1,0(B)1,0,0(Coxyz已知已知为折线为折线 ABCOA(如图如图),计算计算 ABOABCxzyyyxId0dddd1)211(2 21 011001dd)1(d2xyyx1 yx1 zy思考题思考题解解 zyyxIddd沿曲线沿曲线是从点是从点其中其中计算计算)1,0(,dd)2(LyxxyxL 解解备用题备用题例例1-1).01()0(13232，到点到点 xyx的参数方程：的参数方程：L Lyxxyxdd)2(02tttttttdcossin3)sincos3)(sin2(cos42233 xyo,20,sin,cos33 ttytx 2064
21、d)sin(sin613ttt2.24635243321 .32321 2042425d cos)cos1(sin)sin1(2sin(cos3ttttttt 02tttttttdcossin3)sincos3)(sin2(cos42233 把对坐标的曲线积分把对坐标的曲线积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对化为对弧长的曲线积弧长的曲线积分分,；到点到点面内沿直线从点面内沿直线从点在在)1,1()0,0()1(xOy解解例例1-2为：为：其中其中L；到点到点从点从点沿抛物线沿抛物线)1,1()0,0()2(2xy ).1,1()0,0(2)3(22到点到点从点从点沿上半圆周沿上半圆周x
22、yx ,)1,1(),0,0()1(xy 的直线的直线过点过点,22coscos 方向余弦：方向余弦：syxQyxPyyxQxyxPLLd22),(),(d),(d),(得得由由,d41d1d)2(22xxxysx yyxQxyxPLd),(d),(,411ddcos2xsx 22412cos1sincosxx syxxQyxPxLd),(2),(4112 则则,d2)1(1d1d)3(222xxxxxysx ,2cos2xx yyxQxyxPLd),(d),(xxx 1)2(1sincos2 sxyxQxxyxPLd)1)(,(2),(2 解解例例3-1是：是：其中其中（计算计算Lyxyxy
23、xL,dd)22 )11()01()00()1(，、，、，由由BAO三点连成的折线段；三点连成的折线段；，到到沿圆弧沿圆弧，由由)11(2)00()2(2BxxyO ).11()00()3(，是正的实数）到是正的实数）到沿曲线沿曲线，由由BnxyOn yxyxyxLdd)()1(22 ABOA65dd10102 yyxx的方程化成参数式：的方程化成参数式：把把L)2(.2,sin,cos1 ttytxyxyxyxLdd)(22 222)sin(sin)sin()cos1(ttttttttdcossin)cos1(22dsin)cos(costttt22xxy .61)cos21cos31(22
24、3 ttyxyxyxLdd)()3(22 101231213 nxnnxnxy 曲线曲线 10222d)(xnxxxnn.12131 nn,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI ,21:22 zyxyx从从 z 轴正向看为顺时针方向轴正向看为顺时针方向.ozyx解解 的参数方程的参数方程:,sin,costytx )02:(sincos2 tttz 20Itttcos)sincos22(tttttd)sin)(cossin(cos tt d)cos41(220 )sin)(cos2(tt 2 例例5-1 求求解解是双纽线的右半支：是双纽线的右半支：计算计算LyxxyxyL ),dd(例例5-
25、2的逆时针方向。的逆时针方向。0),()(222222 xyxayx的参数方程是：的参数方程是：L,sin2cos,cos2cos ayax ,dcos32cosd,dsin32cosd ayax 44 axyo 44 4424d2sin2cos2 a Lyxxyxy)dd(.0,dcos32cosd,dsin32cosd ayax axyo d)3coscos3sinsin(cossin2cos4 a人有了知识，就会具备各种分析能力，人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说古人说“书中自有黄金屋。书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进鼓舞我们前进。
