1、高高 等等 数数 学学李李 苹苹计算机科学学院计算机科学学院第三节由导数公式vuvuuv)(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1)v 容易求得;xvuxvudd)2比容易计算.:)d(的原则或及选取vvu分部积分法 第四四章 问题问题?dxxex解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数,vuvuuv ,vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部积分公式分部积分公式一、基本内容例例1 1 求积分求积分.cos xdxx解（一）解
2、（一）令令,cos xu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然，选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.vu,解（二）解（二）令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx 例例2 2 求积分求积分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）,xu dvdxex 总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积
3、或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 ,使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)u例例3 3 求积分求积分.arctan xdxx解解令令,arctan xu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 例例4 4 求积分求积分.ln3 xdxx解解,ln xu ,443dvxddxx xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx 总结总结 若
4、被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .u例例5 5 求积分求积分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 例例6 6 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )
5、(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式例例7 7 求积分求积分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsecCtt )tanln(secC
6、xx )1ln(2 dxxxx21arctanxx arctan12 .)1ln(2Cxx 例例 8 8 已已知知)(xf的的一一个个原原函函数数是是2xe,求求 dxxfx)(.解解 dxxfx)()(xxdf,)()(dxxfxxf,)(2 Cedxxfx ),()(xfdxxf 两边同时对两边同时对 求导求导,得得x,2)(2xxexf dxxfx)(dxxfxxf)()(222xex .2Cex 例例9.求.)0(d22axax解解:令,22axu,1 v则,22axxuxv 22axxxaxxd22222axxxaxaaxd22222)(22axxxaxd2222d2axxa 原式=
7、2221axxCaxxa)(ln2222xaxd22例例10.求.dcoscosln2xxx解解:令,coslnxu xv2cos1,则,tan xuxvtan原式=xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd)1(sec2xxcoslntan Cxx tan例例11.求.dxex解解:令,tx则,2tx ttxd2d 原式tettd2tet(2Cxex)1(2,tu tev)teC令vu内容小结内容小结 分部积分公式xvuvuxvudd1.使用原则:xvuvd易求出,易积分2.使用经验:“反对幂指三反对幂指三”,前 u 后v3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式4.计
8、算格式:vu第四节 基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法 初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容:第四四章 有理函数的定义：有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非负负整整数数；naaa,10及及mbbb,10都都是是实实数数，并并且且00 a，00 b.一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn 这有理函数是这有理函数是真分式真分式；,)2(mn 这
9、有理函数是这有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.例例1123 xxx.112 xx难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为kax)(,)()(121axAaxAaxAkkk 有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：其中其中kAAA,21都是常数都是常数.特殊地：特殊地：,1 k分解后为分解后为;axA（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 则分解后为则
10、分解后为042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其中其中iiNM,都是常数都是常数),2,1(ki.特殊地：特殊地：,1 k分解后为分解后为;2qpxxNMx 真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx ,3)23(,1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 12)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数CBA,取取,
11、0 x1 A取取,1 x1 B取取,2 xBA,并将并将 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 2例例3 3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA ,1,02,02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得例例4 4 求积分求积分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.)1ln(11lnCxxx 解解例例5 5 求积分求积分 解解.)1)(21(12
12、 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxx 2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx 例例6 6 求积分求积分解解.11632dxeeexxx 令令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtttt )1)(1(162dttttt 2133136Ctttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln62dttttt 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 23)1ln(3ln6 ttdttttd
13、2221131)1(说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：)1(多项式；多项式；;)()2(naxA;)()3(2nqpxxNMx 讨论积分讨论积分,)(2 dxqpxxNMxn,42222pqpxqpxx 令令tpx 2,422pqa ,2MpNb 则则 dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(22,222atqpxx ,bMtNMx 记记,1)2(n dxqpxxNMxn)(2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn这三类积分均可积出这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是
14、初等函数.结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.,1)1(n dxqpxxNMx2)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab 三角有理式的定义：三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 二、三角函数有理式的积分2sec2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu ,12sin2uux ,11c
15、os22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （万能置换公式）（万能置换公式）例例7 7 求积分求积分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由万能置换公式由万能置换公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan)1ln(212u Cu|1|ln2tanxu 2x|2sec|lnx.|2tan1|lnCx 例例8
16、8 求积分求积分.sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 解（二）解（二）修改万能置换公式修改万能置换公式,xutan 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 解（三）解（三）可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式.dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222cscco
17、tcsc )(cot xd.cot31cot3Cxx 结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法,便知万能置换不一定便知万能置换不一定是最佳方法是最佳方法,故三角有理式的计算中先考故三角有理式的计算中先考虑其它手段虑其它手段,不得已才用万能置换不得已才用万能置换.例例9 9 求积分求积分.sin3sinsin1 dxxxx解解2cos2sin2sinsinBABABA dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos141 dxxxxx222cossincossin41 dxx2cos141
18、dxxdxxxsin141cossin412 dxx2cos141 dxxxdxsin141)(coscos1412 dxx2cos141xcos41 2tanln41x.tan41Cx 讨论类型讨论类型),(nbaxxR),(necxbaxxR 解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例1010 求积分求积分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx 三、简单无理函数的积分,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 例例1111 求积分求积分.1113
19、dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt|1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.例例1212 求积分求积分.1213 dxxxx解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式 dxxxxxxxx)1213)(1213()1213(dxxx)1213()13(1331 xdx)12(1221 xdx.)12(31)13(922323Cxx 内容小结内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法,简便计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 简便,
