1、同学们努力吧,一切皆有可能y0 xyx01.什么叫反比例函数？什么叫反比例函数？形如形如 的函数称为的函数称为反比例函数。反比例函数。(k为常数，为常数，k0)其中其中x是自变量，是自变量，y是是x的函数。的函数。xky 2.反比例函数有哪些等价形式？反比例函数有哪些等价形式？y=kx-1xy=kxky 一、有关概念：一、有关概念：(k为常数，为常数，k0)练习练习1：1、下列函数中哪些是反比例函数、下列函数中哪些是反比例函数?y=3x-1y=2x2y=2x3y=x1y=3xy=13xy=x1xy=-23.下列的数表中分别给出了变量下列的数表中分别给出了变量y与与x之间的对应关之间的对应关系，
2、其中是反比例函数关系的是系，其中是反比例函数关系的是().x1234y6897x 1234y 8543 x 1234y 5876x1234y12123)2(mxmy3141A:C:D:B:D2.若若 是反比例函数，是反比例函数，则则m2m-20，3-m2=1 5 5、已知、已知y=yy=y1 1-y-y2 2，y y1 1与与x x成反比例，成反比例，y y2 2与与x-x-2 2成正比例，且当成正比例，且当x x=1=1时，时，y y=1 1；x=3x=3时，时，y=5y=5求求y y与与x x的函数关系式的函数关系式.4、已知、已知y-1与与x+2成反比例，当成反比例，当x=2时时,y=9
3、。请写出请写出y的的x函数关系。函数关系。函数函数反比例函数反比例函数解析式解析式图象形状图象形状k0位置位置增减性增减性k0k0时，时，y y随随x x的增大而减小的增大而减小;当当k0k0k0时，时，y y随随x x的增大而增大的增大而增大;当当k0k0时，时，y y随随x x的增大而减小的增大而减小.k0k0 x0 0)k k(k kx xy y或或k kx x或或y yx xk ky y1 1另外另外：在正比例函数中在正比例函数中k的绝对值越大的绝对值越大,直线越靠近直线越靠近y轴，远离轴，远离x轴。在反比轴。在反比例函数中例函数中k的绝对值越大，双曲线越远离两坐标轴。的绝对值越大，双
4、曲线越远离两坐标轴。练习2：1.1.函数函数 的图象位于第的图象位于第 象限象限,在每一象限内在每一象限内,y,y的值随的值随x x的增大而的增大而 ,当当x x0 0时时,y,y 0,0,这部分图象位于第这部分图象位于第 象限象限.xy21那么下列各点中一定也在此图象上的点是那么下列各点中一定也在此图象上的点是()()2.2.若点若点(-(-m m，n n)在反比例函数在反比例函数xky A.(m，n)B.(-m，-n)C.(m，-n)D.(-n，-m)的图象上，的图象上，C 3.3.若反比例函数的图象过点若反比例函数的图象过点(-1,2),(-1,2),则其解析式则其解析式 为为 .xy2
5、4.4.如果反比例函数如果反比例函数 的图象位于的图象位于第二、四象限，那么第二、四象限，那么m m的范围为的范围为 .x3m1y31315 5、表示下面四个关系式的图像有、表示下面四个关系式的图像有6、如图，函数和、如图，函数和y=kx+1(k0)在同一坐在同一坐标系内的图象大致是标系内的图象大致是（）642-2-4-55O Oy yx x642-2-4-55O Oy yx x642-2-4-55O Oy yx x642-2-4-55O Oy yx xBACDDxky 以前做过这样的题目吗？7:增减性 1、在反比例函数 的图象上有两点（x1，y1）、（x2，y2）,若x1x2 0,则y1与y
6、2 的大小关系是 。变：1）将x1x2 0变为x1 0 x2，则y1与y2 的大小关系是 。2）将x1x2 0变为x1x2，则y1与y2 的大小关系是 。3）若图象上有三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）,且y10y2 y3,则x1、x2、x3的大小关系是 。21kyx8.8.考察函数考察函数 的图象的图象,(1)(1)当当x=-2x=-2时时,y=,y=,(2)(2)当当x-2x-2时时,y,y的取值范围是的取值范围是 ;(3)(3)当当y-1y-1时时,x,x的取值范围是的取值范围是 .xy2-1-1y0或或x-2xky1xky2xky3321.kkkA123.kkkB132
7、.kkkC213.kkkD O y x xky1xky2xky39、如下图是三个反比例函数、如下图是三个反比例函数，在在x轴上方的图象，由此观察得到的轴上方的图象，由此观察得到的k1，k2，k3大小大小关系为关系为()B10、如图是一次函数、如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数和反比例函数 的图象，观察图象写出的图象，观察图象写出y1y2时，时，x 的取值范围的取值范围xmy 2-23yx0X3或或-2x0)0)与双曲线与双曲线 交于两点交于两点A(xA(x1 1,y,y1 1),),B(xB(x2 2,y,y2 2)，则则2 2x x1 1y y2 2-7x-7x2 2y y1 1=_.
8、=_.4yx2 2、如图、如图,已知双曲线已知双曲线 与直线与直线y=ky=k/x x交于交于A A、B B两点两点,点点A A在第二象限在第二象限,若点若点A A的横坐标为的横坐标为m,m,则点则点B B的坐标可表示为的坐标可表示为_._.kyx(-m,-k/m)或或(-m,-)km-40-51-3yx2 345-16-2-61AB 利用反比例函数的图像的对称性。利用反比例函数的图像的对称性。则垂足为轴的垂线作过上任意一点是双曲线设,)0(),(AxPkxkynmP|2121|2121kmnnmAPOASOAPP(m,n)Aoyx四、与面积有关的问题：四、与面积有关的问题：面积性质（一）：面
9、积性质（一）：P(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx想一想想一想若将此题改为过若将此题改为过P点点作作y轴的垂线段轴的垂线段,其结其结论成立吗论成立吗?|2121|2121kmnmnAPOASOAPBx12-y（3 3）已知点）已知点A A是反比例函数是反比例函数 上的点，上的点，过点过点A A作作 APAP x x轴于点轴于点p p，则，则AOPAOP的面积为的面积为（）A.12 B.6 A.12 B.6 C.4 D.3C.4 D.3归纳：（归纳：（1 1）两个定值）两个定值 任意一组变量（或图象上任一点的坐标）的乘积是一任意一组变量（或图象上任一点的坐标）的乘积是一个定值个定值,即即 x
10、y=k.xy=k.图中图中S SPAO PAO =k,=k,与点与点A A的位置无关。的位置无关。12yx0PA,)2(BAyxP垂足分别为轴的垂线轴分别作过P(m,n)AoyxB面积性质（二）面积性质（二）kmnnmAPOAOAPBS矩形则PDoyx1.1.如图如图,点点P P是反比例函数是反比例函数 图象上图象上的一点的一点,PDx,PDx轴于轴于D.D.则则PODPOD的面积的面积为为 .xy211221212|k|SkPOD 练习4：._,.,.,21则的面积为的面积为记垂足为轴的垂线作过垂足为轴的垂线作过SRtSRtDyCBxAOCDAOB2、如图、如图:A、C是函数是函数 的图象上
11、任意两点，的图象上任意两点，xy1A.S1S2 B.S1S2 C.S1=S2D.S1和和S2的大小关系不能确定的大小关系不能确定.CABoyxCD DS1S23k.3 3|k k|,|,k k|S S矩形APCO矩形APCO,四象限图像在二又ACoyxP解解:由性质由性质(2)可得可得_,3,3、函数的解析式是函数的解析式是则这个反比例则这个反比例阴影部分面积为阴影部分面积为轴引垂线轴引垂线轴轴向向分别分别由由图像上的一点图像上的一点是反比例函数是反比例函数 如图yxPxkyP.3xy解析式为.3xy提高篇提高篇:(1):(1)如图如图,点点P P是反比例函数是反比例函数图象上的一点图象上的一
12、点,过点过点P P分别向分别向x x轴、轴、y y轴作垂线轴作垂线,若阴影部分面积为若阴影部分面积为3,3,则则这个反比例函数的关系式这个反比例函数的关系式是是 .3yxxyoMNp(1)(1)若点若点P P是反比例函数图象上的一点是反比例函数图象上的一点,过点过点P P分别向分别向x x轴、轴、y y轴作垂线轴作垂线,垂足分别为点垂足分别为点M M、N N，若四边形若四边形PMONPMON面面积为积为3,3,则这个反比例函数的关系式是则这个反比例函数的关系式是_._.提示：提示：S S矩形矩形=|=|xy|=|k|xy|=|k|则则 k=sk=s或或-s s3yx-3yx 或或A.S=1 B
13、.1S2 图函数图像关点 对称两点,轴轴面积则1 14.4.如如,P,P,P,P 是是y y的的上上于于原原O Ox x的的任任意意PAPA平平行行于于y,P Ay,P A平平行行于于x,x,PAPPAP 的的S,_.S,_.C22121 222 2AP|m|AP|n|S|AP AP|PAP|m|n|k|解:设P(m,n),则P(-m,-n).，；P(m,n)AoyxP/5、如图，一次函数、如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象与反比例函数 的图象交于的图象交于 A(-2,1),B(1,n)两点两点（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；）试确定上述反比例函数和一次函数的表达
14、式；（2）求）求AOB的面积的面积myxOyxBACD26、如图所示如图所示.如果函数如果函数y=-kx(k0)与与 图像图像交于交于A、B两点，过点两点，过点A作作AC垂直于垂直于y轴，垂足轴，垂足为点为点C，则，则BOC的面积为的面积为 .xy4S BOC =S AOCSAOC =-4 =2DoACxByDCDoAxBy7、四边形、四边形ADBC的面积的面积=_2 8、如图，如图，D是反比例函数是反比例函数 的图像上一点，的图像上一点，过过D作作DEx轴于轴于E，DCy轴轴 于于C，一次函数，一次函数y=-x+2与与x轴交轴交 于于A点，四边形点，四边形DEAC的面积的面积 为为4，求，求
15、k的值的值(0)kykxAEDCOxyFB解：当解：当X=0时时,y=2.即即 C(0,2）当当y=0时时,x=2.即即 A(2,0)SAOC =2S四边形四边形DCOE =4-2=2K=-2ABCEOFxyx (2007武汉市武汉市)如图，已知双曲线如图，已知双曲线(x0)经过矩形经过矩形OABC边边AB的中点的中点F，交，交BC于点于点E，且，且四边形四边形OEBF的面积为的面积为2，则，则k_。xky 2SAOF =S矩形矩形AOCB41SAOF =S四边形四边形EOBF =121OACD例：例：思索归纳思索归纳五、交点问题 1 1、与坐标轴的交点问题：、与坐标轴的交点问题：无限趋近于无
16、限趋近于x x、y y轴，轴，与与x x、y y轴无交点。轴无交点。2 2、与正比例函数的交点问题：、与正比例函数的交点问题：可以利用反比例函数的中心对称性。可以利用反比例函数的中心对称性。3 3、与一次函数的交点问题：、与一次函数的交点问题：列方程组，求公共解，即交点坐标。列方程组，求公共解，即交点坐标。.2,8)1(:xyxy解.4,2;2,4yxyx或解得).2,4(),4,2(BA.)2(;,)1(.,28的面积两点的坐标求两点交于的图像与一次函数数例：已知如图反比例函AOBBABAxyxyAyOBxMNAyOBxMN.642OAMOMBAOBSSS).0,2(,2,0,2:)2(Mx
17、yxy时当解法一.2OM.,DxBDCxAC轴于轴于作,2,4BDAC,2222121BDOMSOMB.4422121ACOMSOMACDAyOBxMN.624ONAONBAOBSSS).2,0(,2,0,2:)2(Nyxxy时当解法二.2ON.,DyBDCyAC轴于轴于作,4,2BDAC,4422121BDONSONB.2222121ACONSONACD.21):(4,OBABOBBxABAAxkyOAO如果垂足为轴作过点在第一象限内交于与双曲线是坐原点，直线如图练：.),1,0()2(;)1(的面积求轴交于点与轴交于点与直线求双曲线的解析式AODDxCyACyxoADCB拓展延伸：拓展延伸
18、：例、有一个例、有一个RtRtABC,A=90ABC,A=900 0,B=60,B=600 0,AB=1,AB=1,将将它放在直角坐标系中它放在直角坐标系中,使斜边使斜边BCBC在在x x轴上，直角轴上，直角顶点顶点A A在反比例函数在反比例函数 的图象上的图象上,且点且点A A在在第一象限第一象限.求求:点点C C的坐标的坐标 x3y xyoxyo例、例、A=90A=900 0,B=60,B=600 0,AB=1,AB=1,斜边斜边BCBC在在x x轴上，点轴上，点A A在函数在函数 图象上图象上,且且.求求:点点C C的坐标的坐标 ABC1600Dx3y 221232323,x32321,
19、0)21C(xyo1600D212323,x323,0)27(2AB1C1,0)21(AB2C223,0)21(C1,0)27(C2例、例、A=90A=900 0,B=60,B=600 0,AB=1,AB=1,斜边斜边BCBC在在x x轴上，轴上，.求求:点点C C的坐标的坐标 x3y oxy,0)21(B1C1A1,0)27(B2C2B3A2C3,0)27(-,0)21(-C4B4例例5 5、A=90A=900 0,B=60,B=600 0,AB=1,AB=1,斜边斜边BCBC在在上，上，点点A A在函数在函数 图象上图象上.求求:点点C C的坐标的坐标 x3y xy,0)21(B1C1A1
20、,0)27(B2C2B3A2C3,0)27(-,0)21(-C4B4)27(0,B5C5A3B6C6)21(0,C6A4B7C7)27(0,-B8C8)21(0,-综合应用：综合应用：已知点已知点A A（3 3，4 4），），B B（2 2，m m）在反比例函数）在反比例函数的图象上，经过点的图象上，经过点A A、B B的一次函数的图象分别与的一次函数的图象分别与x x轴、轴、y y轴交于点轴交于点C C、D D。求反比例函数的解析式；求反比例函数的解析式；x xk ky y 求经过点求经过点A、B的一次函数的解析式；的一次函数的解析式；在在y轴上找一点轴上找一点H，使，使AHO为等腰三角形，
21、求点为等腰三角形，求点H的坐标的坐标;例题例题1：右图描述的是一辆小轿车在一条高速公路上匀速：右图描述的是一辆小轿车在一条高速公路上匀速前进的图象，根据图象提供的信息回答下列问题：前进的图象，根据图象提供的信息回答下列问题：（1）这条高速公路全长是多少千米？）这条高速公路全长是多少千米？（2）写出）写出时间时间t t与与速度速度v之间的函数关系式；之间的函数关系式；（3）如果）如果2至至3h到达，轿车速度在什么范围？到达，轿车速度在什么范围？v(km/h)1502O100200t(h)300千米千米300tv 100至至150（千米（千米/小时）小时）3由图象得由图象得当当2 t 3时，时，1
22、00v150（1 1）（2 2）（3）解：解：六、实际问题与反比例函数六、实际问题与反比例函数 例题例题2 2：如图，为了预防：如图，为了预防“非典非典”，某学校对教室采用，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒。药熏消毒法进行消毒。已知药物已知药物燃烧时燃烧时，室内每立方米空气中的含药量，室内每立方米空气中的含药量y(mg)y(mg)与时间与时间x(min)x(min)成正比例成正比例，药物，药物燃烧完后燃烧完后，y y与与x x成反比例成反比例.现测得药物现测得药物8min8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为量为6mg6mg。请根据题中所提供的信息，
23、解答下列问题：。请根据题中所提供的信息，解答下列问题：（1 1）药物燃烧时，求）药物燃烧时，求y y与与x x的关系式；的关系式；（2 2）药物燃烧完后，）药物燃烧完后，求求y y与与x x的关系式；的关系式；（3 3）研究表明，当空气中每立方米）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于的含药量低于1.6 mg1.6 mg时学生方可进时学生方可进入教室，那么从消毒开始，至少经入教室，那么从消毒开始，至少经过多少过多少minmin后，学生才能回到教室；后，学生才能回到教室；（4）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且且持续时间不低于持续时间不低于
24、10 min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？请说明理由。么此次消毒是否有效？请说明理由。例题例题2：如图，为了预防如图，为了预防“非典非典”，某学校对教室采用，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒。药熏消毒法进行消毒。已知药物已知药物燃烧时燃烧时，室内每立方米空气中的含药量，室内每立方米空气中的含药量y(mg)y(mg)与时间与时间x(min)x(min)成正比例成正比例，药物，药物燃烧完后燃烧完后，y y与与x x成反比例成反比例.（1 1）药物燃烧时，求）药物燃烧时，求y y与与x x的关系式；的关系式；（2 2）药物燃烧完后，）药物燃烧完
25、后，求求y y与与x x的关系式；的关系式；解：解：(1)当当0 x8时设函数式为时设函数式为11(0)yk xk函数图象经过点（函数图象经过点（8，6）把（把（8，6）代入得）代入得134k 3.4yx 当当x8时设函数式为时设函数式为22(0)kykx函数图象经过点（函数图象经过点（8，6）把（把（8，6）代入得）代入得248k 48.yx（3 3）研究表明，当空气中每立方米的含药量低）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于于1.6 mg1.6 mg时学生方可进入教室，那么从消毒开始，时学生方可进入教室，那么从消毒开始，至少经过多少至少经过多少minmin后，学生才能回到教室；后，学生才能
26、回到教室；34yx 48yx（0 x8）（x8）解：解：(3)当当y=1.6时有时有答：至少经过答：至少经过30min后，学生才能回到教室；后，学生才能回到教室；481.630 xx解解得得1.61.63030（0 x8）（x8）3（4）研究表明，当空气中每立方米的含药量不）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于低于3mg且持续时间不低于且持续时间不低于10 min时，才能有效时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？请杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？请说明理由。说明理由。(4)把把y=3代入两函数得代入两函数得3344xx解解得得48316xx解解得得416持续时间持续时
27、间=16-4=12(min)10(min)答：此次消毒有效。答：此次消毒有效。34yx 48yx o(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)V(km/h)Y/LoV(km/h)Y/LoV(km/h)Y/LoV(km/h)Y/L 1、已知甲,乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地.如果汽车每小时耗油量为a升,那么从甲地到乙地的总耗油量y(L)与汽车的行驶速度v(km/h)的函数图象大致是()）（0vv vaSaSy yC 练习6：2、制作一种产品，需先将材料加热，达到、制作一种产品，需先将材料加热，达到60后，再后，再进行操作，据了解，该材料加热时，温度进行操作，据了解，该材料加热时
28、，温度y与时间与时间x（min）成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度）成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间与时间x（min）成反比例关系，如图所示，已知该材）成反比例关系，如图所示，已知该材料在操作加工前的温度为料在操作加工前的温度为15，加热，加热5min后温度达到后温度达到60。xy105 106050403020152520（1）分别求出将材料加热）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时和停止加热进行操作时y与与x的函数关系式；的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料温）根据工艺要求，当材料温度低于度低于15 时，必须停止操作，时，必须停止操作，那么从开始加热到停止操作，
29、那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？共经历了多少时间？915300 xyx （0 x5）（x5）20min解：(1)设函数关系式为y=k/(x-0.4),又当x=0.65元时，y=0.8,则有 0.8=k/(0.65-0.4),解得k=0.2.y与x之间的函数关系式为y=0.2/(x-0.4),即 。3 3、某地上年度电价为、某地上年度电价为0.8元，年用电量为元，年用电量为1亿度，亿度，本年度计划将电价调至本年度计划将电价调至0.550.75元之间，经测元之间，经测算，若电价调至算，若电价调至x元，则本年度新增用电量元，则本年度新增用电量y(亿亿度度)与与(x0.4)元成反比例又当元
30、成反比例又当x0.65元时，元时，y0.8(1)求求y与与x之间的函数关系式；之间的函数关系式；(2)若每若每度电的成本价度电的成本价0.3元，电价调至元，电价调至0.6元，请你预算元，请你预算一下本年度电力部门的纯收人多少一下本年度电力部门的纯收人多少?251xy(2)把x=0.6代入y=0.2/(x-0.4)，得y=1.即本年度新增用电量1亿度则本年度总用电量为（1+1=2）亿度本年度电力部门的纯收入为：2（0.6-0.3)=0.6亿元。4、气球充满了一定质量的气体，、气球充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压当温度不变时，气球内的气压P(kPa)是气球是气球体积体积V的反比例函数。当气球体积是的反比例函数。当气球体积是0.8m3时，气球内的气压为时，气球内的气压为120 kPa。（1）写出这一函数表达式。）写出这一函数表达式。（2）当气体体积为）当气体体积为1m3时，气压是多少？时，气压是多少？（3）当气球内气压大于）当气球内气压大于192 kPa时，气球时，气球将爆炸。为安全起见，气球体积应小于将爆炸。为安全起见，气球体积应小于多少？多少？
