1、2019 年北京海淀区北京大学自主招生数学试卷年北京海淀区北京大学自主招生数学试卷一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 20 小题）小题）1、从前20个正整数中任取四个数，则这4个数的最小公倍数的最大值为（）A.96980B.82980C.75582D.前三个选项都不对2、设，均为正实数，则满足不等式22+2+22+2 2+2的的取值范围是（）A.0,+B.0,2+C.0,2+D.前三个选项都不对3、方程sin=13的实根个数为（）A.1B.3C.7D.前三个选项都不对4、设为正方形内部一定点，且=10，则等于（）A.60B.70C.75D.前三个选项都不对5、设素数，满足2+3+5+7=
2、10+7+5+3=152，则+等于（）A.27B.29C.33D.前三个选项都不对6、已知数列满足+1=4+3，+，则1+2020等于（）A.4041B.4042C.4043D.前三个选项都不对7、函数()=8+152+3+4的值域为（）A.167,157B.47,167C.167,4D.前三个选项都不对8、已知数列满足1=1，+1=+12019则数列（）A.单调递增且有界B.单调递增且无界C.没有单调性D.前三个选项都不对9、从1，2，3，9中依次取出，四个不同的数，则+与+奇偶性相同的概率为（）A.12B.3360C.61126D.前三个选项都不对10、已知椭圆225+216=1的左右焦点
3、分别为1，2，为椭圆上一点，焦点 12内心为，内切圆半径为1，则等于（）A.5B.2C.3D.前三个选项都不对11、已知方程3+22+4=0的三个实根为1，2，3，则112+122+132等于（）A.2122B.2223C.2324D.前三个选项都不对12、已知 0,2，则cossin2的最大值为（）A.39B.2 39C.4 39D.前三个选项都不对13、满足(2+1)2+(2+1)2为完全平方数的整数对,的组数为（）A.0B.1C.无穷多个D.前三个选项都不对14、已知实数，满足+=4，=2，则满足题意的(,)的组数为（）A.2B.3C.4D.前三个选项都不对15、已知不等式|(1)2+1
4、对任意 恒成立，则实数的取值范围是（）A.14,94B.12,52C.14,74D.前三个选项都不对16、已知 1,1，=0，1，2019，且=020192=2019?，则=02019?等于（）A.2001B.2002C.2003D.前三个选项都不对17、已知复数1，2满足1 3i=2，2 8=1，则由复数=1 2对应的点所围成的图形的面积为（）A.4B.8C.10D.前三个选项都不对18、过椭圆24+2=1上一动点作切线与坐标轴分别交于，两点，则直线与坐标轴，以及椭圆所形成封闭图形的面积的最小值为（）A.2B.4 C.2 2D.前三个选项都不对19、已知+=2+3（为正常数，0，0），若2+
5、2的最大值为，且 49,121，则的取值范围是（）A.13,35B.2,4C.13,35 2,4D.前三个选项都不对20、已知和均为等差数列，且11=32，21=43，对任意正整数，有=1+，又数列前23项和为60，前40项和为100，则数列前100项和等于（）A.14050B.16050C.18050D.前三个选项都不对1、【答案】D;【解析】20 19 17 13=83980故选D2、【答案】D;【解析】因为=22+2+22+2=222+0 222+222+0 222，上式的几何意义为，平面直角坐标系中，轴上一动点到两个动点22,22，22,22的距离之和，设关于轴的对称点为，则 2+2，
6、而 2+2，所以此时为直线与轴交点的横坐标，则:=+22+22，令=0，解得：=2+，所以取值范围为：=2+故选D3、【答案】C;【解析】分别画出=sin与=13在0,13范围内的图象如图，由图象可知，sin=13在0,13范围内有4个解且有一解为=0，又当 13时，13 1，sin 1,1，当 13时，sin=13无解，又=sin与=13都为奇函数，sin=13有7个实数根故选C4、【答案】B;【解析】设正方形边长为1，在 中，由正弦定理可知sin35=2sin135，则=2sin35，在 中，由余弦定理可知2=1+4sin235 4sin35cos55=1，则 为等腰三角形，所以=70，故
7、选B5、【答案】B;【解析】作和得6+5 +=152，则、中有一个2，作差得=2+，故7，3，所以=2，则11，又易得17，那么可以有=11，13，17，=11时，2+3=65不可能成立；=13时，2+3=51不可能成立；=17时，2+3=23 =3，=76、【答案】C;【解析】21+2=8 1，2+2+1=8+3，2+1 21=4，2019 1=4036，2020+2019=8079，故2020+1=4043故选C7、【答案】C;【解析】令=8+152+3+4，2+(3 8)+4 15=0，0且 0 167,0 0,4，又=0也成立故选C8、【答案】B;【解析】2 1=1 2=2，+1=12
8、019 0，故单增，显然无界故选B9、【答案】D;【解析】+和+同为偶数时，此时和，和同时为奇数或者偶数，当，同为奇数时，有A54=120（种），当，同为偶数时，有A44=24（种），当，为奇数，偶数或者，为偶数，为奇数时，有2A52A42=480，+和+同为偶数时，共A54+A44+2A52A42=624（种）情况，+和+同为奇数时，此时为偶数为奇数或者为奇数为偶数，为偶数为奇数或者为奇数为偶数，此时共有C51C41A22C41C31A22=960（种）情况，故+和+奇偶性相同的概率为：54+A44+2A52A42+C51C41A22C41C31A22A94=1121故选D10、【答案】A;
9、【解析】设内切圆半径为，12面积为，12=2，因为=22+2，解得=8，又=2tan，解得tan=12，由于是锐角，故可推导得到sin=55，所以=sin=5故选A11、【答案】A;【解析】原式=23+12+134 1+2+3+1212382 12+23+13+4 1+2+3=14 2+12482 1 2=2122故选A12、【答案】C;【解析】cossin2=2cos2sin=2(1 sin2)sin=2sin3+2sin记()=23+2，()=62+2=2(1 32)，sin=33时最大，此时()=4 3913、【答案】A;【解析】方法一:令=2+1，=2+1，情形一：当为奇数时，则为奇数
10、，情形二：当为偶数时，则也为奇数，同理可得也为奇数，而两个奇数的平方和一定不会是完全平方数故选A方法二:两个奇数的平方和模4余2，完全平方数模4余0或1，故不可能14、【答案】C;【解析】即 =2或2，=2+2+=4 =1，3，=2+2+=4 =3，1故选C15、【答案】C;【解析】数形结合易得两次相切即可，故2 2+2 =0，=0，=142 2+2 =0，=0，=7416、【答案】D;【解析】记为正项和，为负项和，=020192?=+=2019，又 =22020 1 =22019+1009=22019+(1111110001)(2)，故的二进制表示中1的个数为8，的二进制表示中1的个数为20
11、20 8=2012，故=02019?=8 2012=2004故选D17、【答案】B;【解析】设1=1+1i，2=2+2i，由题意可知12+(1 3)2=4，(2 8)2+22=1，令1=2cos1=2sin+3，2=2cos+81=2sin，=1 2=1 2，则+82+32=5 4cos()，所以复数1 2围成的面积为一个圆环的面积=9 1 =8故选B18、【答案】C;【解析】由对称性，只研究第一象限，切线方程为：04+0=1 0,1040,0，=124010214=2002=40202802+4022=2 2，故C正确故选C19、【答案】C;【解析】方法一:直线：+=2+3与轴的交点为(2+
12、3,0)，与轴的交点为(0,2+3)，由题意知(2+2)=2,2，当2+32+3时，即1时，=(2+3)2 49,121，解得 2,4，当2+3 2+3时，即0 1时，=(2+3)2 49,121，解得 13,35，故的取值范围为13,35 2,4故选C方法二:由+=2+3得=+2+30，所以02+3，2+2=2+2+32=2+1 2 2 2+3 +2+32，对称轴=2+32+1=2+3+12+3，当 2+32+12+32时，即0 2+32时，即 1时，2+2=0=2+32 49,121，解得 2,4，故的取值范围为13,35 2,4故选C20、【答案】D;【解析】记公差为1，公差为2，那么20 1+2=100，11 1+2 23 23=60，1=3，2=2，1=2，=1100=15050?故选D
