1、一一.函数的对称性函数的对称性例例1 函数函数y=f(x)对任意实数对任意实数x，总有，总有 （1）f(ax)=f(b+x)，这里，这里a，b是常数，问函数的图像有什么性质，是常数，问函数的图像有什么性质，证明你的结论；证明你的结论；（2）f(ax)=f(b+x)，这里，这里a，b是常数，问函数的图像有什么性质，是常数，问函数的图像有什么性质，证明你的结论证明你的结论 PQ垂直直线垂直直线 ，且被其平分，且被其平分，【解（解（1）】设设y=f(ax)=f(b+x)则点则点P(ax，y)，Q(b+x，y)都在函数都在函数y=f(x)的图像上的图像上 22)()(baxbxa 且且P、Q两点纵坐标
2、相等，两点纵坐标相等，2bax P、Q 两点关于直线两点关于直线 对称对称 2bax 而而P、Q又是曲线又是曲线y=f(x)上的动点，上的动点，函数函数y=f(x)的图像关于直线的图像关于直线 2bax 对称对称问题:当a=0,b=0函数f(x)具有什么性质?21-1-2-3-22YX【解（解（2）】设设 y=f(ax)=f(b+x)则点则点R(ax，y)，S(b+x，y)都在函数都在函数y=f(x)的图像上的图像上 0222yybaxaxb0,2ba 线段线段RS的中点是定点的中点是定点M（）即即R、S两点关于定点两点关于定点M 对称，对称，而而R、S是曲线是曲线y=f(x)上的动点上的动点
3、 函数函数y=f(x)的图像关于点的图像关于点 M（）对称）对称 0,2ba【解法1】x0时，f(x)=x(43x)，在其上取三点P1（0，0）、)34,32(3P、P)0,34(2则它们关于原点的对称点分别是Q1(0，0)，)0,34(2 Q)34,32(,3Q设x时，34)32()(2 xaxf Q2在其上，在其上，解之，得解之，得a=3，x时，时，034)3234(2 a)43(34)32(3)(2 xxxxf【解法解法2】设设x0，则，则x0 f(x)=(x)(4+3x)f(x)是奇函数，是奇函数，f(x)=f(x)x0时，时，f(x)=f(x)=x(4+3x)若把问题改为若把问题改为
4、:f(x)满足满足f(1+x)=f(3-x)，x2时，时，f(x)=x (43x)，那么，那么x2时求时求 f(x)的解析式的解析式.请解答请解答.都有都有)2()2(2)()(bafbafbfaf )2cos()2cos(2coscosb ba ab ba ab ba a )2()2(2)()(bafbafbfaf )2()2(2)()(bafbafbfaf )2()2(2)()(bafbafbfaf )2()2(2)()(bafbafbfaf 例例4 函数函数y=f(x)在在(-,0 上是减函数，而函数上是减函数，而函数 y=f(x+1)是偶函数设是偶函数设 ，b=f(3)，c=f(arc
5、cos(1)那么那么a，b，c的大小关系是的大小关系是_.)4(log21fa 【解解】,c=f(arccos(1)=f()y=f(x+1)是偶函数是偶函数 y=f(x)的图像关于的图像关于x=1对称，对称，于是由于是由y=f(x)在在(-,0上递减知，上递减知，f(x)在在2,+)上递增上递增 f(2)=f(4)而而 23 4 f(3)f()f(4)，即，即bca )2()4(log21ffa ,2例例5.设设f(x)是是R上的奇函数，且上的奇函数，且f(x3)f(x)，当，当0 x 时，时，f(x)x，则，则f(2003)()A.1B.0C.1D.200323解：解：f(x6)f(x33)
6、f(x3)f(x)f(x)的周期为的周期为6f(2003)f(63351)f(1)f1问题问题：函数函数f f(x x)满足满足f f(a a+x x)=)=f f(b b-x x)且且f f(c c+x x)=)=f f(d d-x x)那么那么f f(x x)是不是周期函数是不是周期函数?为什么为什么?若是若是,周周期是多少期是多少?例例6.6.定义在实数集上的函数定义在实数集上的函数f(x)f(x)，对一切实数，对一切实数x x都有都有f f(x x1)1)f f(2(2x x)成立，若成立，若f f(x x)0 0仅有仅有101101个不同个不同的实数根，那么所有实数根的和为的实数根，
7、那么所有实数根的和为()()A.150A.150 B.B.C.152 D.C.152 D.23052303解：由已知，函数解：由已知，函数f f(x x)的图象有对称轴的图象有对称轴x x于是这于是这101101个根的分布也关于该对称轴对称个根的分布也关于该对称轴对称.即有一个根就是，其余即有一个根就是，其余100100个根可分为个根可分为5050对，对，每一对的两根关于每一对的两根关于x x对称对称利用中点坐标公式，这利用中点坐标公式，这100100个根的和等于个根的和等于 1001001501502323二二.函数的单调性函数的单调性xxy 1),0 210 xx 00122121 xxx
8、xxx11)(212112 xxxxxx22112111)()(xxxxxfxf 111)(211212xxxxxx111112121122 xxxxxxxx1111212 xxxx01111212 xxxxxxxf 1)(1 xxxxxxy 111xx 1xxy 11 ,0例例8 填空填空（1）函数）函数 的递增区间是的递增区间是_（2）函数）函数 递减区间是递减区间是_ 142 xxy)34(log2 xxya在在y轴左侧，增减的转折点是轴左侧，增减的转折点是x=2，且先减，且先减后增，故后增，故-2,0 是递增区间；是递增区间；在在y轴右侧，增减的转折点是轴右侧，增减的转折点是x=2，且
9、先减后，且先减后增，故增，故2,+)是递增区间是递增区间 654321-1-2-3-4-5-6-7-6-4-224（2）解：令）解：令x2+4x3 0，则则 1x3令令 t=x2+4x3=(x2)2+1 在在 上递增，上递增，2,1在在 上上 递减递减 3,2故故a1时，时，y=loga(x2+4x3)的的减区间是减区间是 ；3,20a1时，减区间是时，减区间是 2,1 1,0,1 1,0 ,1 1,1,1,0例例12.已知已知(3xy)2001x20014xy0，求求4xy的值的值.解：构造函数解：构造函数f(x)x2001x，则，则 f(3xy)f(x)0注意到注意到f(x)是奇函数且为是
10、奇函数且为R上的增函数，上的增函数，所以所以 3xyx 4xy0例例13解方程：解方程：ln(x)ln(2x)3x01x2 1x42 解：构造函数解：构造函数f(x)ln(x)x则由已知得：则由已知得：f(x)f(2x)0不难知，不难知，f(x)为奇函数，且在为奇函数，且在R上是增函数上是增函数(证明略证明略)所以所以f(x)f(2x)f(2x)由函数的单调性，得由函数的单调性，得x2x所以原方程的解为所以原方程的解为x01x2 1)1(2004)1(1)1(2004)1(33yyxx练习.1.设x,y是实数，且满足，求x+y的值；，已知Rayx,4,4,.20cossin402sin 33a
11、yyyaxx且求cos(x+2y)3.解方程解方程x+log2(2x-31)=5(2)解方程:(x8)2001x20012x80(3)解方程：2)1(222221)1(1142xxxxx(2)解：原方程化为(x8)2001(x8)x2001x0 即(x8)2001(x8)(x)2001(x)构造函数f(x)x2001x原方程等价于f(x8)f(x)而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数于是有x8xx4为原方程的解(3)两边取以2为底的对数得xxxxfxxxxxxxxxxxxxxxxx)1(log)()1()1)1(1(log2)142(log12)1)1(1(log)142(log)
12、1(1)1(1142log2222222222222222222222构造函数即即于是f(2x)f(x21)易证：f(x)是奇函数，且是R上的增函数，所以：2xx21,解得：x14.解方程：03)214ln()1ln(22xxxxx解：构造函数xxxxf)1ln()(2则由已知得：f(x)f(2x)0不难知，f(x)为奇函数，且在R上是增函数(证明略)所以f(x)f(2x)f(2x),由函数的单调性，得x2x所以原方程的解为x0三.函数的周期性 函数的周期性如果函数yf(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(xT)f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周
13、期.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(kN)也是f(x)的周期.例1 已知函数f(x)，对任意实数x，有下面四个关系式成立：（1）f(x)=f(x+a)（a为非零常数）；（2）f(x)=f(ax)（a为非零常数）；（3）f(ax)=f(bx)（a,b为常数且a2+b20）【例题讲解】（4）f(ax)=f(bx)(a,b为常数且a2+b20）其中使f(x)是周期函数的关系式是_ 【解】考查（1），f(x)=f(x+a)说明“两个自变数相差a，则函数值互为相反数”，于是相差2a时，函数值相等：f(x)=f(x+a)=f(x+2a)等式（1）使f(x)是周期函数，且2a是周期；考查（2
14、），f(x)=f(ax)表明函数f(x)的图像关于直线 对称，这不一定能使其为周期函数；考查（3），f(ax)=f(bx)表明自变数相差ab时，函数值相等，即 f(x)=f(ab+x)等式（3）使f(x)是周期函数，且ab是周期 2ax 考查（4），f(ax)=f(bx)表明自变数相差ab时，函数值互为相反数，于是相差2（ab）时，函数值相等故（4）同（1），能使 f(x)为周期函数，且 2（ab）是周期 综上所述，应填（1），（3），（4）例2 f(x)是R上的以2为周期的周期函数，又是奇函数，且x(0，1)时，则f(x)在（1，2）上 （A）是增函数，且f(x)0 （B）是减函数，且f(x
15、)0 （C）是增函数，且f(x)0 （D）是减函数，且f(x)0 xxf 11log)(2 【讲解】认识f(x)在（1，2）上的性质，可以把f(x)在（1，2）上的解析式求出来，或者由f(x)的性质去推断：f(x)的周期是2 f(x)在（1，2）和（1，0）的性质一致，f(x)是奇函数，f(x)在（1，0）和（0，1）上的增减性相同，但符号相反 因此，函数 f(x)在（0,1）上与（1，2）上的增减性相同，而符号相反【解法1】0 x0 x 111 x011log2 x在（0，1）上，1x是减函数，是增函数 x 11是增函数，x 11log2于是，f(x)在（1，2）上是增函数，且f(x)0故选
16、（C）【解法2】设x(1，2)则1x20 且 f(x)=f(x2)，1x20,02x1 11log)2(11log)2(22 xxxf于是，f(x)是奇函数，f(2x)f(x2)，)1(log11log)(22 xxxf可见，f(x)在（1，2）上是增函数，且f(x)0故选（C）例3.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm)f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.证明：因为f(xm)f(x)所以，f(x2m)f(xm)m f(xm)f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数.例4.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm)f(xm),求证:2m是f(x)的一个周期.证明：因为f(xm
17、)f(xm)令xmt，则xmt2m于是f(t2m)f(t)对于tR恒成立，所以f(x)是以2m为周期的周期函数.例5.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm)x(f1)x(f1,求证:2m是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x2m)f(xm)m 1()11()1()1()1()11()f xf xmf xf xf xmf x f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数.例6.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm),求证:4m是f(x)的一个周期.)x(f1)x(f11()11()11()1()1()()11()f xf xmf xf xf xmf xf x )m2x(f1证明：由
18、已知f(x2m)f(xm)m 于是f(x4m)f(x)所以f(x)是以4m为周期的周期函数.例7.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx),求证:2|ab|是f(x)的一个周期.(ab)证明：不妨设ab于是f(x2(ab)f(a(xa2b)f(a(xa2b)f(2bx)f(b(xb)f(b(xb)f(x)2(ab)是f(x)的一个周期当ab时同理可得所以，2|ab|是f(x)的周期例8.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004，求f(2004)解：因为f(x)f(x1)f(x1)所以f(x1)f(x)
19、f(x2)两式相加得0f(x1)f(x2)即：f(x3)f(x)f(x6)f(x)f(x)是以6为周期的周期函数20046334 f(2004)f(0)2004 例9 f(x)是R上的奇函数，且对任何实数x，总有f(x+2)f(x)，且x0，1时，f(x)x，则f(x)在R上的解析式为 【解】f(x+2)f(x)，f(x+4)f(x+2)f(x)，f(x)是周期函数，4是周期 f(x)f(x)f(x+2)f(x)，f(x)的图像关于x1对称，由上述这些性质，及x0，1时，y=x，得知f(x)的图像如下：其中斜率为1的线段过点（4m，0），其中斜率为1的线段过点（4m+2，0）故解析式为 )Z(
20、,34 14),24()Z(14 14,4)(mmmxmxmmmxmxxf，例10.已知对于任意a，bR，有f(ab)f(ab)2f(a)f(b)，且f(x)0求证：f(x)是偶函数；若存在正整数m使得f(m)0，求满足f(xT)f(x)的一个T值(T0)证明：令ab0得，f(0)1(f(0)0舍去)又令a0，得f(b)f(b)，即f(x)f(x)所以，f(x)为偶函数令axm，bm得f(x2m)f(x)2f(xm)f(m)0所以f(x2m)f(x)于是f(x4m)f(x2m)2m=f(x2m)f(x)即T4m(周期函数)例11.数列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN)求a100
21、；求S100.解：由已知a1a，a2b，所以a3ba，a4a，a5b，a6ab，a7a，a8b，由此可知，an是以6为周期的周期数列，于是a100a6164a4a又注意到a1a2a3a4a5a60 S100a1a2a3a96a97a98a99a100 0a97a98a99a100 a1a2a3a4 ab(ba)(a)例12.对每一个实数对x,y,函数f(t)满足f(xy)f(x)f(y)xy1,若f(2)=2,试求满足f(a)a的所有整数a.解：令xy0，得f(0)1再令xy1，得f(2)2f(1)2，又f(2)2所以f(1)2又令x1，y1，可得f1令xy1得f2f114令y1，得f(x1)
22、f(x)x2即f(x1)f(x)x2 当x取任意正整数时，f(x1)f(x)0又f10所以f(x)0于是f(x1)f(x)x2x1即对任意大于1的正整数t，f(t)t在中，令x3，得f(3)1，进一步可得f(4)1注意到f(x)f(x1)(x2)所以当x4时，f(x)f(x1)0即f(x)f(x1)f(x2)f(4)1所以x4时，f(x)x综上所述，满足f(a)a的整数只有a1或a2例13.设f(x)是一个从实数集R到R的一个映射,对于任意的实数x,都有|f(x)|1,并且 f(x)+)71x(f)61x(f)4213x(f求证:f(x)是周期函数.1376()()()424242f xf x
23、f x)426x(f)4213x(f)x(f)427x(f证明：由已知f(x)+所以19124942()().()()42424242f xf xf xf x42497()()()()424242f xf xf xf x即（1）714943()()()()42424242f xf xf xf x同理可得)421x(f)4243x(f)427x(f)4249x(f4249712 ()()()()424242f xf xf xf x由（）（）可得431442()()()()424242428442.()()4242f xf xf xf xf xf x (2)于是f(x1)f(x)f(x2)f(x1
24、)，记这个差为d同理f(x3)f(x2)f(x2)f(x1)d f(xn1)f(xn)f(xn)f(xn1)f(x1)f(x)d即是说数列f(xn)是一个以f(x)为首项，d为公差的等差数列因此f(xn)f(x)ndf(x)nf(x1)f(x)对所有的自然数n成立，而对于xR，|f(x)|1，即f(x)有界，故只有f(x1)f(x)0即f(x1)f(x)xR所以f(x)是周期为1的周期函数.例14 设 f(x)的定义域为R，其图像关于直线 x2 和 x0对称，且x4，6时，f(x)2 x+1，那么在区间2，0上，f 1(x)的解析式为 （A）ylog2(x4)（B）y4log2(x1)（C）y
25、4+log2(x1)（D）ylog2(x1)【分析】如何用好x2，x0是图像对称轴这个条件，并把两者综合而得新的性质？这就要想到：yf(x)图像关于xa对称 xR时有f(x)f(2ax)【解】yf(x)的图像关于x0对称，f(x)f(x)，yf(x)的图像关于x2对称，f(x)f(4+x)于是有f(x)f(4+x)f(x)是周期为4的函数，当2x0时，0 x2且x+44，6 yf(x)的图像关于x0对称，f(x)f(x)周期为4，f(x)f(x+4)2x+4+1 即在 2，0上，yf(x)2x+4+1 2x+4y1 x+4log2(y1)x4log2(y1)2，0 上，f(x)4log2(x1
26、)应选（B）1.数列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN)求a100；求S100.解：由已知a1a，a2b，所以a3ba，a4a，a5b，a6ab，a7a，a8b，由此可知，an是以6为周期的周期数列，于是a100a6164a4a又注意到a1a2a3a4a5a60 S100a1a2a3a96a97a98a99a100 0a97a98a99a100 a1a2a3a4 ab(ba)(a)2ba2.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004，求f(2004)解：因为f(x)f(x1)f(x1)所以f(x1)f(x)f(x2)两式相加
27、得0f(x1)f(x2)即：f(x3)f(x)f(x6)f(x)练习.1.数列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN)求a100；求S100.2.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1),f(0)2004，求f(2004)3.函数f(x)是定义域为R且以2为周期的周期函数，当x0,2时，f(x)=|x-1|；当x2k,2k+2(kZ)时，求f(x)的解析式，并证明f(x)是偶函数。例15 已知 ，函数g(x)的图像与函数yf 1(x+1)的图像关于直线 yx 对称，则 g(5)xxxf 121)(【分析】很明显，g(x)是f 1(x+1)的反函
28、数只要求出f 1(x+1)的反函数解析式，就得到g(x)，不难得到g(5)f 1(x+1)的反函数不是f(x+1)，为什么？看了下面的解法，应当能回答出来【解法1】yf 1(x+1)f(y)f f 1(x+1)x+1 xf(y)1 yf 1(x+1)的反函数是yf(x)1即 g(x)f(x)1 251)5()5(fg 【解法2】yf(x)和f 1(x)的图像关于xy对称，当f 1(x)沿x轴负方向平移1个单位时，“镜子”yx另一侧的“像”f(x)沿y轴负方向平移1个单位，于是 f 1(x+1)和f(x)1互为反函数 即g(x)f(x)1，下略 132)(xxxf232527练习1已知函数 ，函
29、数y=g(x)的图像与y=f-1(x+1)的图像关于直线y=x对称，则g(11)的值为：A B1 C D 2已知定义在R上的函数f(x)的反函数为f-1(x)，且函数y=f(x+1)的反函数为y=f-1(x+1)。若f(1)=3999求f(2000)3.对于任意的 ,函数f(x)表示 x2-4x+3中的较大者,则求函数f(x)的解析式及f(x)的最小值.(f(x)min=2)Rx,2123,3xx五、一元二次函数 例15 如果 是函数 y(m1)x2(m2+m2)x1递增区间的子集，那么m 的取值范围是_1 (，【解】依题意 1)1(22012mmmm解之，得4m1 例16 在测量某物理量的过
30、程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，an，共n个数据我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小依此规定，从 a1，a2，an 推出的a=_ 【讲解】用谁做为这个物理量的近似值效果最佳？依题意，这个最佳近似值a，应当使函数y(xa1)2+(xa2)2+(xan)2取最小值 【解】设x是该物理量的一个近似值，建立函数 x)aaa(nxyn 212222221)()()(naxaxaxy 22221naaa 即naaaxn2)(221 naaan 21naaaan 21 2 ,mxmxfsin2)(34212 mm21 12
31、,2min mymmaxy2mt 12 m14212222 mmmtty 0 12，m 0 12，m114)2(2min mmmfy33221)1(2max mmfy22 kx 1 02，m 1 02，m114)2(2min mmmfy33621)1(2max mmfy22 kx)1(2 ，m)1(2 ，m13221)1(22min mmmfy222 m3621)1(2max mmfy3)222(6)222(212 21621 22 kx22 k22 k21621 0 2，22 k21 M21 M2121212121212121121 ba2121 b21121 ba2123 b21 M21
32、M21 M21|)0(|bf2121 b 2112121121baba2123 b21 b21 b 1001aa21 M21)(2 xxf）（axaxf 3lg)(xalog21 0 (，104121logaaxalog21 0 (，xalog21 0 (，4121 0 (，21loga21 0 (，xalog21 log41a 21 log41a 4121a 1161 a例3.化简(1)(2)(3)accbbacbbaacbaaccbxxx)5lg2lg()21()log2(lg11221cbaccbacbbacbaaxxx111)()()(略解：(1)x的指数是0,所以原式=1(2)x的指
33、数是=0所以原式=1(3)原式=21212lg2121)2(lg2lg5lg2121)2(lg)5lg2lg()21()log2(lg11221 例4.若，求aaaxfxx)(10001)1001(iif解：因为所以f(x)+f(1-x)=1)1(1111)(11xfaaaaaaaaaaaaaaaaaaxfxxxxxxxx500100021)10011()1001(21)1001(10001ifififi解：令121995=a0则所以的大小与试比较例112112112112.5199619951995199411224121214512)1(12)112)(12(111211121121121
34、121122221996199519951994aaaaaaaaaaa1121121121121996199519951994例6.已知函数f(x)=logax(a0,a1,xR+)若x1,x2R+,试比较 与的大小)()(2121xfxf)2(21xxf例7.已知y1=，y2=当x为何值时(1)y1=y2(2)y1y2(3)y1y213223 xx5223 xx例8.对于自然数a,b,c(abc)和实数x,y,z,w若(1)ax=by=cz=70w (2)求证：a+b=cmzyx1111例例9.9.已知已知A=6lgA=6lgp p+lg+lgq q，其中，其中p p,q q为素数，为素数，
35、且满足且满足q q-p p=29=29，求证：，求证：3A43A4证明：由于证明：由于p p、q q为素数，其差为素数，其差q q-p p=29=29为为奇数，奇数，p p=2,=2,q q=31=31A=6lg2+lg31=lg(64A=6lg2+lg31=lg(6431)=lg198431)=lg198410001984100001000198410000故故3A43A0,a1)且(为锐角)，求证：1a1又f(15)=sin+cos故a15 综合得：1a150sin518loga)625()518()625518(fff1cossin21)cos(sin2证：因为0a0,ay0由平均值不等
36、式故例11.已知0a00且且a a1,1,求证：方程求证：方程a ax x+a a-x x=2=2a a的根不的根不在区间在区间-1,1-1,1内内解：设解：设t=ax,则原方程化为：则原方程化为：t2-2at+1=0(1)由由=4a2-40得得a21,即即a1令令f(t)=t2-2at+1,f(a)=a2-2a2+1=1-a20下略01112)1()1(222aaaaaaf例例16.16.解方程：lg2x-lgx-2=0(其中x表示不大于实数x的最大整数)解：由x的定义知，xx，故原方程可变为不等式：lg2x-lgx-20即-1lgx2当-1lgx0时，lgx=-1，于是原方程为lg2x=1
37、 101,1lgxx当0lgx1时，lgx=0，原方程为lg2x=2，均不符合lgx=02lgx当1lgx0且a1，设u=x2+ax+5，原不等式可化为例18.当a为何值时，不等式有且只有一解03log)6(log5log2521aaaxxaxx0log1)1(loglog)1(log3533auau因为f(4)=log3(2+1)log5(4+1)=1所以(1)等价于u4,即x2+ax+54此不等式有无穷多解(1)当0a0时，均为单调增函数，所以它们的乘积也是单增函数)1(log)1(log)(53uuuf)1(log)1(log53uu与由f(4)=1知，(2)等价于0u4，即0 x2+a
38、x+54从上式可知，只有当x2+ax+5=4有唯一解即=a2-4=0，a=2时，不等式0 x2+ax+54有唯一解x=-1综上所述，当a=2时原不等式有且只有一个解(2)当a1时，不等式化为(2)1)1(log)1(log53uu例19.已知a0且a1，试求使方程有解的k的取值范围)(log)(log22axakxaa解：原方程即即22log)(logaxakxaa220axakx又当k=0时，代入原式可推出a=0与已知矛盾，故k的取值范围为(-,-1)U(0,1)ax分别解关于的不等式、方程得：(k0时）kkaxk212所以解得k-1或0k0得，x0,所以函数的定义域为(-,0)令3x=t,
39、则t(0,1)，于是故当x=-1时，得y的最小值-2+2log23)313(log)31(log221xxy3log2294log94)31(log)31)(1(log)31(log)1(log)31(log)1(log2222222221tttttttyxxy 1xx 12)1(xxy xx 22141)21(212 xxx 221xxy 1241xxxx 121)1(221 xx21 xxx xx 11xx 11xxy 12tx 21tty 018422 ）（yy0 y0212 y21 y2 y21 x2 ,1,10 x1)1()(22 xx sin x20 cos12 x)4sin(2c
40、ossin y 4344 1)4sin(22 2)4sin(21 2xbxy2 0 (a，0 (a，0 (b，2bx bby225 0 (b，)()()(222axxabaxabaxbx )()(2axbaxax abaxbx22 aba2 0)(21221 xxbxx 0 (a，abay2min 0 (a，byx 2 0 (a，aba2 abay2min xabxaxy222 axax22 xab22 0 (a，abay2min xbxy2 bxbbxx2222 bxbx2)(2 ax11 aabxxb22)()(ababaaby222)(abay2min xbxxbxy222 )(12bxbxb bx1tan babx 40 )21(2)arctan2sin(22sin222 bababbabby abay2 baarctan abay2min
