1、第第5节椭圆节椭圆考试要求1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知 识 梳 理1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做_.这两定点叫做椭圆的_，两焦点间的距离叫做椭圆的_.其数学表达式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若_，则集合P为椭圆；(2)若_，则集合P为线段；(3)若_，则集合P为空集.椭圆焦点焦距acacac2.椭圆的标准方程和几何性质2a2b2c(0，1)a2b2微点提醒基 础 自 测1.判
2、断下列结论正误(在括号内打“”或“”)解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.答案(1)(2)(3)(4)2.(选修21P49T1改编)若F1(3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是_.解析设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F1(1，0)，F2(1，0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y1，A.(3，0)B.(0，3)C.(9，0)D.(0，9)解析根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2a2b225169，c3
3、，故焦点坐标为(0，3).答案B答案CA.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等答案D第第1课时椭圆及简单几何性质课时椭圆及简单几何性质考点一椭圆的定义及其应用【例1】(1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆A.24 B.12 C.8 D.6解析(1)连接QA.由已知得|QA|QP|.所以|QO|QA|QO|QP|OP|r.又因为点A在圆内，所以|OA|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.|PF1
4、|6，|PF2|8，PF1F2的重心为点G，SPF1F23SGPF1，GPF1的面积为8.答案(1)A(2)C规律方法(1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.答案(1)C(2)5考点二椭圆的标准方程【例2】(1)已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()解析(1)设圆M的半径为r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2
5、为焦点的椭圆，且2a16，2c8，椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，与ab矛盾，故舍去.法二设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn).椭圆过(2，0)和(0，1)两点，规律方法根据条件求椭圆方程的主要方法有：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.(2)(2018榆林模拟)已知F1(1，0)，F2(1，0)是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|A
6、B|3，则C的方程为()解析(1)椭圆长轴长为6，即2a6，得a3，两焦点恰好将长轴三等分，因此，b2a2c2918，答案(1)B(2)C考点三椭圆的几何性质多维探究角度1椭圆的长轴、短轴、焦距答案A角度2椭圆的离心率解析由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|2c，PF1F2为等腰三角形，且F1F2P120，|PF2|F1F2|2c.答案D角度3与椭圆性质有关的最值或范围问题0m3且m1，则0m1.综上，m的取值范围是(0，19，).答案A规律方法1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a
7、2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系.【训练3】(1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()答案(1)D(2)A思维升华1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2ny21(m0，n0且mn)易错防范1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小.2.在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，axa，byb，0e1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.
