1、五、六章五、六章简答题简答题1.写出在惯量主轴坐标系中，刚体对定点的惯量张量、写出在惯量主轴坐标系中，刚体对定点的惯量张量、动量矩以及动能的表达式。动量矩以及动能的表达式。2.写出刚体对定点写出刚体对定点O的转动惯量的一般表达式，以及的转动惯量的一般表达式，以及 各元素的名称。写出在惯量主轴坐标系中的转动惯各元素的名称。写出在惯量主轴坐标系中的转动惯 量表达式，并说明各元素的物理意义。量表达式，并说明各元素的物理意义。3.作平面平行运动的刚体对瞬心轴的角动量定理是否作平面平行运动的刚体对瞬心轴的角动量定理是否 成立？为什么？成立？为什么？4.在求解刚体的定点转动问题时在求解刚体的定点转动问题时
2、,为什么常采用固联于为什么常采用固联于刚体的惯量主轴坐标系刚体的惯量主轴坐标系?1、写出在惯量主轴坐标系中，刚体对定点的、写出在惯量主轴坐标系中，刚体对定点的惯量张量、动量矩以及动能的表达式。惯量张量、动量矩以及动能的表达式。答：惯量主轴坐标系中，刚体对定点的惯量张量为zyxJJJJ000000 kJjJiJLzzyyxx)(21222zzyyxxJJJT惯量主轴坐标系中，刚体对定点的动量惯量主轴坐标系中，刚体对定点的动量矩为矩为 惯量主轴坐标系中，刚体对定点的动能惯量主轴坐标系中，刚体对定点的动能表达式为表达式为2、写出刚体对定点、写出刚体对定点O的转动惯量的一般表达式，的转动惯量的一般表达
3、式，以及各元素的名称。写出在惯量主轴坐标系中以及各元素的名称。写出在惯量主轴坐标系中的转动惯量表达式，并说明各元素的物理意义。的转动惯量表达式，并说明各元素的物理意义。答：答：xyzxyzzzyyxxJJJJJJJ222222Jxx、Jyy、Jzz表示在以表示在以O点为原点的直角坐标系中，点为原点的直角坐标系中，刚体对刚体对x轴、轴、y轴和轴和z轴的转动惯量；轴的转动惯量；Jxy、Jyz、Jzx表示在以表示在以O点为原点的直角坐标系中，点为原点的直角坐标系中，刚体对刚体对x轴、轴、y轴和轴和z轴的惯量积；轴的惯量积；xxxJJyyyJJzzzJJ、和和分别表示瞬时轴对分别表示瞬时轴对x轴、轴、
4、y轴和轴和z轴的方向轴的方向余弦；余弦；如果如果x轴、轴、y轴和轴和z轴为惯量主轴，则轴为惯量主轴，则JxyJyzJzx0，1 ，Jxx、Jyy、Jzz表示在以表示在以O点为原点的直角坐标系中，点为原点的直角坐标系中，刚体对刚体对x轴、轴、y轴和轴和z轴的转动惯量。轴的转动惯量。3.作平面平行运动的刚体对瞬心轴的角动量定理是否作平面平行运动的刚体对瞬心轴的角动量定理是否 成立？为什么？成立？为什么？)()()(22iiiiiieiiirmrdtdmFFdtrdm)()dtrdmr(1)(1)(1iiiniiiiiiniiiiniieiniirmrdtdmrFrFrdtddtLd答：不成立。因为
5、：建立瞬心坐标系 等式右边第2项为零，即0)(1iiniiFr（内力与相对位矢在同一直线上）但第但第3项（惯性力矩）不为零，故项（惯性力矩）不为零，故对瞬心来说，dtLdM O1r2r1221f12fr4.在求解刚体的定点转动问题时在求解刚体的定点转动问题时,为什么常采用固联为什么常采用固联于刚体的惯量主轴坐标系于刚体的惯量主轴坐标系?zzyyxxJJJJ000000kJjJiJJLzzyyxx答：这样选取的坐标系，必然是与刚体关联着转动的活动坐标系，在此坐标系中刚体的惯量矩阵是对角化的，且不随时间变化：角动量为：iiiirx iy jz kiiiiijk)(2iiiiirrrmLiiiiii
6、ziiiyiiixziiiiiiziiiyiiixyiiiiiiziiiyiiixxyxmyzmxzmLzymxzmzymLzxmyxmzymL)()()(222222)(iiiirrmLiiiizziiiiyyiiiixxdmyxyxmJdmxzxzmJdmzyzymJ)()()()()()(222222222222iiiiiiziiiyiiixziiiiiiziiiyiiixyiiiiiiziiiyiiixxyxmyzmxzmLzymxzmzymLzxmyxmzymL)()()(222222iiiiyxxyiiiixzzxiiiizyyzxydmyxmJJzxdmxzmJJyzdmzymJ
7、JkJJJjJJJiJJJLzzzyzyxzxzyzyyyxyxzxzyxyxxx)()()(JJzzJJJJJJJJLzyxzyzxyzyyyxxzxyxxJzzJJJJJJJJJzyzxyzyyyxxzxyxx二、刚体的转动动能二、刚体的转动动能221ttvmTmrJrmJjjjd22,物理物理意义意义：转动惯性的量度：转动惯性的量度.转动惯量的大小取决于刚体的转动惯量的大小取决于刚体的质量质量、形状形状及转轴的位置及转轴的位置.注意注意).(21tttvrmL.21).(21tttrvm刚体对通过空间一点刚体对通过空间一点O的任意轴的转动惯量的任意轴的转动惯量JJJJJJJJJJeJeJ
8、eLeLzzzyzxyzyyyxxzxyxxlllll)()(设瞬轴的方向余弦为设瞬轴的方向余弦为(,)xyzxyzzzyyxxzzzyzxyzyyyxxzxyxxllJJJJJJJJJJJJJJJeJeJ222)()(222可见可见：要计算对某轴的转动惯量：要计算对某轴的转动惯量J，算出惯量系数，把，算出惯量系数，把该轴的方向余弦代入公式即可。该轴的方向余弦代入公式即可。注意：注意：选刚体坐标系，惯量系数为常数，选刚体坐标系，惯量系数为常数，是对是对x,y,z的方向余弦的方向余弦2 212212121212iiiCniiiCkvmmvrmrmE质点组动能质点组动能柯尼希定理柯尼希定理1、刚体
9、绕固定点转动时动能表示：、刚体绕固定点转动时动能表示：XYZOC当刚体绕固定点当刚体绕固定点O转动时，任意位置转动时，任意位置r处处质点的速度为：质点的速度为：rv则则)()(2vrvrv故刚体绕固定点故刚体绕固定点O转动的动能为转动的动能为)(21vrmTOvmr21L21J21221JeJeJC刚体对通过质心的瞬时转轴的转刚体对通过质心的瞬时转轴的转动惯量动惯量eJeJC注意注意若转轴方向不变，就是刚体绕轴的转动惯量若转轴方向不变，就是刚体绕轴的转动惯量若所选的坐标轴是对于若所选的坐标轴是对于O点的惯量主轴，则转动动点的惯量主轴，则转动动 能为：能为：)(21222zzyyxxOJJJT2
10、、刚体作一般运动时的动能表示：、刚体作一般运动时的动能表示：CCJmvT21212讨讨 论论（1）平动平动222121mvmvTC（2）定轴转动定轴转动22212121JJLTzzz其中其中dmyxJJzz)(22（3）平面平行运动平面平行运动222121CCJmvT据解析几何理论，适当选取坐标轴方向（旋转）可使据解析几何理论，适当选取坐标轴方向（旋转）可使方程中的交叉项消失，该旋转后的坐标轴为惯量主轴，方程中的交叉项消失，该旋转后的坐标轴为惯量主轴，对该惯量主轴的转动惯量对该惯量主轴的转动惯量Jxx，Jyy，Jzz称为主转动惯量。称为主转动惯量。选惯量主轴为坐标轴：选惯量主轴为坐标轴：Jzz
11、JJJyyxx000000kJJJjJJJiJJJLzzzyzyxzxzyzyyyxyxzxzyxyxxx)()()(确定惯量主轴的方法：确定惯量主轴的方法：1)1)解析法：椭球与主轴交点位矢与该点法线方向一致解析法：椭球与主轴交点位矢与该点法线方向一致2)2)几何法：适用于几何对称，分布均匀刚体几何法：适用于几何对称，分布均匀刚体若若必有必有则则xziiiJzxm0yziiiJzym0如如xoyxoy平面，若平面，若必有必有xziiiJzxm0yziiiJzym0AvA 速度瞬心速度瞬心可在平面图形内可在平面图形内,也可在平面图形外也可在平面图形外.且且它的位置不是固定不变它的位置不是固定不
12、变,而是随着时间变化的而是随着时间变化的.(2)速度瞬心的确定速度瞬心的确定C(a)当平面图形沿某一固定面作无滑动的滚动时当平面图形沿某一固定面作无滑动的滚动时,图形上与固定面的接触点图形上与固定面的接触点C即为该图形的瞬心即为该图形的瞬心.vAAC(b)已知在某瞬时图形已知在某瞬时图形上任意两点上任意两点A和和B速度的速度的方位且它们互不平行方位且它们互不平行.则则通过两点通过两点A和和B分别作速分别作速度度vA 和和 vB 的垂线其交点的垂线其交点C即为瞬心即为瞬心.COAB(c)已知在某瞬时图形上已知在某瞬时图形上A和和B两点的速度互相平两点的速度互相平行行,且垂直于且垂直于A B的连线
13、的连线,但速度大小不等但速度大小不等.则此时则此时AB直线与两速度矢量直线与两速度矢量 vA和和 vB 的终端连线的交点的终端连线的交点C 即为瞬心即为瞬心.ABvAvBCvBvAABC(d)已知在某瞬时图形上已知在某瞬时图形上A 和和 B两点的速度的方位互两点的速度的方位互相平行相平行,但不垂直于但不垂直于A B的的连线连线.此时瞬心在无穷远处此时瞬心在无穷远处.OBA这种情况称为这种情况称为瞬时平动瞬时平动.例例3 如图如图,一半径为一半径为R的乒乓球与水平面摩擦系数为的乒乓球与水平面摩擦系数为.开始时开始时,用用手按球的上左侧手按球的上左侧,使球质心以使球质心以vC0向右运动向右运动,并
14、具有逆时针方向的初并具有逆时针方向的初始角速度始角速度 0,设设vC00,乒乓球一边滑动乒乓球一边滑动,一边倒着转动一边倒着转动.它在水平面方向受滑动摩它在水平面方向受滑动摩擦力擦力-mg的作用的作用,按照质心运动定理按照质心运动定理,有有(a)0gtvvvmmamgCCCC利用利用(a)和和(b)来分析乒乓球的运动来分析乒乓球的运动(b)/230232RgtmRImgRCvC0 0t=0fPPvCt=t1对质心的摩擦擦力矩对质心的摩擦擦力矩-mgR,对质心的转动方程为对质心的转动方程为(1)当当t=t1=vC0/(g),vC=0,=0 3vC0/(2R),据条件据条件vC0 0,质心停止运动
15、质心停止运动,绕质心的旋转方向没有变绕质心的旋转方向没有变.当当t t1,vC 0,质心开始倒退质心开始倒退,但接触点但接触点P的速度的速度vP=vC+R 0,滑动摩擦力方向向左滑动摩擦力方向向左,驱使驱使质心加速倒退质心加速倒退,力矩继续减缓转动力矩继续减缓转动,直到接触点直到接触点P的速度为零的速度为零.(2)vP为零的时刻为零的时刻t2满足满足gvRtgtvtRgRCC00202052,023自自时刻时刻t2以后以后,乒乓球向后作无滑动滚动乒乓球向后作无滑动滚动,如不考虑滚动摩擦如不考虑滚动摩擦,质心速度和角速度恒定质心速度和角速度恒定RvRvvRgtvvCCCCC00002023522
16、352例例1 当飞机在空中以定值速度当飞机在空中以定值速度V沿半径为沿半径为R的水平圆形轨的水平圆形轨道道C转弯时转弯时,当螺旋浆尖端当螺旋浆尖端B与中心与中心A的联线和铅垂线成的联线和铅垂线成 角时角时,求求B点的速度及加速度点的速度及加速度.已知螺旋桨的长度已知螺旋桨的长度AB=l,螺螺旋桨自身旋转的角速度为旋桨自身旋转的角速度为 1.kRVj1解：解：取螺旋桨的中心取螺旋桨的中心A为动为动坐标系原点坐标系原点,其单位矢量如其单位矢量如图图,则当飞机转弯时则当飞机转弯时,整个整个飞机绕飞机绕 k 转动的角速度为转动的角速度为 0=V/R,故螺旋浆的合成故螺旋浆的合成角速度为角速度为又当飞机
17、转弯时，又当飞机转弯时，A描绘一半径为描绘一半径为R的水平圆周的水平圆周,故故A的的速度为速度为V,方向沿圆周的切线方向沿圆周的切线,即即j的方向的方向.取取A为基点为基点,则则螺旋桨尖端螺旋桨尖端B的速度为的速度为kljRlVilklilkRVjjVrjVvsinsin1coscossin111现在求现在求B点的加速度点的加速度.因因A点加速度为点加速度为-V2/Ri.而而tkRVtjtdddddd1因因k为恒矢量为恒矢量,故故tjtdddd1但但iRVjkRVjtj0dd故故iRVtjt11dddd所以所以,B点的加速度为点的加速度为kljRVlilkRVjkliliRViRVrrtaaA
18、sinsincos cossin dd11112 coscos2sinsin21122212kljRlViRlVlRVa6-3.6-3.虚位移与虚功虚位移与虚功(1)(1)虚位移虚位移 质点或质点系在给定瞬间质点或质点系在给定瞬间,为约束所容许的任何微为约束所容许的任何微小的位移小的位移,称为质点或质点系的虚位移称为质点或质点系的虚位移.记为记为 r.虚位移虚位移只是一个几何概念只是一个几何概念,它完全由它完全由约束的性质约束的性质及及其其限制的条件限制的条件所决定所决定.它只是它只是约束所容许约束所容许的可能发生的可能发生而实际不一定发生的位移而实际不一定发生的位移,它与作用力无关它与作用力
19、无关,与时间无与时间无关关.它可以有多种不同的方向它可以有多种不同的方向,它必须是微小量它必须是微小量.实位移实位移是质点或质点系在力的作用下是质点或质点系在力的作用下,在一定时间在一定时间间隔内实际发生的位移间隔内实际发生的位移.它有确定的方向它有确定的方向,它可以是微它可以是微小量小量,也可以是有限量也可以是有限量.6-4.理想约束和虚功原理理想约束和虚功原理 以以Ni表示质点系中质点表示质点系中质点Mi的约束力的合的约束力的合力力,ri表示该质点的虚位移表示该质点的虚位移,则质点系的理想则质点系的理想约束条件可表示为约束条件可表示为 Ni ri=0ni 1一、理想约束的定义一、理想约束的
20、定义 如果约束反力在质点系的任何虚位移中所如果约束反力在质点系的任何虚位移中所作元功之和等于零作元功之和等于零,则这种约束称为理想约束则这种约束称为理想约束.(1)光滑接触面光滑接触面Nr 光滑接触面的约束反力恒垂直光滑接触面的约束反力恒垂直于接触面的切面于接触面的切面,而被约束质点的而被约束质点的虚位移总是沿着切面的虚位移总是沿着切面的,即即N rNN r(2)连接两刚体的光滑铰链连接两刚体的光滑铰链 设设AB杆与杆与BC杆在杆在B点用光滑点用光滑铰链连接铰链连接.由由N=N Nr+N r=Nr-Nr=0 Nr=ABC(3)连接两质点的无重刚杆连接两质点的无重刚杆 连接两质点的刚杆由于不连接
21、两质点的刚杆由于不计自重为二力杆计自重为二力杆.设质点设质点M1和和M2的虚位移分别为的虚位移分别为 r1 与与 r2 则有则有:r1cos 1=r2cos 2 N1r1+N2r2 =N1r1 cos 1-N2r2 cos 2=0M1M2 r1 r2N1N2120Lq0dLdtq:q可遗坐标或者循环坐标:iLbq循环积分请说明质点在有心力场中的循环坐标请说明质点在有心力场中的循环坐标和循环积分情况和循环积分情况jjjqTqLPxyAMO例题例题5.铰接于光滑水平面上的直杆铰接于光滑水平面上的直杆OA受力如图所示受力如图所示.画出点画出点A的实位移和虚位移的实位移和虚位移.drdr112r2 在
22、定常的几何约束的情形下在定常的几何约束的情形下,约束的性质与约束的性质与时间无关时间无关,微小的实位移是虚位移之一微小的实位移是虚位移之一.xyAMO 具有双面具有双面,定常定常,理想约束的质点系理想约束的质点系,其平衡的必其平衡的必要和充分条件可表示为要和充分条件可表示为:在某一给定的平衡位在某一给定的平衡位置上置上,对应于各个广义坐标的广义力都等于零对应于各个广义坐标的广义力都等于零.(3)求广义力的两种方法求广义力的两种方法1)解析法解析法2)几何法几何法nijiijiijqyYqxXQ1(3)jjjqWQ(4)例题例题6.如图所示如图所示,无重杆无重杆OA和和AB以光滑铰链相连以光滑铰
23、链相连,O端为固定端为固定铰链铰链,杆长杆长OA=a,AB=b今在今在A点作用一铅垂向下的力点作用一铅垂向下的力P,在自在自由端作用一水平力由端作用一水平力F,在在AB 杆杆上作用一矩为上作用一矩为 M 的力偶的力偶.当系当系统在铅垂平面内处于平衡时统在铅垂平面内处于平衡时,求对应于广义坐标的广义力求对应于广义坐标的广义力.OAB21PFMyx解:系统有两个自由度系统有两个自由度.取取 1和和 2为广义坐标为广义坐标,且以逆且以逆时针转向为正时针转向为正.(1)解析法解析法P=P jF=F iyA=acos1xB=asin1+bsin2 sinayAcosaxBcosbxBOAB21PFMyx
24、求与广义广义虚位移1和 2相应的广义力Q1和Q2BAxFyPQ122MxFQBOAB21PFMyxcossinFaPaMFbcos(2)先令先令0,0画虚位移图画虚位移图rA1rBAB杆作平动杆作平动.rA=rB11cossinFaPaWOAB21PFMyxcossin1FaPaQ(2)几何法几何法再令再令2rB0,0画虚位移图画虚位移图AB杆绕杆绕A转动转动.MFbW22cosMFbQcos2OAB21PFMyx例题例题7.图示小车以匀加速图示小车以匀加速度度a 沿水平直线运动沿水平直线运动.小车小车上有一质量为上有一质量为 m,长为长为l 的的单摆单摆,其转角在任一瞬时为其转角在任一瞬时为
25、,当当 =0时时,=0.求在任求在任一瞬时杆一瞬时杆OM的拉力的拉力.xyoxyoMaxyoxyoMa解解:取取M为研究对象进行为研究对象进行运动分析运动分析.把静系把静系oxy固结在地面上固结在地面上,动系动系o x y 固结在小车上固结在小车上.aaaanManalana质点质点 M的相对运动是以的相对运动是以o 为圆心为圆心 l 为半径的圆弧运动为半径的圆弧运动.小车的平动为牵连运动小车的平动为牵连运动.la xyoxyoMaanaa进行受力分析并画受力图进行受力分析并画受力图.mgmanmamaT0FcossinmamgmlT(1)0nFsincosmamgml(2)dtd dddtd
26、dtddddddd(3)dmamgdmlsincoscos1sin121agl(4)把把(4)式代入式代入(1)式得式得:cos32sin3agmT把把(3)式代入式代入(2)式得式得:0sincosdmamgdml积分并化简得积分并化简得:例题例题8.滑轮组如图所示滑轮组如图所示.已知已知物块物块A,B和和C的质量分别为的质量分别为m,2m和和4m,滑轮和细绳的质量滑轮和细绳的质量不计不计.应用动力学普遍方程求应用动力学普遍方程求各物块的加速度各物块的加速度.ABCxABCx解解:(1)运动分析运动分析系统有系统有2个自由度个自由度,取取xA=x1,xB=x2为广义坐标为广义坐标.且且xC=
27、x3,xD=x4.(x1-x4)+(x2-x4)=c1 (1)x3+x4=c2 (2)由由(1)(2)式得式得:020321321xxxxxx (3)(4)(2)进行受力分析并画受力图进行受力分析并画受力图Dmg2mg4mg1xm 22 xm 34 xm(3)应用动力学普遍方程应用动力学普遍方程04422332211xxmmgxxmmgxxmmg 把把(3)(4)式代入上式并化简得式代入上式并化简得:032221121xxxmxmgxmxm 所以上式被满足时必须都是彼此独立的，和由于21xx03022121xxgxx (5)联立联立(4)(5)式得式得:gxgxgx515153321 ABCx
28、Dmg2mg4mg1xm 22 xm 34 xm 应用另一种解法应用另一种解法.由上面解法得由上面解法得020321321xxxxxx (1)(2)02020,03213221xxxxxxx 则有若(3)应用动力学普遍方程得应用动力学普遍方程得:044223322xxmmgxxmmg 代入代入(3)式得式得:0321 xx (4)ABCxDmg2mg4mg1xm 22 xm 34 xm 应用动力学普遍方程得应用动力学普遍方程得:0200,03213121xxxxxxx 则有若(5)0443311xxmmgxxmmg 代入(5)式得:0221gxx (6)联立(4)(6)式得:gxgxgx515
29、153321 ABCxDmg2mg4mg1xm 22 xm 34 xm ABCx解解:(1)运动分析运动分析 系统有系统有2个自由度个自由度,取取xA=x1,xB=x2为广义坐标为广义坐标.且且xC=x3,xD=x4.(x1-x4)+(x2-x4)=c1 (1)x3+x4=c2 (2)由由(1)(2)式得式得:D1x 2x 3x(3)(4)0202321321xxxxxx(2)建立拉格朗日函数建立拉格朗日函数23222142122121xmxmxmT32142gxmgxmmgxVABCxD1x 2x 3x 2322214221xxxm21222123221xxxxm32142xxxmgcmgx 1拉格朗日函数为拉格朗日函数为:cmgxxxxxmVTL1212221232212112xmxmxL（5）1223xmxmxL（6）mgxL102xL0221mgxmxm 联立解得：联立解得：gxgxgx515153321 (3)把把(5)(6)式代入拉格朗日方程得：式代入拉格朗日方程得：0312xmxm
