1、安徽中考数学专题复习-辅助圆解答一道数学题,往往有好多种方法,其中有简单明了的,也有转弯抹角的.如果我们能将所学的数学知识融会贯通,就能在短时间里打开思路,找到较为简洁的方法,这一点在时间宝贵的考试中尤为重要.比如一道数学题,试题表面没有涉及圆的知识,但如果我们能想到用圆的知识解答,往往就会柳暗花明,事半功倍,这就是我们说的“用圆求解,另辟蹊径”.有关这类试题,2016年和2018年安徽数学中考体现最为集中,如2016年的第10题、第14题、第23题,2018年的第14题、第23题等.类型1类型2类型3利用直角三角形外接圆解题典例1(2016安徽第10题 )如图,RtABC中,ABBC,AB=
2、6,BC=4,P是ABC内部的一个动点,且满足PAB=PBC.则线段CP长的最小值为()类型1类型2类型3【解析】由PAB=PBC,易得APB=90,即P点在ABP的外接圆上.ABP外接圆的圆心O为AB的中点,如图,连接OC,OC与ABP的外接圆在ABC内部交于点P,这时线段CP长最小.在RtOBC中,OB=3,BC=4,由勾股定理得OC=5,又OP=3,CP=2.【答案】B类型1类型2类型3【名师点拨】本题给我们的启发是:已知条件中有直角三角形,我们可以想到以这个直角三角形的斜边为直径画出它的外接圆,这个外接圆就成了“辅助线”,然后就可以用圆的有关知识解题,这样可以起到事半功倍之奇效.这个方
3、法还可在解答其他几何问题中推而广之.类型1类型2类型3命题拓展命题拓展考向考向作一般三角形的外接圆解题作一般三角形的外接圆解题1.如图,在ABC中,AD平分BAC,交BC于点D,求证:.类型1类型2类型3【名师点拨】本题也可用相似三角形知识解答(见本书相似三角形一节 ),这里不再赘述.类型1类型2类型3利用四边形外接圆解题典例2(2018安徽第23题节选 )如图,RtABC中,ACB=90,点D为边AC上一点,DEAB于点E,点M为BD中点,CM的延长线交AB于点F.(1 )求证:CM=EM;(2 )若BAC=50,求EMF的大小.【解析】(1 )利用四边形BCDE外接圆证明CM=EM;(2
4、)根据圆周角定理求得CME=80,从而求出EMF.【答案】(1 )易得BED和BCD均为直角三角形,则这两个三角形有公共的外接圆,即四边形BCDE有一个外接圆,且直径为BD,M为圆心,CM=EM.(2 )BAC=50,ACB=90,ABC=40,由(1 )得ABC为圆周角,CME为圆心角,且ABC与CME对同弧,CME=80,即EMF=100.类型1类型2类型3【名师点拨】本题在本书专题二用“数”解“形”的典例3中已经用另一种方法解答.两个方法比较后发现:此题不用圆的知识也可以解答,但想到了圆的知识,就可以另辟蹊径.通过本节课的学习希望同学们能形成“题中无圆,可用圆求解”的意识.类型1类型2类
5、型3命题拓展命题拓展考向一考向一利用圆的对称性解题利用圆的对称性解题2.如图,在四边形ABCD中,ABC=ADC=90,M,N分别为AC,BD的中点,求证:MN垂直平分BD.【答案】ABC=ADC=90,易得RtABC和RtADC有同一个外接圆(如图 ),M为圆心,N为BD的中点,由垂径定理得MN垂直平分BD.类型1类型2类型3考向二考向二利用有公共斜边的两个直角三角形外接圆解题利用有公共斜边的两个直角三角形外接圆解题3.如图,在ABC中,AD,BE是两条高,M,N分别是AB,DE的中点.给出如下结论:;MN垂直平分DE;ANB90.其中正确结论的序号是.(把所有正确结论的序号都填在横线上 )
6、类型1类型2类型3【名师点拨】考向二中的问题就是将考向一中的一个直角三角形沿斜边折叠,折叠后这两个直角三角形仍有同一个外接圆,我们仍可以用圆的知识答题.类型1类型2类型3利用圆的定义解题典例3(2016安徽第23题节选 )如图1,点A,B分别在射线OM,ON上,且MON为钝角,现以线段OA,OB为斜边向MON的外侧作等腰直角三角形,分别是OAP,OBQ,C,D,E分别是OA,OB,AB的中点.(1 )求证:PCE EDQ;(2 )如图2,延长PC,QD交于点R,若MON=150,求证:ABR为等边三角形.类型1类型2类型3【解析】(1 )利用三角形中位线性质和等腰直角三角形的定义和性质可证结论
7、;(2 )根据圆周角定理得出ARB=60,即可证明ABR为等边三角形.【答案】(1 )由三角形中位线定理易得CEOD,CE=OD,DEOC,DE=OC,即四边形OCED为平行四边形,OCE=ODE,PCE=QDE,PC=OC,QD=OD,PC=DE,CE=DQ,PCE EDQ.(2 )由题可知RC垂直平分OA,RD垂直平分OB,即RA=RO=RB.易得A,O,B三点都在以R为圆心,RA为半径的圆上,MON=150为圆周角,ARB为圆心角,易得ARB=60,ABR为等边三角形.123456789101.如图,在ABC中,A=30,BC=4,点O到A,B,C三点的距离都为R,则R的长为()【解析】
8、易得O为ABC外接圆的圆心,延长CO交ABC外接圆于点D,连接DB,则DBC为直角三角形,D=A=30,R=4.123456789102.如图,ABC中,AB=BC=CA=8,P是BC上一点,BP=5,沿着过P点的一条折痕PD折叠点B至B,连接AB,则线段AB的最小值为()【解析】如图,以P点为圆心,PB长为半径作圆,与PA交于点B,此时AB的长度最小.过点A作AEBC于点E,在ABE中,BE=4,AE=,PE=1,在RtAPE中,AP=7,PB=PB=5,AB的最小值为2.B12345678910D12345678910123456789104.如图,在矩形纸片ABCD的CD边上找一点E,将
9、BCE沿BE折叠,点C恰好落在边AD上的点F处,设FED=,则EBF=(用表示 ).【解析】容易发现四边形BCEF有一个外接圆,FED=2EBF,EBF=.123456789105.如图,P为等边ABC外的一个动点(P点与A点分别在BC所在直线的不同侧 ),且APB=60,AB=1,则PB+PC的最大值为.【解析】APB=60,动点P一定在ABC的外接圆O的劣弧BC上.如图,取PD=PC,连接CD,ABC为等边三角形,APC=ABC=60,即CDP也为等边三角形,易得ACD BCP,AD=BP,即AP=BP+CP,当AP为O的直径时,BP+CP的值最大,PB+PC的最大值为 .12345678
10、9106.如图,在等边ABC中,AB=3,M是AB边上一点,MA=2,N是AC边上一动点(N不与A重合 ),将AMN沿MN折叠得到AMN,A恰巧落在等边ABC的边上,则AN的长为.12345678910123456789107.(2018浙江舟山 )如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点E在CD上,DE=1,点F为边AB上一动点,以EF为斜边作RtEFP.若点P在矩形ABCD的边上,且这样的直角三角形恰好有两个,则AF的值是.【解析】在点F的运动过程中分别以EF为直径作圆.当点F与点A重合时,以EF为斜边的RtEFP恰好有两个,符合题意.在点F从点A向点B运动过程中,当0AF1时,共有
11、4个点P使EFP是以EF为斜边RtEFP.当AF=1时,有1个点P使EFP是以EF为斜边的RtEFP.12345678910123456789108.(2012安徽第22题改编 )如图,在ABC中,D是BC边的中点,E,F两点在AB边上,FDE=FED,BDE与DFE相似,求证:BECE.解:BDE与DFE相似,B=FDE,FDE=FED,B=FED,BD=DE=CD,点B,C,E在以BC为直径的圆上,BECE.123456789109.如图,在ABC中,ACB=90,BAC=60,AC=2,P为ABC所在平面内一点,如果点P满足BPC=90,设Q是AB的中点,设PQ=x,试求x的取值范围.1234567891010.(2018贵州遵义 )如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AEBE ),且EOF=90,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.(1 )求证:OM=ON;(2 )若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.12345678910解:(1 )易证AOM BON,OM=ON.(2 )如图,MON=90,MAN=90.点M,A,O,N四点共圆.由(1 )知OM=ON,OMN=OAB=45.过点O作OHAD于点H,正方形ABCD的边长为4,OH=2,HA=2.
