1、导数及其应用复习变化率与导数变化率与导数平均变化率：平均变化率：00()()f xxf xyxx瞬时变化率：瞬时变化率：0000()()limlimxxf xxf xyxx 它们的几何意义是什么？导数的概念导数的概念一般地，函数一般地，函数y=f(x)在在x=x0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是0000()()limlimxxf xxf xyxx 我们称它为函数我们称它为函数y=f(x)在在x=x0处的处的导数导数，记作，记作 f(xo)或或y|x=x0，即，即00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 利用定义求导数的步骤利用定义求导数的步骤求函数的增量求函数的增量 求平
2、均变化率求平均变化率 取极限得导数取极限得导数 00()()yf xxf x 00()()f xxf xyxx00()limxyfxx 导数的几何意义导数的几何意义PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T 切线方程为切线方程为 y y0=f(x0)(xx0)几何意义几何意义-曲线曲线y=f(x)在在P(x0，f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率求切线方程的步骤求切线方程的步骤两种情况两种情况此种情况注意此种情况注意P点可能是切点，点可能是切点，也可能不是切点也可能不是切点导函数导函数函数函数y=f(x)的导函数的导函数(简称简称导数导数)00()()()limlimxxyf xxf xyf
3、xxx 函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数f(xo)就是导函数就是导函数f(x)在在 x=x0处的函数值处的函数值基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式0()CC为常数1()nnxnx11()()nnnxnxx 1()()mmnnnmmxxxn(sin)cosxx(cos)sinxx()xxee()ln(0,1)xxaaa aa且1(ln)xx1(log)(0,1)lnaxaaxa且导数运算法则导数运算法则()()()()f xg xf xg x()()()()()()f x g xfx g xf x g x2()()()()()()0)()()f xfx g xf x g x
4、g xg xg x()()cf xcf x复合函数复合函数y=f(g(x)求导方法求导方法换元，令换元，令 ,则则分别求导再相乘分别求导再相乘 回代回代 ()ug x()()yg xf u()ug x()yf u函数的单调性与导数函数的单调性与导数一般地一般地,函数函数yf(x)在某个在某个(a,b)区间内可导区间内可导(1)若若 f(x)0，则，则 f(x)是增函数是增函数(2)若若 f(x)0(或者或者f(x)0(或或f(x)0以及以及f(x)0得到单调递增区得到单调递增区 间间,解解f(x)0得到单调递减区间得到单调递减区间函数的极值函数的极值1)函数函数y=f(x)在在x=a处的函数值
5、处的函数值f(a)比它在点比它在点x=a附近附近其它各点的函数值都小，我们就说其它各点的函数值都小，我们就说f(a)是函数的一是函数的一个个极小值极小值.点点a叫做叫做极小值点极小值点2)函数函数y=f(x)在在x=b处的函数值处的函数值f(b)比它在点比它在点x=b附近附近 其它各点的函数值都大，我们就说其它各点的函数值都大，我们就说f(b)是函数的一个是函数的一个极大值极大值，点，点b叫做叫做极大值点极大值点 注意：导数等于零的点不一定是极值点注意：导数等于零的点不一定是极值点极值的判断极值的判断xyo0 x 左正右负极大左正右负极大左负右正极小左负右正极小左右同号无极值左右同号无极值(2
6、)(2)由负变正由负变正,那么那么 是极小值点是极小值点;0 x()f x(3)(3)不变号不变号,那么那么 不是极值点。不是极值点。0 x()f x(1)(1)由正变负由正变负,那么那么 是极大值点是极大值点;()fx 0 x yxo 0 xxoy0 x导数求极值的步骤导数求极值的步骤口诀：口诀：左负右正为极小，左正右负为极大左负右正为极小，左正右负为极大(1)确定函数的定义域确定函数的定义域；(5)(5)下结论，写出极值。下结论，写出极值。(2)求出导数求出导数 ；()fx(3)令令 ，解方程；，解方程；()0fx (4)列表列表函数的最值函数的最值在在闭区间闭区间 a,b 上的函数上的函
7、数y=f(x)的图象是一条的图象是一条连续不断连续不断的曲线的曲线,则它则它必有必有最大值和最小值最大值和最小值.xy0abx1 1x2 2x3 3x4 4f(a)f(x3 3)f(b)f(x1 1)f(x2 2)gg闭区间闭区间 a,b 上最值的求法上最值的求法(2)将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)(端点处端点处)比较比较,其中最大的一个为最大值，最小的其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值一个最小值.(1)求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)关于极值和最值注意的几个问题关于极值和最值注意的几个问题求曲边梯形的面积求曲边梯形
8、的面积 1n2nin1xOy2xy 1、分割、分割2、近似代替、近似代替3、求和、求和4、取极限、取极限 (2)近似代替近似代替:任取任取x xi xi 1,xi，第，第i个小曲边梯形的面积用高个小曲边梯形的面积用高为为f(x xi)而宽为而宽为 x的小矩形面积的小矩形面积f(x xi)x近似代替；近似代替；(4)取极限取极限:所求曲边所求曲边梯形的面积梯形的面积 (3)求和求和:取取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值的近似值1lim()niniSfxx11()()nniiiibaSfxfn xx (1)分割分割:在区间在区间a,b上等间隔地插入上等间
9、隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间:baxn 11211,iina xx xxxxb求曲边梯形的面积的具体步骤：求曲边梯形的面积的具体步骤：需记忆的几个公式需记忆的几个公式(1)1232n nn+=2222(1)(21)1236n nnn+=23333(1)1232n nn轾+犏+=犏臌定积分的概念定积分的概念如果当如果当n时，时，S 的无限接近某个常数，的无限接近某个常数，这个常数为函数这个常数为函数f(x)在区间在区间a,b上的定积分，上的定积分，记作记作 baf(x)dx，即f(x)dx f(x i)xi。1()lim()ninibaf x dxfnxba即定
10、积分的几何意义定积分的几何意义Ox yab yf(x)baf(x)dx f(x)dxf(x)dx。xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f(x)、当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，x yOdxxfSba)(，dxxfba)(ab yf(x)yf(x)dxxfSba)(baf(x)dx f(x)dxf(x)dx。S上述曲边梯形面积的负值。积分baf(x)dx 在几何上表示 baf(x)dx f(x)dxf(x)dx。S定积分的性质定积分的性质dx)x(g)x(fba babadx
11、)x(gdx)x(f badx)x(kf badx)x(fk bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 微积分基本定理微积分基本定理记记()()()|baF bF aF x则()()|()()bbaaf xdx F xF bF a11(1)(1)1bbnnaax dxxnn (3)bbxxaae dxe 1(4)lnbbxxaaa dxaa 12)ln(,0)bbaadxxa bx(5)sincosbbaaxdxx (6)cossinbbaaxdxx 12)ln()(,0)bbaadxxa bx 常用积分公式常用积分公式1(2)lnbbaadxxx 定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用1、求变速直线运动的位移、求变速直线运动的位移若物体运动的速度函数为若物体运动的速度函数为v(t)，则物体在，则物体在atb时段时段内的位移是内的位移是:=()basv tdt2、求变力所作的功、求变力所作的功如果物体在变力如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，则物体的作用下做直线运动，则物体沿着与沿着与F(x)相同的方向从相同的方向从xa移动到移动到xb(ab)所所作的功为作的功为:=()baWF x dx求定积分的方法求定积分的方法1、定义法、定义法2、微积分基本定理、微积分基本定理3、利用几何意义、利用几何意义4、利用定积分的性质、利用定积分的性质
