1、第 13 课时第三单元函数【考情分析】高频考点年份、题号、分值题型2020年中考预测二次函数、方程与不等式2017、22(1)、3分解答题2015、23(3)、3分2013、6、3分选择题二次函数有关变量系数的综合探究2017、22(1)(2)、4分解答题2015、23(1)、2分2014、24(1)(2)、6分2014、6、3分选择题2013、24(1)(2)、6分解答题基础知识巩固高频考向探究考点一二次函数的图象与系数的关系考点聚焦项目字母y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)字母的符号图象的特征aa0开口向a0(b与a同号)对称轴在y轴侧ab0与y轴相交c0与x轴有个不同的交点b
2、2-4ac0,则当x=1时,y0若a-b+c0,则当x=时,y0(续表)a-b+c-1基础知识巩固高频考向探究抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式b2-4ac的正负方程ax2+bx+c=0的实数根个数2个b2-4ac0两个的实数根1个b2-4ac=0两个的实数根没有b2-4ac0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方的部分对应的点的横坐标的取值范围.(2)ax2+bx+c4ac;abc0;a+b+c0;(2)当时,y=0;(3)当时,y0.图13-2x3x=-2或x=3-2x1)的图象与x轴交点的判断,正确的是()A.没有交点B.只有一个交点,且它位于y轴右侧C.有两个交
3、点,且它们均位于y轴左侧D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧D基础知识巩固高频考向探究6.2018莱芜函数y=ax2+2ax+m(a0)的图象过点(2,0),则使函数值y0成立的x的取值范围是()A.x2B.-4x2C.x2D.0 x2答案A解析由题意,得4a+4a+m=0,m=-8a,y=ax2+2ax-8a.令y=0,得ax2+2ax-8a=0,即x2+2x-8=0,解得x=-4或x=2.a0,当x2时y0;b2-4ac0;9a-3b+c=0;若点(-0.5,y1),(-2,y2)均在抛物线上,则y1y2;5a-2b+c0,其中正确的个数为()A.2B.3C.4D.5图13-3基础知识巩固
4、高频考向探究答案B基础知识巩固高频考向探究【方法点析】利用图象位置来判断系数的符号,或者含有系数的关系式(a的符号由开口方向决定,c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定,b的符号由a及对称轴的位置确定,抛物线与x轴交点的个数决定根的判别式的符号)时,常利用数形结合思想,通过对开口方向以及对称轴位置,与坐标轴的交点位置、顶点和其他特殊点位置的“量化”分析,得到关系式.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.2019益阳已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图13-4,下列结论:ac0,b-2a0,b2-4ac0,a-b+c0,2a+b0,4acb2,a+b+c0时,y随x的增大而减小,其中正确的
5、是()A.B.C.D.图13-5基础知识巩固高频考向探究答案C基础知识巩固高频考向探究图13-6基础知识巩固高频考向探究答案D基础知识巩固高频考向探究考向二借助图象求解二次函数、方程与不等式之间的关系例22019潍坊抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1x4的范围内有实数根,则t的取值范围是()A.2t11B.t2C.6t11D.2t6答案A解析由题意得b=-2,抛物线解析式为y=x2-2x+3,当-1x4,2t11时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t有交点,故关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1
6、x4的范围内有实数根,所以t的取值范围是2t2a;ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1;a-2b+c0.其中正确的命题是()A.B.C.D.图13-7基础知识巩固高频考向探究答案C基础知识巩固高频考向探究2.2019威海在画二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:乙写错了常数项,列表如下:通过上述信息,解决以下问题:(1)求原二次函数y=ax2+bx+c(a0)的表达式;(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a0),当x时,y的值随x的值增大而增大;(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.x-10123y
7、甲63236x-10123y乙-2-12714基础知识巩固高频考向探究基础知识巩固高频考向探究2.2019威海在画二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:乙写错了常数项,列表如下:通过上述信息,解决以下问题:(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a0),当x时,y的值随x的值增大而增大;x-10123y甲63236x-10123y乙-2-12714基础知识巩固高频考向探究(2)抛物线y=x2+2x+3的对称轴为直线x=-1.二次项系数为1,故抛物线开口向上,当x-1时,y的值随x值的增大而增大.故答案为-1.基础知识巩固高频考向探究2.2019威海在画二
8、次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:乙写错了常数项,列表如下:通过上述信息,解决以下问题:(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.x-10123y甲63236x-10123y乙-2-12714基础知识巩固高频考向探究(3)方程ax2+bx+c=k(a0)有两个不相等的实数根,即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根,=4-4(3-k)0,解得k2.基础知识巩固高频考向探究考向三与变量系数有关的二次函数综合题例32017湖北已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图象都经
9、过y轴上的一个定点;(2)当该函数的图象与x轴有两个交点时,求m的取值范围,并求m为最大整数时,方程mx2-6x+1=0(m是常数)的两根;(3)若该函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.解:(1)证明:当x=0时,y=1.所以不论m为何值,函数y=mx2-6x+1的图象都经过y轴上的一个定点(0,1).基础知识巩固高频考向探究例32017湖北已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).(2)当该函数的图象与x轴有两个交点时,求m的取值范围,并求m为最大整数时,方程mx2-6x+1=0(m是常数)的两根;基础知识巩固高频考向探究例32017湖北已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).(3)若
10、该函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.(3)当m=0时,函数y=-6x+1的图象与x轴只有一个交点;当m0时,若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点,则方程mx2-6x+1=0有两个相等的实数根,所以(-6)2-4m=0,解得m=9.综上,若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点,则m的值为0或9.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|2012江西23题如图13-8,已知二次函数L1:y=x2-4x+3的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C.(1)写出A,B点坐标.(2)二次函数L2:y=kx2-4kx+3k(k0)图象的顶点为P.直接写出二次函
11、数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质.是否存在实数k,使ABP为等边三角形?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.图13-8基础知识巩固高频考向探究若直线y=8k与抛物线L2交于点E,F,请问线段EF的长度是否会发生变化?如果不会,求EF的长度;如果会,说明理由.解:(1)A(1,0),B(3,0).基础知识巩固高频考向探究2012江西23题如图13-8,已知二次函数L1:y=x2-4x+3的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C.(2)二次函数L2:y=kx2-4kx+3k(k0)图象的顶点为P.直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质.
12、图13-8基础知识巩固高频考向探究(2)二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质是:对称轴都是直线x=2或顶点的横坐标都为2;都经过点A(1,0),B(3,0).基础知识巩固高频考向探究2012江西23题如图13-8,已知二次函数L1:y=x2-4x+3的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C.(2)二次函数L2:y=kx2-4kx+3k(k0)图象的顶点为P.是否存在实数k,使ABP为等边三角形?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.图13-8基础知识巩固高频考向探究基础知识巩固高频考向探究2012江西23题如图13-8,已知二次函数L1:y=x2-4x+3的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C.(2)二次函数L2:y=kx2-4kx+3k(k0)图象的顶点为P.若直线y=8k与抛物线L2交于点E,F,请问线段EF的长度是否会发生变化?如果不会,求EF的长度;如果会,说明理由.图13-8基础知识巩固高频考向探究线段EF的长度不会发生变化.直线y=8k与抛物线L2交于E,F两点,kx2-4kx+3k=8k有两个不相等的实数根.k0,x2-4x-5=0,x1=-1,x2=5,EF=x2-x1=6,线段EF的长度不会发生变化.
