1、中考复习课件：第一部分第四章第2讲第2课时等腰三角形1.了解等腰三角形的有关概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；边上的高线、中线及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个底角相等的三角形是等腰三角形.2.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60；探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是 60的等腰三角形)是等边三角形.3.探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.4.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点
2、到线段两个端点的距离相等；反之，到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.5.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.6.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.1.(2017 年浙江丽水)等腰三角形的一个内角为 100，则顶角的度数是_.答案：1002.(2017 年黑龙江绥化)在等腰三角形 ABC 中，ADBC 交_.答案：30或 150或 903.(2017 年浙江台州)如图 4-2-26，点 P 是AOB 平分线上一点，PDOB，垂足为 D，若
3、 PD2，则点 P 到边 OA 的距离是()图 4-2-26答案：B4.(2017 年江西)如图 4-2-27 中的图甲是一把园林剪刀，把它抽象为图乙，其中 OAOB，若剪刀张开的角为 30，则A_度.图 4-2-27答案：755.如图 4-2-28，在ABC 中，ACBC，C90，D 是AB 的中点，DEDF，点 E，F 分别在 AC，BC 上，求证：DEDF.图 4-2-28解：如图 D16，连接 CD，图 D16C90，D 是 AB 的中点，ACBC，CDAB，ACDB45.CDFBDF90.EDDF，EDF90.EDCCDF90.EDCBDF.ECD FBD.DEDF.知识点内容等腰三
4、角形判定(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形，即“等边对等角”；(等腰三角形的定义)(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”，如图，若BC，则ABAC性质(1)等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；如图，已知ABAC，则BC；(2)三线合一：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；如图，已知ABAC，ADBC，则BDDC，BADDAC；(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高(底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线.如图，ABC的对称轴是AD所在的直线.知识点内容等边三角形判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都
5、相等的三角形是等边三角形.如图，若ABC，则ABC是等边三角形；(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.如图，若ABAC，A60，则ABC是等边三角形性质(1)等边三角形的三条边相等；如图，ABBCAC；(2)等边三角形的三个角都是60；如图，A BC60；(3)对称性：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴(续表)知识点内容角平分线性质角平分线上的点到角的两边的距离相等逆定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上线段的垂直平分线性质线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等逆定理到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上(续表)知识点内容直角三角形判定(1)有一个
6、角是直角的三角形是直角三角形；(2)勾股定理的逆定理；(3)如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形性质(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半；(3)在直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边长的一半勾股定理及其逆定理勾股定理在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的逆定理若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形(续表)等腰(边)三角形的性质与判定例 1：(2017 年北京)如图 4-2-29，在ABC 中，ABAC，A36，BD 平分ABC 交 AC 于点 D.求证：ADBC.图
7、 4-2-29思路分析由等腰三角形性质及三角形内角和定理，可求出ABDA，CBDC.再根据等角对等边，及等量代换即可求解.证明：ABAC,A36，CBDC,AABD.ADBDBC.ADBC.名师点评本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键.【试题精选】1.(2017 年吉林)如图 4-2-30，在ABC 中，以点 B 为圆心，以 BA 长为半径画弧交边 BC 于点 D，连接 AD.若B40，)C36，则DAC 的度数是(图 4-2-30A.70B.44C.34D.24答案：C2.(2018 年湖南湘潭)如图 4
8、-2-31，在等边三角形 ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，则BAD_.图 4-2-31答案：303.如图 4-2-32，在ABC 中，ABAC，AD 是 BC 边上的中线，BEAC 于点 E.求证：CBEBAD.图 4-2-32证明：ABAC，AD 是 BC 边上的中线，BEAC，CBECCADC90，CADBAD.CBEBAD.名师点评解决与等腰三角形相关的计算问题时，一定要分清顶角和底角、底边和腰，适当情况下应该分类讨论，找出正确答案.证明两条线段、两个角相等的常用方法：若它们在同一个三角形中，可利用角证边或用边证角；若它们在不同的三角形中，则通过证两个三角形全等来实现.角平分线与
9、垂直平分线例 2：(2018 与年四川南充)如图，在ABC 中，AF 平分BAC，AC 的垂直平分线交 BC 于点 E，B70，FAE19，则C_度.图 4-2-33解析：DE 是 AC 的垂直平分线，EAEC，EACC.FAC EAC19.AF 平分BAC，FABEAC19.BBACC180，702(C19)C180.解得C24.答案：24例 3：如图 4-2-34，在ABC 中，CD 平分ACB 交 AB 于点 D，DEAC 于点 E，DFBC 于点 F，且 BC4，DE2，则BCD 的面积是_.图 4-2-34解析：CD 是ACB 的平分线，DEAC，DFBC，DEDF2.答案：4易错陷
10、阱角平分线上的点到角的两边的距离相等，注意必须是垂直距离，否则不成立.【试题精选】4.(2018 年湖北黄冈)如图 4-2-35，在ABC 中，DE 是 AC的垂直平分线，且分别交 BC，AC 于点 D 和 E，B60，C25，则BAD 为()图 4-2-35A.50B.70C.75D.80答案：B5.(2018 年湖北黄石)如图 4-2-36，ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE，BF 分别是BAC，ABC 的平分线，BAC)50，ABC60，则EADACD(图 4-2-36A.75B.80C.85D.90答案：A勾股定理及其应用例 4：(2018 年浙江温州)我国古代伟大的数学家刘徽
11、将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图 4-2-37 所示的矩形由两个这样的)图形拼成，若 a3，b4，则该矩形的面积为(图 4-2-37A.20B.24C.994D.532解析：设小正方形的边长为 x，a3，b4，AB347.在 RtABC 中，AC2BC2AB2，即(3x)2(x4)272，整理，得 x27x120.故选 B.答案：B【试题精选】6.小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图 4-2-38，以往从黄石 A 坐客车到武昌客运站 B，现在可以在 A 坐城际列车到
12、武汉青山站 C，再从青山站 C 坐市内公共汽车到武昌客运站 B.设 AB80 km，BC20 km，ABC120.请你帮助小明解决以下问题：图 4-2-38(1)求 A，C 之间的距离；(参考数据 4.6)(2)若客车的平均速度是 60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为 40 km/h，城际列车的平均速度为 180 km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由.(不计候车时间)21解：(1)过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 的延长线于点 E(如图D17).图 D17选择先乘坐城际列车，再坐市内公共汽车的乘车方案.名师点评解决直角三角形问题的关键：一是能熟练
13、运用勾股定理及其逆定理分析与解决实际问题；二是解题时能灵活运用直角三角形的一些性质，如两锐角之间的关系、斜边与斜边上中线的关系；三是当几何问题中给出了线段长度时，往往要构造直角三角形.(如勾股数或添加辅助线将非直角三角形转化为直角三角形)1.(2014 年广东)如图 4-2-39，ABC 绕点 A 顺时针旋转 45得到ABC，若BAC90，ABAC ，则图中阴影部分的面积等于_.图 4-2-392解析：ABC 绕点 A 顺时针旋转 45得到ABC，BAC90，ABAC ，BC2，CBCACC45.AD BC，BCAB.AD 图 D1822.(2017 年广东)如图 4-2-40，矩形纸片 AB
14、CD 中，AB5，BC3，先按图(2)操作：将矩形纸片 ABCD 沿过点 A 的直线折叠，使点 D 落在边 AB 上的点 E 处，折痕为 AF；再按图(3)操作，沿过点 F 的直线折叠，使点 C 落在 EF 上的点 H 处，折痕为 FG，则 A，H 两点间的距离为_.(1)(3)(2)图 4-2-40图 D193.(2015 年广东)如图 4-2-41，在边长为 6 的正方形 ABCD中，E 是边 CD 的中点，将ADE 沿 AE 对折至AFE，延长EF 交边 BC 于点 G，连接 AG.求 BG 的长.图 4-2-41解：在正方形 ABCD 中，ADABBCCD，DBC90.将ADE 沿 AE 对折至AFE，ADAF，DEEF，DAFE90.ABAF，BAFG90.在 RtABG 和 RtAFG 中，ABG AFG(HL).BGFG.设 BGFGx，则 GC6x.E 为 CD 的中点，CEEFDE3.EG3x.在RtCEG中，32(6x)2(3x)2.解得x2.BG2.
