1、第 12 课时二次函数的图象与性质第三单元函数及其图象【考情分析】考点 二次函数表达式的确定二次函数的图象和性质二次函数与一元二次方程年份20172016201420192017201520192015题号22(2)2222149102210题型 解答题 解答题 解答题 填空题 选择题 选择题解答题选择题分值4分12分12分5分4分4分12分4分热度预测考点一二次函数的概念考点聚焦一般地,形如 (a,b,c是常数,a0)的函数,叫做二次函数.【温馨提示】函数y=ax2+bx+c未必是二次函数,当时,y=ax2+bx+c是二次函数.y=ax2+bx+ca0考点二二次函数的图象与性质函数y=ax2
2、+bx+c(a,b,c为常数,a0)a0a0a0a0a0开口向a0(b与a同号)对称轴在y轴侧ab0与y轴相交c0与x轴有个不同的交点b2-4ac0,则当x=1时,y0若a-b+c0,则当x=时,y0 a-b+c-1【温馨提示】特别地,对于不等号两边都有字母的,先将右边的字母移到左边,合并同类项化为一般形式后,再用上面的方法判断.考点四二次函数图象的平移将抛物线y=ax2+bx+c(a0)用配方法化成y=a(x-h)2+k(a0)的形式,而任意抛物线y=a(x-h)2+k均可由抛物线y=ax2平移得到,具体平移方法如下:图12-1考点五二次函数的表示及解析式的求法1.二次函数的三种表示方法二次
3、函数的三种表示方法(1)一般式:.(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a0),其中二次函数图象的顶点坐标是.(3)两点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a0),其图象与x轴的交点的坐标为 .三种表达式之间的关系:顶点式一般式两点式y=ax2+bx+c(a0)(h,k)(x1,0),(x2,0)2.二次函数解析式的确定二次函数解析式的确定用待定系数法求二次函数的解析式时,注意解析式的设法,常见情况如下:条件设法顶点在原点y=ax2(a0)顶点在y轴上y=ax2+c(a0,y轴为对称轴)顶点在x轴上y=a(x-h)2(a0,直线x=h是对称轴)抛物线过原点y=ax2+bx(a0)顶点(h,k)
4、y=a(x-h)2+k(a0)抛物线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)y=a(x-x1)(x-x2)(a0)考点六二次函数与一元二次方程、不等式的关系1.二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式b2-4ac的正负方程ax2+bx+c=0的实数根个数2个b2-4ac0两个的实数根1个b2-4ac=0两个的实数根没有b2-4ac0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方的部分对应的点的横坐标的取值范围.(2)ax2+bx+cy2y1B.y3y1=y2C.y1y2y3D.y1=y2y33.已知二次函数y=ax2+bx+c(
5、a0)的图象如图12-2所示,则下列结论中正确的是()A.a0B.c0C.3是方程ax2+bx+c=0的一个根D.当x1时,y随x的增大而减小C图12-2答案 C解析二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),方程ax2-2ax+c=0一定有一个解为x=-1,抛物线y=ax2-2ax+c的对称轴为直线x=1,二次函数y=ax2-2ax+c的图象与x轴的另一个交点为(3,0),方程ax2-2ax+c=0的解为x1=-1,x2=3.故选C.4.若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为()A.x1=-3,x2=-1B.x1=1,x2=3
6、C.x1=-1,x2=3D.x1=-3,x2=1答案9解析二次函数y=x2-6x+c的图象与x轴只有一个公共点,说明=b2-4ac=0,即 (-6)2-41c=0,所以c=9.5.若二次函数y=x2-6x+c的图象与x轴只有一个公共点,则实数c=.答案 y=2(x+2)2-2解析抛物线y=2(x-1)2+2向左平移3个单位,再向下平移4个单位得到y=2(x-1+3)2+2-4=2(x+2)2-2.故得到的抛物线的解析式为y=2(x+2)2-2.6.将抛物线y=2(x-1)2+2向左平移3个单位,再向下平移4个单位,那么得到的抛物线的表达式为.题组二易错题【失分点】考虑二次函数的增减性时,要关注
7、自变量的取值与对称轴的位置.7.已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2x5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为()A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6答案 B解析二次函数y=-(x-h)2,当x=h时,有最大值0,而当自变量x的值满足2x5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,故h5.当h5,2x5时,y随x的增大而增大,故当x=5时,y有最大值,此时-(5-h)2=-1,解得:h1=6,h2=4(舍去),此时h=6.综上可知,h=1或6,故选B.答案 m4 8.已知二次函数y=x2-mx+1中,当x2时,y随x的增大而增大,则m的取值范围为.考向一二
8、次函数的图象与性质答案 C|考向精练|1.2015安徽10题 如图12-3,一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象相交于P,Q两点,则函数y=ax2+(b-1)x+c的图象可能为()图12-3图12-4答案 A解法二:由于一次函数y1=x的图象与二次函数y2=ax2+bx+c的图象有两个不同的交点,且都位于第一象限,所以方程ax2+bx+c=x,即ax2+(b-1)x+c=0有两个不相等的正实数根,所以函数y=ax2+(b-1)x+c的图象与x轴有两个不同的交点,且都在x轴的正半轴上,故选A.2.二次函数y=x2+x+c的图象与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0),且x
9、1x2,点P(m,n)是图象上一点,那么下列判断正确的是()A.当n0时,m0时,mx2C.当n0时,x1m0时,mx1答案 C3.2019嘉兴小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)性质时有如下结论:这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上;存在一个m的值,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形;点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上,若x12m,则y1y2;当-1x2时,y随x的增大而增大,则m的取值范围为m2.其中错误结论的序号是()A.B.C.D.答案 C考向二二次函数表达式的确定|考向精练|1.2013安徽16题 已知二次函数图象的顶点坐标为
10、(1,-1),且经过原点(0,0),求该函数的解析式.解:设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-1(a0),函数图象经过原点(0,0),a(0-1)2-1=0,解得a=1,该函数解析式为y=(x-1)2-1.2.已知抛物线y1=-x2+mx+n,直线y2=kx+b,y1的对称轴与y2交于点A(-1,5),点A与y1的顶点B的距离是4.(1)求y1的解析式;(2)若y2随着x的增大而增大,且y1与y2都经过x轴上的同一点,求y2的解析式.2.已知抛物线y1=-x2+mx+n,直线y2=kx+b,y1的对称轴与y2交于点A(-1,5),点A与y1的顶点B的距离是4.(2)若y2随着x的增大而增大
11、,且y1与y2都经过x轴上的同一点,求y2的解析式.考向三二次函数图象特征与a,b,c之间的关系例例3 2019广安二次函数y=ax2+bx+c(a0)的部分图象如图12-5所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=1,下列结论:abc0;b0时,-1x 0;开口向下,则a0;交点在y轴负半轴,则c0;5a-2b+c0;4b+3c0.其中错误结论的个数是()A.1B.2C.3D.4图12-6答案 A2.2019荆门抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)的顶点为P,且抛物线经过点A(-1,0),B(m,0),C(-2,n)(1m3,n0,3a+c0,a=-1时,存在点P使PAB为直角三角形.其中正确结论的序号为.答案 考向四二次函数与一元二次方程解:(1)证明:y=(x-m)2-(x-m)=(x-m)(x-m-1),由y=0得x1=m,x2=m+1,mm+1,抛物线与x轴一定有两个交点:(m,0),(m+1,0).|考向精练|图12-7答案 C
