1、第14课时二次函数的图象与性质(二)第三单元函数及其图象考点一二次函数解析式的确定用待定系数法求二次函数的解析式时,注意解析式的设法,常见情况如下:条件设法顶点在原点y=ax2(a0)顶点在y轴上y=ax2+c(a0,y轴为对称轴)顶点在x轴上y=a(x-h)2(a0,直线x=h是对称轴)抛物线过原点y=ax2+bx(a0)顶点为(h,k)y=a(x-h)2+k(a0)抛物线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)y=a(x-x1)(x-x2)(a0)考点二二次函数的图象与系数的关系项目字母y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)字母的符号图象的特征aa0开口向a0(b与a同号)对称轴在
2、y轴侧ab0与y轴相交c0与x轴有个不同的交点b2-4ac0,则当x=1时,y0若a-b+c0,则当x=时,y0a-b+c-1(续表)考向一二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象信息题例12019益阳已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-1所示,下列结论:ac0,b-2a0,b2-4ac0,a-b+c0;开口向下,则a0;交点在y轴负半轴,则c0;(4)根据a,b,c的符号判定ab,bc,ac,abc的符号;(5)根据抛物线与x轴的交点个数判定b2-4ac与0的大小关系;(6)特殊等式(或不等式)的判断:a+b+c(或4a+2b+c)为x=1(或x=2)时的y值,a-b+c(或4
3、a-2b+c)为x=-1(或x=-2)时的y值,根据抛物线上相应点的位置判定其符号.|考向精练|1.2019娄底二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-2所示,下列结论中正确的有()abc0;b2-4acb;(a+c)20;9a+3b+c0;2c-3b0;b2-4ac=8a.其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号)图14-3答案考向二二次函数解析式的求法(2)由顶点A(-1,4),可设二次函数解析式为y=a(x+1)2+4(a0).二次函数的图象过点B(2,-5),点B(2,-5)的坐标满足二次函数解析式,-5=a(2+1)2+4,解得a=-1.二次函数的解析式是y=-(x+1)2+4
4、,即y=-x2-2x+3.(3)方法一:设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),把C(0,-3)代入得a1(-3)=-3,解得a=1,所以这个二次函数的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.【方法点析】用待定系数法求二次函数解析式的三种设法:(1)已知抛物线上三点,设为y=ax2+bx+c(a0);(2)已知抛物线顶点坐标(h,k),设为y=a(x-h)2+k;(3)已知抛物线与x轴的交点坐标(x1,0),(x2,0),设为y=a(x-x1)(x-x2).|考向精练|C2.2017百色经过A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线解析式是.答案4.已知抛物线y=a
5、x2+bx经过点A(-4,4)和点B(m,0),且m0.(1)若该抛物线的对称轴经过点A,如图14-4,请根据图象说明此时y的最小值及m的值;(2)若m=4,求抛物线的解析式.解:(1)该抛物线的对称轴经过点A,点A(-4,-4)为抛物线的顶点,对称轴为直线x=-4,此时y的最小值为-4.点B和原点为抛物线的一对对称点,B(-8,0),m=-8.图14-44.已知抛物线y=ax2+bx经过点A(-4,4)和点B(m,0),且m0.(2)若m=4,求抛物线的解析式.图14-4考向三二次函数与几何图形的综合运用例3如图14-5,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0
6、,3)三点,直线l是抛物线的对称轴,设P是直线l上的一个动点.(1)一元二次方程ax2+bx+c=0的解为.(2)求抛物线的解析式.(3)求抛物线的顶点D的坐标.(4)P在何处时,PA+PC的值最小?(5)当PAC的周长最小时,求点P的坐标.(6)在直线l上是否存在点M,使MAC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.图14-5x1=-1,x2=3例3如图14-5,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴,设P是直线l上的一个动点.(2)求抛物线的解析式.图14-5(2)抛物线y=ax2+bx+c
7、经过A(-1,0),B(3,0)两点,设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),又抛物线过点C(0,3),3=-3a,解得a=-1,抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3.例3如图14-5,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴,设P是直线l上的一个动点.(3)求抛物线的顶点D的坐标.图14-5(3)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,D(1,4).例3如图14-5,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴,设P是直线l上的一个
8、动点.(4)P在何处时,PA+PC的值最小?图14-5(4)如图,连接BC,交直线l于点P,点A,B关于抛物线的对称轴对称,PA=PB,此时B,C,P三点共线,当点P在BC所在直线与直线l的交点处时,PA+PC的值最小.例3如图14-5,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴,设P是直线l上的一个动点.(5)当PAC的周长最小时,求点P的坐标.图14-5例3如图14-5,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴,设P是直线l上的一个动点.(6)在直线l上是否存在点M
9、,使MAC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.图14-5|考向精练|1.2019永州如图14-6,已知抛物线经过两点A(-3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x=-1.(1)求此抛物线的解析式;(2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A,点B),求PAB的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.图14-61.2019永州如图14-6,已知抛物线经过两点A(-3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x=-1.(2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A,点B),求PAB的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.图14-6图14-7图14-7图14-7
