1、2022-10-262021版高中全程复习方版高中全程复习方略配套课件：平面向量略配套课件：平面向量的数量积的数量积三年三年2727考考 高考指数高考指数:1.1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；面向量的垂直关系；5.5.会用向量
2、方法解决简单的平面几何问题会用向量方法解决简单的平面几何问题.1.1.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应用数平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直,是重点也是难是重点也是难点；点；2.2.题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识点交汇则以解答题为主点交汇则以解答题为主.1.1.两个向量的夹角两个向量的夹角(1)(1)夹角的定义夹角的定义 定定 义义范范 围围已知两个已知两个_向量向量 作作 AOB=AOB=叫作叫作向量向量
3、的夹角（如图）的夹角（如图）.向量夹角向量夹角的范围是的范围是_,_,当当=_=_时，两向量共线；时，两向量共线；当当=_=_时，两向量垂直，记作时，两向量垂直，记作 （规定零向量可与任一向量（规定零向量可与任一向量垂直）垂直）.0 0或或18018090900 0180180非零非零AOB(2)(2)射影的定义射影的定义设设是是a与与b的夹角，则的夹角，则_叫作叫作b在在a方向上的射影方向上的射影._叫作叫作a在在b方向上的射影方向上的射影.射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量.当当_时，它是正值时，它是正值;当当_时，它是负值时，它是负值;当
4、当_时，它是时，它是0.0.|b|cos|cos|a|cos|cos0 090909090180180=90=90【即时应用】【即时应用】(1)(1)思考：在思考：在ABCABC中，向量中，向量 与与 的夹角为的夹角为ABCABC，是否正，是否正确？确？提示：提示：不正确不正确.求两向量的夹角时，两向量起点应相同求两向量的夹角时，两向量起点应相同.向量向量 与与 的夹角为的夹角为-ABC.-ABC.(2)(2)若若|a|=5|=5，向量，向量a与与b的夹角的夹角=60=60，则向量，则向量a在在b方向上的方向上的射影为射影为_._.【解析】【解析】a在在b方向上的射影为方向上的射影为|a|co
5、s=5cos60|cos=5cos60=答案：答案：2.2.平面向量的数量积平面向量的数量积(1)(1)平面向量数量积的定义平面向量数量积的定义已知两个向量已知两个向量a和和b,它们的夹角为它们的夹角为,把把_叫作叫作a与与b的数量积的数量积(或内积或内积)，记作，记作_._.(2)(2)数量积的几何意义数量积的几何意义a与与b的数量积等于的数量积等于_的的乘积，或乘积，或_的乘积的乘积.|a|b|cos|cosaba的长度的长度|a|与与b在在a方向上射影方向上射影|b|cos|cosb的长度的长度|b|与与a在在b方向上射影方向上射影|a|cos|cos【即时应用】【即时应用】(1)(1)
6、已知正三角形已知正三角形ABCABC的边长为的边长为1 1，则，则 (2)(2)已知已知|a|=1|=1，|b|=2|=2，ab=1=1，则向量，则向量a，b的夹角的夹角=_.=_.【解析】【解析】又又0 0180180,=60,=60.答案：答案：3.3.平面向量数量积的性质及其坐标表示平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量已知非零向量a=(x=(x1 1,y,y1 1)，b=(x=(x2 2,y,y2 2)，为向量为向量a,b的夹角的夹角.结论结论几何表示几何表示坐标表示坐标表示模模数量积数量积夹角夹角x1x2+y1y2=0【即时应用】【即时应用】(1)(1)思考：若思考：若ab00
7、00 09090(ab0090901800(0(0)0，即即(2k-1)(k+1)0,k0,k-1或或当当2 2a+b与与a-b共线时，共线时，3(k+1)-(2k-1)3(k+1)-(2k-1)0=0,0=0,k=-1,k=-1,又又k-1,2k-1,2a+b与与a-b不共线，不共线，故故k k的取值范围为：的取值范围为：k-1k-1或或【反思【反思感悟】感悟】求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积，求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积，两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求cos,cos,进而求进而求，要注意，要注意0,0,.【变式备选】
8、【变式备选】已知已知A(2A(2，0)0)，B(0B(0，2)2)，C(cosC(cos，sin)sin)，O O为为坐标原点，坐标原点，(1)(1)求求sin2sin2的值的值.(2)(2)若若 且且(-,0),(-,0),求求 与与 的夹角的夹角.【解析】【解析】(1)=(cos,sin)-(2(1)=(cos,sin)-(2，0)=(cos-2,sin),0)=(cos-2,sin),=(cos =(cos，sin)-(0sin)-(0，2)=(cos2)=(cos，sin-2)sin-2)，=cos(cos-2)+sin(sin-2)=cos(cos-2)+sin(sin-2)=cos
9、=cos2 2-2cos+sin-2cos+sin2 2-2sin=1-2(sin+cos)=-2sin=1-2(sin+cos)=(2)=(2,0),=(cos,sin)(2)=(2,0),=(cos,sin)，+=(2+cos,sin)+=(2+cos,sin)，|+|=|+|=即即4+4cos+cos4+4cos+cos2 2+sin+sin2 2=7,=7,4cos=24cos=2即即-0,-0,又又设设为为 与与 的夹角，的夹角，【满分指导】【满分指导】平面向量主观题的规范解答平面向量主观题的规范解答【典例】【典例】(12(12分分)(2011)(2011陕西高考陕西高考)叙述并证明
10、余弦定理叙述并证明余弦定理.【解题指南】【解题指南】利用向量数量积证明，由利用向量数量积证明，由 把把 展开利用展开利用 代入，即可证代入，即可证明明.【规范解答】【规范解答】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在或：在ABCABC中，中，a,b,ca,b,c分别为角分别为角A A，B B，C C的对边，有的对边，有a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA,-2bccosA,b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-2cacosB,c
11、-2cacosB,c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC.4-2abcosC.4分分证明：如图，证明：如图，8 8分分=b=b2 2-2bccosA+c-2bccosA+c2 2，即即a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosA，10 10分分同理可证同理可证b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-2cacosB,-2cacosB,c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC.12-2abcosC.12分分【阅卷人点拨】【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议
12、：得到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：(1)(1)余弦定理用文字语言叙述不完整、不规范，用符余弦定理用文字语言叙述不完整、不规范，用符号语言表述时三个只写一个号语言表述时三个只写一个.(2)(2)用用 证明时计算失误证明时计算失误.备备考考建建议议解决平面向量数量积问题时，还有以下几点容易造成解决平面向量数量积问题时，还有以下几点容易造成失分失分,在备考时要高度关注：在备考时要高度关注：(1)(1)公式记错公式记错;(2)(2)对向量的夹角理解错误对向量的夹角理解错误;(3)(3)混淆向量平行与垂直的充要条件混淆向量平行与
13、垂直的充要条件.另外熟练掌握数量积问题的常见求法，才能快速正确另外熟练掌握数量积问题的常见求法，才能快速正确解决平面向量的数量积问题解决平面向量的数量积问题.1.(20111.(2011重庆高考重庆高考)已知向量已知向量a=(1,k),=(1,k),b=(2,2),=(2,2),且且a+b与与a共线，共线，那么那么ab的值为的值为()()(A)1(A)1(B)2(B)2(C)3(C)3(D)4(D)4【解析】【解析】选选D.D.a+b=(3,2+k),=(3,2+k),因为因为a+b与与a共线，所以共线，所以2+k-3k=0,2+k-3k=0,解得解得k=1,k=1,所以所以ab=1=12+1
14、2+12=4.2=4.2.(20112.(2011辽宁高考辽宁高考)若若a,b,c均为单位向量，且均为单位向量，且ab=0,=0,(a-c)()(b-c)0,)0,则则|a+b-c|的最大值为的最大值为()()【解析】【解析】选选B.B.由由(a-c)()(b-c)0,)0,得得ab-ac-bc+c2 20,0,又又ab=0=0且且a,b,c均为单位向量，得均为单位向量，得-ac-bc-1,-1,|a+b-c|2 2=(=(a+b-c)2 2=a2 2+b2 2+c2 2+2(+2(ab-ac-bc)=3+2(-=3+2(-ac-bc)3-2=1,)3-2=1,故故|a+b-c|的最大值为的最
15、大值为1.1.3.(20113.(2011安徽高考安徽高考)已知向量已知向量a、b满足满足(a+2+2b)()(a-b)=-6)=-6，且且|a|=1|=1，|b|=2|=2，则，则a与与b的夹角为的夹角为_._.【解析】【解析】设设a与与b的夹角为的夹角为,(,(a+2+2b)()(a-b)-6-6，即，即1 12 2+ab-2-22 22 2=-6=-6，则，则ab=1=1，所以，所以所以所以=60=60.答案：答案：60604.(20114.(2011上海高考上海高考)在正三角形在正三角形ABCABC中，中，D D是是BCBC上的点上的点.若若AB=3,AB=3,BD=1BD=1，则，则【解析】【解析】答案：答案：5.(20125.(2012杭州模拟杭州模拟)已知向量已知向量|a|=3,|=3,b=(1,2)=(1,2)且且ab，则，则a的坐的坐标是标是_._.【解析】【解析】设向量设向量a=(x,y)=(x,y)，a的坐标是的坐标是 或或答案：答案：或或
