1、一、行列式一、行列式二、矩阵二、矩阵三、向量之间的关系三、向量之间的关系四、线性方程组的解四、线性方程组的解五、特征值与特征向量五、特征值与特征向量上页上页返回返回下页下页线性代数总复习一、行列式.2112221122211211aaaaaaaaD ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa1、二阶三阶行列式的计、二阶三阶行列式的计算算上页上页返回返回下页下页线性代数总复习2、n阶行列式的计算阶行列式的计算 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.互换行列式
2、的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.kk性质行列式中如果有两行（列）元素成比性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零(1)利用行列式的性质计算利用行列式的性质计算（化为三角形）（化为三角形）上页上页返回返回下页下页线性代数总复习性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和.性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加
3、到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例 计算行列式计算行列式0112012120112110 D解解21rr D0112012121102011 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习13rr 142rr 4130211021102011 23rr 143rr 2200420021102011 34rr 2000420021102011 4)2()2()1(1 0112012121102011 D上页上页返回返回下页下页线性代数总复习(2)利用行列式展开计算利用行列式展开计算定理定理 行列式等于它的任一
4、行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni,2,1 njnjjjjjAaAaAaD 2211 nj,2,1 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例3351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习二、矩阵二、矩阵1、矩阵的逆的求法、矩阵的逆的求法（1）公式
5、法（伴随法）公式法（伴随法）.1nnn2n12n22121n21111的的代代数数余余子子式式中中元元素素为为行行列列式式的的伴伴随随矩矩阵阵，为为其其中中，其其中中ijijaAAAAAAAAAAAAAAAAA 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习（2）初等变换法）初等变换法):(EA行的初等变行的初等变换换):(E1 A上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例1 1 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵.343122321A解解343122321 A2.1存在存在 A412182466 1111)1(A34122 2112)1(A33123 （公式法）（公式法）上页上页返回返回下页下页线性代数
6、总复习 343122321A3113)1(A43222 1221)1(A34326 2222)1(A33316 3223)1(A43212 1331)1(A12324 2332)1(A12315 3333)1(A22212 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 332313322212312111AAAAAAAAAA得得故故 AAA11 22256346221.11125323231 ,222563462 6,6,2,3,22221131211 AAAAA2,2,5,4,233323123 AAAAA上页上页返回返回下页下页线性代数总复习（初等变换法）（初等变换法）1036200125200
7、01321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 343122321A上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r上页上页返回返回下页下页线性代数总复习.1BA 矩矩阵阵的的方方法法，还还可可用用于于求求利利用用初初等等行行变变换换求求逆逆阵阵E)()(11BAEBAA )(BABA1 即即初等行
8、变换初等行变换上页上页返回返回下页下页线性代数总复习2、矩阵的秩、矩阵的秩矩阵秩的求法矩阵秩的求法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例 4321,6063324208421221bA设设 .)(的的秩秩及及矩矩阵阵求求矩矩阵阵bABA 46063332422084211221):(BbA解解上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 46063332422084211221B 13600512000240011221131222rrrr
9、143rr 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 10000500000120011221 000001000001200112212322rrr 243rr 53 r34rr .3)(,2)(BRAR上页上页返回返回下页下页线性代数总复习三、向量之间的关系三、向量之间的关系1、线性组合、线性组合mmb 2211，使，使，一组数一组数如果存在如果存在和向量和向量给定向量组给定向量组mmbA ,:2121的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量则向量Ab 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示bA定义定义上页上页返回返回下页下页线性代数总复习存在矩阵存在矩阵 ，Ab
10、 使得使得矩阵方程矩阵方程bAX 有解有解判定判定),()(bARAR b),21mA （线性表示线性表示能由能由上页上页返回返回下页下页线性代数总复习),()(BARAR 能能由由（),21sbbbB),21mA （线性表示线性表示存在矩阵存在矩阵 ，KAKB 使得使得矩阵方程矩阵方程BAX 有解有解上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例设设,22111 a,31212 a,04113 a,1301 b证明向量证明向量 能由向量组能由向量组 线性表示，并线性表示，并b321,aaa求表示式。求表示式。解解只需证矩阵只需证矩阵),(321aaaA 与矩与矩),(),(321baaabAB
11、阵阵有相同的秩。有相同的秩。下面把矩阵下面把矩阵 化为行最简形：化为行最简形：B法一法一上页上页返回返回下页下页线性代数总复习),(),(321baaabAB 1032341201211111行的初等变换行的初等变换 00000000121023012)()(BRAR向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示。线性表示。b321,aaa上页上页返回返回下页下页线性代数总复习由最简形知，方程组由最简形知，方程组bAx 的通解为的通解为从而从而 012123cx ccc1223 cccaaaAxb1223),(321321)12()23(caacac 其中其中 为任意常数。为任意常数。c上页上页返回
12、返回下页下页线性代数总复习法二法二设设bakakak 332211即即也即也即 22111k 31212k 04113k 1301 13234202121321321321kkkkkkkkkkk上页上页返回返回下页下页线性代数总复习321)12()23(caacac 其中其中 为任意常数。为任意常数。c解得其通解解得其通解为为 231 ck122 ckck 3332211akakakb 故向量故向量 可由向量组可由向量组 线性表示，且线性表示，且b321,aaa其中其中 为任意常数。为任意常数。c上页上页返回返回下页下页线性代数总复习0 ,:22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为
13、为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组:,21线线性性无无关关n 定义定义则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关A2、线性相关性、线性相关性02211 nn 01 n 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习.)(;),(,2121mARmAmm 条条件件是是必必要要向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分秩秩小小于于向向量量个个数数的的矩矩阵阵要要条条件件是是它它所所构构成成的的线线性性相相关关的的充充分分必必向向量量组组 定理定理判定判定上页上页返回返回下页下页线性代数总复习线线性性相相关关维维向向量量个个nnn ,21nRARn
14、),()(21 0|,|21 nA 无无关关线线性性维维向向量量个个nnn ,21nRARn ),()(21 0|,|21 nA 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习，742520111321 .21321的线性相关性的线性相关性，及及，试讨论向量组试讨论向量组 已知已知例例1上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 751421201),(321 2325rr ，000220201.,2),(,2),(2121321321线性无关线性无关向量组向量组线性相关；线性相关；，向量组，向量组可见可见 RR 75122020112rr 1312rrrr 550220201上页上页返回返回下页下页线性
15、代数总复习.,321133322211321的的相相关关性性讨讨论论线线性性无无关关已已知知向向量量组组例例2 2bbbbbb 0 ,332211321 bxbxbxxxx使使设有设有,0)()(133322211 xxx）（即即,0)()()332221131 xxxxxx（亦即亦即线性无关，故有线性无关，故有，因因321 .0 ,0 ,0 322131xxxxxx解解上页上页返回返回下页下页线性代数总复习02110011101 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行.,0 321321线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbxxx 上页上页返回
16、返回下页下页线性代数总复习3、最大无关组及向量组的秩、最大无关组及向量组的秩，r ,21设有向量组设有向量组 ，A满足下面两个条件：满足下面两个条件：如果能在如果能在 中选出中选出 个向量个向量rArA ,:210（1）向量组）向量组 线性无关；线性无关；0A线性表示。线性表示。（2）向量组）向量组 中的每一个向量都能由向量组中的每一个向量都能由向量组A则称向量组则称向量组 为向量组为向量组 的的最大无关组最大无关组。0AA最大无关组所含向量的个数最大无关组所含向量的个数 称为称为向量组的秩向量组的秩。r上页上页返回返回下页下页线性代数总复习向量组的秩的求法向量组的秩的求法maaa,21向量组
17、向量组 的秩的秩),(21maaaA 的秩的秩矩阵矩阵.最大无关组最大无关组行即是行向量组的一个行即是行向量组的一个所在的所在的最大无关组，最大无关组，列即是列向量组的一个列即是列向量组的一个所在的所在的，则，则的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式是矩阵是矩阵若若rDrDADrrr最大无关组的求法最大无关组的求法上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 97963422644121121112 A设矩阵设矩阵 例例.用用最最大大无无关关组组线线性性表表示示属属最最大大无无关关组组的的列列向向量量无无关关组组，并并把把不不的的列列向向量量组组的的一一个个最最大大求求矩矩阵阵A上页上页返回返回下
18、页下页线性代数总复习行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵施行初等行变换变为施行初等行变换变为对对 A解解，知知3)(ARA，00000310000111041211初等行变换初等行变换.3 个向量个向量组含组含故列向量组的最大无关故列向量组的最大无关且且 列向量组的一个最大无关组为列向量组的一个最大无关组为A421,aaa上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 00000310003011040101 初等行变换初等行变换AB 因此因此213aaa 4215334aaaa 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习四、线性方程组的解四、线性方程组的解定理定理 n元线性方程组元线性方程组bAx 1),()(bA
19、RAR 有唯一解有唯一解2)nbARAR ),()(无解无解3)nbARAR ),()(无穷多解无穷多解定理定理 n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 有非零解有非零解0 AxnAR)(上页上页返回返回下页下页线性代数总复习定理定理 设设nm 矩阵矩阵 的秩的秩 ，ArAR)(则齐次线性则齐次线性 的解集的解集 的秩为的秩为线性方程组线性方程组0 Ax.rnRS S rnrnkkkx2211其中其中 为任意实数。为任意实数。rnkkk,21非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组bAx 的一个特解为的一个特解为*齐次线性方程组齐次线性方程组0 Ax的基础解系为
20、的基础解系为rn ,21则非齐次线性方程组则非齐次线性方程组bAx 的解解为的解解为上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例 求解非齐次方程组求解非齐次方程组1234123412341234512333819377xxxxxxxxxxxxxxxx 解：解：1511112133(,)3811119377A b 15111072440000000000 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习31 31 310777244017770000000000 1342341 331 3777424777xxxxxx 令令3142,xcxc则则112212314213313777424777 xccxcc
21、xcxc 12(,c c为任意常数）为任意常数）法法1：上页上页返回返回下页下页线性代数总复习法法2：令令,043 xx得得 0074713 又原方程组对应的齐次方程组的通解是又原方程组对应的齐次方程组的通解是 432431747271373xxxxxx令令 10,0143xx得基础解系得基础解系 1074713,01727321 所以原方程组的通解是所以原方程组的通解是2211 kk 12(,k k为任意常数）为任意常数）上页上页返回返回下页下页线性代数总复习五、特征值与特征向量五、特征值与特征向量（1）如何求）如何求 的特征值？的特征值？A0|EA 解特征方程解特征方程特征方程的根即为矩阵
22、特征方程的根即为矩阵 的特征值。的特征值。A（2）如何求属于特征值）如何求属于特征值 的特征向量？的特征向量？解齐次线性方程组解齐次线性方程组 0)(xEA 其非零解即为属于特征值其非零解即为属于特征值 的特征向量的特征向量 1、特征值与特征向量的求法、特征值与特征向量的求法上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例 设设,314020112 A求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解 314020112EA ,2)1(2 02)1(2 令令.2,1321 的特征值为的特征值为得得A上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 由由解方程解方程时时当当.0,11 xEA,00001010141
23、4030111 EA,1011 p得基础解系得基础解系的的全全体体特特征征向向量量为为故故对对应应于于11 ).0(1 kpk上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 由由解方程解方程时时当当.02,232 xEA ,0000001141140001142 EA得基础解系为：得基础解系为：,401,11032 pp :232的的全全部部特特征征向向量量为为所所以以对对应应于于 ).0,(323322不不同同时时为为kk pkpk 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 n 21 APP1使得使得 则则若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵 ，),(21nxxxP（1）为矩阵为矩阵 的特征值的特征值i A（
24、2）为对应于特征值为对应于特征值 的特征向量。的特征向量。ixi 2、方阵的对角化、方阵的对角化上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 163053064A设设A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角,P则则求求出出可可逆逆矩矩阵阵化化例例.1为为对对角角阵阵使使APP 解解 163053064EA 212 .2,1321 的全部特征值为的全部特征值为所以所以A上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 得方程组得方程组代入代入将将0121 xEA 063063063212121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系,0121 .1002 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习 解解系系得得方
25、方程程组组的的基基础础代代入入将将,02 3 xEA .1,1,13 T.,321线性无关线性无关由于由于 110101102,321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以所以 可对角化可对角化.A上页上页返回返回下页下页线性代数总复习注意注意 ,213 P若令若令111 012 100.1 APP则有则有00 00002 11即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应P上页上页返回返回下页下页线性代数总复习.,1素素的的对对角角矩矩阵阵个个特特征征值值为为对对角角元元的的是是以以其其中中使使则则必必有有正正交交矩矩阵阵阶阶
26、对对称称矩矩阵阵为为设设定定理理nAAPPPnA 3、实对称矩阵的对角化、实对称矩阵的对角化上页上页返回返回下页下页线性代数总复习利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵将特征向量正交化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.2.;,0的特征向量的特征向量求出求出由由AxEAi 1.;的特征值的特征值求求A具体步骤具体步骤为：为：上页上页返回返回下页下页线性代数总复习例例 设设324202,423A T求正交矩阵求正交矩阵 ，1TAT 使得使得 为对角阵。为对角阵。解解：32422423AE 218 0 1231,8.上页上页返回返回下页下页线性
27、代数总复习当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为121 0AE X 424212424AE 212000000 得基础解系得基础解系112,0p 202.1p 21322xxx 令令1310,01xx 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习令令先正交化：先正交化：1112,0p 21221114501(,)4222(,)55101pp 再单位化：令再单位化：令1151122,5500 244355522535351535 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为38 80AE X 5248282425AE 1011012000 132312xxxx 令令31x 得基础解系得基础解系311,21p 单位化得单位化得3213211,323123 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习123(,)T 得正交矩阵得正交矩阵142353 5221353 552033 5 有有1118TAT 上页上页返回返回下页下页线性代数总复习上页上页返回返回下页下页线性代数总复习考试安排考试安排第十六周周五第十六周周五3、4节课（节课（6月月10日）日）1、2班：教学班：教学5号楼号楼2023、4班：教学班：教学5号楼号楼204
