1、第七章第七章 静电场静电场两个重点两个重点：矢量积分矢量积分高斯定律高斯定律求电场强度求电场强度E描述静电场性质的两个基本物理量是描述静电场性质的两个基本物理量是 ；它；它们的定义式是们的定义式是 和和 。电场强度和电势 0qFE lEqWaa 电势零点电势零点d0 将一个试验电荷 q0(正电荷)放在带有负电荷的大导体 附近 P 点处，测得它所受的力为 F。若考虑到电量 q0 不是足够小，则 (A)F/q0 比 P 点处原先的场强数值大。(B)F/q0 比 P 点处原先的场强数值小。(C)F/q0 等于原先 P 点处场强的数值。(D)F/q0 与 P 点处场强数值关系无法确定。P+q0试验电荷
2、 q0 电量充分地小线度足够地小F-P+q0下列几个说法中哪一个是正确的？(A)电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向。(B)在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同。(C)场强方向可由 定出，其中 q 为试验电荷的电量，q 可正、可负，为试验电荷所受的电场力。(D)以上说法都不正确。qFE F关于电场强度的定义式 ，下列说法中哪个是正确的？(A)场强 的大小与试探电荷 q0 的大小成反比。(B)对场中某点，试探电荷受力 与 q0 的比值不因 q0 而变。(C)试探电荷受力 的方向就是场强 的方向。(D)若场中某点不放试探电荷 q0，则 ，从而 。0qFE
3、0 EEFEF0 F1.利用点电荷场强公式 场强迭加原理 通过矢量积分求场强 iiEErerQE420 rQQerqEE4dd20 选好微元，画出 ；引入密度，写出 dE。建立坐标，写出分量式；统一变量，写出积分式。定好上、下限，注意对称性；积分求结果，代数求数值。Ed作业7-3，作业7-5，作业7-7，作业7-9 课上例题5 一段半径为 a 的细圆弧，对圆心的张角为 0，其上均匀分布有正电荷 q，如图所示。试以 a、q、0 表示出圆心 O 处的电场强度。0+Oa解：取点电荷元 dq，ddd00aaqlaqq d0q dq 在 O 处产生的场强reaqE4dd20 建立坐标 XOY，圆弧与 Y
4、 轴对称。分解 ，cosddsinddEEEEyx 由对称性 Ex=0 cos4dd20 qqyyaqEE cos4d2220000 aq2sin20020 aq XYEyEd+adqdOEdre 2.利用电荷元场强公式 通过矢量积分求场强 QEEd选好微元，画出 ；引入密度，写出 dE。建立坐标，写出分量式；统一变量，写出积分式。定好上、下限，注意对称性；积分求结果，代数求数值。Ed习题7-3 习题7-6，作业7-7，作业7-20 如无限长均匀带电直线 均匀带电圆环轴线上记住：1.无限长带电线PxxE02 E均匀带电圆环圆心处0 OE2.均匀带电圆环(R，Q)轴线上 P 点 iRxxQE42
5、3220 OxPX3.无限大带电平面iE20 一“无限长”圆柱面，其电荷面密度由下式决定：=0cos，式中 角为半径 R 与 x 轴之间所夹 的 角，试 求 圆 柱 轴 线 上 一 点 的 场 强。解：将圆柱面分成许多与轴线平行的细长条，每条可视为无限长均匀带电直线，其电荷线密度为zxyOR dcos0R 它在 O 点产生的场强为 dcos22d000 RE在 x、y 轴上的两个分量 dcos2cosdd200 EEx dcossin2sindd00 EEy00202002dcos2 xE0dcossin22000 yEiiEEx200 积分 己知：均匀带电圆柱面，电量 Q，半径 R，长 L。
6、求：距圆柱面一侧为 a 的轴线上 P 点 EP=?解：思路 (1)利用圆环轴线上场强公式 ixRxqEx423220 RxxPOq(2)利用场强叠加法PaQLRPaQLR具体求解:选取环状电荷元 dqxLQqdd 写出 dq 在 P 处场强 232204ddxRxqEx 建立坐标，O 点在 P 处。总场强 aaLQxxxRxxLQEE232204dd C-xxOdxdqEd 22220114aLRRaLQEx iEEx aaLQxxxRxxLQEE232204dd 电荷均为+q 的两个点电荷分别位于 x 轴上的+a 和 a 位置，如图所示。则 y 轴上各点电场强度的表示式为 =，场强最大值的位
7、置在 y=。E jyaqy4223220 2a j为 y 方向单位矢量+q+q-a+aOxy二次叠加问题：二次叠加问题：7-8，7-10，7-20 在坐标原点放一正电荷 Q，它在 P 点(x=+1，y=0)产生的电场强度为 。现在，另外有一个负电荷 2Q，试问应将它放在什么位置才能使 P 点的电场强度等于零?(A)X 轴上 x 1。(B)X 轴上 0 x 1。(C)X 轴上 x 0。(E)Y 轴上 y 0。EXYO+QP(1，0)两根相互平行的“无限长”均匀带正电直线 1、2，相距为 d，其电荷线密度分别为 1 和 2，如图所示，则场强等于零的点与直线 1 的距离 a 为 。12ad12d21
8、1 如图所示，三如图所示，三 块块“无限大无限大”的均匀带电平行平面，的均匀带电平行平面，其 电 荷 面 密 度 都 是其 电 荷 面 密 度 都 是 +.则则 A、B、C、D 四个区域的电场强度分别为：四个区域的电场强度分别为：EA=，EB=，EC=，ED=。(垂直平板向右为场强的正方向垂直平板向右为场强的正方向)。A B C D+3/(20)/(20)/(20)-3/(20)A、B为真空中两个平行的为真空中两个平行的“无限大无限大”均匀带电平面，已知两平面均匀带电平面，已知两平面的电场强度的大小为的电场强度的大小为E0，两平面外侧的电场强度大小都为，两平面外侧的电场强度大小都为E0/3，方
9、向如图，则方向如图，则A、B两平面上的电荷密度分别为两平面上的电荷密度分别为 和和 。AB3400E 3200E 两条“半无限长”均匀带电直线平行于 x 轴放置，距离 x 轴的距离均为 a，且它们的左侧端点均在 y 轴上，如图所示。已知两者的电荷线电荷密度分别为+和 ，则坐标原点 O 处的场强 为 (A)。(B)。(C)。(D)。Oyx+-Eja40 ia20 ja20 ia40 均匀带电直线()的场中 P 点 coscos4210 xEx sinsin4120 xEy 半径为 R 的带有一缺口的细圆环，缺口长度为 d(d 2，S=q/0。(B)1 2，S=2q/0。(C)1=2，S=q/0。
10、(D)1 R)远处有一点电荷 q，则 通 过 该 半 球 面 的 电 通 量为 。220112Rlq OqlE 一电场强度为 的均匀电场，的方向与 X 轴正向平行，如图所示则通过图中一半径为 R 的半球面的电场强度通量为 (A)R2E。(B)R2E/2。(C)2R2E。(D)0。EEXOE 若匀强电场的场强为 ，其方向平行于半径为 半球面的轴，如图所示则通过此半球面的电通量 e 为 (A)R2E。(B)2R2E。(C)R2E/2。(D)。(E)。E22ERER22ORE一均匀带电直线长为一均匀带电直线长为d，电荷线密度为，电荷线密度为+，以导线中点，以导线中点O为球心，为球心，R为半径（为半径
11、（Rd）作一球面，如图所示，则通过该球面的电场强）作一球面，如图所示，则通过该球面的电场强度通量为度通量为 。带电直线的延长线与球面交点。带电直线的延长线与球面交点P处的电场强处的电场强度大小为度大小为 ，方向为，方向为 沿径矢方向向左沿径矢方向向左。OdPR0/d)4(220dRd 高斯定理高斯定理 (A)适用于任何静电场。适用于任何静电场。(B)只适用于真空中的静电场。只适用于真空中的静电场。(C)只适用于具有球对称性、轴对称性和平面对称只适用于具有球对称性、轴对称性和平面对称性的静电场。性的静电场。(D)只适用于虽然不具有只适用于虽然不具有(C)中所述的对称性、但中所述的对称性、但可以找
12、到合适的高斯面的静电场。可以找到合适的高斯面的静电场。图示为一具有球对称性分布的静电场的 E r 关系曲线。请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。(A)半径为 R 的均匀带电球面。(B)半径为 R 的均匀带电球体。(C)半径为 R、电荷体密度 =Ar(A为常数)的非均匀带电球体。(D)半径为 R、电荷体密度 =A/r(A为常数)的非均匀带电球体。21rE ORrEEr2D 图示为一具有球对称性分布的静电场的 E r 关系曲线。请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。(A)半径为 R 的均匀带电球面。(B)半径为 R 的均匀带电球体。(C)半径为 R、电荷体密度 =Ar(A为常数)的非均匀带电
13、 球体。(D)半径为 R、电荷体密度 =A/r(A为常数)的非均匀带 电球体。21rE ORrE 有一带电球体，其电荷体密度为 =k，k 为常数。则该球体内距球心为 r 处的电场强度的大小为 。03 krD 一个均匀带电球体，半径为 R，设球体内(r R)的电场强度为 Ee，则有 (A)Ei、Ee 均与 r 成正比。(B)Ei、Ee 均与 r2 成正比。(C)Ei 与 r 成反比，Ee 与 r2 成正比。(D)Ei 与 r 成正比，Ee 与 r2 成反比。设有一无限大均匀带正电的平面，取 x 轴垂直带电平面，坐标原点在带电平面上，则其空间各点的电场强度 随距平面的位置坐标 x 变化的关系曲线为
14、(规 定场强沿 x 轴正向为正，反之为负)：ExxxxEEEE 图中图线表示一种面对称性静电场的场强 的分布，x 表示离对称面的距离，规定场强方向沿 x 轴正向时为正值，反之为负值。这是由 产生的电场。ExE O无限大均匀带电平面 一无限大带电厚板，板厚为 2d，如图那样选 x 轴，电荷体密度 =0 x/d，式中 0 为常量。(1)求 x 0 各处的电场分布；(2)以 x=0 平面作为电势零点，求 0 x d 处的电势分布。xOd-d 0000d22 dSxxSESd 002 dE -d x d 时，020001d22 dxSxxSSEx (1)由电荷的对称性分布分析可知，厚壁两侧距 O点相同
15、距离处的场强大小相等，方向相反，取柱形高斯面。当 x d 时，解：EES0202 dxE (2)0 x d，分割的任何薄板的电场都向右，且与 x 无关，因此厚壁在 x 处形成的电场也与 x 无关。同理，x 0，场强也为此值，方向向左。x/处dx/厚的薄板的面电荷密度为0 x d，其左侧的薄板在该点形成向右的场强，其右侧的薄板在该点的场强向左，所以总场强。厚壁=很多无限大薄板。2202020002442d)()(dxkxxkxxxEdxxdxx xzyxq dddddxx d)(dxxEE002d)(d 024 kd dxxk00d2 220124dxkE (2)用高斯定理。OxSdx 0200
16、2d2 SkdxxSESd 024 kdE EESEE1求 0 x d 范围内的场强 E1 时，取一个底面在板内的柱形高斯面(下)。020012d SkxxxSSEESx 所以待求厚板的场强分布为厚壁两侧的场强大小相等，方向相反，x d，取柱形高斯面(上)。dxkddxdxkxkdxE，0202202404 204)(xd抛物线EOE0-E037 设电荷体密度 沿 X 轴方向按余弦规律 =0cosx 分布在整个空间，式中 0 为其幅值，试求空间的场强分布。YOZ 平面侧 面XSS+x-xEEO解：由题意知，电荷沿 X 轴方向按余弦规律变化，可判断场强 方向必沿 X 轴方向，且 相对YOZ 轴平
17、面对称分布。EE在 x 处作与 X 轴垂直的两个相同的平面 S，用 X 轴平行的侧面将其封闭为高斯面，如图所示。0)d(d VSVSESESES2d xSxxSVxxVsin2dcosd00 00sin22 xSSE 00sin xE 方向可由 E 值正、负确定，E 0 表示沿 X 轴正向，E 0 表示沿 X 轴负向。应用高斯定理时注意对称性的分析应用高斯定理时注意对称性的分析1、无限大均匀带电厚壁、无限大均匀带电厚壁)(x 2、无限大带电厚壁、无限大带电厚壁不能用高斯定理求不能用高斯定理求Oxdx 、关系关系注意：注意：无限大平面叠加无限大平面叠加02 E dxx)(Ox3921221021
18、4121rerqqF 库仑定律q1q221re 由场强求 1.点电荷：电场力EqF 2.任意带电体：作业7-1 iiriiierqqFFi0200410 点电荷受的电力+电力叠加原理 电荷元 QQqEFFddqEFdd 作业7-14 一个静止的氢离子(H+)在电场中被加速而获得的速率为一静止的氧离子(O+2)在同一电场中且通过相同路径被加速所获速率的：(A)2 倍。(B)倍。(C)倍。(D)4 倍。2224 一电矩为 的电偶极子在场强为 的均匀电场中，与 间的夹角为，则它所受的力矩的大小 M 。pEpE sinpE电偶极子在电场中所受的力矩EpM 例例 己知：均匀带电圆环己知：均匀带电圆环,半
19、径半径 R，线电荷密度为线电荷密度为 1，其轴线上放，其轴线上放一长为一长为 L，线电荷密度为线电荷密度为 2 的均的均匀带电直匀带电直线，线，AO=a，见图，见图，求：直求：直线段线段 AB 受的电场力？受的电场力？aOR 1AB 2解：思路解：思路 直直线段线段 AB 处在处在非非均匀均匀电场中，电场中，所所受的电场力：受的电场力：QdqEFdF求解求解:dqr(1)(1)分割分割 AB，取电荷元取电荷元dldq2 (2)(2)dq 所在处场强所在处场强 和和 dq 所受力：所受力：dqEFdeRrrREr 42232201 (3)(3)建立坐标，建立坐标，则则 dxRxRxEdqdF22
20、322042 x(4)(4)计算计算:2122232202123220211122RLaRaRFdxRxRxFdFLaaQ 方向向右方向向右OR 1AB 2aLF 如图所示，在场强为 的均匀电场中，A、B 两点间距离为d，AB 连线方向与 方向一致。从 A 点经任意路径到 B 点的场强线积分 =。ABlEd ABdEEd 0d)(任意任意LlE静电场环路定理EE 2121ppldE 电势差公式：电势差公式：7-24，7-27 d21211221 qWWlEqAPP电场力的功：电场力的功：图示图示BCD是以是以O点为圆心，以点为圆心，以R为半径的半圆弧，在为半径的半圆弧，在A点有一点有一电量为电
21、量为+q的点电荷，的点电荷，O点有一电量为点有一电量为-q的点电荷，线段的点电荷，线段BA=R，现将一单位正电荷从现将一单位正电荷从B点沿半圆弧轨道点沿半圆弧轨道BCD移到移到D点，则电场点，则电场力所作的功为力所作的功为 。一均匀静电场，电场强度一均匀静电场，电场强度 ，则点，则点a（3，2）和点）和点b(1,0)间的电势差为间的电势差为 。（点的坐标以米计）。（点的坐标以米计）BORDCA+q-qRq061.)600400(mVjiEV3102 A 半径为 r 的均匀带电球面 1，带电量 q；其外有一同心的半径为 R 的均匀带电球面 2，带电量 Q。则此两球面之间的电势差 1-2为:。rR
22、QRrq114 )B(114 )A(00 。rqRQrq004 )D(41 )C(D 如图示，直线 MN 长为 2l，弧 OCD 是以 N 点为中心，l 为半径的半圆弧，N 点有正电荷+q，M 点有正电荷-q。今将一实验电荷+q0 从 O 点出发沿路径 OCDP 移到无穷远处，设无穷远处的电势为零，则电场力做功 (A)A 0 且为有限常量。(C)A=。(D)A=0。MNOCPD+q-q 真空中有一半径为 R 的半圆细环，均匀带电 Q，如图所示。设无穷远处为电势零点，则圆心 O 点处的电势 0=，若将一带电量为 q 的点电荷从无穷远处移到圆心 O 点，则电场力做功 A=。ORQQ/40RqQ/4
23、0R 图中所示为静电场中的电场线图。若将一负电荷从 a 点经任意路径移到 b 点，电场力做正功还是负功?；a、b 两点哪一点电势高?。abE电场力做负功a 点电势高 在点电荷 q 的电场中，把一个电量为-1.010-9 C 的电荷，从无限远处(设无限远处电势为零)移到离该点电荷距离 0.1 m 处，克服电场力做功 1.810-5 J，则该点电荷的电量 q=。C1027 一偶极矩为 的电偶极子放在场强为 的均匀外电场中，与 的夹角为 角。在此电偶极子绕垂直于(，)平面的轴沿 角增加的方向转过 180o 的过程中，电场力做功 A=。ppEEpE cos2pE 图示 BCD 是以 O 点为圆心，以
24、R 为半径的半圆弧，在 A 点有一电荷为+q 的点电荷，O 点有一电荷为 q 的点电荷。线段 。现将一单位正电荷从 B 点沿半圆弧轨道 BCD 移到 D 点，则电场力所做的功为 。+qA-qBODCRq/(60R)RBA B 一带电量为 q 的质点垂直射入开有小孔的两带电平行板之间，如图所示。两平行板之间的电势差为 U，距离为 d，则此带电质点通过电场后，它的动能增量等于 (A)。(B)+qU。(C)-qU。(D)。d0U-qdqU qU21 图中所示以 O 为心的各圆弧为静电场的等势(位)线图，已知 123，在图上画出 a、b 两点的电场强度的方向，并比较它们的大小Ea Eb (填、=、)。
25、O123 a baEbE=例例 己知：电荷线密度为己知：电荷线密度为 ，长为长为 L 的均匀带电棒的均匀带电棒,其中垂线上其中垂线上一点电荷一点电荷 q。现将现将 q 从从 D 点沿点沿 1/4 圆弧移到圆弧移到 B 点，且点，且 OD=a，a L/2。求：电场对电荷求：电场对电荷 q 做的功。做的功。ODBa q解：按定义解：按定义 ADB=q(D-B)求出求出 D=?B=?建坐标，建坐标，在在 x 处取处取 dqxdqxdq=dx 20212202021220242LDLLDxadxxadqd 20212ln2aLaL 利用公式：利用公式：Ctttdt 221ln1LaLaxadxLLB
26、22ln440220 LaLaaaLLqADB22ln24ln24220 ODBa xdqx 20212ln2aLaLD 图示为两个同轴带电长直金属圆筒，内、外筒半径分别为 R1 和 R2，两筒间为空气，内外筒电势分别为 1=2U0，2=U0，U0 为一已知常量。求两金属圆筒之间的电势分布。2R1R解：设内筒电荷线密度为，由高斯定理可得两筒间的场强分布为：202rrE 两筒间的电势差为：1200021ln2d2d2121RRrrlEURRRR 由上式可得：1200ln2RRU 设两筒间任一点 P 的电势为，则 lERrd22 rRRRUUrRUrrRr2120020002lnln ln2d22
27、1 电势(1)0qW 电势零点电势零点任意路径任意路径PPlEd 定义1.利用电势定义，由场强积分法 电电势势零零点点PPlEd 步骤：(1)先算场强(2)选择合适的路径(3)积分(计算)【作业作业7-32】【】【习题习题7-29】一半径为 R 的带电球体，其电荷体密度分布为 r R (q 为一正的常数)=0 r R 试求：(1)带电球体的总电量；(2)球内、外各点的电场强度；(3)球内、外各点的电势。4Rqr 解：(1)在球内取半径为 r、厚度 dr 的薄球壳，该壳内所包含的电量为rRqrrrRqrVqd4d4dd4324 则球体所带的总电量qrrRqVQRV 034d4d(2)在球内作一半
28、径为 r1高斯球面，按高斯定理有404102401211d414RqrrrRqrErr 得 402114RqrE Rr 1 方向沿半径向外。在球体外作半径为 r2 的高斯球面，按高斯定理有1E02224 qEr 22024rqE 2E 方向沿半径向外。Rr 2(3)球内电势 RRlElEdd2011 RRrrrqrRqrd4d4204021 331040310421123RrRqRqrRq Rr 1 2d22rlE 20204d42rqrrqr Rr 2球外电势 把一个均匀带电量+Q 的球形肥皂泡由半径 r1，吹胀到 r2，则半径为 R(r1 R L/2。求：电场对电荷求：电场对电荷 q 做的
29、功。做的功。ODBa q解：按定义解：按定义 ADB=q(D-B)求出求出 D=?B=?建坐标，建坐标，在在 x 处取处取 dqxdqxdq=dx 20212202021220242LDLLDxadxxadqd 20212ln2aLaL 利用公式：利用公式：Ctttdt 221ln1LaLaxadxLLB 22ln440220 LaLaaaLLqADB22ln24ln24220 ODBa xdqx 20212ln2aLaLD B 已知均匀带电圆盘的静电场的电力线分布如图 所示。由这电力线分布图可断定圆盘边缘处一 点 P 的电势 P 与中心 O 的大小关系是 (A)P=O。(B)P O。(D)无
30、法确定的(因不知场强公式)。电场线与等势面的关系D 图中实线为某电场中的电力线，虚线表示等势（位）面，由图可看出 (A)EA EB EC，A B C。(B)EA EB EC，A B EB EC，A B C。(D)EA EB B C。ABCPO记忆典型场的场强和电势记忆典型场的场强和电势1、均匀带电球面(Q，R)(4)(020RrerQRrEr rERO21r )(4)(4 00 RrrQRrRQ rROr1 2、电偶极子在均匀外场中 的势能。Ep，EpW OPxxAB 3、均匀带电直线棒()的场中 P 点无限长带电直线irE20 注意方向 coscos4210 xEx sinsin4120 xEy1y2选 r0=0 rrP00ln2 4、均匀带电圆环(R，Q)轴线上 P 点 iRxxQE423220 XOx0 OE22041xRQ RQO041 P5、均匀带电圆盘(R，)轴线上 P 点ixRxE12220 无限大带电平面iE20 2220 xxR 02 RO 盘心处XxPO6、均匀带电球面(Q，R)RrerQRrEr 4 020 rERO21r )(4)(4 00 RrrQRrRQ rROr1 7、均匀带电球体(Q，R)rERO RrerQRrRrQEr 41 42030 21r r RrrQRrrRRQ 4 3802230 rjROr1
