1、 函数的奇偶性函数的奇偶性 复习目标复习目标1.理解函数的奇偶性的概念理解函数的奇偶性的概念,并能判断一并能判断一些简单函数的奇偶性些简单函数的奇偶性2.能利用函数奇偶性与图象的对称性的关能利用函数奇偶性与图象的对称性的关系解题系解题3.培养数形结合的能力培养数形结合的能力学习重点学习重点:函数奇偶性的分析函数奇偶性的分析学习难点学习难点:函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用 要点疑点考点 课 前 热 身 能力思维方法 延伸拓展误 解 分 析课堂小结 (1)如果对于函数如果对于函数f(x)定义域内任意一个定义域内任意一个x，都有都有f(-x)=f(x)，那么函数，那么函数f(x)就叫做偶函数就叫做
2、偶函数.(2)如果对于函数如果对于函数f(x)定义域内任意一个定义域内任意一个x，都有都有f(-x)=-f(x)，那么函数，那么函数f(x)就叫做奇函数就叫做奇函数 如果函数如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么是奇函数或偶函数，那么我们就说函数我们就说函数f(x)具有奇偶性具有奇偶性 1.1.函数的奇偶性的定义函数的奇偶性的定义 一般地，奇函数的图象关于原点对称，一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于轴
3、对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数轴对称，那么这个函数是偶函数 2.2.具有奇偶性的函数图象特点具有奇偶性的函数图象特点 (2)利用定理，借助函数的图象判定利用定理，借助函数的图象判定 3.3.函数奇偶性的判定方法函数奇偶性的判定方法 (1)根据定义判定，首先看函数的定义域根据定义判定，首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数非偶函数.若对称，再判定若对称，再判定f(-x)=f(x)或或f(-x)=-f(x).有时判定有时判定f(-x)=f(x)比较困难，可考虑比较困难，可考虑判定判定f(-x)f(x
4、)=0或判定或判定f(x)/f(-x)=1 返回返回 (3)重要性质重要性质 在定义域的公共部分内两奇函数之在定义域的公共部分内两奇函数之积积(商商)为偶函数；两偶函数之积为偶函数；两偶函数之积(商商)也为偶函也为偶函数；一奇一偶函数之积数；一奇一偶函数之积(商商)为奇函数为奇函数(注意取注意取商时分母不为零商时分母不为零)；偶函数在区间偶函数在区间(a，b)上递增上递增(减减)，则在，则在区间区间(-b，-a)上递减上递减(增增)；奇函数在区间；奇函数在区间(a，b)与与(-b，-a)上的增减性相同上的增减性相同.1.已知函数已知函数f(x)=ax2+bx+c(2a-3x1)是偶函数，则是偶
5、函数，则a_，b_，c_2.如果奇函数如果奇函数f(x)在在3,7上是增函数上是增函数,且最小值是且最小值是5,那那么么f(x)在在-7,-3上是上是 ()A.增函数且最小值为增函数且最小值为-5 B.增函数且最大值为增函数且最大值为-5C.减函数且最小值为减函数且最小值为-5 D.减函数且最大值为减函数且最大值为-53.已知奇函数已知奇函数f(x)在在x0时的表达式为时的表达式为f(x)=2x-1/2，则当则当x0时时,f(x)=_ 10R2x+1/2B返回返回4.已知已知y=f(x-1)是偶函数，则是偶函数，则y=f(x)的图象关于的图象关于()A.直线直线x+1=0对称对称 B.直线直线
6、x-1=0对称对称 C.直线直线x-1/2=0对称对称 D.y轴对称轴对称 A 1.1.判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：2432xxxf(1)1lg2xxxf(2)【解题回顾解题回顾】本题还可利用本题还可利用f(-x)+f(x)=0求解较简便求解较简便 01lglg22xxxxf(3)【解题回顾解题回顾】本题应先化简本题应先化简f(x)，再判断，再判断f(x)的奇偶的奇偶性，若直接判断性，若直接判断f(x)的奇偶性，即的奇偶性，即 f(x)为偶函数，这样就遗漏为偶函数，这样就遗漏f(x)也是奇函数也是奇函数 xfxxxxxf22221lglg1lglg xxxxf111(4)【解题
7、回顾解题回顾】判断函数的奇偶性时，应首先注意其判断函数的奇偶性时，应首先注意其定义域是否关于原点对称定义域是否关于原点对称.2.函数函数f(x),x R,若对于任意若对于任意a,b都有都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证求证:f(x)为奇函数为奇函数【解题回顾解题回顾】数学解题的过程就是充分利用已知条数学解题的过程就是充分利用已知条件实施由条件向结论的转化过程件实施由条件向结论的转化过程.当条件不能直接推当条件不能直接推出结论时就要想方设法创造使用条件的氛围，采用出结论时就要想方设法创造使用条件的氛围，采用逐步逼近的手法达到解题目的逐步逼近的手法达到解题目的.返回返回 3.已知已知(1)
8、判断判断f(x)的奇偶性；的奇偶性；(2)求证求证f(x)0 21121xxxf其定义域为x0的实数f（x）为偶函数.（2）证明：由解析式易见，当x0时，有f（x）0.又f（x）是偶函数，且当x0时x0，当x0时f（x）f（x）0，即对于x0的任何实数x，均有f（x）0.)12(212xx)12(212xx)12(212xx（1）解：f（x）x.又f（x）xxxf（x）其定义域为x0的实数返回返回【解题回顾解题回顾】(1)判断判断 的奇偶性要比直的奇偶性要比直接判断接判断f(x)的奇偶性要简洁；的奇偶性要简洁；(2)因为因为f(x)是偶函数，所以求证是偶函数，所以求证f(x)0的关键是证当的关
9、键是证当x0时，时，f(x)0 21121xxg变题变题1：已知：已知g(x)为奇函数，且为奇函数，且 ，判断判断f(x)的奇偶性的奇偶性 21121xxgxf变题变题2 已知函数已知函数 是偶函数，试求是偶函数，试求a的值的值.axxfx121 1判断函数是否具有奇偶性首先要看函数的定义判断函数是否具有奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称即函数定义域关于原点对称域是否关于原点对称即函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件是函数具有奇偶性的必要条件2.判断函数是否具有奇偶性一般要对解析式进行化判断函数是否具有奇偶性一般要对解析式进行化简，这样才能得出正确结论，如判断函数简，这样才能得出正确结论，如判断函数f(x)=1-x2+x2-1的奇偶性，在解答上很容易得出如下结论：的奇偶性，在解答上很容易得出如下结论：f(-x)=1-(-x)2+(-x)2-1=f(x),f(x)是偶函数是偶函数.事实上函数的定义域为事实上函数的定义域为-1，1，将，将f(x)=1-x2+x2-1化简得化简得f(x)=0.f(x)既是偶函数，又是奇函数既是偶函数，又是奇函数.返回返回 课堂小结1.函数奇偶性的判断方法2.函数奇偶性的图象特点3.函数奇偶性的用途
