1、 数学史复习数学史复习 1.数学史的意义与数学史的分期数学史的意义与数学史的分期n 数学史的科学意义数学史的科学意义n 数学史的文化意义数学史的文化意义n 数学史的教育意义数学史的教育意义 数学发展具有阶段性，因此研究者根据一定的原数学发展具有阶段性，因此研究者根据一定的原 则则 把数学史分成若干时期。通常采用的线索有：把数学史分成若干时期。通常采用的线索有：（1）按时代顺序；）按时代顺序；（2）按数学对象、方法等本身的质变过程）按数学对象、方法等本身的质变过程;（3）按数学发展的社会背景）按数学发展的社会背景.2.古埃及的数学古埃及的数学n莱茵德纸草书、莫斯科纸草书莱茵德纸草书、莫斯科纸草书
2、n古埃及人的记数法古埃及人的记数法 用以用以10为基的象形数字记数为基的象形数字记数 10进制进制 非位值制非位值制n古埃及人的算术知识古埃及人的算术知识 加、减、乘、除加、减、乘、除 分数运算分数运算 把分数化为单位分数把分数化为单位分数之和，利用数表进行。之和，利用数表进行。n古埃及人的几何知识古埃及人的几何知识 会计算正方形、矩形、等腰梯形和圆等图形的面会计算正方形、矩形、等腰梯形和圆等图形的面积；知道正四棱台体积的计算方法积；知道正四棱台体积的计算方法.n古埃及人的代数知识古埃及人的代数知识 会解一些特殊的一元一次方程和特殊的方程组会解一些特殊的一元一次方程和特殊的方程组 3.美索不达
3、米亚数学美索不达米亚数学 楔形文字泥板楔形文字泥板n古巴比伦的记数法古巴比伦的记数法 楔形文字楔形文字 六十进位制六十进位制 位值制位值制 没有表示零的记号没有表示零的记号n古巴比伦的算术知识古巴比伦的算术知识 加、减、乘、除加、减、乘、除 能借助泥板的数表进行平方、立能借助泥板的数表进行平方、立方、开平方和开立方的运算。方、开平方和开立方的运算。n古巴比伦的代数知识古巴比伦的代数知识 会解二次方程、指数方程、给出了若干组素毕氏会解二次方程、指数方程、给出了若干组素毕氏三元数组三元数组(即勾股数组即勾股数组)，还讨论了某些三次方程，还讨论了某些三次方程和可化为二次方程的四次方程和可化为二次方程
4、的四次方程 n古巴比伦的几何知识古巴比伦的几何知识 有三角形相似及对应边成比例的知识，会计算简有三角形相似及对应边成比例的知识，会计算简单平面图形面积和简单立体体积单平面图形面积和简单立体体积.4.古代希腊数学古代希腊数学 几个人物几个人物 学派学派 观点观点 n泰勒斯泰勒斯(约公元前约公元前625-前前547)创立爱奥尼亚学派创立爱奥尼亚学派 爱奥尼亚学派，其贡献在于开创了命题的证明爱奥尼亚学派，其贡献在于开创了命题的证明,为为建立几何的演绎体系迈出了第一步建立几何的演绎体系迈出了第一步.n毕达哥拉斯毕达哥拉斯(约公元前约公元前580-前前500)毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派 n毕达哥拉斯学
5、派以毕达哥拉斯学派以“万物皆数万物皆数”作为信条，将数作为信条，将数学理论从具体的事物中抽象出来，予数学以特殊学理论从具体的事物中抽象出来，予数学以特殊独立的地位。独立的地位。n毕达哥拉斯学派的主要数学成就毕达哥拉斯学派的主要数学成就n一一)算术上的成就算术上的成就 二二)几何上的成就几何上的成就 三三)无理量的发现无理量的发现第一次数学危机第一次数学危机n伊利亚学派伊利亚学派 以芝诺以芝诺(公元前公元前490前前430)为代表为代表.提出四个著名的悖论提出四个著名的悖论(二分说、追龟说、飞箭静止二分说、追龟说、飞箭静止说、运动场问题说、运动场问题),迫使哲学家和数学家深入思考迫使哲学家和数学
6、家深入思考无穷的问题。无穷的问题。n诡辩学派诡辩学派 主要代表人物有希比阿斯（约生于公主要代表人物有希比阿斯（约生于公元前元前460）、安提丰）、安提丰(约公元前约公元前480411)、布里、布里松松(约公元前约公元前450 左右左右)等等,均以雄辩著称均以雄辩著称.诡辩学派诡辩学派也称也称“智人学派智人学派”.智人学派对几何作图的三大问题有很大贡献智人学派对几何作图的三大问题有很大贡献.尺规作图的三大问题尺规作图的三大问题n化圆为方化圆为方 作一正方形，使其与一给定的圆面积作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。相等。n倍立方体倍立方体 求作一立方体的边，使该立方体的体求作一立方体的边，使该立
7、方体的体积为给定立方体的两倍。积为给定立方体的两倍。n三等分任意角三等分任意角 分一个给定的任意角为三个相等分一个给定的任意角为三个相等的部分。的部分。n雅典学院（柏拉图学派）雅典学院（柏拉图学派）哲学家柏拉图哲学家柏拉图(公元前公元前427 前前347)在雅典创办在雅典创办著名的柏拉图学园，培养了一大批数学家，成为著名的柏拉图学园，培养了一大批数学家，成为早期毕氏学派和后来长期活跃的亚历山大学派之早期毕氏学派和后来长期活跃的亚历山大学派之间联系的纽带。欧多克斯是该学园最著名的人物间联系的纽带。欧多克斯是该学园最著名的人物之一，他创立了同时适用于可通约量及不可通约之一，他创立了同时适用于可通约
8、量及不可通约量的比例理论。柏拉图的学生亚里士多德是形式量的比例理论。柏拉图的学生亚里士多德是形式主义的奠基者，其逻辑思想为日后将几何学整理主义的奠基者，其逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路在严密的逻辑体系之中开辟了道路.n亚里士多德学派亚里士多德学派 亚里士多德亚里士多德(公元前公元前384322)是柏拉图的学生。是柏拉图的学生。公元前公元前335 年建立了自己的学派年建立了自己的学派,因讲学于雅典因讲学于雅典吕园，又称吕园学派。吕园，又称吕园学派。亚历山大时期的数学亚历山大时期的数学n这一阶段以公元前这一阶段以公元前30 年罗马帝国吞并希腊为分界年罗马帝国吞并希腊为分界
9、,分为前后两期分为前后两期.亚历山大前期出现了希腊数学的亚历山大前期出现了希腊数学的黄金时期黄金时期,代表人物是名垂千古的三大几何学家代表人物是名垂千古的三大几何学家:欧几里得、阿基米德及阿波罗尼奥斯欧几里得、阿基米德及阿波罗尼奥斯.他们的成他们的成就标志了古典希腊数学的颠峰就标志了古典希腊数学的颠峰.欧几里得与欧几里得与几何原本几何原本n欧几里得总结古典希腊数学，欧几里得总结古典希腊数学，用公理方法整理几用公理方法整理几何学，写成何学，写成13卷卷几何原本几何原本。这部划时代历史。这部划时代历史巨著的意义在于它树立了用巨著的意义在于它树立了用 公理法建立起演绎数公理法建立起演绎数学体系的最早
10、典范。学体系的最早典范。几何原本几何原本编排形式、主要内容及其重大意义编排形式、主要内容及其重大意义n编排形式编排形式 欧几里得在前人的基础上欧几里得在前人的基础上,选定了若干公理选定了若干公理,把当把当时数学的几乎所有定理按逻辑顺序排列起来时数学的几乎所有定理按逻辑顺序排列起来,并分并分别给予论证别给予论证,使之成为一个完整的演绎体系使之成为一个完整的演绎体系,它在它在科学方法论上的意义已不仅限于数学科学方法论上的意义已不仅限于数学.n主要内容主要内容n重大意义重大意义阿基米德的数学成就阿基米德的数学成就 阿基米德是古代最伟大的数学家、力学家和机械阿基米德是古代最伟大的数学家、力学家和机械师
11、师.他在纯数学领域涉及的范围也很广他在纯数学领域涉及的范围也很广,其中一项其中一项重大贡献是建立多种平面图形面积和旋转体体积重大贡献是建立多种平面图形面积和旋转体体积的精密求积法的精密求积法,蕴含着微积分的思想蕴含着微积分的思想.阿波罗尼奥斯与阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论圆锥曲线论 阿波罗尼奥斯的阿波罗尼奥斯的 圆锥曲线论圆锥曲线论把前辈所得到的把前辈所得到的 圆锥曲线知识圆锥曲线知识,予以严格的系统化予以严格的系统化,并做出新的贡并做出新的贡 献献,对对17 世纪数学的发展有着巨大的影响世纪数学的发展有着巨大的影响古希腊数学的主要成就、特点与意义古希腊数学的主要成就、特点与意义 希腊数学在世界数
12、学史上首屈一指。希腊的创造希腊数学在世界数学史上首屈一指。希腊的创造对现代西方文化及今日数学的基础都起了重要的对现代西方文化及今日数学的基础都起了重要的作用作用.主要成就有：主要成就有：1)使数学成为抽象化学科使数学成为抽象化学科.这一重大贡献有其不可这一重大贡献有其不可估量的意义和价值估量的意义和价值.2)坚持演绎证明坚持演绎证明.3)完成了初等数学的主体完成了初等数学的主体.4)视数学等同于物理世界的实质视数学等同于物理世界的实质.5)重视数学的美学价值重视数学的美学价值.5.中国古代的数学中国古代的数学n中国数学从公元前后至公元中国数学从公元前后至公元14世纪世纪,先后经历了三先后经历了
13、三次发展高潮次发展高潮,即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期时期,其中宋元时期达到中国古典数学的顶峰其中宋元时期达到中国古典数学的顶峰.n记数法记数法 10进制进制 位值制位值制周髀算经周髀算经与与九章算术九章算术n周髀算经周髀算经编纂于西汉时期，它虽然是一本关编纂于西汉时期，它虽然是一本关于于“盖天说盖天说”的天文学著作，但是至少包括两项的天文学著作，但是至少包括两项数学成就数学成就.（1）勾股定理的特例或普遍形式（中国最早关于）勾股定理的特例或普遍形式（中国最早关于勾股定理的书面记载）勾股定理的书面记载）（2）测太阳高或远的）测太阳高或远的“陈子测日法陈子测
14、日法”九章算术九章算术的编排形式和主要内容及其重大意义的编排形式和主要内容及其重大意义 n九章算术九章算术在中国古代数学发展过程中占有非在中国古代数学发展过程中占有非常重要的地位常重要的地位.它经过许多人整理而成它经过许多人整理而成,大约成书大约成书于东汉时期于东汉时期.n编排形式编排形式:全书采用问题集的形式，收有全书采用问题集的形式，收有246个与个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问有问(题目题目)、答、答(答案答案)、术、术(解题的步骤，解题的步骤，但没有但没有证明证明),有的是一题一术，有的是多题一术或有的是一题一术，有的是多题一
15、术或题题多术多术.这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章及勾股九章.n主要内容主要内容 重大意义重大意义刘徽、祖冲之的数学成就刘徽、祖冲之的数学成就n刘徽割圆术的要领和思想刘徽割圆术的要领和思想 刘徽割圆术的要领是刘徽割圆术的要领是:取半径为取半径为1尺的圆尺的圆,作其作其内接正内接正6边形边形,然后逐渐倍增边数然后逐渐倍增边数,计算出同圆计算出同圆内接正内接正12边形、正边形、正24边形、正边形、正48边形、正边形、正96边形和正边形和正192边形的面积边形的面
16、积.并由不等式并由不等式 (其中其中S为为圆面积圆面积)，得到圆周率的近似值，得到圆周率的近似值157/50。刘徽这种刘徽这种“割之弥细割之弥细,所失弥少所失弥少,割之又割割之又割,以以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”的思的思想体现了他的极限思想。想体现了他的极限思想。19219219296()sssss n祖暅原理祖暅原理 “幂势既同幂势既同,则积不容异则积不容异.”这就是所谓的祖暅原这就是所谓的祖暅原理理.也就是也就是“等高处横截面积常相等的两个立体等高处横截面积常相等的两个立体,其其体积也必然相等体积也必然相等”.这一原理在欧洲由意大利数学这一原理在
17、欧洲由意大利数学家卡瓦列里于家卡瓦列里于17世纪重新发现世纪重新发现,所以西文文献一所以西文文献一般称该原理为卡瓦列里原理般称该原理为卡瓦列里原理.为了纪念祖冲之父子为了纪念祖冲之父子发现这一原理的重大贡献发现这一原理的重大贡献,人们也称该原理为人们也称该原理为 祖祖暅原理暅原理”.n算经十书算经十书 周髀算经周髀算经九章算术九章算术海岛算经海岛算经孙子孙子算经算经夏侯阳算经夏侯阳算经张丘建算张丘建算 经经缀术缀术五曹算经五曹算经、五经算五经算 术术缉古算经缉古算经 宋元数学宋元数学n中国传统数学的发展在宋元时代形成了高峰中国传统数学的发展在宋元时代形成了高峰 n宋元四大家宋元四大家 秦九韶、
18、杨辉、李冶、朱世杰秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰.宋元数学的主要成就：宋元数学的主要成就：1）高次方程的数值解法）高次方程的数值解法 贾宪三角与增乘开方法贾宪三角与增乘开方法 秦九韶的正负开方术秦九韶的正负开方术 2）一次同余组的一般解法）一次同余组的一般解法 中国剩余定理中国剩余定理 秦九韶的大衍求一术秦九韶的大衍求一术 3）内插法）内插法 朱世杰朱世杰“招差术招差术”（即高次内插法（即高次内插法)4）高阶等差级数求和）高阶等差级数求和 垛积术垛积术 5）代数符号化的尝试）代数符号化的尝试n天元术天元术 天元术是我国古代用专门的记号来表示未知数天元术是我国古代用专门的记号来表示未知数,列一元高列
19、一元高次方程的方法次方程的方法.用天元术列方程的方法与现代代数中列方用天元术列方程的方法与现代代数中列方程法相类似程法相类似,首先首先“立天元一为某某立天元一为某某”,相当于相当于“设设x为某为某某某”,在筹算盘上列天元式在筹算盘上列天元式,先确定未知数一次项系数的位先确定未知数一次项系数的位置置,在其旁置一在其旁置一“元元”字，其余各项按未知数幂次相对于字，其余各项按未知数幂次相对于一次项上下递增或递减排列一次项上下递增或递减排列.有时在常数项旁置一有时在常数项旁置一“太太”字来代替在一次项旁置元字来代替在一次项旁置元.n四元术四元术 四元术是我国古代用专门的记号来表示未知数四元术是我国古代
20、用专门的记号来表示未知数,列多元高列多元高次方程组次方程组 (最多最多4元元)的方法和解法的方法和解法.它由天元术发展而来它由天元术发展而来.四元术以四元术以 天、天、地、人、物表示未知数地、人、物表示未知数.在现存中国古算在现存中国古算书中，最早见于朱世杰著的书中，最早见于朱世杰著的四元玉鉴四元玉鉴，书中以实际问，书中以实际问题为例，叙述列四元方程组和逐次消元，求解的方法题为例，叙述列四元方程组和逐次消元，求解的方法.中国数学的主要成就、特点中国数学的主要成就、特点n主要成就主要成就 10进位值制进位值制,正负数正负数,比例算法比例算法,四则运算四则运算,线性方程线性方程组的解法一次同余式组
21、的解法组的解法一次同余式组的解法.高次方程的数值解高次方程的数值解法法,设未知数列方程高阶等差级数设未知数列方程高阶等差级数,极限理论极限理论,内插内插公式公式,圆周率圆周率,球体积求法球体积求法,二项式系数二项式系数 画法几何等画法几何等方面都是领先于世界的方面都是领先于世界的.n特点特点 1）以算法为中心，重视数学的应用。）以算法为中心，重视数学的应用。2）具有较强的社会性。）具有较强的社会性。3）寓理于算，理论高度概括。）寓理于算，理论高度概括。6.印度数学的主要成就印度数学的主要成就印度数码的历史和传播印度数码的历史和传播7.阿拉伯数学的主要成就阿拉伯数学的主要成就 花拉子米与他的花拉
22、子米与他的 还原与对消计算概要还原与对消计算概要（即（即代数学代数学）8.近代数学的兴起近代数学的兴起n三、四次方程求解三、四次方程求解n意大利数学家斐波那契意大利数学家斐波那契 n法国数学家韦达法国数学家韦达 法国数学家笛卡儿与费尔马法国数学家笛卡儿与费尔马n数学符号系统化数学符号系统化 n三角学、射影几何、计算技术与对数三角学、射影几何、计算技术与对数 n解析几何的诞生解析几何的诞生9.微积分的创立微积分的创立n17世纪世纪 牛顿牛顿 莱布尼茨莱布尼茨n背景和动因背景和动因 四类问题四类问题:1)求变速运动的瞬时速度求变速运动的瞬时速度 2)求曲线的切线求曲线的切线 3)求函数的最大值和最
23、小值求函数的最大值和最小值 4)求曲线的长度和曲线围成的面积求曲线的长度和曲线围成的面积 前驱工作前驱工作:开普勒与旋转体体积、开普勒与旋转体体积、卡瓦列里不可卡瓦列里不可分量原理、笛卡儿求切线的分量原理、笛卡儿求切线的“圆法圆法”、费马求费马求极值的代数方法、巴罗极值的代数方法、巴罗“微分三角形微分三角形”、沃利斯沃利斯“无穷算术无穷算术”10、18世纪的数学世纪的数学n 微积分的创立微积分的创立,被誉为被誉为“人类精神的最高胜利人类精神的最高胜利”.在在18世纪世纪,微积分进一步深入发展微积分进一步深入发展,这种发展与这种发展与广泛的应用紧密交织在一起广泛的应用紧密交织在一起,刺激和推动了
24、许多刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了数学新分支的产生，从而形成了“分析分析”这样这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域域.在数学史上在数学史上,18世纪可以说是分析的时代世纪可以说是分析的时代,也也是向现代数学过渡的重要时期是向现代数学过渡的重要时期.n 分析、代数与几何并列成为数学的三大学科分析、代数与几何并列成为数学的三大学科.n18世纪微积分最重大的进步是由欧拉作出的世纪微积分最重大的进步是由欧拉作出的.他他在在1748年出版的年出版的 无限小分析引论无限小分析引论 以及随后以及随后发表的发表的微分学微分学和和积分学积分学是微积
25、分史上里是微积分史上里程碑式的著作。程碑式的著作。n在在18世纪世纪,推进微积分及其应用推进微积分及其应用,贡献卓著的欧贡献卓著的欧洲大陆数学家中还特别要提到法国学派洲大陆数学家中还特别要提到法国学派,其代表其代表人物有克莱洛、人物有克莱洛、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯和勒让德等拉普拉斯和勒让德等.他们都在微积分发展史上他们都在微积分发展史上功不可没功不可没.微积分的发展微积分的发展n1818世纪微积分发展的一个历史性转折，是将函数世纪微积分发展的一个历史性转折，是将函数放到了中心的地位，而以往数学家们都以曲线作放到了中心的地位，而以往数学家们都以曲线作为微积分
26、的主要对象。这一转折首先也归功于数为微积分的主要对象。这一转折首先也归功于数学家欧拉，是他首先明确宣布：学家欧拉，是他首先明确宣布：“数学分析是关于数学分析是关于函数的科学，函数的科学，”微积分被看作是建立在微分基础上微积分被看作是建立在微分基础上的函数理论。的函数理论。这一时期微积分深入发展的几个主要方面是：这一时期微积分深入发展的几个主要方面是：（1）积分技术的推进和椭圆积分的产生与推）积分技术的推进和椭圆积分的产生与推 （2）微积分向多元函数的推广；）微积分向多元函数的推广；（3）无穷级数理论进一步研究；）无穷级数理论进一步研究；（4）函数概念的深化；）函数概念的深化；（5）微积分严格化
27、的尝试。）微积分严格化的尝试。微积分的应用与新分支的形成微积分的应用与新分支的形成 n18世纪数学的鲜明特征之一是微积分应用与力世纪数学的鲜明特征之一是微积分应用与力学的有机结合学的有机结合.一系列新数学分支在一系列新数学分支在18世纪成世纪成长起来，有常微分方程、偏微分方程和变分法长起来，有常微分方程、偏微分方程和变分法.（1）常微分方程）常微分方程n莱布尼茨莱布尼茨 伯努利兄弟伯努利兄弟 欧拉欧拉 克莱洛克莱洛 拉格朗日拉格朗日（2）偏微分方程）偏微分方程n达朗贝、欧拉、拉格朗日和拉普拉斯等达朗贝、欧拉、拉格朗日和拉普拉斯等（3）变分法）变分法变分法的奠基人是数学家欧拉和拉格朗日变分法的奠
28、基人是数学家欧拉和拉格朗日18世纪的几何世纪的几何 微分几何的形成微分几何的形成 克莱洛克莱洛 欧拉欧拉 蒙日蒙日 18世纪的的代数世纪的的代数n18世纪的代数学的主题仍是代数方程。世纪的代数学的主题仍是代数方程。18世纪代数方程论发展的一个方向是关于代数基世纪代数方程论发展的一个方向是关于代数基本定理的证明，另一个方向是高次方程根式可解本定理的证明，另一个方向是高次方程根式可解性问题探讨，第三个方向是方程组理论。性问题探讨，第三个方向是方程组理论。n关于代数基本定理的证明关于代数基本定理的证明代数基本定理（代数基本定理（n次方程恰有次方程恰有n个根）最早是由荷个根）最早是由荷兰数学家吉拉尔于
29、兰数学家吉拉尔于1629年提出的。年提出的。n欧拉、拉格朗日等都先后试着证明都未成功。欧拉、拉格朗日等都先后试着证明都未成功。n代数基本定理的第一个实质性证明是由数学家高代数基本定理的第一个实质性证明是由数学家高斯（斯（1799年）完成的年）完成的.n关于高次方程根式可解性问题探讨关于高次方程根式可解性问题探讨n拉格朗日作了非常重要的工作拉格朗日作了非常重要的工作:他在他在1770年发表长篇论文年发表长篇论文关于代数方程的思考关于代数方程的思考发发 现了一般三、现了一般三、四次方程的解四次方程的解的的“预解函数预解函数”,并猜测高次方程一般不能根式求解并猜测高次方程一般不能根式求解.拉格拉格朗
30、日最有启发性的思想是研究根的对称函数并考虑一个有朗日最有启发性的思想是研究根的对称函数并考虑一个有理函数当其变量置换时取值的个数理函数当其变量置换时取值的个数.这蕴含了置换群的概这蕴含了置换群的概念念.n关于方程组理论关于方程组理论 一是线性方程组与行列式的理论一是线性方程组与行列式的理论 瑞士数学家克拉默瑞士数学家克拉默 法国数学家范德蒙德法国数学家范德蒙德 二是对数的认识的发展与进步二是对数的认识的发展与进步 18世纪的数学家在澄清无理数的逻辑基础方面没有进展，世纪的数学家在澄清无理数的逻辑基础方面没有进展，但他们以相对平静的态度接受了一些数的但他们以相对平静的态度接受了一些数的“无理无理
31、”性性.n 欧拉于欧拉于1737年证明了年证明了e是无理数是无理数;兰伯特于兰伯特于1761年证明了年证明了是无理数稍后勒让德甚至猜测说是无理数稍后勒让德甚至猜测说可能不是任何有理系可能不是任何有理系数方程的根数方程的根,而这促使数学家们将无理数区分为代数数和而这促使数学家们将无理数区分为代数数和超越数超越数.1844年年,法国数学家刘维尔第一次证明了超越数的法国数学家刘维尔第一次证明了超越数的存在存在.1873年和年和1882年法国数学家埃尔米特和德国数学家年法国数学家埃尔米特和德国数学家林德曼又分别证明了林德曼又分别证明了e和和的超越性的超越性.18世纪数论的进展世纪数论的进展n费马提出的
32、部分费马提出的部分“定理定理”（猜想）（猜想）n欧拉的工作欧拉的工作n哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想n促进数学发展的两大因素促进数学发展的两大因素 外部因素外部因素生产实践和社会需生产实践和社会需求求 内部因素内部因素内在逻辑需要和解决数学内部的问内在逻辑需要和解决数学内部的问题题 n19世纪初，随着数学家们对当时数学发展进程中世纪初，随着数学家们对当时数学发展进程中提出的最突出的三个长期悬而未决的问题：高于提出的最突出的三个长期悬而未决的问题：高于四次的代数方程的根式求解问题；欧几里得几何四次的代数方程的根式求解问题；欧几里得几何中平行公理的证明问题和牛顿、莱布尼茨微积分中平行公理的证明问题和牛顿
33、、莱布尼茨微积分算法的逻辑基础问题的集中的关注和热烈的讨论算法的逻辑基础问题的集中的关注和热烈的讨论,使数学的发展产生了新的突破。数学在使数学的发展产生了新的突破。数学在19世纪跨世纪跨入了一个前所未有、突飞猛进的历史时期。入了一个前所未有、突飞猛进的历史时期。11、19世纪的数学世纪的数学一）代数学的新生一）代数学的新生1）代数方程的可解性与群的发现。）代数方程的可解性与群的发现。n挪威数学家年轻的阿贝尔第一个证明了挪威数学家年轻的阿贝尔第一个证明了“一般的五次和五一般的五次和五次以上方程根式解是不可能的次以上方程根式解是不可能的”n法国数学家伽罗瓦建立了判别方程根式可解的充分必要条法国数学
34、家伽罗瓦建立了判别方程根式可解的充分必要条件，从而宣告了方程根式可解这一经历了三百年的难题的件，从而宣告了方程根式可解这一经历了三百年的难题的彻底解决。彻底解决。n 伽罗瓦在研究方程根式可解问题中明确提出了群的概念伽罗瓦在研究方程根式可解问题中明确提出了群的概念.n代数学在代数学在19世纪由于群的概念的引进和发展而获得了新生。世纪由于群的概念的引进和发展而获得了新生。它不再仅仅是研究代数方程，而更多地是研究各种抽象的它不再仅仅是研究代数方程，而更多地是研究各种抽象的“对象对象”的运算关系。的运算关系。2）从复数推广到四元数的发现）从复数推广到四元数的发现 n四元数是爱尔兰数学家哈密顿在研究推广
35、复数的工作中发四元数是爱尔兰数学家哈密顿在研究推广复数的工作中发现的。四元数的发现是继伽罗瓦提出群的概念后，现的。四元数的发现是继伽罗瓦提出群的概念后，19世纪世纪代数学最重大的事件代数学最重大的事件.3）布尔代数）布尔代数n莱布尼茨提出了逻辑数学化的思想。在莱布尼茨提出了逻辑数学化的思想。在19世纪由英世纪由英国数学家布尔的逻辑代数或称布尔代数基本上完成国数学家布尔的逻辑代数或称布尔代数基本上完成了逻辑的演算工作。了逻辑的演算工作。4）代数数论）代数数论n自从德国数学家高斯在自从德国数学家高斯在1801年发表了他的年发表了他的算术研算术研究究后后,数论作为现代数学的一个重要分支得到了系数论作
36、为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展。统的发展。n库默尔在库默尔在1844年年1847年间创立了理想数理论。年间创立了理想数理论。n数学家戴德金又把库默尔的工作系统化，并加以推数学家戴德金又把库默尔的工作系统化，并加以推广，从而创立了现代代数数的理论。广，从而创立了现代代数数的理论。）非欧几何的诞生）非欧几何的诞生n德国数学家高斯、波兰数学家德国数学家高斯、波兰数学家J.波约、俄国数波约、俄国数学家罗巴切夫斯基、德国数学家黎曼学家罗巴切夫斯基、德国数学家黎曼 罗巴切夫斯基几何、黎曼几何罗巴切夫斯基几何、黎曼几何n非欧几何的产生的动因、思想及意义非欧几何的产生的动因、思想及意义 非欧几何的创
37、立不只是解决了两千年来一直非欧几何的创立不只是解决了两千年来一直悬而未决的平行公设问题，更重要的是它引起悬而未决的平行公设问题，更重要的是它引起了关于几何观念和空间观念的最深刻的革命。了关于几何观念和空间观念的最深刻的革命。首先，非欧几何对于人们的空间观念产生了极首先，非欧几何对于人们的空间观念产生了极其深刻的影响。其次，非欧几何的出现打破了其深刻的影响。其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面。局面。二）几何学的变革二）几何学的变革）射影几何的繁荣）射影几何的繁荣n庞斯列、默比乌斯、普吕克和施陶特庞斯列、默比乌斯、普吕克和
38、施陶特3）几何学的统一）几何学的统一n统一几何学的第一个大胆计划是由德国数学家克统一几何学的第一个大胆计划是由德国数学家克莱因莱因1872年提出的。年提出的。爱尔朗根纲领爱尔朗根纲领 变换群分类变换群分类n希尔伯特的公理化方法希尔伯特的公理化方法 几何基础几何基础（1899）选择和组织公理系统的原则，即相容性，独立性，选择和组织公理系统的原则，即相容性，独立性，完备性完备性 柯西的贡献柯西的贡献n 19世纪分析严格化真正有影响的先驱是法国数世纪分析严格化真正有影响的先驱是法国数学家柯西。学家柯西。n在分析方面，柯西最有代表性的著作是在分析方面，柯西最有代表性的著作是分析教分析教程程、无限小计算
39、教程概论无限小计算教程概论和和微分计算教微分计算教程程。它们以严格化为目的，对微积分的基本概。它们以严格化为目的，对微积分的基本概念，如变量、函数、极限、连续性、导数、微分、念，如变量、函数、极限、连续性、导数、微分、收敛等等给出了明确的定义，并在此基础上重建收敛等等给出了明确的定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实与定理。和拓展了微积分的重要事实与定理。三）分析的严格化和分析的扩展三）分析的严格化和分析的扩展“分析算术化分析算术化”运动及其实数的定义及其完备性运动及其实数的定义及其完备性的确立的确立n在在19世纪后半叶酿成了数学史上著名的世纪后半叶酿成了数学史上著名的“分析算分析算术
40、化术化”运动，其主将就是魏尔斯特拉斯。运动，其主将就是魏尔斯特拉斯。n魏尔斯特拉斯提出的所谓魏尔斯特拉斯提出的所谓“分析算术化分析算术化”的纲领的纲领是是:魏尔斯特拉斯认为实数赋予我们极限与连续等魏尔斯特拉斯认为实数赋予我们极限与连续等概念，从而成为全部分析的本源。要使分析严格概念，从而成为全部分析的本源。要使分析严格化化,首先就要使实数系本身严格化。为此，最可靠首先就要使实数系本身严格化。为此，最可靠的办法是按照严密的推理将实数归结为整数的办法是按照严密的推理将实数归结为整数 (有有理数理数).这样，分析的所有概念便可由整数导出，这样，分析的所有概念便可由整数导出，使以往的漏洞和缺陷都能得以
41、填补使以往的漏洞和缺陷都能得以填补.n在在1857年，魏尔斯特拉斯给出了第一个严格年，魏尔斯特拉斯给出了第一个严格的实数定义。的实数定义。1872年戴德金、康托尔梅雷和年戴德金、康托尔梅雷和海涅等人几乎同时发表了他们各自的实数理论。海涅等人几乎同时发表了他们各自的实数理论。n戴德金和康托尔的实数构造方法戴德金和康托尔的实数构造方法n戴德金和康托尔在他们各自的实数定义下都严戴德金和康托尔在他们各自的实数定义下都严格证明了实数系的完备性。格证明了实数系的完备性。n实数的定义及其完备性的确立标志着由魏尔斯实数的定义及其完备性的确立标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。特拉斯倡导的分析
42、算术化运动大致宣告完成。n魏尔斯特拉斯关于分析严格化工作的突出表现魏尔斯特拉斯关于分析严格化工作的突出表现是在柯西的基础上是在柯西的基础上,创造了一套创造了一套-语言，用以语言，用以重建分析体系。重建分析体系。集合论的诞生集合论的诞生n19世纪末，康托尔系统地发展了一般点集的理世纪末，康托尔系统地发展了一般点集的理论，并开拓了一个全新的数学研究领域，创立论，并开拓了一个全新的数学研究领域，创立了集合论。了集合论。分析的扩展分析的扩展n复分析的建立复分析的建立 柯西柯西 黎曼黎曼 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯 n解析数论的形成解析数论的形成 狄利克雷狄利克雷 俄国数学家切比俄国数学家切比雪夫雪夫 黎
43、曼黎曼 阿达马和瓦莱阿达马和瓦莱普桑普桑n数学物理与微分方程数学物理与微分方程 法国数学家傅立叶法国数学家傅立叶 英英国数学家格林国数学家格林 柯西柯西 俄国女数学家柯瓦列夫斯俄国女数学家柯瓦列夫斯卡娅卡娅 庞加莱庞加莱n1900年年8月月5日日,庞加莱宣布巴黎国际数学家大会庞加莱宣布巴黎国际数学家大会开幕，在这次会议期间，希尔伯特充满信心地走开幕，在这次会议期间，希尔伯特充满信心地走上讲台上讲台,作了题为作了题为数学问题数学问题的讲演的讲演,以他著名以他著名的的23个问题揭开了个问题揭开了20世纪数学的序幕世纪数学的序幕.n20世纪数学呈现出指数式的飞速发展，现代数学世纪数学呈现出指数式的飞
44、速发展，现代数学不再仅仅是代数、几何、不再仅仅是代数、几何、分析等经典学科的集合分析等经典学科的集合,而已成为分支众多的、而已成为分支众多的、庞大的知识体系并且仍在庞大的知识体系并且仍在继续急剧地变化发展之中。大体说来继续急剧地变化发展之中。大体说来,形成了现代形成了现代数学的三大方面：数学的三大方面：n数学核心领域（也称纯粹数学）的扩张数学核心领域（也称纯粹数学）的扩张n数学的空前广泛的应用数学的空前广泛的应用n计算机与数学的相互影响计算机与数学的相互影响12、20世纪数学概观世纪数学概观一）一）20世纪纯粹数学的发展世纪纯粹数学的发展n20世纪纯粹数学的发展表现出的主要特征或趋势世纪纯粹数
45、学的发展表现出的主要特征或趋势是：更高的抽象性、更强的统一性和更深入的基是：更高的抽象性、更强的统一性和更深入的基础探讨。础探讨。1）更高的抽象性）更高的抽象性n主要受到集合论观点的渗透和公理化方法的运用主要受到集合论观点的渗透和公理化方法的运用两大因素的推动。两大因素的推动。n在在20世纪初，集合论理论在数学中的作用越来越世纪初，集合论理论在数学中的作用越来越明显。集合概念本身被抽象化，集合已不必是数明显。集合概念本身被抽象化，集合已不必是数集或点集，而可以是任意性质的元素集合，引起集或点集，而可以是任意性质的元素集合，引起了数学中基本概念（如积分、函数、空间等）的了数学中基本概念（如积分、
46、函数、空间等）的深刻变革。深刻变革。n现代公理化方法的奠基人是希尔伯特。现代公理化方法的奠基人是希尔伯特。希尔伯特在希尔伯特在1899年提出第一个完备的公理系统。年提出第一个完备的公理系统。n希尔伯特的公理化方法有两个本质的飞跃：一是希尔希尔伯特的公理化方法有两个本质的飞跃：一是希尔伯特在几何对象上达到了更深刻的抽象；二是希尔伯伯特在几何对象上达到了更深刻的抽象；二是希尔伯特明确提出了对公理系统的基本逻辑要求特明确提出了对公理系统的基本逻辑要求,即相容性、即相容性、独立性和完备性。独立性和完备性。n集合论观点和公理化方法在集合论观点和公理化方法在20世纪逐渐成为数学抽象世纪逐渐成为数学抽象的范
47、式，它们相互结合将数学的发展引向了高度抽象的范式，它们相互结合将数学的发展引向了高度抽象的道路。的道路。导致了导致了20世纪上半叶实变函数论、泛函分世纪上半叶实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数等具有标志性的四大抽象分支析、拓扑学和抽象代数等具有标志性的四大抽象分支的崛兴。这四大分支所创造的抽象语言、结构及方法的崛兴。这四大分支所创造的抽象语言、结构及方法,又渗透到数论、又渗透到数论、微分方程论、微分几何、代数几何、微分方程论、微分几何、代数几何、复变函数论及概率论等经典学科，推动它们在抽象的复变函数论及概率论等经典学科，推动它们在抽象的基础上革新提高、演化发展。基础上革新提高、演化发展。2
48、）更强的统一性）更强的统一性n20世纪以来，数学的不同学科相互渗透、结合的趋势世纪以来，数学的不同学科相互渗透、结合的趋势开始产生和发展，到开始产生和发展，到20世纪下半叶，这种统一化的趋世纪下半叶，这种统一化的趋势空前加强，不同分支领域的数学思想与数学方法相势空前加强，不同分支领域的数学思想与数学方法相互融合，导致了一系列重大发现，数学内部新的综合互融合，导致了一系列重大发现，数学内部新的综合交叉学科不断兴起。交叉学科不断兴起。n布尔巴基学派布尔巴基学派n一群年青法国数学家的集体笔名一群年青法国数学家的集体笔名 宗旨是用结构的观点来综合、概括现代数学的各个分宗旨是用结构的观点来综合、概括现代
49、数学的各个分支支.（代数结构、拓扑结构、序结构）（代数结构、拓扑结构、序结构）n代表作代表作数学原本数学原本1939年出版第年出版第1卷，以后每二、卷，以后每二、三年出一卷，到三年出一卷，到1975年已出版了年已出版了36卷卷,暂告一段落暂告一段落.（1）集合论悖论（罗素悖论）集合论悖论（罗素悖论）n1901年，英国数学家罗素提出一个关于集合的年，英国数学家罗素提出一个关于集合的“悖论悖论”，引起了关于数学基础的争论，由此促引起了关于数学基础的争论，由此促 进了数理逻辑的发展进了数理逻辑的发展.n罗素悖论：记罗素悖论：记 此时，此时，若若M M,则由则由M的定义有的定义有 若若 ,则由构成则由
50、构成M中元素的条件有中元素的条件有MMn1908年年,策梅罗采用集合论公理化的方法策梅罗采用集合论公理化的方法,来消来消除罗素悖论除罗素悖论3）更深入的基础探讨）更深入的基础探讨MA A AMMMMn逻辑主义逻辑主义 代表人物代表人物(英国的罗素英国的罗素)n直觉主义直觉主义 代表人物代表人物(荷兰的布劳威尔荷兰的布劳威尔)n形式主义形式主义 代表人物代表人物(德国的希尔伯特德国的希尔伯特)这三大学派这三大学派,在在20世纪世纪30年代间非常活跃年代间非常活跃,相互相互争论非常激烈争论非常激烈.现在看来现在看来,他们都未能对数学基他们都未能对数学基础作出令人满意的解答础作出令人满意的解答.但他
