1、2021-2022学年广东省人大附中深圳学校高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合是目要求的）1（5分）直线y+3x30的倾斜角为（）A6B3C23D562（5分）已知向量a=(2，3，-4)，b=(-3，2x，y)分别是平面，的法向量，若，则（）Ax=94，y=-6Bx=-94，y=6Cx=-92，y=6Dx=-92，y=63（5分）焦点在x轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（）Ax24+y23=1Bx24+y2=1Cx22+y2=1Dx2+y24=14（5分）圆C1：（x2）2+（
2、y+2）2r2（r0）与圆C2：（x+1）2+（y2）24，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数r等于（）A7B3C3或7D不确定5（5分）“a=-13“是“A（3，4），B（6，3）两点到直线l：ax+y+10的距离相等”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分且必要条件D既不充分又不必要条件6（5分）已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（）A223B1C2D227（5分）若圆x2+y24与圆x2+y2+2ay60（a0）的公共弦长为23，则a（）A1B1.5C2D2.58（5分）若圆M：x2+y26x+8y0上至少有3个点到直线l：y
3、1k（x3）的距离为52，则k的取值范围是（）A-3，0)(0，3B-3，3C(-，-33，+)D(-，-3)(3，+)二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）（多选）9（5分）下列说法正确的是（）A点P（1，2，3）关于xOy平面对称的点的坐标是P（1，2，3）B若a，b，c为空间中一组基底，则a+b，a-b，c可构成空间另一组基底C在ABC中，若AD=12AB+12AC，则点D是边BC的中点D已知A，B，C三点不共线，若OD=12OA+13OB+14OC，则A，B，C，D四点一定
4、共面（多选）10（5分）已知曲线C：y2m（x24），其中m为非零常数，则下列结论中正确的是（）A当m1时，则曲线C是一个圆B当m0时，则曲线C是一个椭圆Cm3时，则曲线C是焦点为(0，22)的椭圆D若曲线C是离心率为22的椭圆，则m2（多选）11（5分）如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面为菱形，C1CBC1CDBCD60，CDCC11，则下列结论正确的是（）ACA1=6BCBC1DC平面CA1A平面BC1DDCA1与A1A所成角的余弦值为33（多选）12（5分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比（1）为定值的点的轨迹是圆”
5、后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（4，0），点P满足|PA|PB|=12，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（）AC的方程为（x4）2+y216B当A，B，P三点不共线时，ABP面积的最大值为12C当A，B，P三点不共线时，射线PO是APB的角平分线D在C上存在点M，使得|MO|2|MA|三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）椭圆x225+y29=1上一点P到焦点F1的距离是6，那么P到焦点F2的距离 14（5分）写出符合条件：圆心在直线yx+1上，且与x轴相切的一个圆的标准方程是 15（5分）若正方
6、形一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 ， 16（5分）设mR，过定点A的动直线x+my0和过定点B的动直线mxym+30交于点P（x，y）则|PA|PB|的最大值是 四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知ABC的顶点A（1，1），C（3，4），边BC的垂直平分线所在直线方程为xy50（1）求边BC所在直线方程；（2）求ABC的面积18（12分）如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PD面ABCD，PDDA2，F，E分别为AD，PC的中点（1）证明：DE面PFB；（2）求点E到平面PFB的距离
7、19（12分）已知圆C的方程为（x1）2+（y2）24（）求过点M（3，1）的圆C的切线方程；（）若直线axy+40与圆C交于A、B两点，且|AB|23，求实数a的值20（12分）在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在棱CC1上，且CPCC1（01）（1）当=14时，求直线AP与平面BB1C1C所成的角的正弦值；（2）是否存在，使平面APD1与平面ABCD的夹角的余弦为23，若存在，求值，若不存在，说明理由21（12分）圆C：（x1）2+（y1）21（C为圆心），动点D在圆C上，且CQ=2CD（1）求点Q的轨迹E的方程；（2）若P为直线l：2x+y+20上的动点，过点P作E的两条
8、切线PA，PB，切点分别为A，B求|AB|最小值，并求此时P点坐标22（12分）如图1，某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2m的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为20m的正方形因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器P的移动速度为1.5m/s，仪器Q的移动速度为1m/s若仪器P与仪器Q的对视光线被花柱阻挡，则称仪器Q在仪器P的“盲区”中（1）如图2，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器P在点A处，仪器Q在BC上距离C点4m处，试判断仪器Q是否在仪器P的“盲区”中，并说明理由；（2）如图3，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器P从点A出发向点D移动，同时仪器
9、Q从点C出发向点B移动，在这个移动过程中，仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为多少？2021-2022学年广东省人大附中深圳学校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合是目要求的）1（5分）直线y+3x30的倾斜角为（）A6B3C23D56【解答】解：设直线y+3x-3=0的倾斜角是（0），则直线方程可化为y=-3x+3，斜率ktan=-3，0，=23故选：C2（5分）已知向量a=(2，3，-4)，b=(-3，2x，y)分别是平面，的法向量，若，则（）Ax=94，y=-6Bx=-94，y=6Cx=-92，
10、y=6Dx=-92，y=6【解答】解：向量a=(2，3，-4)，b=(-3，2x，y)分别是平面，的法向量，ab，-32=2x3=y-4，解得x=-94，y6故选：B3（5分）焦点在x轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（）Ax24+y23=1Bx24+y2=1Cx22+y2=1Dx2+y24=1【解答】解：根据题意，要求椭圆的焦点在x轴上，设其方程为x2a2+y2b2=1，（ab0）若右焦点到短轴端点的距离为2，则c2+b24，即a24，则a2，又右焦点到左顶点的距离为3，则a+c3，即c1，则b2a2c2413；故椭圆的方程为：x24+y23=1；故选：A4
11、（5分）圆C1：（x2）2+（y+2）2r2（r0）与圆C2：（x+1）2+（y2）24，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数r等于（）A7B3C3或7D不确定【解答】解：圆C1：（x2）2+（y+2）2r2（r0），圆心（2，2），半径为r，圆C2：（x+1）2+（y2）24，圆心（1，2），半径为2，两个圆有且只有一个公共点，两个圆内切或外切，圆心距：(2+1)2+(-2-2)2=5，内切时，5r2，解得r7，外切时，5r+2，解得r3，故选：C5（5分）“a=-13“是“A（3，4），B（6，3）两点到直线l：ax+y+10的距离相等”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分且
12、必要条件D既不充分又不必要条件【解答】解：A（3，4），B（6，3）两点到直线l：ax+y+10的距离相等，|-3a-4+1|a2+1=|6a+3+1|a2+1，解得a=-79或-13，故“a=-13“是“A（3，4），B（6，3）两点到直线l：ax+y+10的距离相等”的充分不必要条件故选：A6（5分）已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（）A223B1C2D22【解答】解：A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），AB=（1，0，0），BC=（1，2，2），点A到直线BC的距离为：d|AB|1-(cosAB，BC)211-(-113
13、)2=223故选：A7（5分）若圆x2+y24与圆x2+y2+2ay60（a0）的公共弦长为23，则a（）A1B1.5C2D2.5【解答】解：两圆x2+y24与x2+y2+2ay60（a0）相减，得两圆公共弦所在直线方程为：2ay2，即ay1，圆x2+y24的圆心（0，0），半径r2，圆心（0，0）到直线ay1的距离d=|1|a2=1a，圆x2+y24与圆x2+y2+2ay60（a0）的公共弦长为23，由勾股定理得r2=d2+(232)2，即4=1a2+3，解得a1故选：A8（5分）若圆M：x2+y26x+8y0上至少有3个点到直线l：y1k（x3）的距离为52，则k的取值范围是（）A-3，0
14、)(0，3B-3，3C(-，-33，+)D(-，-3)(3，+)【解答】解析：圆M的标准方程为：（x3）2+（y+4）252，圆心M（3，4），半径为5，要满足题意，由圆的几何性质得圆心M（3，4）到直线l：y1k（x3）的距离不超过52，则|5|1+k252，解得k23，即k3或k-3故选：C二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）（多选）9（5分）下列说法正确的是（）A点P（1，2，3）关于xOy平面对称的点的坐标是P（1，2，3）B若a，b，c为空间中一组基底，则a+b，a-b
15、，c可构成空间另一组基底C在ABC中，若AD=12AB+12AC，则点D是边BC的中点D已知A，B，C三点不共线，若OD=12OA+13OB+14OC，则A，B，C，D四点一定共面【解答】解：点P（1，2，3）关于xOy平面对称的点的坐标是P（1，2，3），故A错误；若a，b，c为空间中一组基底，则a，b，c三个向量互不共面；则a+b，a-b，c也互不共面，故a+b，a-b，c可构成空间向量的一组基底，故B正确；在ABC中，若AD=12AB+12AC=12(AB+AC)，则点D是边BC的中点，故C正确；已知A，B，C三点不共线，OD=12OA+13OB+14OC，因为12+13+141，所以A
16、，B，C，D四点不共面，故D错误故选：BC（多选）10（5分）已知曲线C：y2m（x24），其中m为非零常数，则下列结论中正确的是（）A当m1时，则曲线C是一个圆B当m0时，则曲线C是一个椭圆Cm3时，则曲线C是焦点为(0，22)的椭圆D若曲线C是离心率为22的椭圆，则m2【解答】解：A：当m1时，曲线C为：x2+y24，表示圆心在原点，半径为2的圆，故A正确；B：将曲线C变形为：mx2y24m，整理得x24+y2-4m=1，因为m0，所以4m0，当m1时，4m4，此时曲线C表示圆，当m0且m1时，曲线C表示椭圆，故B错误；C：m3时，曲线C：x24+y212=1，表示焦点在y轴上的椭圆，其中
17、a23，b2，所以c=a2-b2=22，所以焦点坐标为（0，22），故C正确；D：将曲线C整理为x24+y2-4m=1，若曲线C是离心率为22的椭圆，若椭圆焦点在x轴上，则44m0，即1m0，此时a24，b24m，所以c=4+4m，因为离心率为22，所以ca=4+4m2=22，解得m=-12，符合题意；，若椭圆焦点在y轴上，则4m4，即m1，此时b24，a24m，所以c=a2-b2=-4m-4，因为离心率为22，所以ca=-4m-4-4m=22，解得m2，也符合题意，所以m=-12或2，故D错误；故选：AC（多选）11（5分）如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面为菱形，C1CBC1C
18、DBCD60，CDCC11，则下列结论正确的是（）ACA1=6BCBC1DC平面CA1A平面BC1DDCA1与A1A所成角的余弦值为33【解答】解：设CD=a，CB=b，CC1=c，所以|a|=|b|=|c|=1，a，b=a，c=b，c=60，ab=ac=bc=12，所以CA1=CD+DA+AA1=a+b+c，所以|CA1|=CA12=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1+1+1+2123=6，故A正确；CB=b，C1D=CD-CC1=a-c，所以CBC1D=b(a-c)=ba-bc=0，所以CBC1D，即CBC1D，故B正确；因为BDCC1=（a-b）c=ac-bc
19、=0，所以BDCC1，即BDCC1，因为底面为菱形，所以ACBD，又ACCC1C，所以BD平面ACC1A1，因为BD平面BC1D，所以平面CA1A平面BC1D，故C正确；因为CA1AA1=（a+b+c）c=ac+bc+c2=12+12+1=2，所以cosCAA1=CA1AA1|CA1|AA1|=261=63，故D错误；故选：ABC（多选）12（5分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比（1）为定值的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（4，0），点P满足|P
20、A|PB|=12，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（）AC的方程为（x4）2+y216B当A，B，P三点不共线时，ABP面积的最大值为12C当A，B，P三点不共线时，射线PO是APB的角平分线D在C上存在点M，使得|MO|2|MA|【解答】解：对于A，设P（x，y），因为P满足|PA|PB|=12，所以(x+2)2+y2(x-4)2+y2=12，化简得x2+8x+y20，即（x+4）2+y216，所以C的方程为（x+4）2+y216，故A错误；对于B，设P（x，y）在圆上，又A（2，0），B（4，0），又因为圆C与B重合，所以P（4，4）时，三角形ABP面积最大，最大为1264=12，故B正
21、确；对于C，当A，B，P三点不共线时，因为|PA|PB|=12，|OA|2，|OB|4，所以|OA|OB|=12，所以|PA|PB|=|OA|OB|，所以射线PO是APB的平分线，故C正确；对D，存在M（x0，y0），8x00，满足|MO|2|MA|，则x02+y02=2(x0+2)2+y02，化简得x02+163x0+163+y02=0，又因为x02+8x0+y02=0，所以x02，产生矛盾，所以不存在点M满足|MO|2|MA|，故D错误；故选：BC三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）椭圆x225+y29=1上一点P到焦点F1的距离是6，那么P到焦点F2的距离 4【解
22、答】解：根据题意，椭圆x225+y29=1中a=25=5，则有|PF1|+|PF2|2a10，又由|PF1|6，则|PF2|1064，即P到焦点F2的距离为4；故答案为：414（5分）写出符合条件：圆心在直线yx+1上，且与x轴相切的一个圆的标准方程是 （x1）2+（y2）24（答案不唯一）【解答】解：根据题意，设要求圆的圆心为（a，b），其半径r|b|，圆心在直线yx+1上，则有ab+10，圆心坐标可以为（1，2），则要求圆的方程可以为（x1）2+（y2）24；故答案为：（x1）2+（y2）24（答案不唯一）15（5分）若正方形一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率
23、分别为 12，2【解答】解：正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为3，建立直角坐标系，如图所示：设对角线OB所在直线的倾斜角为，则tan3，由正方形性质可知，直线OA的倾斜角为45，直线OB的倾斜角为+45，所以kOA=tan(-45)=tan-tan451+tantan45=3-11+3=12，KOB=-1KOA=-2故答案为：12；216（5分）设mR，过定点A的动直线x+my0和过定点B的动直线mxym+30交于点P（x，y）则|PA|PB|的最大值是 5【解答】解：由题意可知，动直线x+my0经过定点A（0，0），动直线mxym+30即 m（x1）y+30，经过定点B（1，3），
24、注意到动直线x+my0和动直线mxym+30始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PAPB，|PA|2+|PB|2|AB|210故|PA|PB|PA|2+|PB|22=5（当且仅当|PA|=|PB|=5时取“”）故答案为：5四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知ABC的顶点A（1，1），C（3，4），边BC的垂直平分线所在直线方程为xy50（1）求边BC所在直线方程；（2）求ABC的面积【解答】解：（1）由题意边BC的垂直平分线所在直线方程为xy50，则kBC1，又C（3，4）BC边的直线方程为y+4（1）（x3），即x+y+10，（2）由
25、题意xy50是BC边的垂直平分线，所以点B与点C关于xy50对称，设B（a，b），则BC中点为（a+32，b-42），代入x-y-5=0x+y+1=0得a=1b=-2，所以B（1，2），|BC|=(1-3)2+(-2+4)2=22，A点到BC的距离为d=|1+1+1|2=322，所以SABC=1222322=318（12分）如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PD面ABCD，PDDA2，F，E分别为AD，PC的中点（1）证明：DE面PFB；（2）求点E到平面PFB的距离【解答】（1）证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知：P（0，0，2），B（2，2，0），E（
26、0，1，1），FP=(-1，0，2)，FB=(1，2，0)，DE=(0，1，1)，设平面PFB的法向量n=(x，y，z)，则nFP=-x+2z=0nFB=x+2y=0，取x2，得n=(2，-1，1)，DEn=0，DE不包含于平面PFB，DE面PFB（2）解：PE=（0，1，1），平面PFB的法向量n=(2，-1，1)，点E到平面PFB的距离d=|PEn|n|=|0-1-1|6=63点E到平面PFB的距离为6319（12分）已知圆C的方程为（x1）2+（y2）24（）求过点M（3，1）的圆C的切线方程；（）若直线axy+40与圆C交于A、B两点，且|AB|23，求实数a的值【解答】解：（）由圆的
27、方程得到圆心（1，2），半径r2，当直线斜率不存在时，方程x3与圆相切；当直线斜率存在时，设方程为y1k（x3），即kxy+13k0，由题意得：|k-2+1-3k|k2+1=2，解得：k=34，方程为y1=34（x3），即3x4y50，则过点M的切线方程为x3或3x4y50；（）|AB|23，圆心到直线的距离为1，|a-2+4|a2+1=1，a=-3420（12分）在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在棱CC1上，且CPCC1（01）（1）当=14时，求直线AP与平面BB1C1C所成的角的正弦值；（2）是否存在，使平面APD1与平面ABCD的夹角的余弦为23，若存在，求值，若不存
28、在，说明理由【解答】解：（1）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为正方体的棱长为4，且CPCC1（01），且=14，则A（4，0，0），P（0，4，1），所以AP=(-4，4，1)，又平面BB1C1C的一个法向量为DC=(0，4，0)，所以|cosAP，DC|=|APDC|AP|DC|=1616+16+14=43333，故直线AP与平面BB1C1C所成的角的正弦值为43333；（2）因为CPCC1（01），则P（0，4，4），又D1（0，0，4），所以AD1=(-4，0，4)，D1P=(0，4，4-4)，设平面APD1的法向量为n=(x，y，z)，则nAD1=0nD1P=0，即-
29、4x+4z=04y+(4-4)z=0，令x1，则z1，y1，故n=(1，1-，1)，平面ABCD的一个法向量为m=(0，0，1)，所以|cosn，m|=|nm|n|m|=11+(1-)2+1=12+(1-)2，因为平面APD1与平面ABCD的夹角的余弦为23，所以12+(1-)2=23，解得=12，故存在=12，使平面APD1与平面ABCD的夹角的余弦为2321（12分）圆C：（x1）2+（y1）21（C为圆心），动点D在圆C上，且CQ=2CD（1）求点Q的轨迹E的方程；（2）若P为直线l：2x+y+20上的动点，过点P作E的两条切线PA，PB，切点分别为A，B求|AB|最小值，并求此时P点坐
30、标【解答】解：（1）由题意CQ=2CD，|CQ|2|CD|，则Q点的轨迹是以（1，1）为圆心，2为半径的圆，即（x1）2+（y1）24，轨迹E的方程（x1）2+（y1）24，（2）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由于PCCA，PBCB，|AB|的长度由ACB的大小而定，即由CPA而定，tanCPA=CAAP，又AP2PC2+CA2，当AP最小时，PC最小，即CPl，此时tanCPA最大，即CPA最大，即ACB最小，此时|AB|最小，l的斜率为2，lCP斜率为12，所以l的方程y=12（x1）+1=12x+12，则联立y=12x+12y=-2x-2，得P点的坐标为（1，0
31、），|CP|=(1+1)2+12=5，又|PA|PB|1，则122|PA|CA|=|CP|AB|，得|AB|4522（12分）如图1，某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2m的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为20m的正方形因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器P的移动速度为1.5m/s，仪器Q的移动速度为1m/s若仪器P与仪器Q的对视光线被花柱阻挡，则称仪器Q在仪器P的“盲区”中（1）如图2，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD，仪器P在点A处，仪器Q在BC上距离C点4m处，试判断仪器Q是否在仪器P的“盲区”中，并说明理由；（2）如图3，斑马线的内侧连线构成正方形
32、ABCD，仪器P从点A出发向点D移动，同时仪器Q从点C出发向点B移动，在这个移动过程中，仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为多少？【解答】解：（1）建立如图1所示的平面直角坐标系，则Q（10，6），P（10，10），所以kPQ=45，则直线PQ的方程为45x-y-2=0，即4x5y100，故圆心O到直线PQ的距离为d=1041=1041412，所以圆O与直线PQ相交，故仪器Q在仪器P的“盲区”中（2）建立如图2所示的平面直角坐标系，则A（10，10），B（10，10），C（10，10），D（10，10），由题意可知，起始时刻仪器Q在仪器P的“盲区”中，假设仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为ts，则P(-10，32t-10)，Q(10，10-t)，所以直线PQ的斜率为kPQ=8-t8，则直线PQ的方程为y（10t）=8-t8（x10），即（t8）x+8y2t0，从而点O到直线PQ的距离为d=|-2t|(t-8)2+642，解得t8，又t0，所以0t8，故在这个移动过程中，仪器Q在仪器P的“盲区”中的时长为8s第21页（共21页）
