1、-1信号处理原理徐明星清华大学计算机科学与技术系-2 信号的概念、描述、分类 信号处理的目的、步骤 典型信号介绍 信号的基本运算 信号的分解内容提要1基本概念-3信号是反映（或载有）信息的各种物理量，是系统直接进行加工、变换以实现通信的对象。信号的概念 自然和物理信号 例如：语音、图象、地震信号、生理信号等 人工产生的信号 例如：雷达信号、通讯信号、医用超声信号、机械探伤信号等信号是信息的表现形式，信息则是信号的具体内容。-4信号描述方法 数学描述 使用具体的数学表达式，把信号描述为一个或若干个自变量的函数或序列的形式。)sin()(ttftttf)sin()()()(nuanxn因此，常可将
2、“信号”与“函数”和“序列”等同起来-5Sa(t)1-4 -3 -2 -0 2 3 4 t 信号描述方法 波形描述 按照函数随自变量的变化关系，把信号的波形画出来。tttSa)sin()(-6信号的分类RtTtftf),()(确定信号与随机信号要点：区分方法：给定的自变量的值，是否可以唯一确定信号的取值。任意给定一个自变量的值，如果可以唯一确定其信号和取值，则该信号是确定信号，否则，如果取值是在确定的随机值，则是随机信号。周期信号与非周期信号要点：关系式是否成立？周期信号的周期（正值）：最小T值-7信号的分类时间连续信号与时间离散信号信号的自变量是否在整个连续区间内都有定义？定义域连续？时间离
3、散信号时间连续信号模拟信号与数字信号通常被称为通常被称为“序列序列”模拟信号模拟信号的定义域和值域都有是连续的；数字信号数字信号在定义域和值域都是离散的。计算机特别适合于处理数字信号-8信号的分类因果信号与非因果信号如果信号在时间零点之前，取值为零，则称为因果信号。表示信号不能在过去存在(有值)！也表示信号的产生是符合逻辑的！不是因果信号，就是非因果信号。在时间零点之前信号存在。若信号仅在过去（时间零点之前）有值，则称为反因果信号。实值信号与复值信号如果信号的取值是实数，则称为实值信号。如果信号的取值是复数，则称为复值信号。复信号是为了研究方便而引入的-9信号的分类dttftfE2)()(能量
4、信号与功率信号nnfnfE2)()(2/2/2)(1lim)(TTTdttfTtfPNNnNnfNnfP2)(121lim)(如果信号的能量是有限的，则称为能量信号。如果信号的功率是有限的，则称为功率信号。-10信号处理及其目的信号处理对信号进行提取、变换、分析和综合等处理过程的统称。信号处理的目的去伪存真特征抽取编码解码去除信号中冗余的和次要的成分，包括不仅没有任何意义反而会带来干扰的噪音。把信号变成易于进行分析和识别的形式。把信号变成易于传输、交换与存储的形式（编码），或从编码信号中恢复出原始信号（解码）。-11数字信号处理的步骤模数转换ADC数字信号处理DSP数模转换DAC自变量(时间)
5、和幅值同时离散化变换域分析、数字滤波、识别、合成数字信号还原为模拟信号保证信息不丢失的理论基础是：采样定理-12典型信号 指数信号：0.511.522.530.20.40.60.811.21.4tKetf)(微分或积分后还是指数信号符号正号负号信号增强信号衰减绝对值大小变化速度快变化速度慢0直流信号-13典型信号 正余弦信号：)sin()(tKtf)cos()(tKtf说明：(1)K为振幅(2)为角频率(3)为初相位123456-1-0.50.51正弦信号余弦信号-14典型信号 复指数信号：stKetf)(jeeteettjtetjtetjtjtjtjtjtj2sin2cossincossin
6、costKejtKetjtKeeKeKeKetfttttjttjstsincos)sin(cos)()(复指数信号与正余弦信号之间的关系-15典型信号 Sa函数：tttSasin)(Sa(t)1-4 -3 -2 -0 2 3 4 t特点：(1)Sa函数是偶函数(2)过零区间宽度(3)Sa函数过零位置dttSa)(2)()(00dttSadttSa-16典型信号 高斯信号：2/)(tKetff(t)0 tK特点：(1)形状象一口钟，故有时也称钟形脉冲信号(2)在随机信号分析中有重要地位-17典型信号 单位斜变信号R(t)：0,0,0)(ttttRR(t)1 1 to截顶的单位斜变信号：R(t)t
7、o-18典型信号 单位阶跃信号u(t)：0,10,0)(tttuu(t)10 t特点：(1)与单位斜变信号是积分/微分关系(2)用于描述分段信号tdttutR)()()()(tudttdR-19典型信号 单位矩形脉冲信号G(t)：2/,02/,1)(tttGG(t)1-/2 0 /2 t2/2/)(tututG脉高：矩形脉冲的高度脉宽：矩形脉冲的宽度-20典型信号 符号函数Sgn(t)：0,10,1)(tttSgnSgn(t)10 t-1用以表示自变量的符号特性Sgn(t)+1=2u(t)Sgn(t)=2u(t)-1-21典型信号 单位冲激信号：)(t)0(0)(1)(ttdtt信号定义：引入
8、原因：描述自然界中那些发生后持续时间很短的现象。非常规的定义方法狄拉克定义式设冲激信号有一个总的冲激强度，它在整个时间域上的积分等于该强度值，而在除冲激点之外的其他点的函数取值为零。-22典型信号特点：1 冲激函数是偶函数2 3)0()(1)(ataat)()()(00tfdttttf)()(0,0ttEttE0 t0 t(E)冲激点在t0、强度为E的冲激信号波形表示：在冲激点处画一条带箭头的线，线的方向和长度与冲激强度的符号和大小一致。-23信号运算常规运算波形变换数学运算相互运算线性运算乘除运算反褶运算时移运算压扩运算微分运算积分运算卷积运算相关运算(四则运算)-24信号运算四则运算：四则
9、运算后的信号在任意一点的取值定义为原信号在同一点处函数值作相同四则运算的结果nsTnTtts)()(冲激串:抽样信号:nssTsnTtnTfttftfs)()()()()(fs(t)f(t)-Ts 0 Ts t冲激信号的线性组合用途-25波形变换反褶运算)(tf)(tf 将原信号f(t)的波形按纵轴对称翻转过来。-4 0 6 tf(t)8-6 0 4 tf(-t)8-26波形变换f(t-(-8)=f(t+8)f(t-9)8-4 0 6 tf(t)8-12 -8 -2 0 5 9 15 t时移运算)(btf)(tf将原信号f(t)的波形沿横轴平移b个单位。b0：右移b1：压缩0：不需反褶0：需要
10、反褶-4 0 6 tf(t)8f(2t)8-2 0 3 tf(-0.5t)8-12 0 8 t倍数为1/|a|-28信号运算数学运算：微分运算积分运算)(tf)(tfdtdttf)(连续n次微分ndtdntdt连续n次积分连续进行-29卷积运算定义：dtfftftf)()()()(2121性质：交换律f1*f2=f2*f1分配律f1*(f2+f3)=f1*f2+f1*f3(根据变换积分变量法证明)(这是积分运算的线性性的直接提供推论)-30卷积运算结合律(f1*f2)*f3=f1*(f2*f3)证明：)()(321tfffdtfdff)()()(321 ddtfff)()()(321ddtff
11、f)()()(321ddtfff)()()(321dtfff)()(321)(321tfff（卷积定义）（二重积分）（变换积分次序）（变量替换）（定义）（定义）-31)()()(00ttftttf)()(2211ttfttf)()(2211tftttf)()(2121tttftf函数与单位冲激函数的卷积一个函数与单位冲激函数的卷积，等价于把该函数平移到单位冲激函数的冲激点位置。亦称单位冲激函数的搬移特性证明：卷积运算)()(0tttfdtft)()(0dttft)()(00dtttf)()(00)(0ttf)()()()(2211tttftttf)()()(2121ttttftf-32卷积运算
12、卷积的微分两个信号卷积的微分等于其中任一信号的微分与另一信号卷积。)()()()()()(212121tfdttdftfdtdtftftfdtd证明：)()(21tftfdtddtffdtd)()(21dtdtdffdtfdtdf)()()()(2121)(*21tdtdff（定义）（定义）（交换微分、积分顺序）（交换微分、积分顺序）（定义）（定义）-33)()()(2)(1)(21tftftffmnmndftutft)()()(卷积的积分两个信号卷积的积分等于其中任一信号的积分与另一信号的卷积。)()()()()()(212121tfdfdftfdffttt一个函数与单位阶跃函数的卷积等于该
13、函数的积分。)()(tutftdtttf)()(tdtttf)()(tdttf)(证明：卷积运算-34卷积运算先把两个信号的自变量变为，即两个信号变为)(1f与)(2f。任意给定某个0t，卷积式可以如下解释：(1)将)(2f关于进行反褶得到)(2f；(2)再平移至0t得到)()(0202tftf；(3)与)(1f相乘得到)()(021tff；(4)对进行积分得到dtff)()(021，这就是)(0ts；不断变化0t，就可以得到)(ts。-35)()(tGtGbaat-(b+a)/2 -(b-a)/2 (b-a)/2 (b+a)/2ttGa )(bG(a)(b)(c)(d)(e)(f)tGa t
14、Gb-a/2 0 a/2t-b/2 0 b/2 t 原 图1 原 图2t卷积的几何作图法-36卷积的几何作图法可以根据上面的几何解释来估计或求出两个信号卷积运算结果。在上述一个信号的反褶信号的滑动过程中，它与另外一个信号的重合面积随t的变化曲线就是所求的两个信号的卷积的波形。-37相关运算相关运算：dtfftftfRtRff)()()(),()(*212121dftf)()(*21dtfftftfRtRff)()()(),()(*121212dftf)()(*12)()()(2*112tftftRff)()(*1221tRtRffff-38相关运算dftfdtfftRf)()()()()(*实
15、函数的自相关是偶函数实函数的自相关是偶函数-39相关运算自相关函数常用来检测准周期信号的准周期t-T 0 t T8f()f(-t)(tRf(a)(b)tt是平移量-40信号分解信号直流分量+交流分量偶分量+奇分量实部分量+虚部分量脉冲分量正交分量分解结果是唯一的-41信号分解2)()()()(tftftfEvtfe2)()()()(tftftfOdtfo)()(21)(Re)(*tftftftfr)()(21)(Im)(*tftfjtftfi信号的奇分量信号的偶分量信号的实部分量信号的虚部分量信号的直流分量22)(1lim)(TTdttfTtfTDC信号的均值信号的交流分量)()()(tftf
16、tfACAC-42信号分解信号可以近似表示为一组矩形脉冲的和的形式。0 t1 t)(tfs f(t1)t1信号分解后，1t处宽度为1t的矩形脉冲可以表示为)()()()(11111tttuttutftft于是原始函数可以表示为：11)()(tttftf-43信号正交分量分解正交函数：如果在区间(t1,t2)上,函数f1(t)和f2(t)互不含有对方的分量，则称f1(t)与f2(t)在(t1,t2)上正交正交0,21ff21)()(,2121ttdttftfff如果一个函数可以用一组相互正交的函数的线性组合来表示，我们就称某个正交函数与相应的线性系数的乘积为该正交函数上的正交分量。-44信号正交
17、分量分解gn(t):1 n N是区间(t1,t2)上的正交函数集的条件：0,),()()(21nnttnmKnnmKdttgtg任一函数 f(t)在(t1,t2)上可表示为正交函数集内函数的线性组合。Nnnntgctf1)()(正交分量的系数21)()(1)(),()(),()(),(ttnnnnnnnndttgtfKKtgtftgtgtgtfc21)()()(),(ttnnnnndttgtgtgtgK-452傅里叶级数狄义赫利条件(1)在一个周期内，间断点的个数有限(2)极大值和极小值的数目有限(3)信号绝对可积满足上述条件的任何周期函数，都可以展成“正交函数线性组合”的无穷级数。-46傅里
18、叶级数展开:sin,cos,111Nntntn:1Znetjn三角函数集复指数函数集正交函数集如果正交函数集是三角函数集或指数函数集，则周期函数展成的级数就是“傅里叶级数”。相应的级数通常被称为“三角形式傅里叶级数”和“指数形式的傅里叶级数”。它们都是傅里叶级数的两种不同表示形式。-47三角形式的FS1110)sincos()(nnntnbtnaatf0,0),(2coscos1111101nmTnmnmTdttntmTtT)(2sinsin111101nmTdttntmTtT设周期函数f(t)的周期为T1-48三角形式的FS系数计算1)(110TdttfTaNntdtntfTaTn,cos)
19、(2111NntdtntfTbTn1,sin)(211系数an和bn统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称为傅里叶系数。信号的基波、基频21)()(1)(),()(),()(),(ttnnnnnnnndttgtfKKtgtftgtgtgtfc-49三角形式的FS同频率合并110)cos()(nnntncctf110)sin()(nnntnddtf000dcannnnndcasincosnnnnnndcbcossin000adc2222nnnnbadcnnnabarctgnnnbaarctg初相位a，bc，d-50复指数形式的FSntjnneFtf1)(系数计算方法ZndtetfTFTtjnn,)
20、(1111设周期函数f(t)的周期为T1-51*,nnnnFFFF)0(,21212122nbadcFFnnnnnnnnnaFFjbFFnnn/三角函数FS与复指数FS的系数间的关系0),(210,0njbanaFnnn复指数形式的FSFn的性质共轭对称性-52周期信号的FS偶周期信号的FS0sin)(2111TntdtntfTbFn是偶对称的实数序列，FS系数只有直流分量和余弦项。奇周期信号的FSFn是奇对称的纯虚序列，FS系数只有正弦项。积分项为奇函数0cos)(21110TntdtntfTaa积分项为奇函数-53傅里叶频谱周期信号的傅里叶频谱特点：(1)仅在一些离散频率点(nf1)上有值
21、。(2)离散间隔为(3)Fn是双边谱，正负频率的频谱幅度相加才是实际幅度。(4)信号的功率为(5)帕斯瓦尔方程11/2TnnF2nnTFdttfT2211)(1FS谱FS幅度谱FS相位谱nFnF)(nnFArg-54周期信号的FS周期矩形脉冲信号的FS谱线包络线为Sa函数谱线包络线过零点确定方法：0,21kZkkn在频域，能量集中在第一个过零点之内带宽只与脉冲脉宽有关，而与脉高和周期均无关。定义为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽/201TE|F n|0 12频谱谱线的间隔为112T-553傅里叶变换周期信号的频谱谱线的周期信号的频谱谱线的间隔为为112T非周期信号可以看成是周期T T1 1
22、趋于无限大的周期信号非周期信号的谱线间隔趋于无限小，变成了连续频谱；谱线的长度趋于零。2121)(1)(11TTdtetfTnFFtjnn2121)()(11TTdtetfTnFtjn212111)(lim)(lim)(11TTdtetfTnFFtjnTTdtetfFtjn)()(周期信号的频谱谱线的周期信号的频谱谱线的长度为为解决方法FT变换-56周期信号的FT非周期信号的傅里叶变换dtetfFtj)()(deFtftj)(21)(变换核唯一性：如果两个函数的FT或IFT相等，则这两个函数必然相等。可逆性：如果 ，则必有 ，反之亦然。)()(FtfF)()(1tfFFFT存在的充分条件：时域
23、信号绝对可积。-57FS与FT比较FSFSFTFT被分析对象周期信号非周期信号频率定义域离散频率，谐波频率处连续频率，整个频率轴函数值意义频率分量的数值频率分量的密度值信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成)()()(jeFF幅度频谱密度函数相位频谱密度函数-58典型非周期信号的FT单边指数信号：)0()()(atuetfatjaF1)(221)(aF aarctgajaArgFArg22)()(|F()|1/a()/2-/200t01f(t)(a)(b)(c)-59典型非周期信号的FT偶双边指数信号：)0()(aetfta222)(aaF222)(aaF0)(实偶函数)F()2/a0t01f
24、(t)(a)(b)-60典型非周期信号的FT矩形脉冲信号：)()(tEGtf2)(SaEF(实函数)2)(SaEFZkFkkFkk)0)()1(4)12(2,)0)()12(24,0)(对应对应F()E=矩形脉冲面积 0 2 4 6 -/2 0 /2 tf(t)=)(tEGE(a)(b)-61典型非周期信号的FT矩形脉冲信号FT的特点：FT为Sa函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积FT的过零点位置为)0(/2kk频域的能量集中在第一个过零点区间/2,/2带宽只与脉宽有关，与脉高E 无关。带宽为/2B信号等效脉宽信号等效带宽)0(/)0(fF)0(/)0(FfBfF()0t0f(t)(a)(b)
25、B-62典型非周期信号的FT符号函数：不满足绝对可积条件，但存在FT。jdtetSgnFtj2)()(2)(F0,2/0,2/)(|F()|-a a (b)Sgn(t)1 0 t-1(a)-63典型非周期信号的FT冲激信号：EEedtetEtEFjtj0)()(强度为E 的冲激函数的频谱是均匀谱，密度就是冲激的强度。频谱在任何频率处的密度都是均匀的2)(1EEFFT 定义EtEF)(FT 可逆性)(1EEF)(2EEFFT 可逆性2)(1EEFIFT 定义-64典型非周期信号的FT阶跃信号：不满足绝对可积条件，但存在FT。jF1)()(原点处的冲激来自u(t)中的直流分量|F()|()0 u(
26、t)1 0 t-65FT的性质线性性齐次性叠加性)()(tfaFtafF)()()()(2121tfFtfFtftfFnnnnnntfFatfaF)()(反褶和共扼性时域频域原信号f(t)F()反褶f(-t)F(-)共扼f*(t)F*(-)反褶+共扼f*(-t)F*()-66奇偶虚实性FT的性质偶 偶奇 奇实偶 实偶实奇 虚奇实（=实偶+实奇）实偶+虚奇=偶+j奇=实偶*EXP(实奇)实信号的FT：偶共扼对称虚信号的FT：奇共扼对称)()(*FF)()(*FF实信号和虚信号的FT幅度谱函数是偶函数，幅度谱偶对称-67FT的性质对称性（对偶性）FT与IFT的变换核函数是共轭对称的tjtjee*t
27、jtjee*1)(21)(21)()(FFdeFtfFFtj按自变量w 进行FT，结果是t的函数。IFT可以通过FT来实现)(2)(ftFFf(t)是偶函数f(t)是奇函数)(2)(ftFF)(2)(ftFF-68FT的性质尺度变换特性)0(,1)(aaFaatfF时域压缩对应频域扩展，时域扩展对应频域压缩时移特性0)()()(0tjtjetfFeFttfFo频移特性)()(00FetfFtj不影响幅度谱，只在相位谱上叠加一个线性相位)0(,1)(/00 aeaFatatfFatj)0(,10/0aaFeatfaFatj时域信号乘上一个复指数信号后，频谱被搬移到复指数信号的频率处。利用欧拉公式
28、，通过乘以正弦或余弦信号，可以达到频谱搬移的目的。-69FT的性质微分特性积分特性时域微分频域微分时域积分频域积分)()(FjtfdtdF)()()(tfjtFddF)()0()()()(1FFjdfFt)(1)()0()(tfjttfdF-70FT的性质卷积定理时域卷积定理频域卷积定理)()()()(2121tfFtfFtftfF)()(21)()(2121tfFtfFtftfF时域相关性定理)()()(2*121tfFtfFtRFff若函数f2(t)是实偶函数，则)()()(2121FFtRFff函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对。自相关的傅里叶变换2*)()()()(tf
29、FtfFtfFtRFf相关性定理与卷积定理一致。帕斯瓦尔定理dffFdFdttf222)2()(21)(-71周期信号的FT正弦信号的FT余弦信号的FT)()(sin000jtF)()(2cos000tjtjooeeFtF正弦和余弦信号FT的频谱图 tF0cos tjF0sin()()()-0 -0 0 0 0 0 (-)-72tjnnnTet11)(周期信号的FT周期单位冲激序列的FT冲激串的FS)(211netjnFT的对称性12/2/11)(11111TdtetTTTtjnTnFT的线性性)()()(11111nTntF(周期为T1)-73周期信号的FT一般周期信号的FTnnTtftf)
30、()(10nnTttf)(*)(10nnTttf)()(10)()(10ttfTnTonFtFtfFF)()()()()(1101nnnF)()(1101FTf0(t)利用冲激函数的筛选特性-74周期信号的FT)(1)(2101101nFTnFFn关系图 f0(t)F0()E E -/2 0/2 t 0 2/FnE/T1f(t)0 2/F()E/1 -T1 -/2 0/2 T1 t 0 2/FTFSFT-75抽样信号的FTnsssnFTF)(1)(信号理想抽样前后频谱的变化f(t)F()0t(a)-c 0 c)(tTs)(ss(1)(s)-Ts Tst(b)s0s fs(t)Fs()F(0)/
31、Ts-Ts Tst(c)-s -c 0-c s -Ts Tst(d)-s-c 0 c s 抽样间隔发生变化-76抽样信号的FT按间隔Ts进行冲激串抽样后信号的傅里叶变换，是周期函数，是原函数傅里叶变换的Ts分之一按周期2PI/Ts所进行的周期延拓。f(t)F()0t-c 0 c fs(t)Fs()F(0)/Ts-Ts Tst -s -c 0 c s 结论1：时域时域离散频域周期结论2：-774抽样定理要保证从信号抽样后的离散时间信号无失真地恢复原始时间连续信号，必须满足：（1）；（2）。f(t)F()0t-c 0 c fs(t)Fs()F(0)/Ts-Ts Tst -s -c 0 c s cs
32、scc2-78抽样定理几个概念抽样周期进行理想抽样的冲激串的周期sT抽样频率ssTf/1抽样角频率ssT/2奈奎斯特率无失真恢复原信号条件允许的最小抽样率csff2(min)奈奎斯特间隔允许的最大抽样周期csfT21(max)奈奎斯特区间2/,2/ssff奈奎斯特频率2/sf-79抽样定理从抽样信号恢复原始信号的方法理论上工程上)(2)()(tSatftfcscsnscsscnTtSanTf2c-805LT与ZT拉普拉斯变换LT定义拉普拉斯反变换ILT定义0)()()(dtetfsFtfLst)()(21)(1tudsesFjsFLjjst拉普拉斯变换方法是一种复频域变换方法，常称为s域分析。
33、原函数若考虑零点处的冲激，则0)()()(dtetfsFtfLst象函数复数-81拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换LT与ILT定义dtetfsFtfLstB)()()(jjstBdsesFjsFL)(21)(1jsBtfLtfF)()()()()(tutfLtfLB-82LT的性质线性性NnnnNnnntfLatfaL11)()(时域平移)()()()(000tutfLettuttfLst)()(00tfLettfLBstB复频域平移)()(0ssFetfLts尺度变换)0(1)(aasFaatfL)0(1)(RaasFaatfLB当时域反褶时，LBf(-t)=F(-s)-83LT的性质共轭特性*
34、)(sFtfL若f(t)是实函数，则*)()()(sFtfLtfLsF时域微分)0()()(ftfsLdttdfL)0()()()(101nnmmnnnnfssFsdttfdL)()(tfsLdttdfLBB)()(tfLsdttfdLBnnnB-84时域积分LT的性质复频域微分)()(sFdsdttfL)()(sFdsdttfLsfssFdfLt)0()()(1ssFdfLtB)()(其中01)()0(dff-85LT的性质初值和终值定理使用条件：信号是因果信号，且在时不包含冲激或高阶奇异函数。计算方法：)(lim)(lim)0(0ssFtffst)(lim)(lim)(0ssFtffst注
35、意事项：如果通过该定理求出的初值和终值与实际不符，则计算结果肯定有误。但即使初值与终值这两点与实际符合了，也不能保证所求的LT是正确的。-86典型信号的LT周期信号的LT1)(11)()(00sTsTsTeesFesFsF第一周期的LT抽样信号的LT周期单位冲激序列的LTssssTsTstnsTeetLdtenTttL1111)()()(0连续信号冲激抽样后的单边LT0)()()(nnsTssssenTftfLsF-87由LT求FT由LT求FT的基本公式)()()(jXsXXBLjsBLF应用条件由双边LT求FT：可以由单边LT求FT：信号不是因果的信号是因果的不行要根据收敛坐标定-88Z变换
36、定义ZT变换定义0)()()(nnznxnxZzX序列 x(n)的ZT复变函数 X(z)的IZT)()(1zXZnx 称 x(n)与X(z)为一对变换对。简记为：x(n)X(z)z-1的幂级数代表时延单边ZT双边ZT0)()()(nnznxzXnxZnnBBznxzXnxZ)()()(-89Z变换收敛域收敛域ROC定义使给定序列x(n)的Z变换 X(z)中求和级数收敛的z的集合。收敛的充要条件是nnznx)(nnznx)(0nna不一定发散收敛,1,1,1lim1nnnaa不一定发散收敛,1,1,1limnnna-90特定序列的ROC有限长序列序列x(n)在nn2(其中n1n2)时为零ROC至
37、少是 z0序列的左右端点只会影响其在零点和无穷点的收敛情况0,021nn0,021nn0,021nn z0 z0 z0右边序列序列x(n)在nn2时为零 如果n2为-1，则序列是反因果序列。ROC02n02n20 xRz 20 xRz 双边序列序列在整个区间都有定义。双边序列可以看成是左边序列和右边序列的组合10)()()()(nnnnnnznxznxznxzXnnxnxR)(lim1nnxnxR)(lim/12若若R Rx x1 1和和R Rx x2 2存在且存在且R Rx x2 2 R Rx x1 1，则双边序列的，则双边序列的ROCROC为为 否则，否则，ROCROC为空集，即双边序列不
38、存在为空集，即双边序列不存在Z Z变换。变换。21xxRzR特定序列的ROC-92与ROC有关的结论求得的是级数收敛的充分而非必要条件，实际收敛域可能会更大。实际的离散信号通常都是因果序列，此时单边ZT与双边ZT是一致的，收敛域也相同，都是z平面上的某个圆外面的区域。-93与ROC有关的结论序列 ROC以极点为边界，是连通的，内部不包含任何极点右边序列以其模最大的有限极点的模为半径的圆外面的区域(不包括圆周)左边序列以其模最小的非零极点的模为半径的圆内部的区域(不包括圆周)双边序列以模的大小相邻近的两个极点的模为半径的两个圆所形成的圆环区域(不包括两个圆周)-94常见序列及其ZT单位冲激序列)
39、0(,0)0(,1)(nnn1)0()()(nnznnZROC：z0单位阶跃序列)0(,0)0(,1)(nnnu)1(111)()(1zzzzznunuZnn序列的单边ZT用双边ZT表示为Zx(n)=ZBx(n)u(n)序列是因果序列的充要条件是x(n)=x(n)u(n)序列是反因果序列的充要条件是x(n)=x(n)u(-n-1)矩形脉冲序列NnnNnnGN,0,00,1)()0(11)(110zzzznGZNNnnN-95常见序列及其ZT单位斜变序列 nu(n)1()1()(2zzznxZ1)1()1()(32zzzznunZ1)1()14()(423zzzzznunZ单位指数序列 anu(
40、n)azazzzanuaZnnnn0)(azazaznunaZn,)()(2azazazaznuanZn,)()()(32jeajea-96常见序列及其ZT单边正余弦序列00)(jnjezznueZ10jez00)(jnjezznueZ10 jez1cos2)cos()(21)(cos020000zzzznueeZnunZjnjn1z1cos2sin)(sin0200zzznunZ1z10011)(zenueZjjnnz20200cos2)cos()(coszzzznunZnz20200cos2sin)(sinzzznunZnz-976ZT的性质线性性KkkkKkkkKkkkzXanxZanx
41、aZ111)()()(2111minmaxkKkkKkRzRROC时域平移性双边ZT)()(zXzmnxZmB21RzR单边ZT左移右移左移右移)()(zXzmnxZmB21RzR10)()()()(mkkmzkxzXznumnxZ1)()()()(mkkmzkxzXznumnxZ21RzR-98ZT的性质时域扩展性)0(,0,)()(ZaZanZananxnxa扩展因子a1-1相当于在原序列每两点之间插入a-1个零相当于原序列先反褶，再每两点之间插入-a-1个零 aazXnxZ)()(21RzRa如果序列是偶对称的，则zXnxZnxZzX1)()()(如果序列是奇对称的，则zXzX1)(如果
42、一个偶对称或奇对称序列的ZT含有一个非零的零点（或极点）z0，那么它必含有另外一个与z0 互为倒数的零点（或极点）1/z0-99ZT的性质时域共轭性)()(zXnxZ如果一个序列是实序列，则)()()()(*zXnxZnxZzX如果一个实序列的ZT含有一个零点（或极点）z0，那么它必含有另外一个与之共轭对称的零点（或极点）z0*Z域尺度变换（或序列指数加权）21)(xxnRazRazXnxaZ21)()(xxnRazRazXnxaZ21)()()1(xxnRzRzXnxZ2100)(xxjjnRzRzeXnxeZ可以用复指数序列调制一个序列的相位特性。21RzR-100ZT的性质Z域微分（或序
43、列线性加权）)()(nxZdzdznnxZ21RzRROC唯一可能的变化是加上或去掉零或无穷。)()(nxZdzdznxnZmm21RzR初值定理X(z)是因果序列x(n)的Z变换，则)(lim)0(zXxz终值定理X(z)是因果序列x(n)的Z变换，则)()1(lim)(lim1zXznxzn只有在极限存在时才能用，此时X(z)的极点必须在单位圆内（如果位于单位圆上则只能位于z=1，且是一阶极点）。-101ZT的性质时域卷积定理mmnymxnynx)()()()()()()()(nyZnxZnynxZ卷积的ZT的ROC至少是原序列ZT的ROC的交集。当出现零极点相抵时，ROC可能会扩大。)(
44、)()(nxnnxnkkxnunx)()()()()()(00nnxnnnx)()()()(000nnnxnnnx-102ZT的性质Z域卷积定理设21)()(xxRzRnxZzX21)()(yyRzRnyZzY11)(21)()(CdvvvYvzXjnynxZ21)(21)()(CdvvvzYvXjnynxZC1和C2收敛域重叠部分内逆时针旋转的围线)()(nynxZ的收敛域为2211yxyxRRzRR帕斯瓦尔定理CndzzzYzXjnynx1*1)(21)()(-103逆Z变换的求解部分分式展开法把X(z)展开成常见部分分式之和，然后分别求各部分的逆变换，最后把各逆变换相加，即可得到x(n)
45、。通常展开的对象是X(z)/z，而不是X(z)。总是把)(zX分解为azz、mazz)(或mmazz)(等项的线性加权和的形式幂级数展开法把X(z)按z-1展成幂级数（通常是使用长除法），那么其系数组成的序列x(n)即为所求。这种方法有时给不出一个闭式表达式。-104逆Z变换的求解留数法T(z)在某个s阶极点处的留数的求法：将T(z)中含有该极点的所有因式全部去掉，然后对z进行s-1次微分，再除以(s-1)!，最后求出表达式在该极点处的函数值，即为所求。mpznmzzXnx)(Res)(1其中，pm为围线包围的X(z)zn-1的极点设p是T(z)=X(z)zn-1的s阶极点，则T(z)在该极点
46、处的留数为：pzssspzpzzTdzdszT)()!1(1)(Res11-105例例：求223)2)(1(44)(zzzzzX(2z)的 IZT。解：)(zX是假分式，先改写成 22)2)(1(1)(zzzzX 令221)2)(1()(zzzzX，则 43)(231zzzzzX。它有一个一阶极点 1 和一个二阶极点-2。按部分分式展开法，它可以表示为 21)2(21)(zczbzazzX。其中的待定系数为 91a91b 32c于是，21)2(32291191)(zzzzzzzX。从而，2)2(322911911)(zzzzzzzX利用常见 ZT 对并考虑 ROC 的性质，得 IZT 为)()
47、2(32)()2(91)(91)()(1nunnununnxnn逆Z变换的求解-106逆Z变换的求解例例：求)1(133)(232zzzzzzzX的 IZT。解：32132121211122239492727941194121243433133zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz总结规律有0232194)(nnznzzzzX，从而)()(2nunnx-1077离散时间系统定义离散时间系统就是输入输出都是序列的系统。输入x(n)通常称为激励，输出y(n)称为响应。输入输出的对应关系可简记为x(n)y(n)。系统响应零状态响应零输入响应系统处于零状态时对应的响应。没有激励时系统的响应。线性离
48、散时间系统对任意一组常数ck(1 k K)，满足条件KkkkKkkkkknycnxcKknynx11)()()1(),()(否则，为非线性离散时间系统。-108LTI离散时间系统时不变离散时间系统在相同样起始条件下，系统响应特性与激励施加于系统的时刻无关。)()()()(NnyNnxnynx否则，为时变离散时间系统。LTI离散时间系统的表示一般用差分方程来描述。有三种基本的内部数学运算关系：。差分方程的一般形式是：)()(00rnxbknyaRrrKkk-109离散系统的响应用ZT法求解离散时间系统响应的基本步骤（1 1）求出激励的）求出激励的ZTZT（2 2）对表示离散系统的差分方程两边施加
49、对表示离散系统的差分方程两边施加ZTZT（3 3）把激励的把激励的ZTZT代入，求出响应的代入，求出响应的ZTZT（4 4）求求IZTIZT，即可得到系统的响应即可得到系统的响应单位冲激响应：离散系统对单位冲激序列 的零状态响应)(n记作记作h h(n n)，即即)()(nhn 单位阶跃响应：离散系统对单位阶跃序列 的零状态响应)(nu-110离散系统的传递函数逆系统：如果一个系统的传递函数是H(z)，那么称传递函数为1/H(z)的系统为原系统的逆系统。逆系统对信号的运算是原系统对信号的运算的逆。传递函数或系统函数：)(/)()(zXzYzH表示系统的零状态响应与因果序列激励的ZT之比值结论：
50、系统的零状态响应等于激励与单位冲激响应之间的卷积传递函数H(z)与单位冲激响应h(n)是一对ZT对系统的单位阶跃响应等于其单位冲激响应的部分和两个系统串联后新系统的单位冲激响应是串联子系统单位冲激响应的卷积，传递函数是串联子系统传递函数的乘积两个系统并联后新系统的单位冲激响应是串联子系统单位冲激响应的和，传递函数是并联子系统传递函数的和)()()(nhnxny-111离散系统的特性关于离散系统稳定性和因果性的结论 离散系统是稳定的充要条件是单位冲激响应绝对可和。离散系统是因果的充要条件是其单位冲激响应是因果序列。离散LTI系统是稳定的充要条件是其传递函数的ROC包括单位圆。离散LTI系统是因果
