1、9本章大綱本章大綱 莫頓（莫頓（Merton）模型）模型 KMV模型 信用矩陣（CreditMetrics）模型 KMV模型與信用矩陣模型的比較 信用矩陣模型與風險矩陣模型的關係信用風險計量模型的特色信用風險計量模型的特色 廣泛採用數理模型、統計分析和資訊技術的強大運算能力。特別注重投資組合投資組合的信用風險分析，都針對投資組合的信用風險衡量提出獨特的處理方法，尤其是資產間信用風險相關性的估計方法。信用風險計量模型基本可區分為：結構式模型結構式模型（Structural Model）與縮減式縮減式模型（Reduced Form Model）兩種。結構式模型的特色結構式模型的特色 以公司資本結構
2、的資料，包括資產價值、負債與權益的相對變動，藉以推估公司的違約機率。公司的違約事件是內生的，亦即當變動的公司價值跌落預設的違約點時，公司即發生違約。縮減式模型的特色縮減式模型的特色 由於公司資本結構裡的資產價值不易取得，因此縮減式模型即是將結構式模型加以簡化，去除資產價值變數與權益變數，僅留下負債變數。因此縮減式模型形式上就像一個債券評價模型。縮減式模型除了債券價格變數外，還包含債券的到期期間、票面利率、殖利率等，因此將已知的債券價格、到期期間、票面利率資料代入模型中，即可反推債券殖利率。進一步將殖利率減去無風險利率，即是信用價差。再由信用價差估計違約機率。9.1 莫頓（莫頓（Merton）模
3、型）模型 選擇權評價模型應用在衡量信用風險的技術上始於莫頓（Robert Merton）在1975年的文章。假設公司資產價值VA服從幾何布朗運動：和 為公司資產價值變動的飄移項與波動率。dzVdtVdVAAAAA莫頓（莫頓（Merton）模型）模型 公司權益可視為以公司資產為標的物之買權。公司的負債則可視為放空以公司資產為標的物之賣權。圖圖9.1 權益可被視為對公司資產為標的物的買權權益可被視為對公司資產為標的物的買權 O 權益價值(VE)E ADA 資產價值(VA)權益的評價模型權益的評價模型 根據Black Scholes選擇權評價模型，在時點t的權益價值VE 可改寫成：為權益的市場價值
4、D 為負債在到期日時的帳面價值 為無風險利率 =T-t 是負債的到期期間 與 為標準化常態分配的累積機率密度函數。12()()rEAVV N deDN dEVr)(1dN)(2dN風險中立下的負債違約機率風險中立下的負債違約機率 莫頓模型中，N(d2)是買權到期時仍處於價內的機率，就是股東執行買權而且仍控制公司的機率，同時也是負債不會發生違約的機率。所以反過來1N(d2)=N(-d2)則代表負債違約機率，亦即公司違約機率。計算實例計算實例 9.1 假設均翰公司的目前的資產價值為$100，資產價值波動性為每年20%，評估期間為一年，無風險利率是10%。到期時公司應償還的負債D為$99.46。請估
5、計公司年的預期違約機率。解解 答答 VA=100,A=0.2,=1,D=99.46,r=0.1 風險中立下的違約機率427.0627.0)5.0()/ln(1221AAAAddrDVd%.)(4733334702dN9.1.5 莫頓模型的變數估計莫頓模型的變數估計最重要的兩個變數：公司資產價值 VA 資產價值之波動性 無法直接觀察,必須經由權益價值加以推估 常見的三種估計公司資產價值與資產波動性的方法 Ronn和Verma(1986)所提出的估計方法 中研院院士 J.C.Duan(段錦泉)所提出的資料轉換最大概似估計法(MLE)1.KMV的估計法AARonn-Verma估計法估計法 莫頓模型有
6、兩個未知變數：資產價值（VA）和資產波動性（），但卻只有一個方程式：因此他們就利用伊藤定理（Itos Lemma）對上式加以微分，而得到第二個方程式：A)()(2T1dDNedNVVrAEAEAEdNVV)(1Ronn-Verma 估計法估計法 如此一來，兩個未知數搭配兩個方程式，就可以求出隱含的資產市場價值與資產波動性，解決兩個變數不可觀察的困難 9.2 KMV模型模型 KMV模型是由KMV公司所發展，以莫頓模型為核心，配合其信用風險資料庫，發展出一套信用風險衡量模型，簡稱為KMV模型。KMV模型以股票市價、股價波動度與負債價值，推估公司資產價值與違約間距，再依據公司資料庫計算歷史違約機率，
7、進而求出受評公司預期違約機率。KMV模型模型 KMV模型採用公司股價的資訊來分析公司信用，當變動的資產價值市價低於負債到期應償還金額時，公司即會發生違約。KMV公司以莫頓模型為基礎略加修改，藉以估算資產價值。然後再計算公司的違約間距（Distance to Default），簡稱DD。KMV模型模型 然後再以過去20年超過100,000家的違約資料作為樣本，求得不同違約間距(DD)所對應的實際違約機率，稱為公司的預期違約頻率 （Expected Default Frequency，EDF）。KMV模型主要的分析工具就是 EDF，是授信企業在估計期內的違約機率，因此KMV模型又稱為EDF模型。K
8、MV模型模型KMV模型藉由公司股價資訊來分析公司的違約機率，需經由三個步驟:估計公司資產價值與資產價值的波動性。計算出公司的違約間距(DD)1.判斷公司違約機率(EDF)圖圖9.29.2 KMV KMV違約機率分配模型違約機率分配模型 資產價值 時間0 違約點資產價值的可能路徑 DD EDF 資產價值的 機率分配T1.估計公司資產價值與資產價值波動性估計公司資產價值與資產價值波動性 KMV模型第一個步驟是估計公司資產價值與資產價值波動性 KMV模型以試誤法不斷重複以估計資產價值波動性，KMV公司宣稱經由這個程序估計的資產價值波動性僅是參考值，KMV公司內部會採取特殊的方法再進一步加以調整。但是
9、KMV並未說明其方法。實務上常以Ronn-Verma法來估計公司資產價值與資產價值波動性。2.計算出公司的違約間距計算出公司的違約間距(DD)第二個步驟的違約間距是指公司資產價值距離違約點（Default Point，簡稱DPT）的距離，計算出公司的違約間距將有助於判定公司的違約機率。違約間距越大的公司，其資產價值遠高於違約點，發生違約的機率越低；違約間距越小的公司，則公司的資產價值接近違約點，公司發生違約的機率越高。計算出公司的違約間距計算出公司的違約間距(DD)KMV模型設定的違約點DPT等於公司短期負債加上二分之一的長期負債（兩者均以帳面價值表示），不同於莫頓模型對於違約點的設定。公司的
10、違約間距DD則是指資產價值(VA)與 違約點DPT之間距離幾個資產價值的標準差(A)，數學式表達如下：DD=(VA-DPT)/(VAA)3.判斷公司違約機率判斷公司違約機率(EDF)KMV公司利用過去20年超過十萬家的美國公司作為樣本，其中包括兩千筆以上的違約或破產案件，計算各種違約距的違約機率，並稱此為預期違約頻率，亦即所估計的公司違約機率。若歷史樣本中有5,000家違約距DD等於4的公司，其中30家一年之後發生違約，則依簡單的平均數概念，計算出EDF30/5,0000.0060.6%。因此有了違約間距，就可以用來判斷公司的預期違約頻率，亦即KMV模型所估計的公司違約機率。判斷公司違約機率判
11、斷公司違約機率(EDF)實務上使用KMV模型時，我們並沒有KMV公司的違約距資料庫，因此無法採取上述方法判斷公司的違約機率。一般常用的方法則是在風險中立的假設下，利用莫頓模型的性質來估計公司的預期違約機率:PT=EDF=N(-d2)=N(-DD)(9.8)計算實例計算實例 9.2 假設有一上市公司千千股份有限公司，其股價的市場總值為3,000萬元，而股價市場價值的波動值為每年40%，一年內即將到期的短期負債總值4,000萬元，長期負債總值12,000萬元，而無風險利率5%。試根據KMV模型計算公司一年的預期違約機率。解解 答答 1.KMV模型設定的違約點，DPT=短期負債+(1/2)長期負債=
12、10,000(萬元)。2.接著必須估計公司資產波動性，根據題目資訊，亦即解以下聯立方程式，以算出隱含的資產價值(VA)與資產價值波動性(A)：)(000,10)(3000205.01dNedNVA AAdNV)()000,3(4.01其中，解上述聯立方程式，就可以求出隱含的資產價值(VA)與資產價值波動性分別是12,511萬元與9.6%。AAAddVd12)4.0(5.005.0()10000ln(12解答解答2.KMV模型中的違約間距：DD=($12,511-$10,000)/(9.6%x$12,511)=2.8所以公司資產價值目前距離其違約點有2.8個標準差。解答解答3.預期違約機率：我們
13、並沒有KMV公司的違約距資料庫，因此無法直接判斷公司的違約機率。僅能利用莫頓模型的常態分配性質，在風險中立的假設下來估計公司的預期違約機率。假設資產價值的分配是一常態分配，則以違約間距為2.8的情況計算，則期望違約頻率（EDF）可查表求出約為 EDF=N(-DD)=N(-2.8)=0.25。KMV與傳統方法的比較與傳統方法的比較 選擇權評價模式運用在信用風險衡量上，具有以下優點：應用的資料更新快速 較具有前瞻性(Forward Looking)任何估計模型都可以應用 實證研究支持模型的違約預測能力，且估計過程相當客觀透明 KMV模型應用上的限制模型應用上的限制 公司資產的市場與價格透明度的欠缺
14、，使得資產價值的波動性不易衡量。公司違約的歷史資料庫不容易獲得或過少 KMV模型並沒有考慮當公司面臨倒閉時，資產價值可能會因急於脫手等因素而變少。KMV模型較適用於市場資料充分的上市公司 不同債務到期期限或有不同，使得債務價值估計上比較困難。KMV模型應用上的限制模型應用上的限制 選擇權評價公式的假設不定可應用在信用風險的情境。很多資產負債表外的或有負債可能無法計入違約點之中，但他們卻更有可能讓公司面臨更大的違約風險。極端事件不容易用過去歷史資料來推斷。當公司的財務槓桿變動頻繁時，股東權益的波動性會不穩定，造成EDF的跳動很大，使得EDF的準確性失真。9.3 信用矩陣模型信用矩陣模型 1997
15、年J.P.Morgan提出信用矩陣（CreditMetrics）模型，並據以求算出信用風險值(Credit at Risk，簡稱CaR或CVaR)。信用矩陣是由J.P.Morgan公司主導，結合數家世界知名的銀行如美國銀行（Bank of American）、瑞聯銀行（Union Bank of Switzerland）、瑞士銀行（Swiss Bank Corporation）、BZW、Deutsche Morgan Grenfell、及KMV公司等金融機構與企業組織共同研究開發而成。信用矩陣模型信用矩陣模型 應用風險矩陣的方法，把風險值運用在信用風險管理方面，提出信用矩陣模型，以求算出信用風
16、險值(Credit at Risk)信用矩陣風險矩陣CVaR主要是在衡量在某一段時間之內，一定信賴水準下信用風險所造成的最大損失。信用矩陣的CVaR與VaR非常相似，簡言之，CVaR是將VaR的市場損失改為信用損失 CVaR評估的期間通常也會比VaR要來的長。信用矩陣模型信用矩陣模型 不同於KMV模型僅以公司違約為唯一的信用事件，信用矩陣模型認為信用風險不單單只是違約而已，應該也要將信用品質改變的影響考慮進來，而違約只是信用品質改變的特例。這樣的想法並非新創，然而信用矩陣模型是首套將信用品質變化、違約、回收率及違約相關性一起分析的信用計量模型。9.3.2 單一資產的信用風險值單一資產的信用風險
17、值 單一資產的信用風險值估計的步驟：確認債券信用評等的移轉機率矩陣(Transition Matrix）2.依據債券的流通性或投資人風險偏好確定風險評估期間 單一資產的信用風險值單一資產的信用風險值3.列示評估期間內，各信用等級所面對的遠期利率，藉以重估債券等級改變後的價值變化。若債券違約時，則需確認各信用等級債券的回收率。4.計算債券價值變化後的機率分配，以估算其信用風險值CVaR。舉例說明舉例說明CVaR的估計過程的估計過程 假設有一張無擔保債券，票面利率6%，五年後到期，信用等級為BBB級。則根據信用矩陣模型，此債券一年的的信用風險值CVaR為何?1.確認債券信用評等的移轉機率矩陣確認債
18、券信用評等的移轉機率矩陣 首先確認債券信用等級的移轉矩陣，也就是預估債券發行者經過某段期間之後，信用評等升級或降級的機率。我們以S&P一年期之信用等級移轉矩陣說明其代表涵義。表9.1的第一欄表示債券期初的信用等級，表中的機率數字代表一年以後，某一等級債券的信用品質移轉至其他等級的機率。表表9.1 S&P一年期之信用等級移轉矩陣一年期之信用等級移轉矩陣 年初之信用等級 年底之信用等級(%)AAAAAABBBBBBCCC違約(D)AAA90.818.330.680.060.12000AA0.7090.657.790.640.060.140.020A0.092.2791.055.520.740.26
19、0.010.06BBB0.020.335.9586.935.301.170.120.18BB0.030.140.677.7380.538.841.001.06B00.110.240.436.4883.464.075.20CCC0.0200.221.302.3811.2464.8619.79確認債券信用評等的移轉機率矩陣確認債券信用評等的移轉機率矩陣 以BBB級為例，原評等為BBB的公司在下一年留在BBB的機率為86.93%，升級為A的機率為5.95%，降為BB級的機率為5.30%，違約倒閉（即變為D）的機率為0.18%。所以被降級也是信用風險的一種。各信用等級所面對的遠期利率各信用等級所面對的
20、遠期利率 接下來就要列出一年的風險評估期間內，各信用等級所面對的殖利率。若債券發行公司期末信用等級改變，信評機構須重新計算債券的理論價值 我們採用未來現金流量折現的作法，必須取得每一信用等級之零息殖利率曲線（Forward Zero Curves）作為折現率(Discount Rate)。如表9-2所示列出債券到期前各等級債券所對應的零息殖利率，不過必須假設此零息殖利率在衡量期間內維持穩定。表表9.2 不同信用等級債券未來一年期不同信用等級債券未來一年期零息殖利率零息殖利率(%)信用等級1年2年3年4年AAA3.604.174.735.12AA3.654.224.785.17A3.724.32
21、4.935.32BBB4.104.675.255.63BB5.556.026.787.27B6.057.028.038.52C5.0515.0214.0313.523.確認各信用等級債券的回收率確認各信用等級債券的回收率 若債券違約倒閉時時，我們還需取得各信用等級債券的回收率，計算可能的剩餘價值，藉以估計債券現值。表9.3即是各信用等級債券的回收率。以本例BBB級債券來說，這是屬於優先順位、無擔保債券，因此債券違約時的平均回收率為面值的51.13%，回收率的標準差則為25.45%。表表9.3不同順位債券之回收率不同順位債券之回收率 求償順位之種類回收率 (%)平均數標準差優先順位、有擔保53.
22、8026.86優先順位、無擔保51.1324.45優先次順位38.5223.87次順位32.7420.18低次順位17.0910.90重估債券等級改變後的價值變化重估債券等級改變後的價值變化 計算信用等級變化後的債券價值機率分配，藉以估計信用風險值。債券信用評等改變後，債券價值也會隨之改變，因此我們要推估債券在各種可能評等下的價值。以BBB級債券為例，其計算公式為：重估債券等級改變後的價值變化重估債券等級改變後的價值變化 舉例說明，如果在第一年底，這一BBB級債券被升級到A級，則在此新評等下的債券價值為：其意義為，在年底時若信用等級升為A級，則原先面值100的債券，新價值為108.66。,23
23、466666108.661.03721.0431.0491.0532BBB AMV重估債券等級改變後的價值變化重估債券等級改變後的價值變化 依此方法重估所有未來可能評等下的債券價值，結果彙總表示如表9.4。表9.4的意義為：這一BBB級債券在一年之後如果仍維持為BBB級，則其價值為107.55。如果降為B級，則其價值為98.1。表表9.4 BBB級債券一年後的重估價值級債券一年後的重估價值 一年之後的信用等級新價值（）AAA109.37AA109.19A108.66BBB107.55BB102.02B98.10CCC83.64違約51.13重估債券等級改變後的價值變化重估債券等級改變後的價值變
24、化 有了表9.2、表9.3及表9.4這些資訊後，可得到表9-5債券一年後移轉成各個等級的價值。以BBB等級為例，它的評等可能變好（評等變為A以上），也有可能變壞（評等變為BB 或以下），倒閉只是其中一種狀況，即有圖9.4的各種可能性發生。圖圖9.4 各種移轉機率各種移轉機率(P)及債券重估價值及債券重估價值(MV)計算債券價值變化後的機率分配計算債券價值變化後的機率分配 由表9.5可以算出一年後債券價值的平均數E(MV)：()107.09iiE MVP MV2()=2.99iiP MVE MV而一年後債券價值的標準差為估算信用風險值估算信用風險值CVaR1.假設價券價值變動服從常態分配，在信賴
25、水準(1-)之下的標準常態分配的分位數，所以此債券的信用風險值CVaR 為：CVaR=Z圖圖9.5 信用風險值信用風險值CVaR 估算信用風險值估算信用風險值CVaR2.價券價值變動通常不服從常態分配 因此估計CVaR時也可以直接採用實際的損失分配。例如當設定=1%而估計CVaR 時，我們必須觀察表9.2的移轉機率表:該表第二欄顯示BBB級債券一年後發生違約(D)的機率為0.18%，明顯小於預先設定的值(=1%)，因此繼續向上加總等級CCC的移轉機率（0.12%），求得總機率0.30%(=0.18%+0.12%)。估算信用風險值估算信用風險值CVaR 但是0.30%仍小於事先設定的值(=1%)
26、，所以繼續往上累加等級B的移轉機率1.17%，求得總和機率1.47%，此時已經超過事先設定的 值(=1%)。這個結果顯示無法恰好算出=1%時的CVaR，僅能以較高的=1.47%時的CVaR值替代。所以我們以最後加入的B級價券價值$98.1作為基準，將債券價值平均數減去$98.1，即求得債券在=1.47%時的CVaR=$8.99（$107.09-$98.1）。估算信用風險值估算信用風險值CVaR 同樣的，當設定=5%時也無法經由實際的損失分配估計CVaR值。但是此時以上述同樣的做法，也可以估計出債券在=6.77%時的CVaR=債券價值平均數-BB級價券價值 =$107.09-$102.02=$5
27、.07。KMV模型與信用矩陣模型的比較模型與信用矩陣模型的比較 EDF 主要來自於對股票市場價格變化的分析，而信用矩陣模型對企業信用風險的衡量來自於信用評等變化的分析。KMV模型可以隨時反映公司信用風險的變化。然而信用矩陣採用的資料是企業信用評等，該模型不能即時反映企業信用狀況的變化。KMV模型與信用矩陣模型的比較模型與信用矩陣模型的比較 KMV模型是屬於向前看的方法；而信用矩陣模型主要依賴信用狀況變化的歷史資料，可說是屬於向後看的方法 KMV模型屬於區間尺度(Interval Scale)，而信用矩陣所採用的與信用評等資料則僅屬於順序尺度(Ordinal Scale)信用矩陣採用的是投資組合的分析方法。而 KMV模型則是從單個授信企業在股票市場上的價格變化資訊入手信用矩陣與風險矩陣的關係信用矩陣與風險矩陣的關係 兩者運用相同的統計概念，最後產出風險值具有相同的單位（貨幣單位）兩者運算的過程大不同：風險矩陣假設報酬為常態分配，但是信用矩陣不做此假設。信用矩陣的投入變數無論是資料數目多寡、或資料的取得的難易程度都有較多的問題。
