1、1 教材：季孝达等编数学物理方程 数学物理方程2 数学物理方程（简称数学物理方程（简称数理方程数理方程）是指从物理学及其它各门自然科学、是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的偏微分方程技术科学中所导出的偏微分方程 数学物理方程广泛用于研究自然数学物理方程广泛用于研究自然界中的诸多物理现象和普遍规律，比界中的诸多物理现象和普遍规律，比如热传导，弦振动，气体扩散等等如热传导，弦振动，气体扩散等等.序 言3科学、工程问题的求解一般流程实际问题实际问题数学数学物理模型物理模型数学方法数学方法学习基本原理，基本求解方法 随着计算机的发展，数值方法已深入到物理、材料科学与加工、信息等各个领域。
2、数值方法数值方法分析方法分析方法 本课仅限介绍数学模型的最基本的解析分析方法。4第1章 偏微分方程定解问题 数学物理方程的基本概念 三类典型的数学物理方程的导出 一阶线性偏微分方程和某些二阶线性方程偏微分方程通解的解法 处理一般线性问题的基本原理叠加原理齐次化原理1.15数理方程的基本概念数理方程的基本概念 偏微分方程（偏微分方程（PDE）的基本概念）的基本概念12(,)nxx xx自变量自变量12()(,)nu xu x xx未知函数未知函数121112(,)0nmnmmmnnuuuF xxuxxxxx偏微分方程的一般形式偏微分方程的一般形式6PDE的阶的阶：偏微分方程中未知函数的偏微分方程
3、中未知函数的最高阶偏导数的阶数最高阶偏导数的阶数称为偏微分方程的阶。称为偏微分方程的阶。12nmmmm121112(,)0nmnmmmnnuuuF xx uxxxxx线性线性PDE非线性非线性PDE如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶偏导数都是一次的，及其系数仅依赖于自变量，就称为线性偏微分方程。7非线性非线性PDE半线性半线性PDEPDE拟线性拟线性PDEPDE完全非线性完全非线性PDEPDE8二阶线性二阶线性PDE：21111,11(,)(,)(,)(,),nnijnjnnni jjijjuuaxxb xxc xx uf xxx xx,ijja b c f其中是给定的函数。线性线性PDE
4、的自由项的自由项:方程中不含未知函数及其偏导数的项称为自由项。当自由项 时，称为齐次方程，否则称为非齐次方程。0f 主部主部偏微分方程的解偏微分方程的解：古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，且方程中出现的偏导数都连续，则这个连续函数就是该偏微分方程的古典解。通解：含有与偏微分方程阶数相同的、相互独立的任意函数（常数）的解。特解：不含任意函数或任意常数的解。91.sin()0uxy ux线性线性PDE2.线性线性PDE3.sinuuuxt非线性非线性PDE4.222()()uuuxt非线性非线性PDE22222cosuuxaettx举例举例10是二维的是二维的是一维
5、的是一维的是一维的是一维的是一维的是一维的1.sin()0uxy ux2.3.sinuuuxt4.222()()uuuxt22222cosuuxaettxPDE维数维数：是指方程中出现的空间坐标的个数。是指方程中出现的空间坐标的个数。11定常和非定常：定常和非定常：如果方程中不出现时间如果方程中不出现时间 t,则称方程为定常的则称方程为定常的,否则称为非定常的否则称为非定常的.是定常的是定常的是非定常的是非定常的1.sin()0uxy ux2.3.sinuuuxt4.222()()uuuxt22222cosuuxaettx是非定常的是非定常的是非定常的是非定常的121.1 三类经典方程的导出三
6、类经典方程的导出 波动方程波动方程 一维均匀弦的微小横振动问题一维均匀弦的微小横振动问题 调和方程（调和方程（Laplace方程方程,Poisson方程方程）静电场问题静电场问题 热传导方程热传导方程(扩散方程扩散方程)三维热传导问题三维热传导问题13 均匀弦的微小横振动问题均匀弦的微小横振动问题 弦的特点：匀、细、软、紧的一根弹性细线。振动特性：微小的、横向振动：振动的幅度很小，弦在任意位置处切线的倾斜角很小。考虑一根拉紧的长为l 的弦，线密度 ,以弦的平衡位置所在直线为 x 轴，并以弦的左端点为坐标原点，则右端点的坐标为（l，0）。求它在平衡位置附近作微小的横向振动的规律。遵循牛顿第二定律
7、遵循牛顿第二定律：作用在物体上的力作用在物体上的力=该物体的质量该物体的质量该物体的加速度该物体的加速度14取弦的平衡位置为取弦的平衡位置为ox 轴，运动平面为轴，运动平面为 x-O-u.在时刻在时刻 t，弦线在，弦线在 x 点的位移为点的位移为 u(x,t)ouxPQl把上图中把上图中PQ的放大的放大ouxPQxxxTT),(txF15 设弦上坐标为 x 的点在时刻 t 沿垂直于 x 轴方向的位移用函数 u(x,t)来表示。(,),x xx下面利用下面利用微元法微元法建立方程：建立方程：在任一时刻在任一时刻 t，任取一小段弦，任取一小段弦它弧长为它弧长为其中倾斜角其中倾斜角很小很小。2222
8、111 sin,usxuxxtgxxx 16 现在研究弧段在时刻现在研究弧段在时刻 t 时的受力情况。时的受力情况。弦所受的力有弦内部的张力弦所受的力有弦内部的张力T，其方向沿，其方向沿弦的切线方向。弦的切线方向。假设在弧段运动方向，即假设在弧段运动方向，即ou轴方向上存在轴方向上存在外力作用。外力作用。(,).F x tx(,),F x t其方向垂直于其方向垂直于 x 轴轴,coscos0.TT在在 ox 轴方向上，弧段所受力的总和为轴方向上，弧段所受力的总和为 (,)x xx上所受的外力近似为：上所受的外力近似为：则小弦段则小弦段设在时刻设在时刻 t，x 点处的外力密度为点处的外力密度为1
9、7在在ou轴方向上，弧段所受力的总和为轴方向上，弧段所受力的总和为sinsin(,)TTF x tx22(,)u x tt,x弧段在时刻弧段在时刻 t 沿沿ou 轴方向的加速度近似为轴方向的加速度近似为其质量为其质量为所以由所以由Newton第二定律知第二定律知sinsin(,)TTF x tx22(,)ux txt18因为假设弦作微小的横向振动，故振动过程因为假设弦作微小的横向振动，故振动过程中，弦上的切线倾斜角也很小。这时有中，弦上的切线倾斜角也很小。这时有（1）由于由于24cos124,coscos1.略去略去的高于一次方的各项有的高于一次方的各项有（2）sin(,)utgx txsin
10、(,)utgxx tx19 于是有 .TT22(,)(,)(,)(,),uuu x tTxx tx tF x txxxxt 0 x 2222(,)(,)(,)uuTx tF x tx txt2222222,uTuFuaftxx或或所以所以其中其中,/f x tF x t表示单位表示单位长度单位长度单位质量所受的力。质量所受的力。Ta 再令再令可得可得,x两端除以两端除以20若弦不受外力作用，即若弦不受外力作用，即0(0)Ff22222uuatx自由项自由项 ：方程中与未知函数无关的项。：方程中与未知函数无关的项。方程称为方程称为非齐次方程：非齐次方程：方程称为齐次方程：方程称为齐次方程：上述方
11、程称为上述方程称为弦振动方程弦振动方程，或，或一维波动方程一维波动方程。则则 0f=0f22222(,)uuaf x ttx),(txf21 建立数学物理方程是一个辩证分析的过程。建立数学物理方程是一个辩证分析的过程。由于客观事物的复杂性，要求对所研究的对象由于客观事物的复杂性，要求对所研究的对象能够抓住事物发展的主要因素，摈弃次要因素，能够抓住事物发展的主要因素，摈弃次要因素，使问题得到适度的简化使问题得到适度的简化。在上面的推导过程中，我们作了一些假设：在上面的推导过程中，我们作了一些假设：假设了弦是完全柔软的，张力才会沿着弦的假设了弦是完全柔软的，张力才会沿着弦的切线方向；又假定了弦的横
12、振动是很小的，切线方向；又假定了弦的横振动是很小的，所以才可用所以才可用 sin代替代替.tg并且弦的纵向伸长并且弦的纵向伸长可以忽略不计，可以忽略不计，不然由于各点张力的不同，不然由于各点张力的不同，张力张力T 就会依赖于就会依赖于 u(x,t),得到的方程将不是得到的方程将不是一个线性方程，而是非线性方程。一个线性方程，而是非线性方程。小结（小结（1）22小结（小结（2）以上推导过程以上推导过程实际上就是将微元运动满足的物理实际上就是将微元运动满足的物理定律翻译成用已知函数、未知函数及其偏导数定律翻译成用已知函数、未知函数及其偏导数表示的数学式子。表示的数学式子。弦振动中的基本物理定律是弦
13、振动中的基本物理定律是牛顿第二定律和胡克定律。弹性杆的纵振动、牛顿第二定律和胡克定律。弹性杆的纵振动、弹性模的横振动、声波在空气中的传播等，都弹性模的横振动、声波在空气中的传播等，都可用类似方法导出同一类型的方程可用类似方法导出同一类型的方程),(222xtfuatu3,2,1),(21nxxxxnnjjx122其中，为拉普拉斯（拉普拉斯（LaplaceLaplace）算子）算子.此类方程称为波动方程波动方程。23 静电场问题静电场问题设真空有电荷分布，密度为设真空有电荷分布，密度为 ，引起的稳恒电场为，引起的稳恒电场为),(zyx),(zyxE任取区域任取区域 ，记其边界为，记其边界为 。记
14、。记 为介电常数。为介电常数。静电场的基本方程积分形式微分形式VVVVcdVdsEEdlE0VStockss1dV)(0dsE高斯定律高斯公式无旋（泊松方程）无旋00-E0EuEu0电场EVV24三维热传导问题三维热传导问题 考虑三维空间内的物体考虑三维空间内的物体 G，假设其为均匀的，假设其为均匀的且各向同性且各向同性.设设),(zyx(,).u x y z t.点处在时刻点处在时刻 t 的温度为的温度为在在 G 内任取一封闭曲面内任取一封闭曲面 S，它所包围的区域记为它所包围的区域记为由热传导的由热传导的 Fourier 实验定律知，实验定律知，在在t,t+dt 时间内，时间内，流过曲面流
15、过曲面 ds 的热量的热量 dQ 为为(,)udQk x y zdsdtku dSdtn 热场GSn25其中其中 n 为曲面为曲面 ds 的外法向向量，的外法向向量，k为热传导系数。为热传导系数。故从故从211.ttSuQkds dtn 12tt到这段时刻流入曲面内部的热量为这段时刻流入曲面内部的热量为 又，区域又，区域内温度升高吸收的热量为内温度升高吸收的热量为221(,)(,).Qcu x y z tu x y z tdxdydz2621(,)ttucx y z t dt dxdydzt21(,)ttucx y z t dxdydz dtt 12.QQ其中其中c为比热为比热，为质量密度。为
16、质量密度。由由能量守恒定律能量守恒定律，有，有221(,)(,).Qcu x y z tu x y z tdxdydz27SSukdSk u dSk u dxdydzn.k udxdydz21ttucdxdydz dtt 21.ttk udxdydz dt 由由Gauss公式有公式有故有故有（吸收的热量）（吸收的热量）（流入的热量）（流入的热量）28 ,uck ut 22222222,uuuuaautxyz222222,uuuuxyz 2.kac因此有因此有即即其中其中29 (,),F x y z t2222222(,),uuuuaf x y z ttxyz.Ffc若物体内部有热源，若物体内部
17、有热源，设单位时间内，设单位时间内，单位体积内所产生的热量为单位体积内所产生的热量为则易得相应的则易得相应的热传导方程热传导方程为为，其中，其中即即2(,)uauf x y z tt 300,ut0u uf如果我们考虑的是稳恒的温度场，如果我们考虑的是稳恒的温度场，即即 u 与时间与时间 t 无关无关，温度分布达到某种动态平衡状态，温度分布达到某种动态平衡状态，则有则有这时上述两个方程分别变为这时上述两个方程分别变为Laplace方程方程和和Poisson方程方程 31总结：三类经典的数学物理方程总结：三类经典的数学物理方程 波动方程波动方程 一维均匀弦的微小横振动一维均匀弦的微小横振动方程方程 调和方程（调和方程（Laplace方程方程,Poisson方程方程）静电场方程静电场方程 热传导方程热传导方程(扩散方程扩散方程)三维热传导方程三维热传导方程22222(,)uuaf x ttx0-u2(,)uauf x y z tt
