1、数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 复复 习习 课课第三章第三章一、本章知识结构一、本章知识结构虚数的引入虚数的引入复复 数数复数的表示复数的表示复数的运算复数的运算代数表示代数表示几何表示几何表示代数运算代数运算几何意义几何意义1 1、我们为解决负数开方的问、我们为解决负数开方的问题引入虚数单位题引入虚数单位i i，把形如，把形如a+bia+bi（a a，bRbR）的数叫做复）的数叫做复数，数系由实数集扩充到复数数，数系由实数集扩充到复数集，实现了数系的扩充。集，实现了数系的扩充。n结构图简析结构图简析n结构图简析结构图简析n2 2、建立复数的概念之后，、建立复数的概念之后，我们主
2、要研究了复数的代数我们主要研究了复数的代数形式及其运算，复数的几何形式及其运算，复数的几何表示（复平面上的点、向表示（复平面上的点、向量），复数运算的几何意义。量），复数运算的几何意义。本课复习要点本课复习要点：n1 1复数的有关概念复数的有关概念 n2 2复数的代数运算复数的代数运算 n3 3复数的几何意义复数的几何意义 1复数的有关概念复数的有关概念 复数复数a+bi(a,bR)由两部分组成由两部分组成，实数实数a与与b分别称为复数分别称为复数a+bi的的实部实部与与虚部虚部。当当b=0时时，a+bi就是就是实数实数，当当b0时时，a+bi是虚数虚数，其中其中a=0且且b0时称为时称为纯虚
3、数。纯虚数。背景知识背景知识 问题问题2 2 设设x x，yRyR，并且，并且 (2x(2x1)+xi=y1)+xi=y(3(3y)iy)i，求，求x x，y y。解题总结：解题总结：复数相等复数相等的问题的问题转化转化求方程组的解求方程组的解的问题的问题转化思想转化思想2.2.复数的代数运算复数的代数运算n问题问题3 3 复数复数 等于（等于（）n A.1A.1i B.1+i i B.1+i n C.C.1+i D.1+i D.1 1i i2(1)1iiC方法点拨方法点拨在掌握复数运算法则的基在掌握复数运算法则的基础上注意以下几点础上注意以下几点n1.的周期性的周期性nin2.211(1)2
4、11iiiiiiii n3.3221,101322i n问题问题4 4 设设z z为虚数，且满足为虚数，且满足 求求|z|z|。9zRzn解法解法1 1 设设 z=a+bi(a,bRz=a+bi(a,bR且且nb0)b0)，99zzabiabi229()a bia biab 9zR,z222299()()ababiabab 2290bbabb0,又229 0ab 229ab即|z|3解题总结解题总结n解法入手容易、思路清楚，是我们解法入手容易、思路清楚，是我们处理这类问题的常规方法，必须熟处理这类问题的常规方法，必须熟练掌握。练掌握。方法与技巧方法与技巧共轭复数的性质共轭复数的性质1212,z
5、zzz1212,zzzz1122();zzzz;zRzz0;zz0z 时，时，z是纯虚数是纯虚数 22|.|zzz z（1）（2）（3）（4）问题问题5 5 已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-+m-2)i2)i在复平面内所对应的点位于第二在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数象限，求实数m m的取值范围。的取值范围。020622mmmm解：由1223mmm或得(3,2)(1,2)m 3、复数的几何意义、复数的几何意义复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)x轴轴-实轴实轴y轴轴-虚轴虚轴（数
6、）（数）（形）（形）复平面复平面一一对应一一对应yxobaZ(a,b)z=a+bi背景知识背景知识n 复数复数z=a+biz=a+bin点点Z(a,bZ(a,b）向量向量OZ CxyB 0A问题问题6 6 如图，已知复平面内一个平如图，已知复平面内一个平行四边形的三个顶点行四边形的三个顶点O,A,BO,A,B对应的对应的复数分别是复数分别是0,5+2i,-3+i 0,5+2i,-3+i，求，求第四个顶点第四个顶点C C对应的复数对应的复数.OCOAOB 解法解法1向量法向量法解法解法2几何法几何法平行四边形对角线互相平分平行四边形对角线互相平分n如果复数如果复数z z满足满足|z+i|+|z|
7、z+i|+|zi|=2i|=2，那么那么|z+i+1|z+i+1|的最小值是（的最小值是（）n A.1 B.A.1 B.C.2 C.2 D.D.25问题问题7xyo思想方法思想方法数形结合数形结合回顾总结回顾总结n1.1.两个复数相等的充要条件是实现两个复数相等的充要条件是实现把复数问题转化为实数问题的重要把复数问题转化为实数问题的重要途径，也是我们解决有关的方程、途径，也是我们解决有关的方程、不等式问题的重要依据。不等式问题的重要依据。n2.2.在熟练进行复数运算的同时，掌在熟练进行复数运算的同时，掌握一些运算技巧方法，以求快速准握一些运算技巧方法，以求快速准确地解答问题。确地解答问题。n3.3.复数的几何表示建立了复数与平复数的几何表示建立了复数与平面图形、复数与向量沟通的桥梁，面图形、复数与向量沟通的桥梁，由此我们可以方便地进行数形转换，由此我们可以方便地进行数形转换，寻找更为直观、方便的解题方法与寻找更为直观、方便的解题方法与途径。途径。回顾总结回顾总结
