1、第九章第九章 压杆稳定压杆稳定9.1 引言引言9.2 细长压杆的欧拉细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷临界载荷9.3 中、小柔度压杆的临界应力中、小柔度压杆的临界应力9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷材料力学材料力学9.1 引言引言FFQF=Fcr当轴向压力超过一定数值时，压当轴向压力超过一定数值时，压杆的平衡由稳定向不稳定转变，这个杆的平衡由稳定向不稳定转变，这个载荷称为载荷称为临界载荷临界载荷 FcrF小于小于Fcr时，稳定平衡。时，稳定平衡。给杆件一个横向扰动，杆件仍能恢复给杆件一个横向扰动，
2、杆件仍能恢复原来的平衡状态。（轴向平衡）原来的平衡状态。（轴向平衡）F大于等于大于等于Fcr时，不稳定平衡。时，不稳定平衡。杆件既能在轴线上达到平衡，又能杆件既能在轴线上达到平衡，又能在弯曲状态下达到平衡（在弯曲状态下达到平衡（F=Fcr)。给杆件一个横向扰动，杆件由轴向给杆件一个横向扰动，杆件由轴向平衡转向弯曲状态，从而造成平衡转向弯曲状态，从而造成失稳失稳。稳定性稳定性结构或者物体保持或者恢复原有平衡状态结构或者物体保持或者恢复原有平衡状态的能力。的能力。9.2 细长压杆的欧拉细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷临界载荷AByCyxlFx 22ddyEIM xFyx Imin=b3h/12
3、(hb)一、两端球铰细长压杆的欧拉临界载荷一、两端球铰细长压杆的欧拉临界载荷如图两端为球铰的细长压杆承受轴力如图两端为球铰的细长压杆承受轴力F的作用。的作用。假设力假设力F已经达到临界值已经达到临界值Fcr，且压杆处于弯曲平衡状态，现在，且压杆处于弯曲平衡状态，现在看此时杆的挠曲线满足什么条件。看此时杆的挠曲线满足什么条件。考察考察C点有：点有：因为是球铰，杆在抗弯能力最弱的纵向平面内弯曲。因为是球铰，杆在抗弯能力最弱的纵向平面内弯曲。即上式中的即上式中的I 应取最小值应取最小值Imin。如对于矩形截面梁有：。如对于矩形截面梁有：EIFk 2令：令：9.2 细长压杆的欧拉细长压杆的欧拉(Eul
4、er)临界载荷临界载荷222d0dyk yxkxBkxAycossin 00lyy0cossin010klBklABA0cossin10klkl0sinkl则压杆的平衡微分方程可化为：则压杆的平衡微分方程可化为：齐次二阶常微分方程齐次二阶常微分方程上式通解为：上式通解为：A，B为待定常数。为待定常数。由球铰的位移边界条件有：由球铰的位移边界条件有：代入通解：代入通解：方程有非零解的条件是：方程有非零解的条件是：即：即：,2,1,0nlnk,2,1,0222nlEInF2cr2EIFl lxAkxAxysinsin9.2 细长压杆的欧拉细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷临界载荷0sinkl上式
5、的解为：上式的解为：又：又：EIFk 2所以有：所以有：最小值即为临界载荷：最小值即为临界载荷：两端球铰细长压杆的两端球铰细长压杆的欧拉临界载荷欧拉临界载荷对应的压杆的挠曲线为：对应的压杆的挠曲线为：屈曲模态屈曲模态Buckling mode FyxlFxMBy22ddByFlxFyyxEIEIFk 2222ddByFlxyk yxEIxlFFkxBkxAyBycossin9.2 细长压杆的欧拉细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷临界载荷二、一端固定，一端球铰细长压杆的临界载荷二、一端固定，一端球铰细长压杆的临界载荷ACBxFFByllli7.0yxy如图一端固定一端球铰的细长压杆，设在临界如
6、图一端固定一端球铰的细长压杆，设在临界载荷载荷F作用下处于微弯平衡，考察点作用下处于微弯平衡，考察点(x,y)有：有：代入挠曲线微分方程有：代入挠曲线微分方程有：令：令：有：有：其通解为：其通解为：9.2 细长压杆的欧拉细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷临界载荷 000lyy00cossin010010FFBklAklFFBAkFFlBAByByBydcossindByFyAkkxBkkxxFxlFFkxBkxAyBycossin所以有：所以有：由位移边界条件有：由位移边界条件有：分别代入上面两式：分别代入上面两式：ACBxFFByllli7.0yxy00cossin1010klklklkl
7、kl tanlk5.4EIFk 22cr20.7EIFl9.2 细长压杆的欧拉细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷临界载荷A，B，FBy有非零解的条件是：有非零解的条件是：即：即：由图解法有：由图解法有：代入：代入：有：有：一端固定一端球铰细长一端固定一端球铰细长压杆的压杆的欧拉临界载荷欧拉临界载荷00cossin010010FFBklAklFFBAkFFlBAByByBy9.2 细长压杆的欧拉细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷临界载荷三、其它杆端约束下细长压杆的临界载荷三、其它杆端约束下细长压杆的临界载荷ACBxFFByllli7.0yxyyx22lEIFcr2cr20.7EIFl临界载荷
8、的拐点确定法临界载荷的拐点确定法如图一端固定，一端铰支的细长压杆，其如图一端固定，一端铰支的细长压杆，其拐点位于离铰支座拐点位于离铰支座 0.7l 处。处。拐点处弯矩为零，所以可一看成拐点处弯矩为零，所以可一看成长度为长度为 0.7l 的两端球铰的情况。的两端球铰的情况。9.2 细长压杆的欧拉细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷临界载荷BB CllAFcrFcr4l4l4l4lCDFcr2cr22EIFl22cr2240.5EIEIFll22lEIFcr类似的，一端自由一端固定的细长压杆的临界载荷为：类似的，一端自由一端固定的细长压杆的临界载荷为：一端滑动固定一端固定的细长压杆一端滑动固定一端
9、固定的细长压杆的临界载荷为：的临界载荷为：不同杆端约束下细长压杆的临界载不同杆端约束下细长压杆的临界载荷可统一写为：荷可统一写为：9.2 细长压杆的欧拉细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷临界载荷22lEIFcr21表示杆端约束情况，称为表示杆端约束情况，称为长度系数。长度系数。l称为称为相当长度。相当长度。固定端固定端-自由端自由端球铰球铰-球铰球铰滑动固定端滑动固定端-固定端固定端球铰球铰-固定端固定端7.05.0各种支承约束条件下等截面细长压杆临界载荷的欧拉公式各种支承约束条件下等截面细长压杆临界载荷的欧拉公式支承情况支承情况两端铰支两端铰支一端固定一端固定另端铰支另端铰支两端固定两端固
10、定一端固定一端固定另端自由另端自由失稳时挠曲线形失稳时挠曲线形状状临界载荷临界载荷Fcr的欧拉的欧拉公式公式长度系数长度系数 2cr2EIFl2cr2(0.7)EIFl2cr2(0.5)EIFl2cr2(2)EIFl=1 0.7=0.5=29.2 细长压杆的欧拉细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷临界载荷第九章第九章 压杆稳定压杆稳定9.1 引言引言9.2 细长压杆的欧拉细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷临界载荷9.3 中、小柔度压杆的临界应力中、小柔度压杆的临界应力9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载
11、荷材料力学材料力学9.3 中、小柔度压杆的临界应力中、小柔度压杆的临界应力22crcr22FEIEAAll iminii 32minminbAIi()hbminil2cr2E由欧拉临界压力公式由欧拉临界压力公式,可得欧拉临界应力公式可得欧拉临界应力公式:其中其中A为压杆的横截面面积为压杆的横截面面积;i 为横截面的最小惯性半径，即为横截面的最小惯性半径，即如矩形截面的最小惯性半径为：如矩形截面的最小惯性半径为：令：令：则有欧拉临界应力为：则有欧拉临界应力为：压杆的压杆的柔度柔度或或长细比长细比柔度是一个无量纲量，它综合反映了压杆柔度是一个无量纲量，它综合反映了压杆长度，约束条件，截面形状尺寸对
12、临界应力的影响。长度，约束条件，截面形状尺寸对临界应力的影响。柔度越大，临界应力就越小柔度越大，临界应力就越小杆件越容易失稳。杆件越容易失稳。欧拉临界应力公式适用于压应力小于比例极限欧拉临界应力公式适用于压应力小于比例极限的场合。的场合。p2crp2E2pE2ppE29p6200 10100200 109.3 中、小柔度压杆的临界应力中、小柔度压杆的临界应力一般来说，压杆在不同纵向平面内具有不同的柔度值，一般来说，压杆在不同纵向平面内具有不同的柔度值，压杆的临界应力应该按最大柔度值来计算。压杆的临界应力应该按最大柔度值来计算。即：即：令：令：p当：当：称为称为大柔度杆大柔度杆（或者（或者细长杆
13、细长杆）欧拉临界应力公式适用于大柔度杆欧拉临界应力公式适用于大柔度杆!p与材料性质有关。与材料性质有关。p200MPa对于对于Q235钢：钢：E=200GPa对于对于Q235钢制成的压杆，只有柔度大于钢制成的压杆，只有柔度大于100时，才能应用欧拉临界应力公式。时，才能应用欧拉临界应力公式。crab9.3 中、小柔度压杆的临界应力中、小柔度压杆的临界应力p时称为时称为中柔度压杆中柔度压杆或或中长压杆中长压杆。此时中长压杆的临界应力超过了比例极限，因此欧拉公式不适用。此时中长压杆的临界应力超过了比例极限，因此欧拉公式不适用。一般由直线或者抛物线经验公式计算。一般由直线或者抛物线经验公式计算。中长
14、压杆的临界应力的直线经验计算公式：中长压杆的临界应力的直线经验计算公式：crsab适用范围：适用范围：ssab令：令：s时称为时称为短粗杆短粗杆。短粗杆只有强度问题，没有稳定性问题。短粗杆只有强度问题，没有稳定性问题。sp则当：则当：时，时，压杆称为压杆称为中柔度压杆中柔度压杆或或中长压杆中长压杆。crspcrscrab2cr2EspABCD临界应力总图临界应力总图中柔度杆的临界应力也可用抛物线公式计算：中柔度杆的临界应力也可用抛物线公式计算：2cr11CBab段：9.3 中、小柔度压杆的临界应力中、小柔度压杆的临界应力细长杆细长杆中长杆中长杆短粗杆短粗杆abyxFFlFFxzl140mma
15、60mmb 2.1ml 12ml 205GPaE p200MPa13122 36017.32mm2 3zzIb abiAab2.12132.1710021zzil例例1：由：由Q235钢制成的矩形截面压杆，两端用销钉支承。钢制成的矩形截面压杆，两端用销钉支承。求临界压力。求临界压力。解：解：先求压杆的柔度。先求压杆的柔度。不同纵向面内柔度不同，在不同纵向面内柔度不同，在xy平面内：平面内：9.3 中、小柔度压杆的临界应力中、小柔度压杆的临界应力6.8655.1100025.01yyil229p6p205 10100.6200 10E229cr22205 10Pa137.7MPa121.2zEc
16、rcr137.7 40 60 N330.5 kNFA5.0340mm11.55mm122 32 3yyIa baiAab9.3 中、小柔度压杆的临界应力中、小柔度压杆的临界应力在在xz平面内：平面内：压杆的：压杆的：maxp121.2z所以：所以：大柔度压杆。大柔度压杆。用用欧拉临界应力欧拉临界应力公式公式第九章第九章 压杆稳定压杆稳定9.1 引言引言9.2 细长压杆的欧拉细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷临界载荷9.3 中、小柔度压杆的临界应力中、小柔度压杆的临界应力9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界
17、载荷材料力学材料力学crststFFFncrstFnnF9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件一、稳定条件一、稳定条件或或stF为稳定许用压力为稳定许用压力;n为工作安全系数为工作安全系数;对压杆进行稳定性计算时，一般不考虑铆钉孔或者对压杆进行稳定性计算时，一般不考虑铆钉孔或者螺栓孔对杆的局部削弱，但要校核此处的强度。螺栓孔对杆的局部削弱，但要校核此处的强度。stn规定的规定的稳定安全系数稳定安全系数，一般高于强度安全系数。，一般高于强度安全系数。9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件二、折减系数法二、折减系数法 st 其中：其中：为许用压应力。为许用压应力。为折减系数，位于为折减系数，位于0和和
18、1之间。之间。折减系数同时取决于材料性质和压杆的柔度（参考图折减系数同时取决于材料性质和压杆的柔度（参考图9.11)9.11)。根据折减系数法，压杆的根据折减系数法，压杆的稳定条件稳定条件可写为：可写为：稳定计算的三类问题稳定计算的三类问题 1.稳定校核稳定校核 2.选择截面选择截面 3.确定许用载荷确定许用载荷FBACdl9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件 FA例例2 如图所示立柱，下端固定，上端受轴向压力如图所示立柱，下端固定，上端受轴向压力F=200KN。立柱。立柱用工字钢制成，柱长用工字钢制成，柱长l=2m,材料为材料为Q235钢钢,许用应力许用应力。在立柱中点横截面在立柱中点横截面
19、C处，因构造需要开一直径为处，因构造需要开一直径为d=70mm的圆孔。的圆孔。试选择工字钢号。试选择工字钢号。160MPa解：解：因为为受压立柱，应同时考虑立柱的强度和稳定性因为为受压立柱，应同时考虑立柱的强度和稳定性根据稳定性条件有：根据稳定性条件有：折减系数和截面面积（柔度）有关，而面积未知，折减系数和截面面积（柔度）有关，而面积未知，因此需要进行试算。因此需要进行试算。（1）取）取5.01则有：则有：32326200 10m2.5 10 m0.5 160 10FA 9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件2110189.022minil3320010Pa76.6MPa2.61 10FA610
20、.1716010 Pa27.2MPast查型钢表，查型钢表，No16工字钢的横截面积工字钢的横截面积322.61 10 mAmin18.9mmi如果选用该型号钢，则有：如果选用该型号钢，则有：21117.01对于对于的折减系数为：的折减系数为：所以立柱的稳定许用应力为：所以立柱的稳定许用应力为：工作应力大于稳定许用应力很多，因此需要调整折减系数。工作应力大于稳定许用应力很多，因此需要调整折减系数。9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件30.02232631017.41016030.010200mmA2.1730231.022MpaPast4.381016024.06stNMpaPaAF6.471
21、02.41020033（2）取）取11介于上述介于上述和和之间，取：之间，取：则有：则有：23102.4mAmmi1.23min查表选查表选No22a号钢：号钢：则立柱的柔度为：则立柱的柔度为：24.02查表有折减系数为：查表有折减系数为：则有：则有：仍需调整折减系数。仍需调整折减系数。9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件26.0322（3 3）取）取值位于值位于之间：之间：则：则：32326200 10m4.81 10 m0.26 160 10A16602403.02225.0360.25 160 10 Pa40MPast3Nst3200 10Pa41.2MPa4.85 10FA324.85
22、 10 mAmin24.03mmi选选No25a钢钢则有：则有：查表：查表：所以有：所以有：但超过量小于但超过量小于5%5%，所以可以选用，所以可以选用No.25aNo.25a工字钢。工字钢。32324.85 100.008 0.070 m4.29 10 mcAAd 33200 10Pa46.6MPa4.29 10cFA9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件（4）强度校核）强度校核对于对于No25a工字钢，腹板厚度：工字钢，腹板厚度：8mm则截面则截面C的净面积：的净面积：截面应力：截面应力：所以强度条件也满足。所以强度条件也满足。2m1m30。ABCDGmDDDAIi025.008.006.0
23、1408.01441641222244minpil36.92025.0309.21min9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件100p57s4stn例例3 如图所示的简易吊车，最大起吊重量如图所示的简易吊车，最大起吊重量G=50KN，CD为空心杆，其内外径分别为为空心杆，其内外径分别为d=6cm,D=8cm,材料为材料为Q235钢，钢，其，其，,E=200Gpa,稳定安全系数稳定安全系数，试校，试校核核CD压杆的稳定性。压杆的稳定性。解解：1CD压杆为两端铰支压杆，压杆为两端铰支压杆，空心圆杆的惯性半径为空心圆杆的惯性半径为ml309.230cos2杆长杆长中柔度杆中柔度杆，故采用直线型公式：，
24、故采用直线型公式：（但大于（但大于）s 0AMNsin3023CDFGN33 50kN150kNCDFG crstN4422.95150CDFnnF9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件cr304 1.12 92.36 MPa201MPaab622crcr201 100.080.06N442kN4FA则临界压力为：则临界压力为：CDCD杆的工作压力由静力平衡方程求出：杆的工作压力由静力平衡方程求出：由稳定条件有：由稳定条件有：CD压杆的稳定性不够。压杆的稳定性不够。9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件2294cr22210 10640.7 1.25EIdFl3crstmax6 4 10 N24k
25、NFnF 6stnMpap220例例4 已知一端固定，一端球铰的圆截面压杆的最大工作压力为已知一端固定，一端球铰的圆截面压杆的最大工作压力为4kN,其长度其长度l=1.25m，规定的，规定的，材料的材料的，E=210Gpa,试确定其截面直径试确定其截面直径d。解解由于压杆的直径未定，所以不能求其柔度。由于压杆的直径未定，所以不能求其柔度。先假定此压杆为大柔度压杆，又长度系数先假定此压杆为大柔度压杆，又长度系数0.7,则用欧拉公式则用欧拉公式计算有：计算有：又由稳定性条件有：又由稳定性条件有：所以截面直径：所以截面直径：1 4232924 100.7 1.2564m20.6mm210 10d17
26、046.2012507.0il229p6p210 1097220 10Ep9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件得到截面直径得到截面直径 d 后，可计算压杆的柔度，即：后，可计算压杆的柔度，即：又：又：故原假设为大柔度压杆是正确的，压杆的直径应取故原假设为大柔度压杆是正确的，压杆的直径应取d=21mm。9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件 例例5 图a，b，c所示两端球形铰支的组合截面中心压杆，由两根110 mm70 mm7 mm的角钢用缀条和缀板联成整体，材料为Q235钢，强度许用应力=170 MPa。试求该压杆的稳定许用应力。9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件 解：解：1.确定组合截面形心
27、和形心主惯性轴 图c所示组合截面的形心离角钢短肢的距离显然就是 y035.7 mm，并落在对称轴y轴上。根据y轴为对称轴可知，图c中所示通过组合截面形心的y轴和z轴就是该组合截面的形心主惯性轴。2.计算组合截面的形心主惯性矩4444mm10306mm101532zI442244mm10235mm5.7mm1.16mm1230mm1001.492yI9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件可见，在组合截面对于所有形心轴的惯性矩中，Imax=Iz，Imin=Iy ,按通常的说法就是z 轴为强轴，而y轴为弱轴。3.计算压杆的柔度 此压杆两端为球形铰支座，在各个纵向平面内对杆端的约束相同，故失稳时横截面将
28、绕弱轴 y 轴转动。压杆的柔度应据此计算。mm9.30mm12302mm10235244AIiyy97m109.30m31 3il9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件4.计算压杆的稳定许用应力由图9.11查得97时0.575，从而得 MPa8.97MPa170575.0st9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件压杆稳定性计算步骤压杆稳定性计算步骤 a、计算、计算 、与与 :ps,2PPEss,abminlib、由压杆类型算、由压杆类型算 cr:，大柔度杆大柔度杆，p 2cr2E，中柔度杆中柔度杆，根据有关经验根据有关经验 公式计算。公式计算。sp crc、由稳定性条件进行稳定校核或确定许用载荷：
29、、由稳定性条件进行稳定校核或确定许用载荷：crst;ncrstAFnd、设计截面，这一类稳定性计算一般用折减系数法通过试算、设计截面，这一类稳定性计算一般用折减系数法通过试算 来实现。来实现。crFA 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定9.1 引言引言9.2 细长压杆的欧拉细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷临界载荷9.3 中、小柔度压杆的临界应力中、小柔度压杆的临界应力9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷材料力学材料力学9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计影响压杆稳定性的因素有截面形状，压杆长度，约束条件
30、及材料影响压杆稳定性的因素有截面形状，压杆长度，约束条件及材料性质等。性质等。要提高压杆稳定性，也要从这几方面着手。要提高压杆稳定性，也要从这几方面着手。一、合理选择材料一、合理选择材料细长压杆细长压杆临界力只与弹性模量有关。由于各种钢材的临界力只与弹性模量有关。由于各种钢材的E值大致相等，所以值大致相等，所以选用高强度钢或低碳钢并无差别。选用高强度钢或低碳钢并无差别。中柔度杆中柔度杆临界应力与材料的强度有关，选用高强度钢在一定程度上可以临界应力与材料的强度有关，选用高强度钢在一定程度上可以提高压杆的稳定性。提高压杆的稳定性。il 22cr E 9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计二、合理选择
31、截面二、合理选择截面柔度越小，临界应力越大。柔度越小，临界应力越大。IAlil在面积不变的情况下，应该选择惯性矩比较大的截面。在面积不变的情况下，应该选择惯性矩比较大的截面。如空心杆等。如空心杆等。同时要考虑失稳的方向性，尽量做到各个可能失稳方向的柔度同时要考虑失稳的方向性，尽量做到各个可能失稳方向的柔度大致相等。大致相等。如压杆两端为销铰支承，由于两个方向的如压杆两端为销铰支承，由于两个方向的不同，则应该选不同，则应该选择择的截面，使得两个方向上的柔度大致相等，即：的截面，使得两个方向上的柔度大致相等，即：yyzzililzyII 22cr E 增大截面惯性矩增大截面惯性矩 I（合理选择截面
32、形状）（合理选择截面形状）9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计三、改变压杆的约束条件三、改变压杆的约束条件9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计细长压杆的临界压力与相当长度的二次方成反比，所以细长压杆的临界压力与相当长度的二次方成反比，所以增强对压杆的约束可极大的提高其临界压力。增强对压杆的约束可极大的提高其临界压力。如采用稳定性比较好的约束方式，或者在压杆中间增添支座，如采用稳定性比较好的约束方式，或者在压杆中间增添支座，都可以有效的提高压杆的稳定性。都可以有效的提高压杆的稳定性。9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计 例例6 厂房的钢柱由两根槽钢组成，并由缀板和缀条联结成整体，承受轴向压力F=
33、270 kN。根据杆端约束情况，该钢柱的长度系数取为1.3。钢柱长7 m，材料为Q235钢，强度许用应力=170 MPa。该柱属于b类截面中心压杆。由于杆端连接的需要，其同一横截面上有4个直径为d0=30 mm的螺钉孔。试为该钢柱选择槽钢型号。9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计解解：1.按稳定条件选择槽钢号码 为保证此槽钢组合截面压杆在xz平面内和xy平面内具有同样的稳定性，应根据y=z确定两槽钢的合理间距h。现先按压杆在xy平面内的稳定条件通过试算选择槽钢号码。假设0.50，得到压杆的稳定许用应力为 MPa85MPa17050.0st因而按稳定条件算得每根槽钢所需横截面面积为 2463st
34、m109.15Pa10852/N102702/FA9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计由型钢表查得，14a号槽钢的横截面面积为 A=18.51 cm218.5110-4 m2，而它对z轴的惯性半径为iz=5.52 cm=55.2 mm。下面来检查采用两根14a号槽钢的组合截面柱其稳定因数 是否不小于假设的 0.5。165m102.55m73.13zil 注意到此组合截面对于z 轴的惯性矩 Iz 和面积 A 都是单根槽钢的两倍，故组合截面的iz 值就等于单根槽钢的iz 值。于是有该组合截面压杆的柔度：9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计由图9.11查得，Q235钢压杆相应的稳定因数为0.262。
35、显然，前面假设的0.5这个值过大，需重新假设 值再来试算；重新假设的 值大致上取以前面假设的0.5和所得的0.262的平均值为基础稍偏于所得 的值。重新假设0.35，于是有 MPa5.59MPa17035.0st 2463stm107.22Pa105.59N101352/FA9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计试选16号槽钢，其 A=25.1510-4 m2，iz=61 mm，从而有组合截面压杆的柔度：2.149m1061m73.13由表9-3得 0.311，它略小于假设的0.35。现按采用2根16号槽钢的组合截面柱而0.311进行稳定性校核。此时稳定许用应力为 MPa9.52MPa17031
36、1.0st按横截面毛面积(不计螺孔)算得的工作应力为MPa7.53m1015.25N101352/243AF9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计虽然工作应力超过了稳定许用应力，但仅超过1.5，这是允许的。2.计算钢柱两槽钢的合理间距 由于认为此钢柱的杆端约束在各纵向平面内相同，故要求组合截面的柔度y=z。根据 可知，也就是要求组合截面的惯性矩Iy=Iz。AIlil9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计如果z0，Iy0，Iz0，A0分别代表单根槽钢的形心位置和自身的形心主惯性矩以及横截面面积则IyIz的条件可表达为20022200hzAIIyz亦即20202022200hziAiAyz消去公因子2
37、A0后有2022200hziiyz在选用16号槽钢的情况下，上式为2222mm5.17mm2.18mm61h9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计由此求得 h81.4 mm。实际采用的间距h不应小于此值。3.按钢柱的净横截面积校核强度钢柱的净横截面积为2333240m10830.3m1030m10104m1015.25242dA按净面积算得的用于强度计算的工作应力为MPa5.70m10830.3N10270422330dAF它小于强度许用应力=170 MPa，满足强度条件。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定9.1 引言引言9.2 细长压杆的欧拉细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷临界载荷9.3 中、
38、小柔度压杆的临界应力中、小柔度压杆的临界应力9.4 压杆的稳定条件压杆的稳定条件9.5 压杆的合理设计压杆的合理设计9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷材料力学材料力学I9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷前面对几种典型情况的欧拉临界压力公式，是用求解压杆微弯时前面对几种典型情况的欧拉临界压力公式，是用求解压杆微弯时的挠曲线平衡方程的方法求压杆的临界载荷。但对于比较复杂的的挠曲线平衡方程的方法求压杆的临界载荷。但对于比较复杂的载荷，支承方式或截面变化，采用能量法比较简洁。载荷，支承方式或截面变化，采用能量法比较简洁。能量法的基本思路：能量法的基本思路：1
39、、在临界载荷作用下，压杆可在微弯状态平衡。、在临界载荷作用下，压杆可在微弯状态平衡。2、压力沿轴线方向所做的功转化为压杆微弯状态下的应变能。、压力沿轴线方向所做的功转化为压杆微弯状态下的应变能。3、假设出符合位移边界条件的挠曲线方程，则根据第、假设出符合位移边界条件的挠曲线方程，则根据第2条，可条，可以求出临界载荷的大小。以求出临界载荷的大小。UWddlsx22221ddd1 d1d2sxyyxyx21 d2lyx2crcr d2lFWFyx9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷如图所示压杆，假设在临界载荷作用下达到微弯平衡状态，如图所示压杆，假设在临界载荷作用下达到微弯平衡
40、状态，临界压力在轴向位移上所做的功等于压杆微弯状态下的应变能临界压力在轴向位移上所做的功等于压杆微弯状态下的应变能即：即：B点的轴向位移：点的轴向位移：其中：其中：所以：所以：AByxlFcrxB dxds9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷 22d d22llMxEIUxyxEI2crcr d2lFWFyx又：又：由以上两式有：由以上两式有：2cr2 d dllEIyxFyx所以挠曲线确定后，就可以知道临界压力的大小。挠曲线所以挠曲线确定后，就可以知道临界压力的大小。挠曲线一般可以采用满足位移边界条件的近似曲线代替。一般可以采用满足位移边界条件的近似曲线代替。2cr2d
41、dllMEIxFyxAByxlFcrxB dxds2222llxay 00lyy 22crcr22llM xF yF ax 9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷AByCyxlFx例例 用能量法求两端球铰的压杆的临界压力。用能量法求两端球铰的压杆的临界压力。解：解：设压杆微弯曲时的挠曲线方程为：设压杆微弯曲时的挠曲线方程为：该挠曲线满足位移边界条件：该挠曲线满足位移边界条件：则任一截面上的弯矩为：则任一截面上的弯矩为：由：由：2cr2d dllMEIxFyx有：有：22 3crcr02d226lFF a llWa xx222222222 5crcrcr00dd222260ll
42、F yF aF a lllUxxxEIEIEI210lEIFcr2cr2EIFl9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷所以有：所以有：如果根据式如果根据式2cr2 d dllEIyxFyx则有：则有：22200 d2d222llEIEIUyxaxEIa lcr212EIFl精确解：精确解：9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷因为挠曲线只是近似曲线，如果对它求两次导数，会引起数值上因为挠曲线只是近似曲线，如果对它求两次导数，会引起数值上更大的偏差。更大的偏差。22crcr22llM xF yF ax 基于式：基于式：2cr2d dllMEIxFyx的结果比基
43、于式。的结果比基于式。2cr2 d dllEIyxFyx的结果更精确。的结果更精确。9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷qlxfx x例例 如图细长杆，一端固定，另一端自由，承受集度为如图细长杆，一端固定，另一端自由，承受集度为q的轴向的轴向均布载荷作用。试用能量法确定载荷均布载荷作用。试用能量法确定载荷q的临界值的临界值qcr。解解：假设压杆微弯时的挠曲线方程为：假设压杆微弯时的挠曲线方程为：lxfy2cos1f其中其中为压杆自由端的挠度。为压杆自由端的挠度。解法一：解法一：压杆微弯时，横截面压杆微弯时，横截面x的轴向位移为：的轴向位移为：222201 dsin216xf
44、lxxyxxll 22crcr0d184lq fWx qx均布载荷所做的功：均布载荷所做的功：422301 d264lEIfUEIyxlcr38.30EIql9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷又又UW由：由：有：有：cr37.83EIql精确解：精确解：与精确解相差与精确解相差6%9.6 用能量法求压杆的临界载荷用能量法求压杆的临界载荷qlxfx xxxyq解法二：解法二：取如图两套坐标系，取如图两套坐标系，则有则有x截面上的弯矩为：截面上的弯矩为：crdlxM xy qlf2cos1又又截面上的挠度为，截面上的挠度为，代入上式有，代入上式有，cr2cos1 sin22xlxM xfqlxll 2223cr2301932d226lMxf q lUxEIEIcr27.89EIql则有：则有：%77.0跟精确值相差跟精确值相差
