1、大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.3 2.3 传递函数传递函数2.3.12.3.12.3.22.3.22.3.32.3.3传递函数的定义传递函数的定义传递函数的基本性质传递函数的基本性质控制系统的典型环节及传递函数控制系统的典型环节及传递函数大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型微分方程形式的数学模型在实际应用中一般会遇微分方程形式的数学模型在实际应用中一般会遇到如下的困难：到如下的困难：1）微分方程式的
2、阶次一高，求解就有难度，）微分方程式的阶次一高，求解就有难度，且计算的工作量大。且计算的工作量大。2）对于控制系统的分析，不仅要了解它在给）对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号作用下的输出响应，而且更重视系统的结构定信号作用下的输出响应，而且更重视系统的结构、参数与其性能间的关系。对于后者的要求，显然、参数与其性能间的关系。对于后者的要求，显然用微分方程式去描述是难于实现的。用微分方程式去描述是难于实现的。在控制工程中，一般并不需要精确地求系统在控制工程中，一般并不需要精确地求系统微分方程式的解，作出它的输出响应曲线，而是希微分方程式的解，作出它的输出响应曲线，而是希望用简单的办法了解系
3、统是否稳定及其在动态过程望用简单的办法了解系统是否稳定及其在动态过程中的主要特征，能够判别某些参数的改变或校正装中的主要特征，能够判别某些参数的改变或校正装置的加入对系统性能的影响。置的加入对系统性能的影响。大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型下面以一个简单的下面以一个简单的R-C电路为例，说明卷积积分的电路为例，说明卷积积分的应用。应用。已知一已知一R-C电路如图电路如图2-12所示，其中输入电压为所示，其中输入电压为 ，输出为电容两端的充电电压输出为电容两端的充电电压 。由基尔霍夫定律得。由基尔霍
4、夫定律得因为因为 ，则上式便改写为，则上式便改写为这就是该电路的微分方程式。这就是该电路的微分方程式。方程两端进行拉氏变换方程两端进行拉氏变换rucurcuuiR dtduCic rccuudtduRC )()()0()(sUsURCusRCsUrccc2.3.1 2.3.1 传递函数传递函数(transfer function)(transfer function)的定义的定义大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型若若 则有则有)0(1)(11)(crcuRCsRCsURCssU其中，其中，RCT)(
5、*0tuurRCtcRCtceueutu)0()1()(00)0(cu若若 则有则有)(11)(sURCssUrc大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型()G s()R s()C s11)()(RCssUsUrc当当初始电压初始电压为为零零时，电路时，电路输出函数输出函数的拉氏变换函数的拉氏变换函数与与输入函数输入函数拉氏变换之比，是一个只与电路结构与拉氏变换之比，是一个只与电路结构与参数有关的函数，称为参数有关的函数，称为传递函数传递函数。大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控
6、制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型式中，式中，为系统的输入量；为系统的输入量；为系统的输出量。为系统的输出量。在零初始条件下，在零初始条件下，对上式进行拉氏变换得对上式进行拉氏变换得)(tr)(tc)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn mn)()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn 设线性定常数系统的微分方程式为设线性定常数系统的微分方程式为大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院
7、自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型系统的传递函数定义为系统的传递函数定义为 与与 之比，即之比，即 )()()(sRsGsC)()(tcLsC)()(trLsR)(sC)(sRnnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG 11101110)()()(于是得于是得其中其中在在零初始条件零初始条件()下，线性定常系统下，线性定常系统输出量输出量的拉氏变换与引起该输的拉氏变换与引起该输出的出的输入量输入量的拉氏变换之比。的拉氏变换之比。据此得出线性定常系统（或元件）传递函数的定义：据此得出线性定常系统（或元件）传递函数的定义：大连民族学院机电信息工
8、程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例2-12-1 R-L-CR-L-C串联电路串联电路方法一方法一 方法二方法二 运算法运算法)(1)(1)()(22tuLCtuLCdttduLRdttudrccc 11)()()(2RCsLCssUsUsGrc传递函数的求法传递函数的求法先列写系统的微分方程，然后根据传递函数的定义求取先列写系统的微分方程，然后根据传递函数的定义求取 画出运算电路模型，将电路元件变为运算阻抗，利画出运算电路模型，将电路元件变为运算阻抗，利用电路分析方法求取。用电路分析方法求取。大连民族学院机电信息工程
9、学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.3.2 2.3.2 传递函数的基本性质传递函数的基本性质111()()()()()g tLC sLG s R sLG s 大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型传递函数矩阵传递函数矩阵描述输出与输入间的关系描述输出与输入间的关系)()()()()(2121111sUsGsUsGsY )()()()()(2221212sUsGsUsGsY )()()()()()()()(212221121121s
10、UsUsGsGsGsGsYsY)()()(sUsGsY )()()()()()()()()()()(222112112121sGsGsGsGsGsUsUsUsYsYsY，大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型如果已知系统的单位脉冲响应如果已知系统的单位脉冲响应g(t)，就可以根据卷积，就可以根据卷积积分求解系统在任意输入积分求解系统在任意输入r(t)作用下的输出响应，即作用下的输出响应，即 因为因为 ttdtrgdrtgtrtgtc00)()()()()()()()()()()(sRsGtrtgL求取系
11、统时域响应的两种方法求取系统时域响应的两种方法：1.对对r(t)拉式变换得到拉式变换得到R(s),由由 得到得到C(s)，然后进行拉式反变换得到然后进行拉式反变换得到c(t).2.由传递函数的拉式反变换得到由传递函数的拉式反变换得到g(t),由由 得到得到c(t).)()()(sRsGsC)()()(trtgtc大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型11)()()(TssUsUsGrcRCT 求取该电路在单位阶跃输入时的响应。求取该电路在单位阶跃输入时的响应。)(1 tur 111()()etTg tG
12、 sT 011 ()0 01()()()d11edee d1 etcrttttTTTtTu tg tuTT tTceTsTLsLsTsLtu11111)1()1()1(1)(ssUr1)(sTssUsGsUrc)1(1)()()(方法方法1 1方法方法2 2大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型RLC无源网络无源网络(例2-10)t(u)t(Ridt)t)iCdt)t(diLi1 dt)t(iC)t(uo1)t(u)t(udt)t(duRCdt)t(udLCiooo 22112 RCsLCs)s(U)s
13、(Uio传递函数。试求初始电流为电容初始电压为若)t(u),(i),(u),t()t(uooi001 再反变换即可。则若初始值均为零解,)RCsLCs(s)s(U,:o112 初态下的拉氏变换得：现在对微分方程求非零)t(uoRCsLCs)(u)RCLCs()(uLCLoo10021 )RCsLCs(sL1121 零状态响应零输入响应输出响应大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型)()()(sNsMsGmmmmbsbsbsbsM1110.)(nnnnasasasasN1110.)(KabGnm)0(传递
14、函数的传递函数的特征方程特征方程大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型).()().()()(210210nmpspspsazszszsbsGnnnmmmmmasasasabsbsbsbsG11101110.)(零点和极点零点和极点大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型-2-31-1j零、极点分布图零、极点分布图22()=(3)(22)sG ssss大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制
15、原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 2.3.3 2.3.3 控制系统的典型环节及传递函数控制系统的典型环节及传递函数环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件。装置或元件。一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成。组成。同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。物理量不同，可起到不同环节的作用。典型环节典型环节(nominal(typical)element)大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机
16、电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型这种环节的特点是输入不失真、不延迟、成比例地复这种环节的特点是输入不失真、不延迟、成比例地复现输入信号。它的运动方程为现输入信号。它的运动方程为 对应的传递函数是对应的传递函数是 式中，式中，是环节的输出量；是环节的输出量；是环节的输入量；是环节的输入量；K为为常数。常数。KsGsRsC)()()()(tc)(tr)()(trKtc 1.比例环节比例环节Proportional element(link)方框图：方框图：大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第
17、二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例1：齿轮传动：齿轮传动大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例2：运算放大器：运算放大器inu1R2Rou1i2i u u i大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型该环节的输出量与其输入量对时间的积分成正比，该环节的输出量与其输入量对时间的积分成正比，即有即有对应的传递函数为对应的传递函数为 tdrKtc0)()(sKsGsRsC )()()(2积分环节积分环节In
18、tegral loop(link)方框图：方框图：积分环节具有积分环节具有记忆记忆功能和明显的功能和明显的滞后滞后作用作用大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例1：积分调节器：积分调节器RCssUsUsGrc1)()()(大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型惯性环节的特点是其输出量缓慢地反映输入量的变化惯性环节的特点是其输出量缓慢地反映输入量的变化规律。它的微分方程为规律。它的微分方程为对应的传递函数为对应
19、的传递函数为式中，式中，T是环节的时间常数。是环节的时间常数。d()()()dc tTc tK r tt1)()()(TsKsRsCsG3.惯性环节惯性环节Inertial loop(link)大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例1：RC惯性环节惯性环节大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型理想的微分环节，其输出与输入信号对时间的微分成理想的微分环节，其输出与输入信号对时间的微分成正比，即有正比，即有对应的
20、传递函数为对应的传递函数为 dttdrKtc)()(KssGsRsC )()()(4微分环节微分环节derivative loop(link)大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例1：RC微分网络微分网络1 RCTTssG)(大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型特点：这种环节的特点是输出量不仅与输入量本身有特点：这种环节的特点是输出量不仅与输入量本身有关，而且与输入量的变化率有关关，而且与输入量的变化率有关
21、运动方程运动方程对应的传递函数是对应的传递函数是 1)()()(TssGsRsC)()()(trdttdrTtc 一阶微分环节一阶微分环节大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型这种环节的特点是，如输入为一阶跃信号，则其输出这种环节的特点是，如输入为一阶跃信号，则其输出成周期性振荡形式。成周期性振荡形式。式中，式中，T为时间常数为时间常数;K为放大系数为放大系数;为阻尼比，其值为阻尼比，其值为为01。由于该传递函数有一对位于。由于该传递函数有一对位于s左边面的共轭左边面的共轭极点，因而这种环节在阶跃信号作
22、用下，其输出必必极点，因而这种环节在阶跃信号作用下，其输出必必然会呈现出振荡性质。然会呈现出振荡性质。12)()()(22TssTKsGsRsC222d()d()2()()ddc tc tTTc tK r ttt5振荡环节振荡环节oscillatory loop(link)大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 例例1：R-L-C电路电路11)()(2 RCsLCssUsUrC)()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc传递函数传递函数微分方程微分方程大连民族学院机电信息工程学院大连
23、民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型例例2：机械平移系统：机械平移系统大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 在有滞后作用的系统中，其输出信号与输入信号的在有滞后作用的系统中，其输出信号与输入信号的形状完全相同，只是延迟一段时间后重现原函数。其形状完全相同，只是延迟一段时间后重现原函数。其动态方程为动态方程为 它们之间的传递函数为它们之间的传递函数为 )()(trtc()()e()sC sG sR s6.滞后环节滞后环节lag/delay l
24、oop(link)环节的时间常数环节的时间常数大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型)()(txtxrcsrcesXsXsG)()()(例例1：水箱进水管的延滞：水箱进水管的延滞大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型sseekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221)12()1()12()1()(大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型建模建模 modelling数学模型数学模型 mathematical model微分方程式微分方程式 differential equation非线性的非线性的 nonlinear线性化线性化 linearization输入量输入量 input输出量输出量 output传递函数传递函数 transfer function拉氏变换拉氏变换 Laplace transformWORDS AND PHARASESWORDS AND PHARASES
