1、问题情境一问题情境一大球中有大球中有5个小球，如何判断是绿球还红球？个小球，如何判断是绿球还红球？一一二二三三很傻很天真很傻很天真聪明聪明 观察观察归纳归纳猜想猜想问题情境二问题情境二归纳法归纳法:由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 （结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）归纳法归纳法完全归纳法完全归纳法:考察全体对象考察全体对象,得到一般结论的推理方法得到一般结论的推理方法不完全归纳法不完全归纳法:考察部分对
2、象考察部分对象,得到一般结论的推理方法得到一般结论的推理方法归纳法分为归纳法分为 完全归纳法完全归纳法 和和 不完全归纳法不完全归纳法11a*)(1Nnnan猜想数列的通项公式为：猜想数列的通项公式为：212a 313a 解:414=a 11,1,.1nnnnaaaaa 问问题题：对对于于数数列列若若（1 1）求出数列前）求出数列前4 4项项,你能得到什么猜想？你能得到什么猜想？（2 2）你的猜想一定是正确的吗？）你的猜想一定是正确的吗？919=a717=a818=a验证验证:515=a616=a逐一验证，不可能！逐一验证，不可能！能否通过能否通过有限有限个步骤的推理个步骤的推理,证明证明n
3、n取取所有所有正整数都成立？正整数都成立？设置问题，引导探究设置问题，引导探究情境三情境三（多米诺骨牌游戏）（多米诺骨牌游戏）是正确的？如何证明猜想：nan1第第1 1块骨牌倒下。块骨牌倒下。当当n=1n=1时，验证猜想正确。时，验证猜想正确。如果第如果第k k块块 倒下时，倒下时，一定能导致一定能导致第第k+1k+1块块也倒下。也倒下。），（Zk1k如果如果 n=k n=k 时猜想成立，时猜想成立，一定能推出一定能推出根据和根据和，可知不论有多可知不论有多少个骨牌都能全部倒下。少个骨牌都能全部倒下。根据根据 和和 ，可知对所有可知对所有的正整数的正整数n n，猜想都成立。，猜想都成立。11,
4、1,.1nnnnaaaaa数数列列若若），（Zkk1当当n=k+1n=k+1时猜想也成立。时猜想也成立。如何通过如何通过有限个步骤有限个步骤的推理的推理,证明证明n n取取所有正整数所有正整数都成立都成立?多米诺骨牌游戏原理多米诺骨牌游戏原理 11,1,.1nnnnaaaaa 问问题题：对对于于数数列列若若11a1(*)nanNn 猜想数列的通项公式为：猜想数列的通项公式为：212a 313a 分析分析:414=a证明：证明：(1)(1)当当n=1n=1时，左边时，左边a1+11+1=a2 2=,=,右边右边=,=,等式成立等式成立(2)(2)假设当假设当n=k+1n=k+1时，等式成立，即时
5、，等式成立，即ak=那么那么n=k+1n=k+1时，时，ak+1+1=ak1+1+ak1 1k1 121 12=1 1k1 1k1+=1 1k+1即即n=k+1n=k+1时，命题成立时，命题成立根据根据可知可知,对对nNnN,等式成立等式成立.递推基础不可少，递推基础不可少，归纳假设要用到，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。结论写明莫忘掉。递推基础递推基础递推依据递推依据写明结论写明结论才算完整才算完整方法归纳：方法归纳：验证验证n=nn=n0 0时时命题成立。命题成立。命题对所有的正整数命题对所有的正整数n n(n n n n 0 0 )都成立。都成立。归纳归纳奠基奠基归纳归纳递推递推数学归纳
6、法：若若n=k(k n 0)时命题成时命题成立立 n=k+1 n=k+1时命题也成立时命题也成立。两个步骤两个步骤 一个结论一个结论缺一不可缺一不可思维误区警示思维误区警示23111111()22222nn 21212111kk)21(1212121213211132211211211212121212121kkkk求证：求证：证明：当证明：当n n=1=1时，左边时，左边,右边右边，等式成立，等式成立.那么，当那么，当n=n=k k+1+1时，有时，有即即n=k+1n=k+1时，命题成立时，命题成立根据可知，对根据可知，对nNnN，等式成立，等式成立.假设假设n n=k k时，有时，有即即n
7、=k+1n=k+1时，命题成立时，命题成立根据可知根据可知,对对nNnN,等式成立等式成立.递推基础不可少，递推基础不可少，归纳假设要用到，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。结论写明莫忘掉。自我挑战自我挑战1.1.数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用：数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用：用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明结论用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明结论2.2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是：用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是：(1)(1)证明当证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0时结论正确；时结论正确；(2)(2)假设当假设当n n
8、k k(k kN N*,k kn n0 0)时结论正确时结论正确,证明当证明当n nk k1 1时结论也正确时结论也正确这两个步骤缺一不可证明的第一步是为了获得递推的基这两个步骤缺一不可证明的第一步是为了获得递推的基础，但这一步还不能说明递推的普遍性；证明的第二步，础，但这一步还不能说明递推的普遍性；证明的第二步，是为了获得递推的依据在第二步中，归纳假设起着是为了获得递推的依据在第二步中，归纳假设起着“已已知条件知条件”的作用，在证的作用，在证n nk k1 1时一定要运用它，否则就不时一定要运用它，否则就不是数学归纳法是数学归纳法练习：练习：P72P72用数学归纳法证明用数学归纳法证明:1.
9、1+2+3+1.1+2+3+n=n(n+1)3.3.首项是首项是a1 ,公比是公比是q的等比数列的的等比数列的 通项公式是通项公式是an=a1qn-11 12 2(1)(1)本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；(2)(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；可靠性，数学归纳法属于完
10、全归纳法；(3)(3)数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；(4)(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想P76 P76 习题习题2.1 2.1 第第1 1题题P112 P112 复习参考题二复习参考题二 A A组组 第第3 3题题祝您成功！
