1、13.3 等腰三角形 轴对称 第1课时 等腰三角形的性质 学习目标1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点)2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用 等腰三角形的性质解决有关问题.(难点)导入新课导入新课情境引入定义及相关概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.ACB腰腰腰腰底边底边顶角顶角底角底角底角底角讲授新课讲授新课等腰三角形的性质一剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？互动探究A AB BC CAB
2、=ACAB=AC等腰三角形等腰三角形折一折：ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ACDB折痕所在的直线是它的对称轴.等腰三角形是轴对称图形.找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.重合的线段重合的角 AC B D AB与与AC BD与与CD AD与与AD B 与与C.BAD 与与CADADB 与与ADC猜一猜：由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.ABC已知：ABC中，AB=AC,求证：B=C.思考：如何构造两个全等的三角形？猜想:等腰三角形的两个底角相等如何证明两个角相等呢？可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证已知：如图，在ABC
3、中，AB=AC.求证：B=C.ABCD证明：作底边的中线AD，则BD=CD.AB=AC (已知)，BD=CD(已作)，AD=AD(公共边)，BAD CAD(SSS).B=C(全等三角形的对应角相等).在BAD和CAD中方法一：作底边上的中线还有其他的证法吗？已知：如图，在ABC中，AB=AC.求证：B=C.ABCD证明：作顶角的平分线AD，则BAD=CAD.AB=AC (已知),BAD=CAD(已作),AD=AD(公共边),BAD CAD(SAS).B=C(全等三角形的对应角相等).方法二：作顶角的平分线在BAD和CAD中想一想：由BAD CAD，除了可以得到B=C之外，你还可以得到那些相等的
4、线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？解：BAD CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,ADB=ADC，BAD=CAD.又 ADB+ADC=180，ADB=ADC=90，即AD是等腰ABC底边BC上的中线、顶角BAC的角平分线、底边BC上的高线.ABCD性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).ACB如图,在ABC中,AB=AC(已知),B=C(等边对等角).证明后的结论,以后可以直接运用.总结归纳性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.ACBD12AB=AC,1=2(已知)，BD=CD,ADBC（等腰三角形三线合一）.AB
5、=AC,BD=CD(已知)，1=2,ADBC（等腰三角形三线合一）.AB=AC,ADBC(已知)，BD=CD,1=2（等腰三角形三线合一）.综上可得：如图,在ABC中,画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？ABCDEFABCD“三线合一”的操作1.等腰三角形的顶角一定是锐角.2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以.3.钝角三角形不可能是等腰三角形.4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.（X）（X）（X）（X）（）（）ABCD 例1 如图，在ABC中，A
6、B=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.典例精析分析：（1）找出图中所有相等的角；（2）指出图中有几个等腰三角形？A=ABD,C=BDC=ABC；ABC,ABD,BCD.ABCDx2x2x2x（3）观察BDC与A、ABD的关系，ABC、C呢？BDC=A+ABD=2 A=2 ABD,ABC=BDC=2 A,C=BDC=2 A.（4）设A=x,请把 ABC的内角和用含x的式子表示出来.A+ABC+C=180，x+2x+2x=180,ABCD解：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC，A=ABD.设A=x,则BDC=A+ABD=2x,从而ABC=C=BDC=2x,于
7、是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180 ，解得x=36 ，在ABC中，A=36，ABC=C=72.x2x2x2x 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.归纳如图，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=26，求B和C的度数.解：AB=AD=DC B=ADB，C=DAC 设 C=x，则 DAC=x，B=ADB=C+DAC=2x，在ABC中，根据三角形内角和定理，得 2x+x+26+x=180，解得x=38.5.C=x=38.5，B=2x=77.针对训练：例2 等腰三角形的一个内角是50，则这个三角形的底角的大小是()A65或50
8、B80或40C65或80 D50或80解析：当50的角是底角时，三角形的底角就是50；当50的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65.故选A.A方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论当堂练习当堂练习2.如图，在ABC中，AB=AC，过点A作ADBC，若1=70，则BAC的大小为（）A40 B30 C70 D50 A1.等腰三角形有一个角是90，则另两个角分别是（）A30，60 B45，45 C45，90 D20，70 B课堂小结课堂小结等腰三角形的性质等 边 对 等 角三 线 合 一注意是指同一个三角形中注意是指
9、顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.拓展提升1.如图，已知ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且DBCF，求证：ECDF.DBCECB.DBCF，ECBF，ECDF.证明：ABC为等腰三角形，ABAC，ABCACB.又BD、CE为底角的平分线，1122DBCABCECBACB，2.A、B是44网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置AB分别以A、B、C为顶角顶点来分类讨论！8个这样分类这样分类就不会漏就不会漏啦！啦！C1C2C3C4C5C6C7C8拓展提升：
