1、八年级八年级 上册上册等腰三角形等腰三角形 学习目标：学习目标：1探索并证明等腰三角形的性质及判定探索并证明等腰三角形的性质及判定 2能利用性质证明两个角相等或两条线段相等能利用性质证明两个角相等或两条线段相等3结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴 对称在研究几何问题中的作用对称在研究几何问题中的作用 学习重点：学习重点：探索并证明等腰三角形性质与判定探索并证明等腰三角形性质与判定 如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的剪去阴影部分，再把它展开，得到的ABC 有什么
2、特点？有什么特点？探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 ABCD探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这 个等腰三角形有什么特征吗？个等腰三角形有什么特征吗？等腰三角形的特征等腰三角形的特征:（1）等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高互相重合边上的高互相重合探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 同学们剪下的等腰三角形纸片大小不同，形状各同学们剪下的等腰
3、三角形纸片大小不同，形状各异，是否都具有上述所概括的特征？异，是否都具有上述所概括的特征？探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 在练习本上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，在练习本上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，折一折，上面得出的结论仍然成立吗？由此你能概括出折一折，上面得出的结论仍然成立吗？由此你能概括出 等腰三角形的性质吗？等腰三角形的性质吗？探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 等腰三角形的性质等腰三角形的性质:（1）等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、
4、底边上的中线、底等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高互相重合边上的高互相重合利用实验操作的方法，我们发现并概括出等腰三利用实验操作的方法，我们发现并概括出等腰三角角形的性质形的性质1和性质和性质2对于性质对于性质1，你能通过严格的逻辑，你能通过严格的逻辑 推理证明这个结论吗？推理证明这个结论吗？（1）你能根据结论画出图形，写出已知、求证吗？）你能根据结论画出图形，写出已知、求证吗？（2）结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思）结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思 路是什么？路是什么？（3）如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形）如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三
5、角形 呢？从剪图、折纸的过程中你能获得什么启发？呢？从剪图、折纸的过程中你能获得什么启发？探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 已知：如图，已知：如图，ABC 中，中，AB=AC求证：求证：B=C探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 ACD证明：证明：作底边的中线作底边的中线ADAB=AC，BD=CD，AD=AD，ABD ACD（SSS）B=C你还有其他方法证明性质你还有其他方法证明性质1吗？吗？探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 可以作底边的高线或顶角的角平分线可以作底边的高线或顶角的角平分线.ACD性质性质2可以分解为三个命题，本节课证明可
6、以分解为三个命题，本节课证明“等腰三等腰三 角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 已知：如图，已知：如图，ABC 中，中，AB=AC，AD 是底边是底边BC 的中线求证：的中线求证：BAD=CAD，ADBC探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 ACD证明：证明：AD 是底边是底边BC 的中线，的中线，BD=CD AB=AC，BD=CD，AD=AD，ABD ACD（SSS）探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 已知：如图，已知：如图，ABC 中，中，AB=AC
7、，AD 是底边是底边BC 的中线求证：的中线求证：BAD=CAD，ADBCACD证明：证明：BAD=CAD，ADB=ADC ADB+ADC=180，ADB=90 ADBC探索并证明等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质 在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折折 痕痕”“”“辅助线辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发发挥了非常重要的作用，由此，你能发 现等腰三角形具有什么特征？现等腰三角形具有什么特征？等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴分线、底边上
8、的高）所在直线就是它的对称轴课堂练习课堂练习 练习练习1填空：填空：（1）如图，）如图，ABC 中中,AB=AC,A=36,则则B =；ABC课堂练习课堂练习 练习练习1填空：填空：（2）如图，）如图，ABC 中中,AB=AC,B=36,则则A =；ABC课堂练习课堂练习 练习练习1填空：填空：（3）已知等腰三角形的一个内角为）已知等腰三角形的一个内角为70,则它的另外两则它的另外两 个内角的度数分别是个内角的度数分别是 .课堂练习课堂练习 练习练习2如图，如图，ABC 是等腰直角三角形（是等腰直角三角形（AB=AC，BAC=90），），AD 是底边是底边BC 上的高，标出上的高，标出B，C，
9、BAD，DAC 的的度数，并写出图中所有相等的度数，并写出图中所有相等的 线段线段.ABCD课堂练习课堂练习 练习练习3如图如图，ABC 中，中，AB=AC，点，点D 在在AC 上，上，且且BD=BC=AD求求ABC 各角的度数各角的度数ABCD（1）本节课学习了哪些主要内容？）本节课学习了哪些主要内容？（2）我们是怎么探究等腰三角形的性质的？）我们是怎么探究等腰三角形的性质的？（3）本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的）本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的 方法？方法？课堂小结课堂小结 问题等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命问题等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命 题的题设和结
10、论分别是什么？题的题设和结论分别是什么？性质定理的条件是：性质定理的条件是：一个三角形中有两条边相等一个三角形中有两条边相等 结论：结论：这两条边所对的角相等这两条边所对的角相等 探索等腰三角形的判定定理探索等腰三角形的判定定理作顶角的平分线或底边上的高或底边的中线，将一作顶角的平分线或底边上的高或底边的中线，将一个三角形的问题转化为两个全等三角形来证明两个角相个三角形的问题转化为两个全等三角形来证明两个角相等等 探索等腰三角形的判定定理探索等腰三角形的判定定理思考性质定理证明方法是什么？思考性质定理证明方法是什么？探索等腰三角形的判定定理探索等腰三角形的判定定理问题一个三角形满足什么条件是等
11、腰三角形？问题一个三角形满足什么条件是等腰三角形？这两个角所对的边相等这两个角所对的边相等 探索等腰三角形的判定定理探索等腰三角形的判定定理思考思考1 1如果一个三角形有两个角相等，那么这两如果一个三角形有两个角相等，那么这两 个角所对的边有什么关系？个角所对的边有什么关系？题设：题设：一个三角形有两个角相等一个三角形有两个角相等 结论：结论：这两个角所对的边相等这两个角所对的边相等 探索等腰三角形的判定定理探索等腰三角形的判定定理思考思考2这个命题的题设和结论又分别是什么呢？这个命题的题设和结论又分别是什么呢？如何证明这个命题？如何证明这个命题？探索等腰三角形的判定定理探索等腰三角形的判定定
12、理问题类比等腰三角形性质定理的证明方法，你能问题类比等腰三角形性质定理的证明方法，你能 选择一种来证明这个命题吗？选择一种来证明这个命题吗？证明：证明：过过A 点作点作AEBC，垂足为，垂足为E.在在ABE 和和ACE 中，中，ABCE探索等腰三角形的判定定理探索等腰三角形的判定定理B=C，AEB=AEC=90，AE=AE，ABE ACE AB=AC 追问你还有其他证明方法吗？追问你还有其他证明方法吗？已知：如图，在已知：如图，在ABC 中，中，B=C.求证：求证：AB =AC不能不能探索等腰三角形的判定定理探索等腰三角形的判定定理思考能作底边思考能作底边BC 上的中线吗？上的中线吗？思考与等
13、腰三角形性质进思考与等腰三角形性质进 行比较看有什么区别？行比较看有什么区别？探索等腰三角形的判定定理探索等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定方法：等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对 的边也相等（简写成的边也相等（简写成“等角对等边等角对等边”）ABC符号语言：符号语言：在在ABC 中中，B=C，AB=ACABCD共有共有3个等腰三角形个等腰三角形 （证明略）（证明略）课堂练习课堂练习练习练习1 1如图，如图，A=36，DBC=36，C=72，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个，图中一共有几个等腰三角形？找出其中
14、的一个 等腰三角形给予证明等腰三角形给予证明巩固等腰三角形的判定定理巩固等腰三角形的判定定理例例1 1求证：如果三角形一个外角的平分线平行于求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.巩固等腰三角形的判定定理巩固等腰三角形的判定定理已知：已知：CAE 是是ABC 的外角，的外角，1=2，AD BC求证：求证：AB=AC.ABCDE12巩固等腰三角形的判定定理巩固等腰三角形的判定定理（1）AB、AC 在同一个三角形中，在同一个三角形中，应选择应选择“等角对等边等角对等边”；（2）建立三角形的外角和与之不相建立三角形的外
15、角和与之不相 邻的内角关系；邻的内角关系；（3）利用平行转移已知角；最终使利用平行转移已知角；最终使 得相等的角转化到同一个三角得相等的角转化到同一个三角 形中形中.追问追问要证明要证明AB=AC，应如何选择证明方法？，应如何选择证明方法？ABCDE12证明：证明：ADBC，1=B（），），2=C（）巩固等腰三角形的判定定理巩固等腰三角形的判定定理已知：已知：CAE 是是ABC 的外角，的外角，1=2，ADBC求证：求证：AB=AC.两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等ABCDE12等边对等角等边对等角巩固等腰三角形的判定定理巩固等腰三角形的
16、判定定理已知：已知：CAE 是是ABC 的外角，的外角，1=2，ADBC求证：求证：AB=AC.证明：证明：1=2，B=CAB=AC（）ABCDE12DC巩固等腰三角形的判定定理巩固等腰三角形的判定定理例例2已知等腰三角形底边长为已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的底边上的高的 长为长为h，求作这个等腰三角形，求作这个等腰三角形.ah作法：作法：（1）作线段）作线段AB=a；（2）作线段）作线段AB 的垂直平分线的垂直平分线MN，与，与 AB 相交于点相交于点D；（3）在）在MN上取一点上取一点C，使，使DC=h；（4）连接）连接AC，BC，则，则ABC 就是所就是所 求作的等腰三角形求作的
17、等腰三角形.ABMN课堂练习课堂练习 练习练习2如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？课堂练习课堂练习 练习练习3求证：如果三角形一条边上的中线等于这求证：如果三角形一条边上的中线等于这 条边的一半，那么这个三角形是直角三角形条边的一半，那么这个三角形是直角三角形课堂练习课堂练习 练习练习4如图，如图，AC 和和BD 相交于点相交于点O，且，且ABDC，OA=OB求证：求证：OC=ODABCDO（1）本节课学习了哪些内容？）本节课学习了哪些内容？（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？）等腰三角形的判定方法有哪几种？（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判 定的区别和联系定的区别和联系课堂小结课堂小结
