1、 第八讲第八讲 整除问题整除问题 在学习整数除法时，我们已经知道：被除数=除数商+余数。 这里要求除数不为零，且余数小于除数。当两个整数 a、b(b0)，a 被 b 除的余数为零 （商为整数）时，则称 a 被 b 整除或者 b 整除 a，也把 a 叫做 b 的倍数，b 叫做 a 的约数， 记作 b|a。【版权所有：21 教育】 如果 a 被 b 除所得的余数不为零，则称 a 不能被 b 整除，或 b 不整除 a，记作 b|a。 很显然，1 是任何整数的约数，即对任何的整数 a，总有 1|a，0 是任何非零整数的倍数， a0，a 为整数，则 a|0。 一般来说，整数 a 是否能被整数 b 整除，
2、只要真正做除法就可以判断。但是对于一些特 殊数，可以有比较简单的判断方法。 一数的整除的特征 1我们已经学过奇数和偶数，正是以能否被 2 整除来区分偶数和奇数的。因此有下面 的结论：末位数字为 0、2、4、6、8 的整数都能被 2 整除。偶数可以表示为 2k，奇数可以 表示为 2k+1（其中 k 为整数）。 21*cnjy*com 2末位数字为 0 的整数一定能被 10 整除。这种数总可以表示为 10k（k 为整数）。 3末位数字为 0 或 5 的整数一定能被 5 整除。这种数总可以表示为 5k（k 为整数）。 4末两位数字组成的两位数能被 4（或 25）整除的整数一定能被 4（或 25）整除
3、。 如 2016=2000+16 因为 100 是 4 和 25 的倍数，所以 2000 是 4 和 25 的倍数，只要考察 16 是否为 4 或 25 的倍数即可，由于 4|16， 25|16，所以 4|2016，25|2016. 能被 25 整除的整数，末两位数字只可能是 00、25、50、75。能被 4 整除的整数，末两 位数字可能是 00、04、08、12、16、96. 5末三位数字组成的三位数能被 8（或 125）整除的整数一定能被 8（或 125）整除。 由于 1000=8125，因此 1000 的倍数当然也是 8 和 125 的倍数。 如判断 765432 是否为 8 的倍数，只
4、需看末三位数字组成的三位数 432 能否被 8 整除即 可。4328=54，即 8|432，所以 8|765432. 6各个数位上的数字之和能被 3（或 9）整除的整数必能被 3（或 9）整除。 如 478323 是否能被 3（或 9）整除？ 由于 478323=4100000+710000+81000+3100+210+3 =4(99999+1)+7(9999+1)+8(999+1)+3(99+1)+2(9+1)+3 =(499999+79999+8999+399+29)+(4+7+8+3+2+3). 前一个括号里的各项都是 3（或 9）的倍数，因此判断 478323 是否能被 3（或 9）
5、整除， 只要考察第二个括号里的各数之和能否被 3（或 9）整除。而第二个括号内的各数之和恰好 是原数 478323 的各个数位上的数字之和。【出处：21 教育名师】 因为 4+7+8+3+2+3=27 是 3 的倍数， 也是 9 的倍数， 所以 478323 可以被 3 （或 9） 整除。 7 一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差如果是 11 的倍数， 那么这个整数 也是 11 的倍数。 （一个整数的个位、 百位、 万位、 称为奇数位； 十位、 千位、 十万位、 称为偶数位。） 如判断 42559 能否被 11 整除。 42559=410000+21000+5100+510+9 =4(
6、9999+1)+2(10011)+5(99+1)+5(111)+9 =(49999+21001+599+511)+(42+55+9) =11(4101+291+59+5)+ (42+55+9) 前一个部分显然可以被 11 整除，因此只需判断后一部分 42+55+9 是否是 11 的倍数 即可。而这一部恰好是奇数位的数字之和减去偶数位的数字之和的差。 由于 42+55+9=11 是 11 的倍数，所以 42559 可以被 11 整除。 现在要判断 7295871 是否为 11 的倍数，只需直接计算(1+8+9+7)(7+5+2)是否是 11 的 倍数即可。(1+8+9+7)(7+5+2)=251
7、4=11 是 11 的倍数，所以 7295871 是 11 的倍数。 上面所举的例子都是奇数位数字之和大于偶数位数字之和的情形。如果奇数位数字和 小于偶数位数字和怎么办？这时只需计算偶数位数字之和减去奇数位数字之和即可。 我们还发现任何一个三位数连写两次组成的六位数一定能够被 11 整除。 如 186 这个三位数，连写两次得到六位数 186186，由于这个数的奇数位的数字和是 6+1+8，偶数位的数字和是 8+6+1，它们的差为 0，所以 186186 是 11 的倍数。 一般地，三位数abc连写两次组成的六位数abcabc，这个六位数的奇数位的数字和是 c+a+b，偶数位的数字和是 b+c+
8、a，它们的差为 0，故必有 11|abcabc。 象这样的六位数能否被 7 整除呢？ 如 186186 被 7 除后商为 26598，余数为零，即 7|186186。能否不做 1861867，而有简 单的判断方法呢？21*cnjy*com 由于 186186=186000+186=1861001， 而 1001=71113，所以 186186 一定能被 7 整除。 这也启发我们，由于 1001=71113，故若一个数被 1001 整除，则这个数必能被 7 整 除，也能被 11 和 13 整除。21 cn jy com 或将一个数分为两部分的和或差，如果其中一部分为 1001 的倍数，另一部分是
9、 7（11 或 13）的倍数，那么原数也一定是 7（11 或 13）的倍数。 如判断 2839704 是否是 7 的倍数？ 由于 2839704=2839000+704=28391000+704=28391001(2839704)。 因为 2839704=2135 是 7 的倍数，所以 2839704 也是 7 的倍数。 而 2135 不是 11（或 13）的倍数，所以 2839704 也不是 11（或 13）的倍数。 实际上，对于 2839704 这样一个七位数，要判断它是否为 7（11 或 13）的倍数，只需 将它分为 2839 和 704 两个数，看它们的差是否被 7（11 或 13）整
10、除即可。 又如 42952 是否被 13 整除，可将 42952 分为 42 和 952 两个数，只要看 95242=910 是 否被 13 整除即可。 由于 910=1370， 所以 13|910， 7|910， 但 11|910， 所以 13|42952， 7|42952， 11|42952. 8一个三位以上的整数能否被 7（11 或 13）整除，只需看这个数的末三位数字表示的 三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被 7（11 或 13）整除。 若数字位数过大，可以将多位数从后往前三位一组进行分段。奇数段各三位数之和与 偶数段各三位数之和的差若能被 7（11 或 13
11、）整除，则原来的多位数也能被 7（11 或 13） 整除。 如 3546725 可以分为 3、546、725 三段，奇数段的和为 3+725=728，偶数段为 546，二 者的差为 728546=182=7132，可以被 7 和 13 整除但不能被 11 整除，所以 3546725 能 被 7 和 13 整除，不能被 11 整除。 二整除的几条性质 整除的以下性质是最基本的，也是最常用的。 （1）a|a（a 为非零整数）； （2）若 a|b，且 b|a，则 a=b； （3）若 c|b，且 b|a，那么 c|a； （4）若 c|a，且 c|b，那么 c|(a+b)；若 ab，那么 c|(ab)；
12、 （5）若 m 是非零整数，且 b|a，则必有 bm|am；反之若 bm|am，则 b|a； （6）如果 b|a，c|a，且 b、c 没有除 1 以外的公约数（此时称 b、c 互质），那么 bc|a。 对于（3），如由 2|4， 4|12，可推出 2|12。 对于（4），如由 4|36，4|16，可推出 4|(36+16)，4|(3616)。 对于（5），如由 3|9，可推出 34|94；反之由 34|94，可推出 3|9。 对于（6），如有 3|24，2|24，且 3 与 2 互质，可推出 32|24。 例 1 求一个首位数字为 5 的最小六位数， 使这个数能被 9 整除， 且各位数字均不相
13、同。 解：一个以 5 为首位的六位数 5，要想使它的各位数字均不相同且最小， 可以写成 501234，但这个数的数字和是 5+0+1+2+3+4=15，不是 9 的倍数，故只能将末 位数字改为 7。这时 5+0+1+2+3+7=18 是 9 的倍数。www-2-1-cnjy-com 所以 501237 是满足条件的六位数。 例 2老师买了 72 本相同的书，当时没记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总 钱数，回校后发现有两个数字看不清楚了，总钱数为137.元（中为看不清的数字）， 你能帮助补上这两个数字吗？2-1-c-n-j-y 解：首先将137.化为整数，即137角。由于每本书的价格相同，
14、 所以 72|137。但 72=8 9，所以 8 和 9 都应该整除137。 由于 8|137，所以 8|37，由此可知当 37=376 时，才有 8|376。 又由于 9 整除1376，所以其数字和+1+3+7+6 必为 9 的倍数， 即+17 是 9 的倍数，所以只能是 1，因此原数为 11376 角，即 1137.6 元。 例 3在 568 后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被 3、4、5 整除，且使 这个数尽可能的小。 解：不妨设补上三个数字后的六位数是568abc。由于这个六位数分别被 3、4、5 整除， 所以它应满足如下三个条件：【来源：21世纪教育网】 （1）数字和 5
15、+6+8+a+b+c 是 3 的倍数； （2）末两位数字组成的两位数bc是 4 的倍数； （3）末位数字 c 为 0 或 5。 由于 4|bc，故 c 不可能为 5，只能是 0，且 b 只能是 2、4、6、8、0。 又因为 3|(5+6+8+a+b+c)，所以 3|(5+6+8+a+b+0)， 当 b=2 时，3|(5+6+8+a+2+0)，a 可以为 0、3、6、9； 当 b=4 时，3|(5+6+8+a+4+0)，a 可以为 1、4、7； 当 b=6 时，3|(5+6+8+a+6+0)，a 可以为 2、5、8； 当 b=8 时，3|(5+6+8+a+2+0)，a 可以为 0、3、6、9；
16、当 b=0 时，3|(5+6+8+a+6+0)，a 可以为 2、5、8； 要使得六位数568abc尽可能小，则 a 应取 0，b 应取 2，c 应取 0。 所以被 3、4、5 整除的最小六位数568abc应为 568020. 例 4求能被 26 整除的六位数2015。 解：由于 26=213，所以所求的六位数2015应该分别被 2 和 13 整除， 被 2 整除的个位只能是 0、2、4、6、8；所求的六位数被 13 整除，必有20 与 15 的差是 13 的倍数。 当个位为 0 时，150=1113+7，所以20 也应满足被 13 除余 7，即100+13+7 被 13 除余 7，100+13
17、+7=(7 13+9)+13+7=13(7+1)+9+7， 即 9+7 满足被 13 除余 7，符合要求的不存在； 当个位为 2 时，152=1113+9，所以20 也应满足被 13 除余 9，即100+13+7 被 13 除余 9，100+13+7=(7 13+9)+13+7=13(7+1)+9+7， 即 9+7 满足被 13 除余 9，即 9+7=13k+9，92 是 13 的倍数，所以只能 是 6，六位数是 620152；2 1 c n j y 当个位为 4 时，154=1113+11，所以20 也应满足被 13 除余 11，即100+13+7 被 13 除余 11，100+13+7=(
18、7 13+9)+13+7=13(7+1)+9+7， 即 9+7 满足被 13 除余 11，即 9+7=13k+11，94 是 13 的倍数，符合要求 的不存在；【来源：21cnj*y.co*m】 当个位为 6 时，156=1213，所以20 也应满足被 13 整除，即100+13+7 被 13 整 除，100+13+7=(7 13+9)+13+7=13(7+1)+9+7，21 教育名师原创作品 即 9+7 满足被 13 整除，所以只能是 5，六位数是 520156； 当个位为 8 时，158=1213+2，所以20 也应满足被 13 除余 2，即100+13+7 被 13 除余 2，100+1
19、3+7=(7 13+9)+13+7=13(7+1)+9+7， 即 9+7 满足被 13 除余 2，即 9+7=13k+2，9+5 是 13 的倍数，符合要求的 不存在； 综上所述，符合要求的六位数只有 620152 和 520156. 例 5将自然数 1、2、3、4、5、依次写下去组成一个数 12345678910111213。 如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被 72 整除，问这个自然数是多少？ 解：由于要求恰好第一次能被 72 整除，因此以从前往后的顺序去寻找。 如果先考虑被 8 整除，那么末位应为偶数，且末三位数字组成的三位数应该是 8 的倍 数。 因此依次看三位数 123、
20、234、456、678、910、112、314、516、718、192、920、202、 212、122、222、232、324、242、252、526、262、272、728、282、930、132、334、536、 738、394、中那些是 8 的倍数。 如知道 456、112 为 8 的倍数，就要再看 123456 以及 123456789101112 是否为 9 的倍 数。由于这两个数都不是 9 的倍数，所以不满足条件，满足条件的数还要在其他 8 的倍数中 寻找。 像这样试验下去，速度较慢。由于被 8 整除的数一定能被 4 整除，故只需对被 4 整除 的数（这样的数非常容易看出）进行检
21、验即可。 经检验，形如 123456，末三位是 516、192、920、232、272、728 的自然数都不是 9 的倍数，而当末三位是 536 时，才满足题目的条件。即 12345633343536 恰好被 72 整 除，故所求的自然数是 36. 解法二：先考虑被 9 整除，再考虑被 8 整除。 由于 1234567891011121314202122的前 9 个数字的和为 45 是 9 的倍数故在考 察位数超过 9 的数时，前 9 个数字可以不再看；21 世纪教育网版权所有 接下来，由于 1011121314151617 的数字之和为 36，是 9 的倍数，故在超过 25 位的数 是否被
22、9 整除时，前 25 个数字可以不看； 接下来，由于 18 的数字之和为 9，是 9 的倍数，故在超过 27 位的数是否被 9 整除时， 前 27 个数字可以不看； 由于 1920212223242526 的数字之和为 36，是 9 的倍数，故在超过 43 位的数是否被 9 整除时，前 43 个数字可以不看； 由于 27 的数字之和为 9，是 9 的倍数，故在超过 45 位的数是否被 9 整除时，前 45 个 数字可以不看； 由于 2829303132333435 的数字之和为 72，是 9 的倍数，故在超过 61 位的数是否被 9 整除时，前 61 个数字可以不看； 再下一个就是 36，数字
23、之和 3+6=9 是 9 的倍数； 以上做法把按自然数依次写下去组成的数分成若干段，各段的数字和均为 9 的倍数， 即 123456789|1011121314151617|18|1920212223242526|27|2829303132333435|36| 然后再看各段末三位数字组成的三位数是否为 8 的倍数。 789、617、718、526、627、435 都不是 8 的倍数，只有 536 是 8 的倍数。 即一直写到 36 时，第一次恰好是 72 的倍数。 练练 习习 题题 1一个数是任何自然数的倍数，这个数是 ；一个数是任何自然数的约数，这个数 是 。 答案：0； 1； 2四位数 5
24、5能被 5、6、7 整除，则这个数是 。 解：四位数 55能被 5 整除，末位数字只能是 5 或 0，又该数能被 6 整除，所以末位数字 不是 5，只能是 0。21世纪*教育网 则 550 能被 3 整除，处只能填 2、5 或 8， 对于 5550、5850 都不能被 7 整除， 而 5250=7750，所以这个数是 5250. 3能被 3、4、5 整除的最大三位数是 ；最小四位数是 。 解：一个数能同时被 3、4、5 整除，这个数一定是 345=60 的倍数， 所以满足条件的最大三位数是 960，最小四位数是 1020. 4一个无重复数字的五位数 365，千位与十位数字看不清楚了，但知道这个
25、数能被 75 整除，这样的五位数有 个。 解：五位数 365，能被 75=325 整除，所以末两位数字可能是 00、25、50、75， 所以十位数字可能是 2 或 7。 又该数能被 3 整除， 若十位数字是 2，对于 3625，处可以填 2、5 或 8，这时三位数是 32625、35625 和 38625。 若十位数字是 7，对于 3675，处可以填 3、6 或 9，这时三位数是 33675、36675 和 39675。 所以这样的五位数有 6 个。 5一个各位数字均不相同的六位数的首位数字为 7，且能被 11 整除，这样的数字中最小的 是 。 解：六位数的首位数字是 7，且各位数字均不相同，
26、最小的是 701234， 而 70123411=637486 不能被 11 整除， 只要改为 701239 则能被 11 整除，满足条件。 6六位数2015能被 33 整除，这样的六位数是 。 解：设这个六位数为2015ab，33=311，所以六位数2015ab能被 3 和 11 分别整除。 因为能被 3 整除且 2+0+1+5=8， 被 3 除余 2， 所以剩余的两个 a+b 的数字和被 3 除余 1， 又这个数能被 11 整除，所以 a+0+5 与 2+1+b 的差也能被 11 整除。则 ba=2， 这样比较得，当 a=1，b=3 时，120153 被 33 整除； 或当 a=4，b=6
27、时，420156 被 33 整除； 或当 a=7，b=9 时，720159 被 33 整除； 满足条件的六位数有三个分别是 120153，420156，720159. 7前若干个自然数 1、2、3、的乘积的最末 13 位数都是零，问最后一个自然数最小应 该是 。 解：乘积的最末 13 位都是 0，即乘积中最少有 13 个因数为 2 和 13 个因数为 5。 由于 2 的因数较多，只需考虑因数 5 即可。 因数 5 中有一个 5，10 中有一个 5，15 中有一个 5，20 中有一个 5，25 中有两个 5， 30 中有一个 5，35 中有一个 5，40 中有一个 5，45 中有一个 5，50
28、中有两个 5， 最后再加上 55 中的一个 5，就有了 13 个 5， 所以最后一个自然数最小的是 55。 8在一个两位数的两个数字之间加一个 0，所得的三位数比原来的数大 8 倍，则这个两位 数是 。www.21-cn- 解：设这个两位数为ab，中间加上一个 0，得到0a b， 三位数比原来的两位数大 8 倍，就是原数的 9 倍。所以 a100+b=9(10a+b)， 5a=4b，所以取 a=4，b=5 即可。即ab=45. 9从 1、2、3、4、5 中任选三个数，组成没有重复数字的三位数，在这些三位数中找出能 同时被 2 和 9 整除的数来,，这样的三位数有 个。 解：由题意，选出的三个数字中至少有一个偶数（保证能被 2 整除）， 且三个数字的和能被 9 整除。所以只能取 2、3、4。 组成的三位数可以说 234、324、342、432，一共有 4 个。 10四个小朋友恰好一个比一个大 1 岁，他们的年龄的乘积等于 3024，则这四个小朋友的 年龄分别是 岁。21 教育网 解：3024=22223337=6789， 所以这四个小朋友的年龄可以是 6 岁、7 岁、8 岁、9 岁。
