1、 吉林省白山十中 2019-2020 学年高三 3 月线上模拟 理科理科数数学学 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一 并上交。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小小题，每小题题，每小题 5 5
2、分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1已知集合 1,0,1,2,3A ， |ln2Bxx，则AB I（ ） A0,1 B1,2 C1,2,3 D0,1,2,3 2若复数z满足(1 i) |13i|z，则在复平面内z对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知数列 n a满足 1 1a ， 1 2n nn aa ，则 100 a（ ） A 99 21 B 99 2 C 100 21 D 100 2 4已知0a，0b，并且 1 a ，2， 1 b 成等差数列，则4ab的最小值为（ ） A 3
3、2 B2 C 9 4 D4 5函数 2 ( )3sin(2 ) 3 f xx的一个单调递减区间是（ ） A 7 13 , 1212 B 7 , 12 12 C 2 , 2 D 5 , 66 6在ABC中，2AB ，2BC ，135ABC，若使该三角形绕直线BC旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A 2 3 B C 3 2 D2 7设函数( )ln e f xx x ，则（ ） Axe为( )f x的极大值点 Bxe为( )f x的极小值点 C 1 x e 为( )f x的极大值点 D 1 x e 为( )f x的极小值点 8老师对同学们说了四句话 第一名是乙、丙、丁三人之中的一个；乙不
4、是第一，丙是第一； 甲、乙两人中有一人第一；第二句是对的 并告诉同学们四句话中两句是真话，两句是假话，且第一名在甲、乙、丙、丁四人中产生，由此可 判断第一名是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 9由1,2,3,4,5,6六个数字组成六位数，要求没有重复数字，且5,6均不得排在首位与个位，1 与 6 必须相邻，则这样的六位数的个数是（ ） A72 B108 C120 D288 10已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 FF、，圆 222 xyb与双曲线在 第一象限内的交点为M，若 12 3MFMF则该双曲线的离心率为（ ） A2 B3 C2 D3 11已知AB
5、C的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 222 coscosabcaB bA abc，若ABC的外接圆半径为 2 3 3 ，则ab的取值范围为（ ） A2,4 B4,6 C4,6 D2,6 12在三棱锥PABC中，平面PAB 平面ABC，ABC是边长为2 3的等边三角形， 7PAPB，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A16 B 65 4 C 65 16 D 49 4 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13在ABC中，2AB uu u r ，3AC uuu r ，0AB AC uu u r uuu r ，且ABC的面积为
6、3 2 ， 则BAC_ 14 1 2 0 ( 4)dxx _ 15若 5 2345 012345 12xaa xa xa xa xa x，则 4 a _(用数字作答) 16设 n S为数列 n a的前n项和， 1 0a ，若 1 1 ( 1)( 2) nn nn aa （n * N） ， 则 80 S_ 三、解答题：三、解答题：本本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）在公差为2的等差数列 n a中， 2 1a ， 4 1a ， 8 1a 成等比数列 （1）求数列 n a的通项
7、公式； （2）若2n nn ba，求数列 n b的前n项和 n T 18 （12 分）为降低电子屏幕对眼睛的影响，某公司研发了一种新型镜片生产机器每台机器在进 入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售已知该 机器第一种检测合格的概率为 5 6 ，第二种检测合格的概率为 9 10 ，两种检测是否合格相互独立 （1）求每台机器不能销售的概率； （2）如果产品可以销售，则每台机器可获利4万元；如果产品不能销售，则每台机器亏损8万元（即 获利8万元） 现有该新型机器 3 台，随机变量X表示这 3 台机器的获利，求X的分布列及数学 期望 19 （12 分）四棱锥PA
8、BCD中，底面ABCD为矩形，PAABCD 平面，E为PD的中点 （1）证明：PBAEC平面； （2）设1AP ，3AD ，三棱锥PABD的体积为 3 2 ，求二面角DAEC的余弦值 20 （12 分）已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F ， 离心率为 3 2 ，设点 1 (1, ) 2 A （1）求该椭圆的标准方程； （2）过原点O的直线交椭圆于点,B C，求ABC面积的最大值 21 （12 分）己知函数 sin ( ) x f x x （1）判断函数 ( )f x在(0,2)上的单调性； （2）若0a，求证：当 (0,)x 时， 1 ( )lnf x
9、a x 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 已知直线l的参数方程为 3 2 2 1 2 xt yt （t为参数） ，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线C的极坐标方程是 2 2 cos30 （1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）若点2,0M，直线l与曲线C交于A，B两点求MA MBAB的值 23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 若( )215f xxx （1）求( )2f x 的解集； （2）若
10、2 3 ( )4 2 f xmm恒成立，求m的取值范围 吉林省白山十中 2019-2020 学年高三 3 月线上模拟 理科理科数数学学答案答案 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 C 由ln2x，得 2 0xe，所以1,2,3AB I 2 D 由题得 22(1 i) 1 i 1 i(1 i)(1 i) z ，所以在复平面内z的对应点为1, 1，在第四象限 3 C 因为 1 2n nn aa ，所以 1 2n nn aa
11、， 因此 9998 100100992199981 (222)1)aaaaaaaaLL 100 100 1 2 21 1 2 4 C 根据题意，0a，0b且 1 a ，2， 1 b 成等差数列，则 11 4 ab ， 则 11114149 4(4)()(41)(52) 4444 aba b abab abbaba ， 当且仅当 4ba ab 时取得等号，4ab的最小值为 9 4 5 B 函数 22 ( )3sin(2 )3sin(2) 33 f xxx ， 其单调减区间满足 2 2 22 232 kxkkZ， 解得 7 1212 kxkkZ， 令0k 可得函数的一个单调递减区间为 7 , 12
12、 12 6 A 如图所示ABC，绕直线BC旋转一周， 则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余 的部分 由于2AB ，2BC ，135ABC， 则sin451AEAB，cos451BEAB o ， 结合圆锥的体积公式可得： 以ACD为轴截面的圆锥的体积： 2 1 11 3 33 VAECE， 以ABD为轴截面的小圆锥的体积： 2 2 11 1 333 VAEBE ， 则所形成的几何体的体积 12 2 3 VVV 7 B 22 1 ( ) exe fx xxx ，令( )0fx，得xe， 又函数定义域为(0,)， 当0xe时，( )0fx，( )f x递
13、减； 当xe时，( )0fx，( )f x递增， 因此xe是函数( )f x的极小值点 8 B 若甲是第一名，则只有第三句是对的，不符合题意； 若乙是第一名，则第一、三句是对的，第二、四句是假的，符合题意； 若丙是第一名，则只有第三句是错的，不符合题意； 若丁是第一名，则只有第一句是对的，不符合题意 9 B 当1在首位时，6只有一种排法，5有三种排法，余下三数共有 3 3 A种排法，共有 13 33 C A种排法； 当1在个位时，6只有一种排法，5有三种排法，余下三数共有 3 3 A种排法，共有 13 33 C A种； 当 1 即不再首位也不在个位时，先把 1 和 6 捆绑在一起，有 2 2
14、A种， 把2,3,4排列，有 3 3 A种， 5有两个位置可插，1,6有三个位置可插，共有 1123 2323 C C A A种排法 综上：共有 13131123 33332323 C AC AC C A A18 1872108种 10 B 根据题意可画出图像， 过M点作 12 FF垂线并交 12 FF于点H， 因为 12 3MFMF=，M在双曲线上， 所以根据双曲线性质可知， 12 2MFMFa-=，即 22 32MFMFa-=， 2 MFa， 因为圆 222 xyb的半径为b，OM是圆 222 xyb的半径， 所以OMb， 2 MFa， 2 OFc， 222 abc， 所以 2 90OMF
15、?，三角形 2 OMF是直角三角形， 因为 2 MHOF，所以 22 OFMHOMMF?， ab MH c =， 即M点纵坐标为 ab c ， 将M点纵坐标带入圆的方程中可得 222 () ab xb c +=，解得 2 b x c =， 2 (,) bab M cc ，将M点坐标带入双曲线中可得 422 2222 1 ba b a cc b -=， 化简得 4422 baa c-=， 222222 ()()babaa c-+=， 22 2ba， 22 2 3 ab e a + = 11 A 因为 222 coscosabcaBbAabc， 所以2cossincossincossinabCAB
16、BAabC，2cossinsinCABC，2cos1C ， 3 C ， 2 3 2sin2 33 c ， 因此 22222 2coscababCabab 22 22 33 44 abab ababab 即 2 2 2 4 ab ，4ab， 因为2abc，所以2,4ab 12 B 如图所示，取AB中点D，连接PD，CD， 三角形的中心E在CD上， 过点E作平面ABC垂线在垂线上取一点O，使得POOC=， 因为三棱锥底面是一个边长为2 3的等边三角形，E为三角形的中心， OAOBOC，O点即为球心， 因为PAPB，D为AB中点，所以PDAB， 因为平面PAB 平面ABC， PD平面ABC，则OEP
17、D， 22 1233CDCAAD， 2 2 3 CECD，1DECD CE， 22 2PDPBBD=-=， 设球的半径为r，则有POOCr， 2 4OEr， 作OGPD于G，则OEDG为矩形， 222 ()PDDGOGPO，即 2 222 241rr，解得 2 65 16 r ， 故表面积为 2 65 4 4 Sr，故选 B 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13 2 3 113 sin23 sin 222 SABACBACBAC ， 3 sin 2 BAC， 0AB AC uu u r uuu r ，90BAC， 2 3 BA
18、C 14 令 2 40xy，则 22 4(0)xyy， 1 2 0 ( 4)dxx 表示的是圆 22 4xy在第一象限的部分的面积，其值等于 15 80 5 2345 012345 12xaa xa xa xa xa x，则 44 45 C280a 16 81 22 3 当n为奇数时， 1 2 n n a ，则 1 2 2a ， 3 4 2a ，L， 79 80 2a ， 当n为偶数时， 1 2222 n n nnn aaa ，则 2 32 220aa， 4 54 220aa，L， 78 7978 220aa， 又 1 0a ， 81 802480 22 3 Saaa L 三、解答题：三、解答
19、题：本本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （1）21 n an； （2） 1 (21)22 n n Tn （1）设等差数列 n a的首项为 1 a， 由 2 1a ， 4 1a ， 8 1a 成等比数列，可得 2 428 (1)(1)(1)aaa， 即有 2 111 (5)(1)(13)aaa，解得 1 3a ， 所以有 1 (1)21 n aandn （2）由（1）可得22 (21) nn nn ban， 2 123 2 3252(21) n nn Tbbbbn LL， 231 22
20、3252(21) n n Tn L， 两式相减有 231 2 32222222(21) nn n Tn L 1 2(221)2 n n 1 (21)22 n n Tn 18 （1） 1 4 ； （2）分布列见解析，3EX （1）设事件A表示“每台新型机器不能销售”，事件A表示“每台新型机器能销售”， 所以 593 6104 P A ，所以 1 1 4 P AP A （2）根据（1）可知，“每台新型机器能销售”的概率为 3 4 ， “每台新型机器不能销售”的概率为 1 4 ， X所有的可能取值为24，12，0，12， 则 3 0 3 11 24C 464 P X ； 2 1 3 139 12C
21、4464 P X ； 12 2 3 1327 0C 4464 P X ； 3 3 3 327 12C 464 P X ， 所以X的分布列为 X 24 12 0 12 P 1 64 9 64 27 64 27 64 所以 1927 241212 646464 EX ，则3EX 19 （1）证明见解析； （2） 13 13 （1）连结BD交AC于点O，连结OE， 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点， E为PD的中点，所以EOBP， EO平面ACE，BP平面AEC，所以PB平面AEC （2）因为PA 平面ABCD，ABCD为矩形，所以,AB AD AP两两垂直， 如图，以A为坐标原点，AB uu
22、 u r 的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系， 三棱锥PABD的体积 113 332 ABDABD VShSAP ，3AB， 则(0,0,0)A，(0, 3,0)D，(3,0,0)B， 3 1 (0, ) 22 E，(3, 3,0)C， 则 3 1 (0, ) 22 AE uuu r ， (3, 3,0)AC uuu r ， 设( , , )x y za为平面ACE的法向量，则 0 0 AE AC a a uuu r uuu r，即 31 0 22 330 yz xy ， 令1x ，得3y ，3z ，则(1,3,3)a 又(1,0,0)b为平面ADE的法向量， 113 cos, 1313
23、 1 a b a b ab ， 如图可知二面角DAEC为锐角，所以二面角DAEC的余弦值为 13 13 20 （1） 2 2 1 4 x y； （2）2 （1）由题可得 222 3 abc c e a c ，解得 2 1 3 a b c ， 所以椭圆的标准方程为 2 2 1 4 x y （2）当直线BC垂直于x轴时，2BC ，因此ABC的面积1 ABC S 当直线BC不垂直于x轴时，该直线方程为ykx，代入 2 2 1 4 x y， 解得 22 22 (,) 4141 k B kk ， 22 22 (,) 4141 k C kk ， 则 2 2 4 1 41 k BC k ， 又点A到直线BC
24、的距离 2 1 2 1 k d k ， ABC的面积 2 211 2 1 4 ABC k SBC d k 于是 2 2 2 1 444 1 41 41 ABC kkk S k k 由 2 44 1 1 41 4 k k k k ，得2 ABC S ，其中当 1 2 k 时，等号成立 ABC S的最大值是2 21 （1）函数 ( )f x在(0,2)上单调递减； （2）证明见解析 （1） 2 cossin ( ) xxx fx x ， 令 ( )cossing xxxx ，则 ( )sing xxx ， 故当 (0,)x 时， ( )0g x ；当 (,2)x 时， ( )0g x ， 故 ma
25、x ( )()0g xg，故( )0g x 在(0,2)上恒成立，故( )0fx， 即函数 ( )f x在(0,2)上单调递减 （2）依题意， 1 ( )lnf xa x ， sin l n0 x ax xx 下面证明：当 (0,)x 时， sin 01 x x ；当0a时，ln1 ax x ， 令( ) sinh xxx ，则 ( )1cos0h xx ， 所以( ) sinh xxx 在(0,)上单调递增， ( )(0)0h xh ，则sin0xx， 又0x，sin0x，则 sin 01 x x ， 令(n )ls xax x ，则 22 ( ) aax s x xxx ， 由 ( )0s
26、 x ，得( ) s x的极小值点为 0 x a ， 若 0 0 ( , )x a ，则1a， 则 00 0 lnln1 s xaxaaa xa ，故 ( )ln1s xax x ， 若 0 x a ，即01a，则( )s x在(0,)上单调递减， 故( ) ()1ln1s xsa 综上所述，当0a时，ln1 ax x ，则 sin l n0 x ax xx ， 即 1 ( )lnf xa x 22 （1）:320l xy， 2 2 :14Cxy； （2）3 15 （1）消去 3 2 2 1 2 xt yt 中的t，得直线l的普通方程为320xy； 将 222 xy，cosx代入曲线C的极坐标
27、方程， 得曲线C的直角坐标方程为 2 2 14xy （2）将 3 2 2 1 2 xt yt 代入 2 2 14xy，得 2 330tt ， 设 1 t， 2 t是上述方程的两根，则 12 3tt ， 1 2 3t t ， 2 1 212121 2 343 15MA MBABtttttttt 23 （1） 8 ( 6, ) 3 ； （2）31m （1）当5x 时，不等式等价于2152xx ，解得2x， 故此时不等式解集为； 当 1 5 2 x时，不等式等价于2152xx ，解得 8 3 x ， 故此时不等式解集为 1 8 , 2 3 ； 当 1 2 x 时，不等式等价于1 252xx ，解得6x， 故此时不等式解集为 1 ( 6,) 2 ， 综上所述，不等式的解集为 8 ( 6, ) 3 （2） 4,5 1 ( )36,5 2 1 4, 2 xx f xxx xx ， 当 1 2 x 时，( )f x取得最小值 9 2 ，则 2 39 4 22 mm 恒成立， 即 2 430mm恒成立，所以31m
